北师大版九年级数学上册《1.3正方形的性质与判定》同步测试题带答案

北师大版九年级数学上册《1.3正方形的性质与判定》同步测试题带答案·知识点1正方形的性质
1.正方形具有而矩形不具有的性质是( )
A.对边相等
B.对角相等
C.对角线相等
D.对角线互相垂直
2.如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是线段AO,BO的中点,若AC+BD=8√2cm,则EF的长度为( )
A.1 cm
B.2 cm
C.2√2cm
D.4 cm
3.(2023·青岛中考)如图,O为正方形ABCD对角线AC的中点,△ACE为等边三角形.若AB=2,则OE的长度为√6.
4.如图,在正方形ABCD中,对角线BD所在的直线上有两点E,F,满足BE=DF,连接AE,AF,CE,CF,求证:△ABE≌△ADF.
·知识点2利用正方形的性质求面积
5.为增加绿化面积,某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖,更换后,图中阴影部分为植草区域,设正八边形与其内部小正方形的边长都为a,则阴影部分的面积为( )
A.2a2
B.3a2
C.4a2
D.5a2
6.将三个大小不同的正方形如图放置,顶点处两两相接,若正方形A的边长为4,正方形C的边长为3,则正方形B的面积为( )
A.25
B.5
C.16
D.12
7.(2023·重庆中考)如图,在正方形ABCD中,AE平分∠BAC交BC于点E,点F是边AB上一点,连接DF,若BE=AF,则∠CDF的度数为( )
A.45°
B.60°
C.67.5°
D.77.5°
8.(2023·黄石中考)如图,正方形OABC的边长为√2,将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45°,则点B的对应点B1的坐标为( )
A.(-√2,0)
B.(√2,0)
C.(0,√2)
D.(0,2)
9.(2023·黔东南州中考)如图,在边长为2的等边△ABC的外侧作正方形ABED,过点D作DF⊥BC,垂足为F,则DF的长为√3.
10.如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点P为AD边上的一点,过点P分别作PE⊥AC于点E,作PF⊥BD于点F.若PE+PF=5,则正方形ABCD 的面积为.
【素养提升】
11.(2023·贵阳中考)如图,在正方形ABCD中,E为AD上一点,连接BE,BE的垂直平分线交AB于点M,交CD于点N,垂足为O,点F在DC上,且MF∥AD.
(1)求证:△ABE≌△FMN;
(2)若AB=8,AE=6,求ON的长.
【解题模型】
·模型:正方形内两条直线与对边相交所成线段若垂直则必相等(若相等则必垂直)模型.
如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,AE,BF相交于点O,若AE⊥BF,则AE=BF.
如图2,点E,F,G,H分别在边BC,CD,DA,AB上,EG,FH相交于点O,若GE=HF,则GE⊥HF.
参考答案
·知识点1正方形的性质
1.正方形具有而矩形不具有的性质是(D)
A.对边相等
B.对角相等
C.对角线相等
D.对角线互相垂直
2.如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是线段AO,BO的中点,若AC+BD=8√2cm,则EF的长度为(B)
A.1 cm
B.2 cm
C.2√2cm
D.4 cm
3.(2023·青岛中考)如图,O为正方形ABCD对角线AC的中点,△ACE为等边三角
形.若AB=2,则OE的长度为√6.
4.如图,在正方形ABCD中,对角线BD所在的直线上有两点E,F,满足BE=DF,连接AE,AF,CE,CF,求证:△ABE≌△ADF.
【证明】∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠BAD=90°
∴∠ABD=∠ADB,∴∠ABE=∠ADF
在△ABE与△ADF中{AB=AD
∠ABE=∠ADF
BE=DF
,∴△ABE≌△ADF(SAS).
·知识点2利用正方形的性质求面积
5.为增加绿化面积,某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖,更换后,图中阴影部分为植草区域,设正八边形与其内部小正方形的边长都为a,则阴影部分的面积为(A)
A.2a2
B.3a2
C.4a2
D.5a2
6.将三个大小不同的正方形如图放置,顶点处两两相接,若正方形A的边长为4,正方形C的边长为3,则正方形B的面积为(A)
A.25
B.5
C.16
D.12
7.(2023·重庆中考)如图,在正方形ABCD中,AE平分∠BAC交BC于点E,点F是边AB上一点,连接DF,若BE=AF,则∠CDF的度数为(C)
A.45°
B.60°
C.67.5°
D.77.5°
8.(2023·黄石中考)如图,正方形OABC的边长为√2,将正方形OABC绕原点O顺时针旋转45°,则点B的对应点B1的坐标为(D)
A.(-√2,0)
B.(√2,0)
C.(0,√2)
D.(0,2)
9.(2023·黔东南州中考)如图,在边长为2的等边△ABC的外侧作正方形ABED,过点D作DF⊥BC,垂足为F,则DF的长为√3+1.
10.如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点P为AD边上的一点,过点P分别作PE⊥AC于点E,作PF⊥BD于点F.若PE+PF=5,则正方形ABCD
的面积为50.
【素养提升】
11.(2023·贵阳中考)如图,在正方形ABCD中,E为AD上一点,连接BE,BE的垂直平分线交AB于点M,交CD于点N,垂足为O,点F在DC上,且MF∥AD.
(1)求证:△ABE≌△FMN;
(2)若AB=8,AE=6,求ON的长.
【解析】略
【解题模型】
·模型:正方形内两条直线与对边相交所成线段若垂直则必相等(若相等则必垂直)模型.
如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,AE,BF相交于点O,若AE⊥BF,则AE=BF.
如图2,点E,F,G,H分别在边BC,CD,DA,AB上,EG,FH相交于点O,若GE=HF,则
GE⊥HF.。