2019届全国新高考原创仿真试卷(五)+数学试卷理科

2019届全国新高考原创仿真试卷（五）
+数学理科
本试题卷共8页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★
注意事项：
1、考试范围：高考范围。

2、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并上交。

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在△ABC 中，“A >B” 是“sin A>sin B ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，α∈⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，π2，则sin(π＋α)等于( )
A ．35
B ．－35
C ．45
D ．－4
5
3．已知平面向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为2π
3，且(a ＋λb )⊥(2a －b )，则实数λ的值为( )
A ．－7
B ．－3
C ．2
D ．3
4．已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－f (log 21
5)，b ＝f (log 24.1)，c ＝f (20.8)， 则a ，b ，c 的大小关系为( )
A ．a <b <c
B ．b <a <c
C ．c <b <a
D ．c <a <b
5．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2θ＝－79，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π6＋θ 的值为( )
A.13 B ．±13 C ．－19 D.
1
9
6．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1 (a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝5
2x ，且与椭圆
x 212＋y 2
3＝1有公共焦点，则C 的方程为( )
A .x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1 C .x 25－y 24＝1 D ．x 24－y 2
3＝1 7．数列{a n }中，a n ＝1n （n ＋1），若{a n }的前n 项和为2 017
2 018，则项数n 为( )
A ．2 016
B ．2 017
C ．2 018
D ．2 019
8．设函数()f x 的导函数为()'f x ，若对任意x ∈R 都有()()'f x f x >成立，则（ ） A ．()()ln 201520150f f < B ．()()ln 201520150f f =
C ．()()ln 201520150f f >
D ．()ln 2015f 与()20150f 的大小关系不能确定 9．下列函数中，在其定义域上既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝x 2 B ．y ＝x ＋1 C ．y ＝－lg |x | D ．y ＝－2x
10．定义在R 上的函数f (x )满足：f (x )>1－f ′(x )，f (0)＝0，f ′(x )是f (x )的导函数，则不等式e x f (x )>e x －1(其中e 为自然对数的底数)的解集为( ) A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．(－∞，0)∪(1，＋∞) D ．(－1，＋∞)
11．若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－lg|x |的零点个数是( )
A ．多于20
B ．20
C ．18
D ．10 12．如果函数f (x )在区间[a ，b ]上存在x 1，x 2(a ＜x 1＜x 2＜b )，满足f ′(x 1)＝f (b )－f (a )
b －a
， f ′(x 2)＝
f (b )－f (a )
b －a
，则称函数f (x )是区间[a ，b ]上的“双中值函数”．已知函数 f (x )＝x 3－x 2＋a 是区间[0，a ]上的“双中值函数”，则实数a 的取值范围为 ( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3 C ．(0,1) D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，1
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上)
13．若函数()ln e x y x a =-+的值域为R ，则实数a 的取值范围是________． 14．写出数列，-1,11，-111,1111，-11111，…的一个通项公式________． 15．设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝3
5，则cos β等于________． 16．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数g (x )＝f (f (x ))－1
2的零点个数是
________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分，写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)某港湾的平面示意图如图所示，O ，A ，B 分别是海岸线l 1，l 2上的三个集镇，A 位于O 的正南方向6 km 处，B 位于O 的北偏东60°方向10 km 处．
(1)求集镇A ，B 间的距离；
(2)随着经济的发展，为缓解集镇O 的交通压力，拟在海岸线l 1，l 2上分别修建码头M ，N ，开辟水上航线．勘测时发现：以O 为圆心，3 km 为半径的扇形区域为浅水区，不适宜船只航行．请确定码头M ，N 的位置，使得M ，
N 之间的直线航线最短．
18．(本小题满分12分)某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过300）：
该社团将该校区在2016年100天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下图，把该直方图所得频率估计为概率．
（Ⅰ）请估算2017年（以365天计算）全年空气质量优良的天数(未满一天按一天计算)；
（Ⅱ）该校2017年6月7、8日将作为高考考场，若这
两天中某天出现5级重度污染，需要净化空气费用10000元，出现6级严重污染，需要净化空气费用20000元，记这两天净化空气总费用为X 元，求X 的分布列及数学期望．
19、(本小题满分12分)已知点F 为椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线x 4＋y
2＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M .
(1)求椭圆E 的方程；
(2)设直线x 4＋y
2＝1与y 轴交于P ，过点P 的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B 若λ|PM |2＝|P A |·|PB |，求实数λ的取值范围．
20、(本小题满分12分)如图，在四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，平面ABCD ⊥平面SBC ，SB
＝SC ，M 是BC 的中点，AB ＝1，BC ＝2. (1)求证：AM ⊥SD ；
(2)若二面角B -SA -M 的正弦值为63，求四棱锥S -ABCD 的体积．
21、(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(2－a )ln x ＋1
x ＋2ax .
(1)当a＝2时，求函数f(x)的极值；
(2)当a<0时，求函数f(x)的单调增区间．
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2e x＋2ax－a2，a∈R.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若x≥0时，f(x)≥x2－3恒成立，求实数a的取值范围．
数学（理）试题
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在△ABC 中，“A >B” 是“sin A>sin B ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝35，α∈⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，π2，则sin(π＋α)等于( )
A ．35
B ．－35
C ．45
D ．－4
5
3．已知平面向量a ，b 满足|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为2π
3，且(a ＋λb )⊥(2a －b )，则实数λ的值为( )
A ．－7
B ．－3
C ．2
D ．3
4．已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－f (log 21
5)，b ＝f (log 24.1)，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A ．a <b <c
B ．b <a <c
C ．c <b <a
D ．c <a <b 5．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3
－2θ＝－79，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π6＋θ 的值为( ) A.13 B ．±13 C ．－19 D.
1
9
6．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1 (a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝5
2x ，且与椭圆x 212＋y 2
3
＝1有公共焦点，则C 的方程为( )
A .x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1 C .x 25－y 24＝1 D ．x 24－y 2
3＝1 7．数列{a n }中，a n ＝1n （n ＋1），若{a n }的前n 项和为2 017
2 018，则项数n 为( )
A ．2 016
B ．2 017
C ．2 018
D ．2 019
8．设函数()f x 的导函数为()'f x ，若对任意x ∈R 都有()()'f x f x >成立，则
A ．()()ln 201520150f f <
B ．()()ln 201520150f f =
C ．()()ln 201520150f f >
D ．()ln 2015f 与()20150f 的大小关系不能确定 9．下列函数中，在其定义域上既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝x 2 B ．y ＝x ＋1 C ．y ＝－lg |x | D ．y ＝－2x
10．定义在R 上的函数f (x )满足：f (x )>1－f ′(x )，f (0)＝0，f ′(x )是f (x )的导函数，则不等式e x f (x )>e x －1(其中e 为自然对数的底数)的解集为( )
A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)
B ．(0，＋∞)
C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)
D ．(－1，＋∞)
11．若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－lg|x |的零点个数是( )
A ．多于20
B ．20
C ．18
D ．10
12．如果函数f (x )在区间[a ，b ]上存在x 1，x 2(a ＜x 1＜x 2＜b )，满足f ′(x 1)＝f (b )－f (a )
b －a ，
f ′(x 2)＝f (b )－f (a )
b －a ，则称函数f (x )是区间[a ，b ]上的“双中值函数”．已知函数f (x )
＝x 3－x 2＋a 是区间[0，a ]上的“双中值函数”，则实数a 的取值范围为 ( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3 C ．(0,1) D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，1 选择答案：CDDCB BBCCB CA
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)
13．若函数()ln e x y x a =-+的值域为R ，则实数a 的取值范围是_____． 14．写出数列，-1,11，-111,1111，-11111，…的一个通项公式________． 15．设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝3
5，则cos β等于________． 16．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数g (x )＝f (f (x ))－1
2的零点个数是______．
三、解答题(本大题共6小题，共70分，写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)某港湾的平面示意图如图所示，O ，A ，B 分别是海岸线l 1，l 2上的三个集镇，A 位于O 的正南方向6 km 处，B 位于O 的北偏东60°方向10 km 处．
(1)求集镇A ，B 间的距离；
(2)随着经济的发展，为缓解集镇O 的交通压力，拟在海岸线l 1，l 2上分别修建码头M ，N ，开辟水上航线．勘测时发现：以O 为圆心，3 km 为半径的扇形区域为浅水区，不适宜船只航行．请确定码头M ，N 的位置，使得M ，N 之间的直线航线最短．
解：(1)在△ABO 中，OA ＝6，OB ＝10，∠AOB ＝120°， 根据余弦定理得
AB 2＝OA 2＋OB 2－2·OA ·OB ·cos 120° ＝62＋102－2×6×10×⎝⎛⎭⎫－1
2＝196， 所以AB ＝14.
故集镇A ，B 间的距离为14 km. (2)依题意得，直线MN 必与圆O 相切． 设切点为C ，连接OC (图略)，则OC ⊥MN . 设OM ＝x ，ON ＝y ，MN ＝c ，
在△OMN 中，由12MN ·OC ＝1
2OM ·ON ·sin 120°，
得12×3c ＝1
2
xy sin 120°，即xy ＝23c ， 由余弦定理，得c 2＝x 2＋y 2－2xy cos 120°＝x 2＋y 2＋xy ≥3xy ，所以c 2≥63c ，解得c ≥63， 当且仅当x ＝y ＝6时，c 取得最小值6 3.
所以码头M ，N 与集镇O 的距离均为6 km 时，M ，N 之间的直线航线最短，最短距离为 6 3 km.
18．(本小题满分12分)某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会
超过300）：
该社团将该校区在2016年100天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下图，把该直方图所得频率估计为概率．
（Ⅰ）请估算2017年（以365天计算）全年空气质量优良的天数(未满一天按一天计算)；
（Ⅱ）该校2017年6月7、8日将作为高考考场，若这
两天中某天出现5级重度污染，需要净化空气费用10000元，出现6级严重污染，需要净化空气费用20000元，记这两天净化空气总费用为X 元，求X 的分布列及数学期望．
（Ⅰ）由直方图可估算2017年（以365天计算）全年空气质量优良的天数为
(0.10.2)3650.3365109.5110+⨯=⨯=≈（天）
． --------- 4分 （Ⅱ）由题可知，X 的所有可能取值为：0，10000，20000，30000，40000， -- 6分 则： 4162(0)()525
P X ===， 1441(10000)210525P X C ==⨯⨯= 11417
221(20000)()2210105100
P X C C ==⨯+⨯⨯=
111
1(30000)2101050
P X C ==⨯⨯=
11
22(40000)(
)210100P X C ==⨯=
∴ X 的分布列为
分
1641711
010000200003000040000252510050100
EX =⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯
6000=（元）．----- 12分
19、(本小题满分12分)已知点F 为椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左焦点，且两焦
点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线x 4＋y
2＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M .
(1)求椭圆E 的方程；
(2)设直线x 4＋y
2＝1与y 轴交于P ，过点P 的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B 若λ|PM |2＝|P A |·|PB |，求实数λ的取值范围．
解：(1)由题意，得a ＝2c ，b ＝3c ，则椭圆E 为x 24c 2＋y 2
3c 2＝1.
由⎩
⎨⎧x 24＋y 23＝c 2x 4＋y 2
＝1，得x 2－2x ＋4－3c 2＝0.
因为直线x 4＋y
2＝1与椭圆E 有且仅有一个交点M ，
所以Δ＝4－4(4－3c 2)＝0⇒c 2＝1， 所以椭圆E 的方程为x 24＋y 2
3
＝1.
(2)由(1)得M (1，3
2
)，
因为直线x 4＋y
2＝1与y 轴交于P (0，2)，
所以|PM |2＝5
4
，
当直线l 与x 轴垂直时，
|P A |·|PB |＝(2＋3)×(2－3)＝1， 所以λ|PM |2＝|P A |·|PB |⇒λ＝4
5
，
当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋23x 2＋4y 2
－12＝0
⇒(3＋4k 2)x 2＋16kx ＋4＝0， 依题意得，x 1x 2＝43＋4k
2，且Δ＝48(4k 2－1)>0， 所以|P A |·|PB |＝(1＋k 2)x 1x 2＝(1＋k 2)·43＋4k 2＝1＋13＋4k 2＝54λ，所以λ＝45(1＋13＋4k 2
)，
因为k 2>14，所以45
<λ<1. 综上所述，λ的取值范围是[45
，1)．
20、(本小题满分12分)如图，在四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，平面ABCD ⊥平面SBC ，SB ＝SC ，M 是BC 的中点，AB ＝1，BC ＝2.
(1)求证：AM ⊥SD ；
(2)若二面角B -SA -M 的正弦值为63，求四棱锥S -ABCD 的体积．
【解】 (1)证明：设AD 的中点为N ，连接MN ，由四边形ABCD 是矩形，知
MN ⊥BC .
因为SB ＝SC ，M 是BC 的中点，所以SM ⊥BC .
因为平面ABCD ⊥平面SBC ，平面ABCD ∩平面SBC ＝BC ，
所以SM ⊥平面ABCD ，所以SM ⊥MN .
所以直线MC ，MS ，MN 两两垂直．
以M 为坐标原点，MC ，MS ，MN 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立
如图所示的空间直角坐标系Mxyz ，设SM ＝a .
依题意得，M (0，0，0)，A (－1，0，1)，B (－1，0，0)，C (1，0，0)，D (1，
0，1)，S (0，a ，0)．
所以AM →＝(1，0，－1)，SD →＝(1，－a ，1)．
因为AM →·SD →＝1×1＋0×(－a )＋(－1)×1＝0，
所以AM →⊥SD →，即AM ⊥SD .
(2)由(1)可得MS →＝(0，a ，0)，MA →＝(－1，0，1)．
设平面AMS 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则n 1⊥MS →，n 1⊥MA →，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ay ＝0－x ＋z ＝0，即⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝0－x ＋z ＝0，令x ＝1，则n 1＝(1，0，1)是平面AMS 的一个法向量． 同理可得n 2＝(a ，－1，0)是平面ABS 的一个法向量．
设二面角B -SA -M 的大小为θ，则cos θ＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝a 2×a 2＋1
. 所以1－cos 2
θ＝1－a 22a 2＋2＝sin 2θ＝23，解得a ＝ 2. 所以四棱锥S -ABCD 的体积
V ＝13×S 矩形ABCD ×SM ＝13×2×1×2＝22
3.
21、(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(2－a )ln x ＋1
x ＋2ax .
(1)当a ＝2时，求函数f (x )的极值；
(2)当a <0时，求函数f (x )的单调增区间．
解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，
当a ＝2时，f (x )＝1x ＋4x ，则f ′(x )＝－1
x 2＋4.
令f ′(x )＝－1
x 2＋4＝0，得x ＝12或x ＝－1
2(舍去)．
当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
所以函数f (x )的极小值为f ⎝⎛⎭⎫1
2＝4，无极大值．
(2)f ′(x )＝2－a x －1x 2＋2a ＝(2x －1)(ax ＋1)
x 2，
令f ′(x )＝0，得x ＝12或x ＝－1
a .
当－2<a <0时，由f ′(x )>0，得12<x <－1a ，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫1
2，－1
a 上单调递增；
当a ＝－2时，f ′(x )≤0，所以函数f (x )无单调递增区间；
当a <－2时，由f ′(x )>0，得－1a <x <1
2，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－1
a ，1
2上单调递增．
22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2e x ＋2ax －a 2，a ∈R.
(1)求函数f (x )的单调区间；
(2)若x ≥0时，f (x )≥x 2－3恒成立，求实数a 的取值范围．
解：(1)f ′(x )＝2e x ＋2a ，
①当a ≥0时，f ′(x )>0恒成立，∴函数f (x )在R 上单调递增．
②当a <0时，由f ′(x )>0，得x >ln(－a )；
由f ′(x )<0，得x <ln(－a )，
∴函数f (x )在(－∞，ln(－a ))上单调递减，在(ln(－a )，＋∞)上单调递增．
综合①②知，当a ≥0时，f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)；
当a <0时，f (x )的单调递增区间为(ln(－a )，＋∞)，单调递减区间为(－∞，ln(－a ))．
(2)令g (x )＝f (x )－x 2＋3＝2e x －(x －a )2＋3，x ≥0，
则g ′(x )＝2(e x －x ＋a )．
又令h (x )＝2(e x －x ＋a )，则h ′(x )＝2(e x －1)≥0，
∴h (x )在[0，＋∞)上单调递增，且h (0)＝2(a ＋1)．
①当a ≥－1时，h (x )≥0，即g ′(x )≥0恒成立，∴函数g (x )在[0，＋∞)上单调递增， 从而需满足g (0)＝5－a 2≥0，解得－5≤a ≤5，
又a ≥－1，∴－1≤a ≤5；
②当a <－1时，则∃x 0>0，使h (x 0)＝0，且x ∈(0，x 0)时，h (x )<0，即g ′(x )<0，∴g (x )在(0，x 0)上单调递减，x ∈(x 0，＋∞)时，h (x )>0，即g ′(x )>0，∴g (x )在(x 0，＋∞)上单调递增．
∴g (x )min ＝g (x 0)＝2e x 0－(x 0－a )2＋3≥0，
又h (x 0)＝2(e x 0－x 0＋a )＝0，
从而2e x 0－(e x 0)2＋3≥0，解得0<x 0≤ln 3，
又由h (x 0)＝0，得a ＝x 0－e x 0.
令M (x )＝x －e x 0<x ≤ln 3，
则M ′(x )＝1－e x <0，∴M (x )在(0，ln 3]上单调递减，
∴M (x )≥M (ln 3)＝ln 3－3，又M (x )<M (0)＝－1，
故ln 3－3≤a <－1，
综上，实数a 的取值范围为[]ln 3－3，5.。