中考数学经典编辑母题30题

经典母题30题
一、选择题
1．大庆油田某一年的石油总产量为4 500万吨，若用科学记数法表示应为（）吨．
A．4.5×10-6B．4.5×106C．4.5×107D．4.5×108
【答案】C．
2．下列运算正确的是（）
A．a3+a4=a7B．2a3•a4=2a7C．（2a4）3=8a7D．a8÷a2=a4
【答案】B
【解析】A、a3和a4不能合并，故A错误；B、2a3•a4=2a7，故B正确；C、（2a4）3=8a12，故C错误；
D、a8÷a2=a6，故D错误；
故选B．
3．如图中几何体的俯视图是（）
【答案】A．
【解析】从上面看易得第一层最右边有1个正方形，第二层有3个正方形．
故选A．
4．下面图形中，是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C ．
5．如图所示把一张长方形纸片对折，折痕为AB ，再以AB 的中点O 为顶点，把平角∠AOB 三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O 为顶点的直角三角形，那么剪出的直角三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是 ( )
（A ）正三角形 （B ）正方形 （C ）正五边形 （D ）正六边形 【答案】A
【解析】由题意可知将剪出的直角三角形全部打开后得到如图所示的三角形，为正三角形.
6．如图，已知二次函数y =x x 22
+-，当1-<x <a 时, y 随x 的增大而增大，则实数a 的取值范围是
( )
（A ）a >1 （B ）1-<a ≤1 （C ）a >0 （D ）1-<a <1 【答案】B 【解析】由a
b
x 2-
=得对称轴为x=1，∵a=-1<0,∴当x<1时，y 随x 的增大而增大， ∵当-1<x<a 时, y 随x 的增大而增大∴a ≤1， 因此选B
7．如图，扇形AOB 中，半径OA=2，∠AOB=120°，C 是的中点，连接AC 、BC ，则图中阴影部分面
积是（ ）
A ．
﹣2
B ．
﹣2
C ．
﹣
D ．
﹣
【答案】A
【解析】连接OC ，
∵∠AOB=120°，C 为弧AB 中点，∴∠AOC=∠BOC=60°，∵OA=OC=OB=2，∴△AOC 、△BOC 是等边三
角形，∴AC=BC=OA=2，∴△AOC 的边AC 上的高是3122
2=-，△BOC 边BC 上的高为3，
∴阴影部分的面积是
323
4
3221236021202-=⨯⨯⨯-⨯⋅ππ， 故选A ．
8．在平面直角坐标系中，将抛物线y=3x 2先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（ ）
A ．y=3（x+1）2+2
B ．y=3（x+1）2﹣2
C ．y=3（x ﹣1）2+2
D ．y=3（x ﹣1）2﹣2 【答案】C
【解析】∵抛物线y=3x 2的对称轴为直线x=0，顶点坐标为（0，0），
∴抛物线y=3x 2向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，2），∴平移后抛物线的解析式为y=3（x ﹣1）2+2． 故选C ．
9．如图，A 、B 、C 、D 四个点均在⊙O 上，∠AOD=70°，AO ∥DC ，则∠B 的度数为（ ）
A ．40°
B ．45°
C ．50°
D ．55° 【答案】D 【解析】如图，
连接OC ，∵AO ∥DC ，∴∠ODC=∠AOD=70°，∵OD=OC ，∴∠ODC=∠OCD=70°，∴∠COD=40°， ∴∠AOC=110°，∴∠B=2
1
∠AOC=55°． 故选：D ．
10．如图，AB 是池塘两端，设计一方法测量AB 的距离，取点C ，连接AC 、BC ，再取它们的中点D 、E ，测得DE=15米，则AB=（ ）米．
A ．7.5
B ．15
C ．22.5
D ．30 【答案】D
【解析】∵D 、E 分别是AC 、BC 的中点，DE=15米，∴AB=2DE=30米， 故选D ．
11．如图，A 、B 两点在双曲线y=上，分别经过A 、B 两点向轴作垂线段，已知S 阴影=1，则S 1+S 2=（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6 【答案】D
【解析】∵点A 、B 是双曲线y=上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段， 则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=4，∴S 1+S 2=4-1+4﹣1=6．
故选D ．
12．如图，在矩形ABCD 中，AD=
AB ，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，DH ⊥AE 于点H ，连接BH 并
延长交CD 于点F ，连接DE 交BF 于点O ，下列结论：
①∠AED=∠CED ；②OE=OD ；③BH=HF ；④BC ﹣CF=2HE ；⑤AB=HF ， 其中正确的有（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个 【答案】C
【解析】∵在矩形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，∴∠BAE=∠DAE=45°，∴△ABE 是等腰直角三角形，∴AE=2AB ，∵AD=2AB ，∴AE=AD ，又∠ABE=∠AHD=90°∴△ABE ≌△AHD （AAS ），∴BE=DH ，∴AB=BE=AH=HD ，∴∠ADE=∠AED=
2
1
（180°﹣45°）=67.5°， ∴∠CED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠AED=∠CED ，故①正确； ∵∠AHB=
2
1
（180°﹣45°）=67.5°，∠OHE=∠AHB （对顶角相等），∴∠OHE=∠AED ， ∴OE=OH ，∵∠DOH=90°﹣67.5°=22.5°，∠ODH=67.5°﹣45°=22.5°，∴∠DOH=∠ODH ，∴OH=OD ，∴OE=OD=OH ，故②正确；
∵∠EBH=90°﹣67.5°=22.5°，∴∠EBH=∠OHD ，又BE=DH ，∠AEB=∠HDF=45° ∴△BEH ≌△HDF （ASA ），∴BH=HF ，HE=DF ，故③正确；
由上述①、②、③可得CD=BE 、DF=EH=CE ，CF=CD-DF ，∴BC-CF=（CD+HE ）-（CD-HE ）=2HE ，所以④正确；
∵AB=AH ，∠BAE=45°，∴△A BH 不是等边三角形，∴AB ≠BH ，∴即AB ≠HF ，故⑤错误；
综上所述，结论正确的是①②③④共4个．故选C．
二、填空题
13．二元一次方程组
7413
563
x y
x y
-=
⎧
⎨
-=
⎩
的解为
【答案】
3
2
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
．
【解析】
7413
563
x y
x y
-=
⎧
⎨
-=
⎩
①
②
，①×3-②×2得：11x=33，即x=3，将x=3代入②得：y=2，
则方程组的解为
3
2
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
．
14．如图，AC、BD相交于点O，∠A=∠D，请补充一个条件，使△AOB≌△DOC，你补充的条件是（填出一个即可）．
【答案】AB=CD 或OA=OB或OB=OC等
【解析】从图中可知∠AOB=∠DOC，所以要想△AOB≌△DOC，只需要再有一边对应相等（AB=CD 或OA=OB或OB=OC）即可，利用ASA、AAS就可判定，当然也也可以给出别的条件
AB=CD，(以此为例)
理由是：∵在△AOB和△DOC中
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
∠
=
∠
∠
=
∠
CD
AB
D
A
DOC
AOB
∴△AOB≌△DOC，
15．如图，矩形ABCD 中，AD=2，F 是DA 延长线上一点，G 是CF 上一点，且∠ACG=∠AGC ，∠GAF=∠F=20°，则AB= ．
【答案】6.
【解析】由三角形的外角性质得，∠AGC=∠GAF+∠F=20°+20°=40°， ∵∠ACG=∠AGC ，∴∠CAG=180°-∠ACG-∠AGC=180°-2×40°=100°， ∴∠CAF=∠CAG+∠GAF=100°+20°=120°，∴∠BAC=∠CAF-∠BAF=30°， 在Rt △ABC 中，AC=2BC=2AD=22， 由勾股定理，AB=
2222(22)(2)6AB BC -=-=．
16．如图，在平面直角坐标系中，Rt △ABO 的顶点O 与原点重合，顶点B 在x 轴上，∠ABO=90°，OA 与反比例函数y=的图象交于点D ，且OD=2AD ，过点D 作x 轴的垂线交x 轴于点C ．若S 四边形ABCD =10，则k 的值为 ．
【答案】﹣16
【解析】∵OD=2AD ，∴
3
2
=OA OD ，∵∠ABO=90°，DC ⊥OB ，∴AB ∥DC ，∴△DCO ∽△ABO ， ∴3
2===OA OD OB OC AB DC ，∴94322
=⎪⎭⎫
⎝⎛=∆∆OAB ODC S S ，∵S 四边形ABCD =10，∴S △ODC =8，
∴
2
1
OC ×CD=8，OC ×CD=16，∴k=﹣16， 17．服装店销售某款服装，一件服装的标价为300元，若按标价的八折销售，仍可获利60元，则这款服
装每件的标价比进价多 元． 【答案】120
【解析】设这款服装每件的进价为x 元，由题意，得300×0.8﹣x=60，解得：x=180． ∴标价比进价多300﹣180=120元．
18．写出一个图象经过点（﹣1，2）的一次函数的解析式 ． 【答案】答案不唯一，如：y=2x+4等
【解析】设函数的解析式为y=kx+b ，将（﹣1，2）代入，得b ﹣k=2， 所以可得y=2x+4．
19．如图，△ABC 为⊙O 的内接三角形，AB 为⊙O 的直径，点D 在⊙O 上，∠ADC=54°，则∠BAC 的度数等于 ．
【答案】36°
【解析】∵∠ABC 与∠ADC 是
所对的圆周角，∴∠ABC=∠ADC=54°，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，
∴∠BAC=90°﹣∠ABC=90°﹣54°=36°．
20．如果菱形的两条对角线的长为a 和b ，且a ，b 满足（a ﹣1）2+4 b =0，那么菱形的面积等于 ． 【答案】2
【解析】由题意得，a ﹣1=0，b ﹣4=0，解得a=1，b=4，∵菱形的两条对角线的长为a 和b ，∴菱形的面积=
2
1
×1×4=2． 21．在四个完全相同的小球上分别写上1，2，3，4四个数字，然后装入一个不透明的口袋内搅匀，从口袋内取出一个球记下数字后作为点P 的横坐标x ，放回袋中搅匀，然后再从袋中取出一个球记下数字后作为
点P 的纵坐标y ，则点P （x ，y ）落在直线y=﹣x+5上的概率是 ． 【答案】
4
1 【解析】列表得： 1 2
3 4 1 （1，1） （1， 2） （1，3） （1，4） 2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） 3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） 4
（4，1）
（4，2）
（4，3）
（4，4）
∵共有16种等可能的结果，数字x 、y 满足y=﹣x+5的有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），∴数字x 、y 满足y ﹣x+5的概率为：
4
1
． 22．如图，顺次连接边长为1的正方形ABCD 四边的中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1，然后顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1的中点，得到四边形A 2B 2C 2D 2，再顺次连接四边形A 2B 2C 2D 2四边的中点，得到四边形A 3B 3C 3D 3，…，按此方法得到的四边形A 8B 8C 8D 8的周长为 ．
【答案】
4
1 【解析】顺次连接正方形ABCD 四边的中点得正方形A 1B 1C 1D 1，则得正方形A 1B 1C 1D 1的面积为正方形
ABCD 面积的一半，即
2
1
，则周长是原来的22；
顺次连接正方形A 1B 1C 1D 1中点得正方形A 2B 2C 2D 2，则正方形A 2B 2C 2D 2的面积为正方形A 1B 1C 1D 1面积的
一半，即
41，则周长是原来的2
1； 顺次连接正方形A 2B 2C 2D 2得正方形A 3B 3C 3D 3，则正方形A 3B 3C 3D 3的面积为正方形A 2B 2C 2D 2面积的一半，
即
8
1
，则周长是原来的42；
顺次连接正方形A 3B 3C 3D 3中点得正方形A 4B 4C 4D 4，则正方形A 4B 4C 4D 4的面积为正方形A 3B 3C 3D 3面积的一半161，则周长是原来的4
1
； …
故第n 个正方形周长是原来的
n 2
1
， 以此类推：正方形A 8B 8C 8D 8周长是原来的16
1， ∵正方形ABCD 的边长为1， ∴周长为4，
∴按此方法得到的四边形A 8B 8C 8D 8的周长为4
1. 三、解答题
23．已知非零实数a 满足a 2+1=3a ，求221
a a
的值． 【答案】7.
【解析】∵a 2+1=3a ，即a+1a =3，∴两边平方得：（a+1a ）2=a 2+21a
+2=9， 则a 2+
21
a
=7． 24．先化简，再求值：（a+）÷（a ﹣2+
），其中，a 满足a ﹣2=0．
【答案】
；
3
【解析】原式=÷=•=，
当a ﹣2=0，即a=2时，原式=3．
25．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）.
(1) 请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A
1B
1
C
1
；
(2) 请画出△ABC关于原点对称的△A
2B
2
C
2
；
(3) 在x轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB，并直接写
．．．
出．P的坐标.
【答案】（1）图形见解析；
（2）图形见解析；
（3）图形见解析，点P的坐标为：（2，0）
【解析】（1）△A1B1C1如图所示；
（2）△A2B2C2如图所示；
（3）△PAB如图所示，点P的坐标为：（2，0）
26．某教研机构为了了解在校初中生阅读数学教科书的现状，随机抽取某校部分初中学生进行了调查，依据相关数据绘制成以下不完整的统计表，请根据图表中的信息解答下列问题：
某校初中生阅读数学教科书情况统计图表
类别人数占总人数比例
重视 a 0.3
一般57 0.38
不重视 b c
说不清楚9 0.06
（1）求样本容量及表格中a，b，c的值，并补全统计图；
（2）若该校共有初中生2300名，请估计该校“不重视阅读数学教科书”的初中人数；
（3）①根据上面的统计结果，谈谈你对该校初中生阅读数学教科书的现状的看法及建议；
②如果要了解全省初中生阅读数学教科书的情况，你认为应该如何进行抽样？
【答案】（1）a=45，b=39，c=0.26，作图见解析：
（2）该校“不重视阅读数学教科书”的初中人数约为598人；
（3）①见解析，②见解析．
【解析】（1）由题意可得出：样本容量为：57÷0.38=150（人），∴a=150×0.3=45，
b=150﹣57﹣45﹣9=39，c=39÷150=0.26，
如图所示：
（2）该校“不重视阅读数学教科书”的初中人数约为：2300×0.26=598（人）；
（3）①根据以上所求可得出：只有30%的学生重视阅读数学教科书，有32%的学生不重视阅读数学教科书或说不清楚，可以看出大部分学生忽略了阅读数学教科书，同学们应重视阅读数学教科书，从而获取更多的数学课外知识和对相关习题、定理的深层次理解与认识．
②如果要了解全省初中生阅读数学教科书的情况，应随机抽取不同的学校以及不同的年级进行抽样，进而分析．
27．如图，一次函数y=kx+b （k ≠0）的图象过点P （﹣，0），且与反比例函数y=（m ≠0）的图象相交于点A （﹣2，1）和点B ．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求点B 的坐标，并根据图象回答：当x 在什么范围内取值时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值？
【答案】（1）一次函数的解析式为y=﹣2x ﹣3，反比例函数的解析式为y=﹣； （2）当﹣2＜x ＜0或x ＞时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值． 【解析】（1）一次函数y=kx+b （k ≠0）的图象过点P （﹣，0）和A （﹣2，1），
∴，解得，∴一次函数的解析式为y=﹣2x ﹣3，
反比例函数y=x
m
（m ≠0）的图象过点A （﹣2，1），∴
，解得m=﹣2，
∴反比例函数的解析式为y=﹣；
（2），解得，或，
∴B （，﹣4）
由图象可知，当﹣2＜x ＜0或x ＞时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值．
28．某校为美化校园，计划对面积为1800m 2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400 m 2区域的绿化时，
甲队比乙队少用4天．
（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m 2？
（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过．．．8万元，至少应安排甲队工作多少天？
【答案】（1）甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m 2、50m 2； （2）至少应安排甲队工作10天．
【解析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm 2，根据题意得：
x
x 2400
400-
=4， 解得：x=50经检验x=50是原方程的解，则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2=100（m 2），答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m 2、50m 2； （2）设至少应安排甲队工作x 天，根据题意得：0.4x+50
1001800x
-×0.25≤8，解得：x ≥10，答：至少应
安排甲队工作10天．
29．如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 上一点，点F 在射线CM 上,∠AEF=90°，AE=EF ，过点F 作射线BC 的垂线，垂足为H ，连接AC. (1) 试判断BE 与FH 的数量关系，并说明理由； (2) 求证：∠ACF=90°；
(3) 连接AF ，过A ，E ，F 三点作圆，如图2. 若EC=4，∠CEF=15°，求
的长.
图1 图2 【答案】（1）BE=FH ；理由见解析
（2）证明见解析 （3）
=2π
【解析】（1）BE=FH 。

理由如下：
∵四边形ABCD 是正方形 ∴∠B=90°，∵FH ⊥BC ， ∴∠FHE=90°，又∵∠AEF=90°，∴∠AEB+∠HEF=90°， 且∠BAE+∠AEB=90°，∴∠HEF=∠BAE ，∴ ∠AEB=∠EFH ，又∵AE=EF ，∴△ABE ≌△EHF （SAS ），∴BE=FH ； (2)∵△ABE ≌△EHF ，∴BC=EH ，BE=FH ， 又∵BE+EC=EC+CH ，∴BE=CH ，∴CH=FH ，∴∠FCH=45°，∴∠FCM=45°，∵AC 是正方形对角线，∴ ∠ACD=45°，∴∠ACF=∠FCM +∠ACD =90°；
（3）∵AE=EF ，∴△AEF 是等腰直角三角形，△AEF 外接圆的圆心在斜边AF 的中点上。

设该中点为O 。

连结EO 得∠AOE=90°
过E 作EN ⊥AC 于点N ，Rt △ENC 中，EC=4，∠ECA=45°，∴EN=NC=22，Rt △ENA 中，EN =22，又∵∠EAF=45°，∠CAF=∠CEF=15°（等弧对等角），∴∠EAC=30°，∴AE=24，Rt △AFE 中，AE=24= EF ，∴AF=8， AE 所在的圆O 半径为4，其所对的圆心角为∠AOE=90°，
=2π·4·（90°÷360°）=2π.
30．如图，已知∠MON=90°，A 是∠MON 内部的一点，过点A 作AB ⊥ON ，垂足为点B ，AB=3厘米，OB=4厘米，动点E ，F 同时从O 点出发，点E 以1.5厘米/秒的速度沿ON 方向运动，点F 以2厘米/秒的速度沿OM 方向运动，EF 与OA 交于点C ，连接AE ，当点E 到达点B 时，点F 随之停止运动．设运动时间为t 秒（t ＞0）．
（1）当t=1秒时，△EOF 与△ABO 是否相似？请说明理由； （2）在运动过程中，不论t 取何值时，总有EF ⊥OA ．为什么？
（3）连接AF ，在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使得S △AEF =S 四边形ABOF ？若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）△EOF ∽△ABO ．理由见解析 （2）理由见解析 （3）存在，当t=
23或t=34时，S △AEF =2
1
S 四边形ABOF ． 【解析】（1）∵t=1，∴OE=1.5厘米，OF=2厘米，∵AB=3厘米，OB=4厘米， ∴
2135.1==AB OE ，2
1
42==OB OF ，∵∠MON=∠ABE=90°，∴△EOF ∽△ABO ． （2）在运动过程中，OE=1.5t ，OF=2t ． ∵AB=3，OB=4．∴
OB
OF
AB OE =
．又∵∠EOF=∠ABO=90°，∴Rt △EOF ∽Rt △ABO ． ∴∠AOB=∠EOF ．∵∠AOB+∠FOC=90°，∴∠EOF+∠FOC=90°，∴EF ⊥OA ． （3）如图，连接AF ，
∵OE=1.5t ，OF=2t ，∴BE=4﹣1.5t ，∴S △FOE =
21OE •OF=21×1.5t ×2t=23t 2，S △ABE =2
1
×（4﹣1.5t ）×3=6﹣49t ，S 梯形ABOF =21（2t+3）×4=4t+6，∵S △AEF =21S 四边形ABOF ，∴S △FOE +S △ABE =21S 梯形ABOF ，∴2
3t 2+6
﹣
49t=21（4t+6），即6t 2﹣17t+12=0，解得t=23或t=3
4． ∴当t=23或t=34时，S △AEF =2
1
S 四边形ABOF ．
31．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形AOBC 的顶点C 的坐标是（2，4），动点P 从点A 出发，沿线段AO 向终点O 运动，同时动点Q 从点B 出发，沿线段BC 向终点C 运动．点P 、Q 的运动速度均为1个单位，运动时间为t 秒．过点P 作PE ⊥AO 交AB 于点E ． （1）求直线AB 的解析式；
（2）设△PEQ 的面积为S ，求S 与t 时间的函数关系，并指出自变量t 的取值范围；
（3）在动点P 、Q 运动的过程中，点H 是矩形AOBC 内（包括边界）一点，且以B 、Q 、E 、H 为顶点的四边形是菱形，直接写出t 值和与其对应的点H 的坐标．
【答案】（1）直线AB 的解析式为y=﹣2x+4．
（2）当0＜t ＜2时，S=﹣
21t 2+t （0＜t ＜2），当2＜t ≤4时，S=2
1
t 2﹣t （2＜t ≤4）． （3）t 1=1320，H 1 （1310，13
12
），t 2=20﹣85，H 2（10﹣45，4）．
【解析】（1）∵C （2，4），∴A （0，4），B （2，0），
设直线AB 的解析式为y=kx+b ，∴⎩
⎨⎧+==b k b
204，解得⎩⎨⎧=-=42b k ，∴直线AB 的解析式为y=﹣2x+4．
（2）如图2，过点Q 作QF ⊥y 轴于F ，
∵PE//OB ，∴
2
1
==AO OB AP PE ，∴有AP=BQ=t ，PE=21t ，AF=CQ=4﹣t ，
当0＜t ＜2时，PF=4﹣2t ，∴S=21PE •PF=21×21t （4﹣2t ）=t ﹣2
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t 2，
即S=﹣2
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t 2+t （0＜t ＜2），
当2＜t ≤4时，PF=2t ﹣4，∴S=21PE •PF=21×21t （2t ﹣4）=2
1
t 2﹣t （2＜t ≤4）．
（3）t 1=1320，H 1 （1310，13
12
），t 2=20﹣85，H 2（10﹣45，4）．
32．如图，二次函数y=1
2
x 2+bx+c 的图象交x 轴于A 、D 两点，并经过B 点，已知A 点坐标是（2，0），
B 点的坐标是（8，6）． （1）求二次函数的解析式．
（2）求函数图象的顶点坐标及D 点的坐标．
（3）该二次函数的对称轴交x 轴于C 点．连接BC ，并延长BC 交抛物线于E 点，连接BD ，DE ，求△BDE 的面积．
（4）抛物线上有一个动点P ，与A ，D 两点构成△ADP ，是否存在S △ADP =1
2
S △BCD ？若存在，请求出P 点的坐标；若不存在．请说明理由．
【答案】（1）二次函数解析式为：y=12
x 2﹣4x+6； （2）函数图象的顶点坐标为（4，﹣2），点D 的坐标为（6，0）；
（3）△BDE 的面积为7.5．
（4）存在，P 1（732），P 2（4732），P 3（3，﹣32），P 4（5，﹣32
）． 【解析】（1）∵二次函数y=12x 2+bx+c 的图象过A （2，0），B （8，6） ∴2212+20218+862
b c b c ⎧⨯+=⎪⎪⎨⎪⨯+=⎪⎩，解得46b c =-⎧⎨=⎩，∴二次函数解析式为：y=12x 2﹣4x+6； （2）由y=
12x 2﹣4x+6，得y=12
（x ﹣4）2﹣2，∴函数图象的顶点坐标为（4，﹣2）， ∵点A ，D 是y=12x 2+bx+c 与x 轴的两个交点，又∵点A （2，0），对称轴为x=4， ∴点D 的坐标为（6，0）；
（3）∵二次函数的对称轴交x 轴于C 点．∴C 点的坐标为（4，0）∵B （8，6），
设BC 所在的直线解析式为y=kx+b ，∴4086k b k b +=⎧⎨+=⎩解得326
k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ∴BC 所在的直线解析式为y=
32x ﹣6，∵E 点是y=32x ﹣6与y=12x 2﹣4x+6的交点，∴32x ﹣6=12
x 2﹣4x+6，解得x 1=3，x 2=8（舍去），当x=3时，y=﹣3，∴E （3，﹣32
）， ∴△BDE 的面积=△CDB 的面积+△CDE 的面积=12×2×6+12×2×32=7.5． （4）存在，
设点P 到x 轴的距离为h ，
∵S △BCD =
12×2×6=6，S △ADP =12×4×h=2h ，∵S △ADP =12S △BCD ，∴2h=6×12，解得h=32
，
当P 在x 轴上方时，32=12
x 2﹣4x+6，解得x 1x 2=4 当P 在x 轴下方时，﹣32=12
x 2﹣4x+6，解得x 1=3，x 2=5，
∴P 1（32），P 2（432），P 3（3，﹣32），P 4（5，﹣32）．。