2020-2021郑州中学高三数学下期中第一次模拟试卷带答案

2020-2021郑州中学高三数学下期中第一次模拟试卷带答案
一、选择题
1．数列{}n a 满足()11n
n n a a n ++=-⋅，则数列{}n a 的前20项的和为( )
A ．100
B ．-100
C ．-110
D ．110
2．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为（ ） A ．65
B ．184
C ．183
D ．176
3．设x y ，满足约束条件10102
x y x y y -+≤⎧⎪+-⎨⎪≤⎩
＞，则y
x 的取值范围是（ ）
A ．()[),22,-∞-+∞U
B ．(]2,2-
C ．(][),22,-∞-+∞U
D ．[]22-,
4．若a 、b 、c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－
，则2a ＋b ＋c 的最小值为( ) A
．1 B
．1 C ．
＋2
D ．
2
5．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，若26442,S 6a S a =-=，则5a = A ．4
B ．10
C ．16
D ．32
6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知(a 4－1)3
＋2 016(a 4－1)＝1，(a 2 013－1)3
＋2 016·(a 2 013－1)＝－1，则下列结论正确的是( ) A ．S 2 016＝－2 016，a 2 013>a 4 B ．S 2 016＝2 016，a 2 013>a 4 C ．S 2 016＝－2 016，a 2 013<a 4 D ．S 2 016＝2 016，a 2 013<a 4
7．设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和，若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ） A ．2
B ．-2
C ．
12
D ．12
-
8．河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟．现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{}n a ，则()235log a a ⋅的值为（ ） A ．8
B ．10
C ．12
D ．16
9．已知0,0x y >>，且91x y +=，则11
x y
+的最小值是 A ．10
B ．12?
C ．14
D ．16
10．设{}n a 是首项为1a ，公差为-2的等差数列，n S 为其前n 项和，若1S ，2S ，4S 成等比数列，则1a = ( ) A ．8
B ．-8
C ．1
D ．-1
11．,x y 满足约束条件362000
x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为
12，则23
a b
+的最小值为 ( ) A ．
256
B ．25
C ．
253
D ．5
12．已知数列{}n a 的前n 项和2
n S n n =-，数列{}n b 满足1
sin
2
n n n b a π+=，记数列{}n b 的前n 项和为n
T
，则2017T =（ ） A ．2016
B ．2017
C ．2018
D ．2019
二、填空题
13．设
，
，若
，则
的最小值为_____________.
14．已知()()0f x kx k =>，若正数a 、b 满足()()()()f a f b f a f b +=，且
4a b f f k k ⎛⎫⎛⎫
+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的最小值为1，则实数k 的值为______． 15．已知等比数列{}n a 的公比为2,前n 项和为n S ,则
4
2
S a =______. 16．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan tan 2tan b B b A c B +=-，且
8a =，73b c +=ABC V 的面积为______．
17．已知实数x ，y 满足不等式组203026x y x y x y -≤⎧⎪
+-≥⎨⎪+≤⎩
，则2z x y =-的最小值为__________．
18．已知关于x 的一元二次不等式ax 2
+2x+b ＞0的解集为{x|x≠c}，则227
a b a c
+++（其中
a+c≠0）的取值范围为_____．
19．已知实数,x y 满足240{220330x y x y x y -+≥+-≥--≤，
，，
则22
x y +的取值范围是 .
20．若直线
1(00)x y
a b a b
+=＞，＞过点（1,2）,则2a+b 的最小值为______. 三、解答题
21．设函数()1
12
f x x =+＋|x |(x ∈R)的最小值为a . (1)求a ；
(2)已知两个正数m ，n 满足m 2＋n 2＝a ，求
11
m n
+的最小值. 22．已知000a b c ＞，＞，＞，函数().f x a x x b c =-+++ (1)当1a b c ===时,求不等式()3f x ＞的解集；
(2)当()f x 的最小值为3时,求
111
a b c
++的最小值. 23．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且
222sin sin sin sin A C B A C +-．
（1）求角B ；
（2）点D 在线段BC 上，满足DA DC =，且11a =，cos()A C -=DC 的长．
24．设数列{}n a 满足12a = ，12n
n n a a +-= ；数列{}n b 的前n 项和为n S ，且
21
32
n S n n =-（）
（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；
（2）若n n n c a b = ，求数列{}n c 的前n 项和n T ．
25．已知向量()
1
sin 2A =，m 与()
3sin A A =，
n 共线，其中A 是△ABC 的内角． （1）求角A 的大小；
（2）若BC=2，求△ABC 面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状. 26．设函数2
()1f x mx mx =--．
(1)若对于一切实数x ，()0f x <恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于[1,3]x ∈，()0f x <恒成立，求实数m 的取值范围．
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一、选择题
1．B 解析：B 【解析】 【分析】
数列{a n }满足1(1)n
n n a a n ++=-⋅，可得a 2k ﹣1+a 2k ＝﹣（2k ﹣1）．即可得出．
【详解】
∵数列{a n }满足1(1)n
n n a a n ++=-⋅，∴a 2k ﹣1+a 2k ＝﹣（2k ﹣1）．
则数列{a n }的前20项的和＝﹣（1+3+……+19）()
101192
⨯+=-=-100．
故选：B ． 【点睛】
本题考查了数列递推关系、数列分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
2．B
解析：B 【解析】
分析：将原问题转化为等差数列的问题，然后结合等差数列相关公式整理计算即可求得最终结果.
详解：由题意可得，8个孩子所得的棉花构成公差为17的等差数列，且前8项和为996， 设首项为1a ，结合等差数列前n 项和公式有：
81187
8828179962
S a d a ⨯=+
=+⨯=， 解得：165a =，则81765717184a a d =+=+⨯=. 即第八个孩子分得斤数为184. 本题选择B 选项.
点睛：本题主要考查等差数列前n 项和公式，等差数列的应用，等差数列的通项公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据题意，作出可行域，分析y
x
的几何意义是可行域内的点(),x y 与原点O 连线的斜率，根据图象即可求解. 【详解】
作出约束条件表示的可行域，如图所示，
y
x 的几何意义是可行域内的点(),x y 与原点O 连线的斜率，由102
x y y -+=⎧⎨=⎩，得点A 的坐标为()1,2，所以2OA k =，同理，2OB k =-，
所以
y
x 的取值范围是()[),22,-∞-+∞U . 故选：A 【点睛】
本题考查简单的线性规划，考查斜率型目标函数问题，考查数形结合思想，属于中等题型.
4．D
解析：D 【解析】
由a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－3， 得(a ＋c )·(a ＋b )＝4－3 ∵a 、b 、c >0.
∴(a ＋c )·(a ＋b )≤2
2b c 2a ++⎛⎫ ⎪
⎝⎭
(当且仅当a ＋c ＝b ＋a ，即b ＝c 时取“＝”)，
∴2a ＋b ＋c 423－＝31)＝3－2. 故选：D
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误
5．C
解析：C 【解析】
由64S S -=6546a a a +=得，()
22
460,60q q a q q +-=+-=，解得2q =，从而
3522=28=16a a =⋅⨯，故选C.
6．D
解析：D 【解析】
∵(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＝1，(a 2 013－1)3＋2 016(a 2 013－1)＝－1，
∴(a 4－1)3＋2 016(a 4－1)＋(a 2 013－1)3＋2 016(a 2 013－1)＝0， 设a 4－1＝m ，a 2 013－1＝n ， 则m 3＋2 016m ＋n 3＋2 016n ＝0， 化为(m ＋n )·
(m 2＋n 2－mn ＋2 016)＝0， ∵2
222132?0162016024m n mn m n n ⎛⎫=-++> ⎪⎝
⎭＋－＋，
∴m ＋n ＝a 4－1＋a 2 013－1＝0， ∴a 4＋a 2 013＝2，
∴()
()
120164201320162016201620162
2
a a a a S ++=
=
=.
很明显a 4－1>0，a 2 013－1<0，∴a 4>1>a 2 013， 本题选择D 选项.
7．D
解析：D 【解析】 【分析】
把已知2
214S S S =用数列的首项1a 和公差d 表示出来后就可解得1a ．，
【详解】
因为124S S S ，，成等比数列，所以2214S S S =，即2
11111(21)(46).2
a a a a -=-=-，
故选D. 【点睛】
本题考查等差数列的前n 项和，考查等比数列的性质，解题方法是基本量法．本题属于基础题．
8．C
解析：C 【解析】 【分析】
数列{}n a ，是等比数列，公比为2，前7项和为1016，由此可求得首项1a ，得通项公式，从而得结论． 【详解】
Q 最下层的“浮雕像”的数量为1a ，依题有：公比(
)7
17
122,7,101612
a q n S -===
=-，解
得18a =，则()
12
*822
17,n n n a n n N -+=⨯=≤≤∈，57352,2a a ∴==，从而()()
571212352352222,log log 212a a a a ⋅=⨯=∴⋅==，故选C ．
【点睛】
本题考查等比数列的应用．数列应用题求解时，关键是根据题设抽象出数列的条件，然后
利用数列的知识求解．
9．D
解析：D 【解析】 【分析】
通过常数代换后，应用基本不等式求最值. 【详解】
∵x ＞0，y ＞0，且9x+y=1，
∴
()111199911016y x x y x y x y x y ⎛⎫+=+⋅+=+++≥+= ⎪⎝⎭
当且仅当9y x x y =时成立，即11
,124
x y =
=时取等号. 故选D. 【点睛】
本题考查了应用基本不等式求最值；关键是注意“1”的整体代换和几个“=”必须保证同时成立.
10．D
解析：D 【解析】 【分析】
利用等差数列的通项公式，以及等比中项公式和前n 项和公式，准确运算，即可求解. 【详解】
由题意，可得等差数列{}n a 的通项公式为11(1)(2)2(1)n a a n a n =+-⨯-=--， 所以112141,22,412S a S a S a ==-=-，
因为1S ，2S ，4S 成等比数列，可得2
111(22)(412)a a a -=-，解得11a =-.
故选：D . 【点睛】
本题主要考查了等差数列通项公式，以及等比中项公式与求和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和等比中项公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
11．A
解析：A 【解析】 【分析】
先画不等式组表示的平面区域，由图可得目标函数(0,0)z ax by a b =+>>何时取最大值，进而找到a b ，之间的关系式236,a b +=然后可得23123
()(23)6a b a b a b
+=++，化简变形用基本不等式即可求解。

【详解】
不等式组表示的平面区域如图，由360
20
x y x y --=⎧⎨
-+=⎩得点B 坐标为
B （4,6）.由图可知当直线z ax by =+经过点B （4,6）时，Z 取最大值。

因为目标函数
(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，所以4612,a b +=即236,a b +=
所以
2312316616625
()(23)(13)(132)6666
a b a b a b a b a b b a b a +=++=++≥+⨯=。

当且仅当66236a b
b a a b ⎧=⎪
⎨⎪+=⎩
即65a b ==时，上式取“=”号。

所以当65a b ==时，23a b +取最小值25
6。

故选A 。

【点睛】
利用基本不等式2a b ab +≥可求最大（小）值，要注意“一正，二定，三相等”。

当
a b ，都取正值时，（1）若和+a b 取定值，则积ab 有最大值；（2）若积ab 取定值时，
则和 +a b 有最小值。

12．A
解析：A 【解析】 【分析】
由2
n S n n =-得到22n a n =-，即n b =2(1)cos
2
n n π
-，利用分组求和法即可得到结果. 【详解】
由数列{}n a 的前n 项和为2
n S n n =-，
当1n =时，11110a S ==-=；
当2n …时，1n n n a S S -=-22
(1)(1)22n n n n n ⎡⎤=-----=-⎣⎦，
上式对1n =时也成立， ∴22n a n =-， ∴cos
2n n n b a π==2(1)cos 2
n n π
-，
∵函数cos 2
n y π=的周期24
2
T π
π==，
∴()2017152013T b b b =++++L (26b b +)
2014b ++L ()()3720154820162017b b b b b b b +++++++++L L
02(152013)0=-+++++L 2(3+72015)045042016+++=⨯=L ，
故选：A. 【点睛】
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，利用分组法求数列的和，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．
二、填空题
13．3+22【解析】【分析】由已知可得a-1+b=1从而有2a-1+1b=(2a-1+1b)(a-1+b)展开后利用基本不等式即可求解【详解】由题意因为a>1b>2满足a+b=2所以a-1+b=1且a- 解析：
【解析】 【分析】 由已知可得，从而有
，展开后利用基本不
等式，即可求解. 【详解】 由题意，因为满足
， 所以，且
，
则
，
当且仅当且
，即
时取得最小值
.
【点睛】
本题主要考查了利用基本不等式求最值问题的应用，其中解答中根据题意配凑基本不等式的使用条件，合理利用基本不等式求得最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
14．9【解析】【分析】由求出满足的关系然后利用基本不等式求出的最小值再由最小值为1可得【详解】∵∴即∴当且仅当时等号成立∴故答案为：9【点睛】本题考查基本不等式求最值解题时需用凑配法凑出基本不等式所需的
解析：9 【解析】
【分析】
由()()()()f a f b f a f b +=求出,a b 满足的关系，然后利用基本不等式求出
4()()a b
f f k k +的最小值，再由最小值为1可得k ． 【详解】
∵()()()()f a f b f a f b +=，()f x kx =,∴ka kb ka kb +=⋅，即11
k a b
+=， ∴4()()a b f f k k +111144()(4)(5)a b a b a b k a b k b a =+=++=+
+19(5k k
≥+=，当且仅当4a b b a
=时等号成立． ∴
9
1k
=，9k =． 故答案为：9． 【点睛】
本题考查基本不等式求最值．解题时需用凑配法凑出基本不等式所需的定值，然后才可用基本不等式求最值，同时还要注意等号成立的条件，等号成立的条件取不到，这个最值也取不到．
15．【解析】由等比数列的定义S4=a1＋a2＋a3＋a4=＋a2＋a2q ＋a2q2得＋1＋q ＋q2=
解析：
152
【解析】
由等比数列的定义，S 4=a 1＋a 2＋a 3＋a 4=2
a q
＋a 2＋a 2q ＋a 2q 2，
得
42S a =1q ＋1＋q ＋q 2=152
. 16．【解析】【分析】由正弦定理和三角函数公式化简已知式子可得cosA 的值由余弦定理可求64=（b+c ）2﹣bc 求bc 即可得三角形的面积【详解】∵在△ABC 中btanB+btanA=﹣2ctanB ∴由正弦
解析：
4
【解析】 【分析】
由正弦定理和三角函数公式化简已知式子可得cosA 的值，由余弦定理可求64=（b +c ）2﹣bc ，求bc ，即可得三角形的面积． 【详解】
∵在△ABC 中btanB +btanA=﹣2ctanB ，
∴由正弦定理可得sinB （tanA +tanB ）=﹣2sinCtanB ，
∴sinB （tanA+tanB ）=﹣2sinC•sinB
cosB
， ∴cosB （tanA+tanB ）=﹣2sinC ，
∴cosB （sinA cosA +sinB
cosB
）=﹣2sinC ， ∴cos B•sinAcosB cosAsinB
cosAcosB
+=﹣2sinC ，
∴cosB•
()sin A B cosAcosB
+=
sinC
cosA
=﹣2sinC ， 解得cosA=﹣
12，A=23
π； ∵a=8，73,b c +=由余弦定理可得：64=b 2+c 2+bc=（b+c ）2﹣bc ， ∴bc=9
∴△ABC 的面积为S =
12bcsinA=1392⨯⨯=93
， 故答案为
93． 【点睛】
本题考查正、余弦定理解三角形，涉及同角三角函数基本关系和三角形的面积公式，属于中档题．
17．-6【解析】由题得不等式组对应的平面区域为如图所示的△ABC 当直线经过点A(03)时直线的纵截距最大z 最小所以故填-6
解析：-6 【解析】
由题得不等式组对应的平面区域为如图所示的△ABC,当直线122
z
y x =
-经过点A(0，3)
时，直线的纵截距2
z
-
最大，z 最小.所以min 023 6.z =-⨯=-故填-6. 18．（﹣∞﹣6∪6+∞）【解析】【分析】由条件利用二次函数的性质可得ac=
﹣1ab=1即c=-b 将转为（a ﹣b ）+利用基本不等式求得它的范围【详解】因为一元二次不等式a x2+2x+b ＞0的解集为{x|x
解析：（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞） 【解析】 【分析】
由条件利用二次函数的性质可得ac=﹣1，ab=1, 即c=-b 将227
a b a c +++转为（a ﹣b ）
+
9
a b -，利用基本不等式求得它的范围． 【详解】
因为一元二次不等式ax 2+2x+b ＞0的解集为{x|x≠c}，由二次函数图像的性质可得a ＞0，二次函数的对称轴为x=1
a
-
=c ，△=4﹣4ab=0， ∴ac=﹣1，ab=1，∴c=1a
-
，b=1
a ，即c=-b,
则227a b a c +++=()2
9
a b a b
-+-=（a ﹣b ）+9a b -，
当a ﹣b ＞0时，由基本不等式求得（a ﹣b ）+
9
a b
-≥6， 当a ﹣b ＜0时，由基本不等式求得﹣（a ﹣b ）﹣
9a b -≥6，即（a ﹣b ）+9a b
-≤﹣6, 故227
a b a c
+++（其中a+c≠0）的取值范围为：（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞），
故答案为（﹣∞，﹣6]∪[6，+∞）． 【点睛】
本题主要考查二次函数图像的性质，考查利用基本不等式求最值.
19．【解析】【分析】【详解】画出不等式组表示的平面区域由图可知原点到直线距离的平方为的最小值为原点到直线与的交点距离的平方为的最大值为因此的取值范围为【考点】线性规划【名师点睛】线性规划问题首先明确可行 解析：4[,13]5
【解析】 【分析】 【详解】
画出不等式组表示的平面区域，
由图可知原点到直线220x y +-=距离的平方为22
x y +的最小值，为24
55
=，原点
到直线24=0x y -+与33=0x y --的交点(2,3)距离的平方为2
2x y +的最大值为13，因
此2
2x
y +的取值范围为4
[,13].5
【考点】 线性规划 【名师点睛】
线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线（一般不涉及虚线），其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数最值或值域范围.
20．【解析】当且仅当时取等号点睛：在利用基本不等式求最值时要特别注意拆拼凑等技巧使其满足基本不等式中正(即条件要求中字母为正数)定(不等式的另一边必须为定值)等(等号取得的条件)的条件才能应用否则会出现 解析：8
【解析】
12124412(2)()448b a b a a b a b a b a b a b a b
+=∴+=++=++≥+⋅=Q
，当且仅当2b a = 时取等号.
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
三、解答题
21．(1)1a =；(2)22 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：
（1）根据单调性求出()f x 的最小值，即可求出a 的值； （2）根据基本不等式的性质求出其最小值即可. 试题解析：
(1)f(x)＝
当x ∈(－∞，0)时，f(x)单调递减； 当x ∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增； ∴当x ＝0时，f(x)的最小值a ＝1. (2)由(1)知m 2＋n 2＝1，则m 2＋n 2≥2mn ，得≥2，
由于m>0，n>0， 则＋≥2
≥2
，当且仅当m ＝n ＝时取等号. ∴＋的最小值为2
.
22．（1）{|11}x x x <->或；（2）3 【解析】 【分析】
（1）通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；
（2）先用绝对值不等式的性质求出最小值为a +b +c ＝3，然后用基本不等式可得． 【详解】
（1）()111f x x x =-+++， ∴1123x x ≤-⎧⎨
->⎩或1133x -<<⎧⎨>⎩或1
213x x ≥⎧⎨+>⎩
，
解得{|11}x x x 或-.
（2）f x x a x b c =-+++ a x x b c a b c ≥-+++=++ 3a b c =++=，
()11111113a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭ 133b a c a c b a b a c b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
()1
322233
≥
+++=. 当且仅当1a b c ===时取得最小值3. 【点睛】
绝对值不等式的解法：
法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 23．（Ⅰ）6
B π
=;
（Ⅱ）5AD =．
【解析】
【试题分析】（1
）运用正弦定理将已知中的222sin sin sin sin A C B A C +-=等式转化为边的关系，再借助运用余弦定理求解；（2）借助题设条件DA DC =，且11a =，
(
)cos A C -=
，再运用正弦定理建立方程求解：
（Ⅰ）由正弦定理和已知条件，222a c b +-=
所以cos B =． 因为()0,B π∈，所以6
B π
=
．
（Ⅱ）由条件．由(
)(
)cos sin A C A C -=
⇒-=
．设AD x =，则CD x =，11BD x =-，在ABD ∆中，由正弦定理得
sin sin BD AD
BAD B
=∠
．故
512x
x =⇒=
．所以5AD DC ==． 24．（1）2n
n a =，32n b n =-；（2）()110352n n T n +=+-⋅
【解析】 【分析】
（1）分别利用累加法、数列的递推公式得到数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式． （2）利用数列求和的错位相减即可得到数列{}n c 的前n 项和n T ． 【详解】
（1）1
212a a -=Q ， 2322a a -=，
3432a a -= ，……，112n n n a a ---= ，
以上1n - 个式子相加得：
(
)1
1231121222222
212
n n n
n a a ----=+++?
=
=--
2n n a ∴=
当2n ≥ 时，1n n n b S S -=-
=21
32n n （）
-2
13[112
]n n （）（）---- 32n =-
当1n = 时，111b S == ，符合上式，
32n b n \=-；
（2）322n n n n c a b n ==
-?Q （） 123124272322n n T n =???+-?L （） ① 23412124272322n n T n +=???+-?L （） ② ①-②得23123222322n n n T n +-=++++--?L （
）（） (
)1
4122312
n --=+⨯
-1322n n +--?（
）
110532n n +=-+-?（）
110352n n T n +\=+-?（）
【点睛】
已知1()n n a a f n +=+ 求数列的通项公式时，可采用累加法得到通项公式，通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式（等差等比数列相乘）的前n 项和采用错位相减法． 25．（1）π
3
A =（2）△ABC 为等边三角形 【解析】
分析：（1）由//m n u r r
，得3
sin (sin )02
A A A ⋅-=，利用三角恒等变换的公式，
求解πsin 216A ⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭
，进而求解角A 的大小； （2）由余弦定理，得22
4b c bc =+-和三角形的面积公式，利用基本不等式求得
4bc ≤，即可判定当b c =时面积最大，得到三角形形状．
详解：（1）因为m//n,
所以()
3
sin sin 02
A A A ⋅-=.
所以
1cos230222A A -+-=
，即1
sin2cos2122
A A -=， 即 πsin 216A ⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭
. 因为()0,πA ∈ , 所以ππ11π2666A ⎛⎫
-∈- ⎪⎝⎭
，. 故ππ262A -
=，π
3
A =. （2）由余弦定理，得 22
4b c bc =+-
又1sin 2ABC S bc A ∆=
=，
而222424b c bc bc bc bc +≥⇒+≥⇒≤，（当且仅当b c =时等号成立）
所以1sin 42ABC S bc A ∆=
=≤=. 当△ABC 的面积取最大值时，b c =.又π
3
A =
，故此时△ABC 为等边三角形 点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题. 26．(1) 40m -<≤．(2) 16
m < 【解析】 【分析】
(1)利用判别式可求实数m 的取值范围，注意二次项系数的讨论.
(2)就0,0,0m m m <=>三种情况讨论函数的最值后可得实数m 的取值范围. 【详解】
解：(1)要使210mx mx --<恒成立， 若0m =，显然10-<；
若0m ≠，则有2
040m m m <⎧
⎨∆=+<⎩
，40m ∴-<<， ∴40m -<≤．
(2)当0m =时，()10f x =-<显然恒成立；
当0m ≠时，该函数的对称轴是12
x =
，2
()1f x mx mx =--在[1,3]x ∈上是单调函数． 当0m >时，由于(1)10f =-<，要使()0f x <在[1,3]x ∈上恒成立，
只要(3)0f <即可,即9310m m --<得16m <，即1
06
m <<； 当0m <时，由于函数()0f x <在[1,3]x ∈上恒成立，只要(1)0f <即可，
此时(1)10f =-<显然成立. 综上可知16
m <． 【点睛】
一元二次不等式的恒成立问题，可以转化为函数的最值进行讨论，必要时需要考虑对称轴的不同位置.。