2023年江苏省扬州市中考数学试卷(含答案)064614

2023年江苏省扬州市中考数学试卷试卷
考试总分：144 分 考试时间： 120 分钟
学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________
一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计24分 ）
1. 绝对值为的实数共有（ ）
A.个
B.个
C.个
D.个
2. 计算的结果是（ ）
A.B.C.D.
3. 某班有人，其中三好学生人，优秀学生干部人，在统计图上表示，能清楚地看出各部分与总
数之间的百分比关系的是（ ）
A.条形统计图
B.扇形统计图
C.折线统计图
D.以上均可以
4. 下列各图是正方体展开图的是( ) A. B. C.
101243⋅(−)a 3a 23a 5
−3a 5
3a 6
−3a 6
50105
D.
5. 在，，，这四个数中，最小的数是（ ）
A.B.C.D.
6. 若，则函数与在同一直角坐标系中的图象可能是
A.
B.
C.
D.
7. 已知三角形的两边长分别为和，且第三边长为整数，则第三边长为（ ）
A.B.C.D.
8. 若抛物线的顶点在第一象限，则的取值范围为
A.B.C.D.二、 填空题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）−2012–√−2
1
2
–√ab >0y =ax+b y =b
x ()143
4
5
6
y =(x−m +(m+1))2m ()
m>1
m>0
m>−1
−1<m<0
9. 年全国普通高考参加考试人数为人，将用科学记数法表示为________．
10. 分解因式：＝________．
11. 如图，，，，是五边形的外角，且＝＝＝＝，则＝________
．
12. 如图，这是一幅长为，宽为的长方形世界杯宣传画．为测量宣传画上世界杯图案的面积，
现将宣传画平铺在地上，向长方形宣传画内随机投掷骰子（假设骰子落在长方形内的每一点都是等
可能的），经过大量重复投掷试验，发现骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数附近，由此可估计宣传画上世界杯图案的面积约为
________．
13. 若一元二次方程有两个不相同的实数根，则实数m 的取值范围是________.
14. 如图，点为正六边形的中心，点为中点，以点为圆心，以的长为半径画
弧得到扇形，点在上；以点为圆心，以的长为半径画弧得到扇形．把扇形
的两条半径，重合，围成圆锥，将此圆锥的底面半径记为；将扇形以同样方法
围成的圆锥的底面半径记为，则________．
15. 某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积
的反比例函数，且当时，，当气球内的气压大于时，气球将
爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积最小应为________.
16. 年月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽弦图它
是由四全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，
如果大正方形 的面积是，小正方形的面积是，直角三角形的短直角边为，较
长直角边为，下列说法：
①；②；③；④．
其中正确结论序号是________．
17. 如图，在中，，．按以下步骤作图：①以点为圆心，小于的长为半径画弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交边于点．则的度数为________．
20201071000010710000−4+4m m 3m 2∠1∠2∠3∠4ABCDE ∠1∠2∠3∠470∘∠CDE 3m 2m 0.4m 2−2x+m=0x 2O ABCDEF M AF O OM MON N BC E DE DEF MON OM ON r 1DEF r 2:=r 1r 2P(Pa)V()m 3V =1.5m 3P =16000Pa 40000Pa m 320028131a b +=13a 2b 2=1b 2−=12a 2b 2ab =6△ABC ∠C =90∘∠CAB =50∘A AC AB AC E F E F EF 12G AG BC D ∠ADC
18. 如图，抛物线的顶点在轴的负半轴上，正方形的两个顶点A ，在该抛物线上，则的值是________.
三、 解答题 （本题共计 10 小题 ，每题 9 分 ，共计90分 ）
19.
用配方法解方程：.计算：.
20. 解不等式组： 并把不等式组的解集在数轴上表示出来． 21. 为了参加“中小学生诗词大会”，某校八年级的两班学生进行了预选，其中班上前名学生的成绩
（百分制）分别为：八班：，八班：，通过数据分析，列表如
下：
班级平均分中位数众数方差
八班八班求表中，，，的值；
根据以上数据分析，你认为哪个班前名同学的成绩较好？请说明理由．
22. 第一盒中有个白球、个黄球，第二盒中有个白球、个黄球，这些球除颜色外无其他差别．
若从第一盒中随机取出个球，则取出的球是白球的概率是________．
若分别从每个盒中随机取出个球，请用列表或画树状图的方法求取出的两个球中恰好个白球、
个黄球的概率．
23. 甲、乙两个工程队承担了今年的老旧小区改造工作中的一个项目，若乙队单独工作天后，再由
两队合作天就可以完成这个项目，已知乙队单独完成这个项目所需天数是甲队单独完成这个项目所
需天数的倍．
求甲，乙两个工程队单独完成这个项目各需多少天；
甲工程队一天的费用是万元，乙工程队一天的费用是万元，若甲乙合作天后剩余工作由乙队单
独完成，求这个项目总共要支出的工程费用．（单位：万元）
24. 如图，在平行四边形中，、分别在、边上，且＝．求证：四边形
是平行四边形．
y =+c 12x 2B y OABC C c (1)2−4x =1x 2(2)4sin ⋅tan −660∘30∘cos 245∘ 2x+5≤3(x+2)，①2x−<1，②3x+12
5(1)85,86,82,91,86(2)80,85,85,92,88(1)86
b 86d (2)a 85
c 15.6
(1)a b c d (2)52111(1)1(2)111372(1)(2)735ABCD E F AD BC AE CF BFDE
25. 如图，已知，以为直径的交于点，连接，的平分线交于点，
交于点，且．
判断所在直线与的位置关系，并说明理由；
若，，求的半径． 26. 有，两个发电厂，每焚烧一吨垃圾，发电厂比发电厂多发度电，焚烧吨垃圾比焚
烧吨垃圾少度电．
求焚烧吨垃圾，和各发电多少度？
，两个发电厂共焚烧吨的垃圾，焚烧的垃圾不多于焚烧的垃圾两倍，求厂和厂总发电
量的最大值． 27. 如图①，在中， ，点从点 出发沿射线方向，在射线上运动．在点
运动的过程中，连接，并以为边在射线上方作等边，连接（1）当________ 时，；
（2）请添加一个条件：________，使得为等边三角形，并解决以下问题：
①如图①，当点在线段上时，求证：；②如图②，当点运动到线段的延长线上时，①中结论是否仍成立？请说明理由． 28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线，经过点、，过点作轴
的平行线交抛物线于另一点．（1）求抛物线的表达式及其顶点坐标；
（2）如图，点是第一象限中上方抛物线上的一个动点，过点作于点，作
轴于点，交于点，在点运动的过程中，的周长是否存在最大值？若存在，
求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
（3）如图，连接，在轴上取一点，使和相似，请求出符合要求的点坐标．
△ABC AB ⊙O AC D BD ∠CBD ⊙O E AC F AF =AB (1)BC ⊙O (2)tan ∠FBC =13DF =2⊙O A B A B 40A 20B 301800(1)1A B (2)A B 90A B A B △ABC ∠B =60∘M B BC BC M AM AM BC △AMN CN.
∠BAM =∘AB =2BM △ABC M BC BM =CN M BC BM =CN y =−+bx+c 12x 2A(1,3)B(0,1)A x C 1M BC MH ⊥BC H ME ⊥x E BC F M △MFH 2AB y P △ABP △ABC P
参考答案与试题解析
2023年江苏省扬州市中考数学试卷试卷
一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计24分 ）
1.
【答案】
C
【考点】
绝对值
实数的性质
【解析】
本题主要考查了实数的性质以及绝对值．
【解答】
解：绝对值为的实数共有：，，共个，
故选．
2.
【答案】
B
【考点】
单项式乘单项式
【解析】
根据单项式乘以单项式，即可解答．
【解答】
．
3.
【答案】
B
【考点】
统计图的选择
【解析】
根据题意的要求，结合统计图的特点，易得答案．
【解答】
解：根据题意，要求能清楚地看出各部分与总数之间的百分比关系，
结合统计图的特点，易得应选用扇形统计图，
故选．
4.
11−12C 3⋅(−)=−3a 3a 2a 5B
【答案】
B
【考点】
几何体的展开图
【解析】
正方体的展开图有型，型、型三种类型，其中可以左右移动．注意“一”、“”、“田”、“凹”字型的都不是正方体的展开图．
【解答】
解：，“田”字型，不是正方体的展开图，故选项错误；
，是正方体的展开图，故选项正确；
，不是正方体的展开图，故选项错误；
，不是正方体的展开图，故选项错误．
故选.
5.
【答案】
A
【考点】
实数大小比较
算术平方根
【解析】
根据正数大于，大于负数，可得答案．
【解答】
，
6.
【答案】A
【考点】
反比例函数的图象
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为，所以分两种情况：
① 当，时，一次函数数的图象过第一、二、三象限，
反比例函数图象在第一、三象限，选项符合；
②当时，一次函数的图象过第二、三、四象限，
反比例函数图象在第二、四象限，无符合选项．
故选．
7.
【答案】
1+4+12+3+13+317A B C D B 00−2<1<0<<2–√ab >0a >0b >0y =ax+b A a <0,b <0A
B
【考点】
三角形三边关系
【解析】
根据三角形的三边关系“任意两边之和第三边，任意两边之差第三边”，求得第三边的取值范围，再进一步根据第三边是整数求解．
【解答】
根据三角形的三边关系，得
第三边长，即第三边长，
又第三条边长为整数，
则第三边长为．
8.
【答案】
B
【考点】
二次函数的性质
【解析】
由抛物线解析式可求得其顶点坐标，由顶点坐标所在的象限可得到关于的不等式组，可求得的取值范围．
【解答】
解：∵，
∴抛物线顶点坐标为，
∵顶点坐标在第一象限，
∴解得.故选．
二、 填空题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）
9.
【答案】
【考点】
科学记数法--表示较大的数
【解析】
科学记数法的一般形式为：，在本题中应为，的指数为．
【解答】
解：科学记数法的一般形式为：，
故．
故答案为：.
10.
【答案】
><4−1<<4+13<<54m m y =(x−m +(m+1))2(m,m+1){m>0，m+1>0，
m>0B 1.071×107
a ×10n a 1.071108−1=7a ×10n 10710000=1.071×1071.071×107m(m−2)2
【考点】
提公因式法与公式法的综合运用
【解析】
先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】
解：.
故答案为：.
11.
【答案】
【考点】
多边形内角与外角
【解析】
根据多边形的外角和定理即可求得与相邻的外角，从而求解．
【解答】
根据多边形外角和定理得到：＝，
∴＝＝，
∴＝＝＝．
12.
【答案】
【考点】
利用频率估计概率
【解析】
本题考查的是利用频率估计概率．
【解答】
解：长方形的面积，
∵骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数附近，
∴世界杯图案占长方形世界杯宣传画的，
∴世界杯图案的面积约为：，
故答案为：．
13.
【答案】
【考点】
根的判别式
m −4+4m m 3m 2=m(−4m+4)m 2=m(m−2)2m(m−2)2100∘
∠CDE ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5360∘∠5−4×360∘70∘80∘∠CDE −∠5180∘−180∘80∘100∘2.4
=3×2=6()m 20.440%6×40%=2.4()m 22.4m<1
根据判别式的意义得到，然后解不等式即可．
【解答】
解：根据题意得，
解得．
故答案为：．14.
【答案】
【考点】
展开图折叠成几何体
圆锥的计算
【解析】
根据题意正六边形中心角为且其内角为．求出两个扇形圆心角，表示出扇形半径即可．
【解答】
解：连由已知，为中点，则∵六边形为正六边形
∴设∴，∵正六边形中心角为∴∴扇形的弧长为：则同理：扇形的弧长为：则，故答案为．
15.
【答案】【考点】
反比例函数的应用
【解析】
设函数解析式为，把代入求，再根据题意可得，解不等式可得．△=−4m>022Δ=−4m>0
22m<1m<1:2
3–√120∘120∘OA
M AF OM ⊥AF
ABCDEF ∠AOM =30∘
AM =a
AB =AO =2a OM =a
3–√60
∘∠MON =120∘
MON =πa
120∗π∗a 3–√18023–√3=a r 13–√3
DEF =πa 120∗π∗2a 18043
=a r 223:=：2r 1r 23–√:23–√0.6
P =k v y =1.5,p =16000k 24000
【解答】
解：设函数解析式为，当时， ，
，.气球内的气压大于时，气球将爆炸，∴，解得：.
即气球的体积应不小于.
故答案为：.
16.【答案】
①④
【考点】
勾股定理的证明
【解析】
根据勾股定理，知两条直角边的平方等于斜边的平方，此题中斜边的平方即为大正方形的面积，即四个直角三角形的面积和，从而判断．
【解答】
解：直角三角形的斜边长是，则，
大正方形的面积是，即，①正确；
∵小正方形的面积是，
∴，
则，即，
∴，
故④正确；
根据图形可以得到，，
而不一定成立，故②错误，进而得到③错误．
故答案是：①④
17.
【答案】
【考点】
作图—基本作图
角平分线的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：根据作图方法可得，是的角平分线，
∵，
∴，
∵，
∴.
P =
k V ∵V =1.5m 3P =16000Pa ∴k =VP =24000∴P =24000V ∵40000Pa ≤4000024000V V ≥0.60.6m 30.6132ab c =+c 2a 2b 213=+=13c 2a 2b 21b −a =1(b −a =1)2+−2ab =1a 2b 2ab =6+=13a 2b 2b −a =1b =165∘
AG ∠CAB ∠CAB =50∘∠CAD =∠CAB =12
25∘∠C =90∘∠ADC =−=90∘25∘65∘
18.
【答案】
【考点】
正方形的性质
二次函数图象上点的坐标特征
【解析】
连接交于点，根据正方形的性质得出点坐标为，代入解析式即可求得的值．
【解答】
解：如图，连接交于点
，则，，，，则点的坐标为，代入抛物线得：，解得：（舍）或.
故答案为：.
三、 解答题 （本题共计 10 小题 ，每题 9 分 ，共计90分 ）
19.
【答案】
解：方程两边同除以得，配方得，即，开方得，解得，．原式．【考点】
解一元二次方程-配方法
特殊角的三角函数值
实数的运算
【解析】
无
−4
AC OB D A (,)c 2c 2
c AC OB D B(0,c)∠ADO =90∘OD =AD D(0,)c 2A (,)c 2c 2y=+c 12x 2+c =c 28c 2c =0c =−4−4(1)2−2x =
x 212−2x+1=
+1x 212=(x−1)232
x−1=±6–√2=1+x 16–√2=1−x 26–√2(2)=4××−6×3–√23–√3()2–√22
=2−3=−1
解：方程两边同除以得，配方得，即，开方得，解得，．原式．
20.【答案】解：由①得，由②得，
∴不等式组的解集为 ，
在数轴上表示为：
【考点】
在数轴上表示不等式的解集
解一元一次不等式组
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由①得，由②得，
∴不等式组的解集为 ，
在数轴上表示为：
21.
【答案】
解：八班的平均分.
将八班的前名学生的成绩按从小到大的顺序排列为：
，，，，，则中位数.
八班的前名学生的成绩中，出现了次，次数最多，所以众数.八班的方差：.八班中位数分高于八班中位数分，说明八班成绩更好；
八班众数分高于八班众数分，说明八班成绩更好；
八班方差分低于八班方差分，说明八班成绩更稳定；
两个班平均分都是分，成绩一样.
综上得知，八班前名同学成绩较好.【考点】
方差
算术平均数
中位数
(1)2−2x =
x 212−2x+1=
+1x 212=(x−1)232
x−1=±6–√2=1+x 16–√2=1−x 26–√2(2)=4××−6×3–√23–√3()2–√22
=2−3=−1x ≥−1x <3−1≤x <3x ≥−1x <3−1≤x <3(1)(2)a =(80+85+85+92+88)÷5=86(1)58285868691b =86(2)5852c =85(1)d =
=8.41+0+16+25+05(2)(1)86(2)85(1)(1)86(2)85(1)(1)8.4(2)15.6(1)86(1)5
（）根据平均数、中位数、众数的概念及方差公式计算解答即可；
（）根据它们的平均数，中位数，众数，方差比较分析，从而可以解答本题．
【解答】
解：八班的平均分.
将八班的前名学生的成绩按从小到大的顺序排列为：
，，，，，则中位数.
八班的前名学生的成绩中，出现了次，次数最多，所以众数.八班的方差：.八班中位数分高于八班中位数分，说明八班成绩更好；
八班众数分高于八班众数分，说明八班成绩更好；
八班方差分低于八班方差分，说明八班成绩更稳定；
两个班平均分都是分，成绩一样.
综上得知，八班前名同学成绩较好.
22.【答案】画树状图为：
，
共有种等可能的结果数，取出的两个球中恰好个白球、个黄球的有种结果，
所以取出的两个球中恰好个白球、个黄球的概率为．
【考点】
列表法与树状图法
概率公式
【解析】
（1）直接利用概率公式计算可得；
（2）先画出树状图展示所有种等可能的结果数，再找出恰好个白球、个黄球的结果数，然后根据概率公式求解；
【解答】
解：若从第一盒中随机取出个球，则取出的球是白球的概率是，
故答案为：；画树状图为：，
共有种等可能的结果数，取出的两个球中恰好个白球、个黄球的有种结果，
所以取出的两个球中恰好个白球、个黄球的概率为．23.
【答案】
解：设甲工程队单独完成这个项目需要天，则乙工程队单独完成这个项目需要天，
12(1)(2)a =(80+85+85+92+88)÷5=86(1)58285868691b =86(2)5852c =85(1)d =
=8.41+0+16+25+05(2)(1)86(2)85(1)(1)86(2)85(1)(1)8.4(2)15.6(1)86(1)523(2)61131112
611(1)123
23(2)61131112
(1)x 2x
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：甲工程队单独完成这个项目需要天，乙工程队单独完成这个项目需要天．
设甲乙两队合作天后乙队还要再单独工作天，
依题意得：
，解得：，
∴（万元）．
答：这个项目总共要支出的工程费用为万元．
【考点】
分式方程的应用
【解析】
无
无
【解答】
解：设甲工程队单独完成这个项目需要天，则乙工程队单独完成这个项目需要天，依题意得：
，解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：甲工程队单独完成这个项目需要天，乙工程队单独完成这个项目需要天．
设甲乙两队合作天后乙队还要再单独工作天，依题意得：，解得：，
∴（万元）．
答：这个项目总共要支出的工程费用为万元．
24.【答案】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，＝，
∵＝，
∴＝，
即＝，
∴四边形是平行四边形．
【考点】
平行四边形的性质与判定
【解析】
欲证明四边形是平行四边形，只要证明＝，即可．
【解答】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，＝，
∵＝，
∴＝，
即＝，
∴四边形是平行四边形．25.
x =12x =122x =241224(2)5y +=15125+y 24y =97×5+3×(5+9)=7777(1)x 2x +=17x 3+72x x =12x =122x =241224(2)5y +=15125+y 24y =97×5+3×(5+9)=7777ABCD AD//BC AD BC AE CF AD−AE BC −CF DE BF BFDE BFDE DE BF DE//BF
ABCD AD//BC AD BC AE CF AD−AE BC −CF DE BF BFDE
解：所在直线与相切；
理由：∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线.
∵平分，
∴，
∴，∵，∴，
设，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴的半径为．
【考点】
切线的判定
解直角三角形
直线与圆的位置关系
【解析】
【解答】
解：所在直线与相切；
理由：∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线.
∵平分，
∴，
∴，
∵，∴，
设，
∴，
∵，
(1)BC ⊙O AB ⊙O ∠ADB=90∘AB=AF ∠ABF=∠AFB BF ∠DBC ∠DBF =∠CBF ∠ABD+∠DBF =∠CBF +∠C ∠ABD=∠C ∠A+∠ABD=90∘∠A+∠C =90∘∠ABC=90∘AB ⊥BC BC ⊙O (2)BF ∠DBC ∠DBF =∠CBF tan ∠FBC =tan ∠DBF ==DF BD 13
DF =2BD =6AB=AF =x AD=x−2AB 2=A +B D 2D 2x 2=(x−2+)262x=10AB=10⊙O 5(1)BC ⊙O AB ⊙O ∠ADB=90∘AB=AF ∠ABF=∠AFB BF ∠DBC ∠DBF =∠CBF ∠ABD+∠DBF =∠CBF +∠C ∠ABD=∠C ∠A+∠ABD=90∘∠A+∠C =90∘∠ABC=90∘AB ⊥BC BC ⊙O (2)BF ∠DBC ∠DBF =∠CBF tan ∠FBC =tan ∠DBF ==DF BD 13
DF =2BD =6AB=AF =x AD=x−2AB 2=A +B D 2D 2
解得：，
∴，
∴的半径为．
26.
【答案】
解：设焚烧吨垃圾，发电厂发电度，发电厂发电度，根据题意得：
解得答：焚烧吨垃圾，发电厂发电度，发电厂发电度；
设发电厂焚烧吨垃圾，则发电厂焚烧吨垃圾，总发电量为度，则
，
∵，
∴，
∵随的增大而增大，
∴当时，有最大值为：（元）．
答：厂和厂总发电量的最大是度．
【考点】
一次函数的应用
由实际问题抽象出二元一次方程组
【解析】
（1）设焚烧吨垃圾，发电厂发电度，发电厂发电度，根据“每焚烧一吨垃圾，发电厂比发电厂多发度电，焚烧吨垃圾比焚烧吨垃圾少度电”列方程组解答即可；
（2）设发电厂焚烧吨垃圾，则发电厂焚烧吨垃圾，总发电量为度，得出与之间的函数关系式以及的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可．
【解答】
解：设焚烧吨垃圾，发电厂发电度，发电厂发电度，根据题意得：解得答：焚烧吨垃圾，发电厂发电度，发电厂发电度；
设发电厂焚烧吨垃圾，则发电厂焚烧吨垃圾，总发电量为度，则
，
∵，
∴，
∵随的增大而增大，
∴当时，有最大值为：（元）．
答：厂和厂总发电量的最大是度．
27.【答案】
(1)解：(2)（答案不唯一）；
①∵与都是等边三角形，
，，
，
即，
∵在与中，
x=10AB=10⊙O 5(1)1A a B b { a −b =40,30b −20a =1800,{ a =300,b =260,
1A 300B 260(2)A x B (90−x)y y =300x+260(90−x)
=40x+23400x ≤2(90−x)x ≤60y x x =60y 40×60+23400=25800A B 258001A x B y A B 40A 20B 301800A x B (90−x)y y x x (1)1A a B b {
a −
b =40,30b −20a =1800,{ a =300,b =260,
1A 300B 260(2)A x B (90−x)y y =300x+260(90−x)=40x+23400x ≤2(90−x)x ≤60y x x =60y 40×60+23400=25800A B 2580030
AB =AC △ABC △AMN ∴AB =AC ，AM =AN ∠BAC =∠MAN =60∘∴∠BAC −∠MAC =∠MAN −∠MAC ∠BAM =∠CAN △BAM △CAN AB =AC
，
；
②成立．
理由：∵与都是等边三角形，
， ，
，即，
∵在与中，
，
．
【考点】
三角形综合题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)当时，
，
．
故答案为：．
(2)故答案为：（答案不唯一）；
①∵与都是等边三角形，
，，
，
即，
∵在与中，
，
；
②成立．
理由：∵与都是等边三角形，
， ，
，即，
∵在与中，
，
．
28.
【答案】
将，，代入，
，解得，，
∴抛物线的解析式为，
∴顶点坐标为；延长交轴于点，由对称性得．则＝，＝，
设直线的解析式为＝，则有，解得，∴△BAM ≅△CAN (SAS)∴BM =CN △ABC △AMN ∴AB =AC ，AM =AN ∠BAC =∠MAN =60∘∴∠BAC +∠MAC =∠MAN +∠MAC ∠BAM =∠CAN △BAM △CAN AB =AC
∠BAM =∠CAN ，
AM =AN
∴△BAM ≅△CAN (SAS)∴BM =CN ∠BAM =30∘∴∠AMB =−−=180∘60∘30∘90∘∴AB =2BM 30AB =AC △ABC △AMN ∴AB =AC ，AM =AN ∠BAC =∠MAN =60∘∴∠BAC −∠MAC =∠MAN −∠MAC ∠BAM =∠CAN △BAM △CAN AB =AC
∠BAM =∠CAN ，
AM =AN
∴△BAM ≅△CAN (SAS)∴BM =CN △ABC △AMN ∴AB =AC ，AM =AN ∠BAC =∠MAN =60∘∴∠BAC +∠MAC =∠MAN +∠MAC ∠BAM =∠CAN △BAM △CAN AB =AC
∠BAM =∠CAN ，
AM =AN
∴△BAM ≅△CAN (SAS)∴BM =CN A(1,3)B(0,1)y =−+bx+c 12
x 2 −+b +c =312c =1
b =52
c =1
y =−+x+1
12x 252(,)52338CA y D C(4,3)CD 4BD 2BC y kx+m { 4k +m=3m=1
k =12
m=1
1
设，则，∴＝，∵于点，轴，
∴＝，＝，
∴＝，∴在和中，
，
∴，∴＝，∴，，∴的周长＝，当＝时，的周长最大，最大值为 ，此时点的坐标为．∵，为公共角，∴．
∴＝．当＝时，，∵，，＝，
∴，∴．当＝时，，∴，∴，∴，综上所述满足条件的点有，．【考点】
二次函数综合题
【解析】
（1）将，，代入抛物线，即可得出答案；（2）延长交轴于点，由点可求得，由＝，设，求得，则，由勾股定理得，，所以的周长可用表示，最后利用二次函数的性质解决问题；（3）由，为公共角，可得．从而＝．分当＝时，当M(a,−+a +1)
12a 252F(a,a +1)12MF ME−EF =−+2a 12a 2MH ⊥BC H ME ⊥x ∠M +∠MFH 90∘∠C +∠MFH 90∘∠M ∠C Rt △MFH Rt △BDC tan ∠C =
===tan ∠M BD CD 2412=FH MH 12FH :MH :MF 1:2:5–√FH =MF 5–√5MH =MF 25–√5△FMH FH+MH+MF =MF +MF +MF =(+1)MF =(+1)(−+2a)5–√525–√535–√535–√512a 2=(−)(a −2+3+55–√10)26+105–√5a 2△FMH 6+105–√5M (2,4)==AD BD DB CD 12∠CDB △ABD ∽△BCD ∠ABD ∠BCD 1∘∠PAB ∠ABC =PB AC AB BC BC ==2(0−4+(1−3)2)2−−−−−−−−−−−−−−−√5–√AB ==(0−1+(1−3)2)2−−−−−−−−−−−−−−−√5–√AC 3PB =32(0,)P 1522∘∠PAB ∠BAC =PB BC AB AC =PB 25–√5–
√3PB =103(0,)P 2133P (0,)52(0,)133
A(1,3)B(0,1)y =−+bx+c
12x 2CA y D C(4,3)=BD CD 12tan ∠C tan ∠M ==FH MH 12M(a,−+a +1)12a 252F(a,a +1)12MF =−+2a 12
a 2FH =MF,MH =MF 5–√525–√5△MFH MF ==AD BD BD CD 12∠CDB △ABD ∽△BCD ∠ABD ∠BCD 1∘∠PAB ∠ABC 2∘
【解答】
将，，代入，，解得，，∴抛物线的解析式为，∴顶点坐标为；延长交轴于点，由对称性得．则＝，＝，
设直线的解析式为＝，则有，解得，∴直线的解析式为，设，则，∴＝，∵于点，轴，
∴＝，＝，
∴＝，∴在和中，
，∴，∴＝，
∴，，∴的周长＝，当＝时，的周长最大，最大值为 ，此时点的坐标为．∵，为公共角，∴．
∴＝．当＝时，，∵，，＝，
∴，∴．当＝时，，∴，∴，∴，综上所述满足条件的点有，．A(1,3)B(0,1)y =−+bx+c
12x 2 −+b +c =312c =1 b =52c =1y =−+x+112x 252(,)52338CA y D C(4,3)CD 4BD 2BC y kx+m { 4k +m=3m=1 k =12m=1BC y =x+112M(a,−+a +1)12a 252F(a,a +1)12MF ME−EF =−+2a 12a 2MH ⊥BC H ME ⊥x ∠M +∠MFH 90∘∠C +∠MFH 90∘∠M ∠C Rt △MFH Rt △BDC tan ∠C =
===tan ∠M BD CD 2412=FH MH 12FH :MH :MF 1:2:5–√FH =MF 5–√5MH =MF 25–√5△FMH FH+MH+MF =MF +MF +MF =(+1)MF =(+1)(−+2a)5–√525–√535–√535–√512a 2=(−)(a −2+3+55–√10)26+105–√5a 2△FMH 6+105–√5M (2,4)==AD BD DB CD 12∠CDB △ABD ∽△BCD ∠ABD ∠BCD 1∘∠PAB ∠ABC =PB AC AB BC BC ==2(0−4+(1−3)2)2−−−−−−−−−−−−−−−√5–√AB ==(0−1+(1−3)2)2−−−−−−−−−−−−−−−√5–√AC 3PB =32(0,)P 1522∘∠PAB ∠BAC =PB BC AB AC =PB 25–√5–
√3PB =103(0,)P 2133P (0,)52(0,)133。