《二次函数的图像与一元二次方程》

《二次函数的图像与一元二次方程》
汇报人：
2023-12-13
•二次函数图像的基本概念
•二次函数图像的特性
•一元二次方程的解法目录
•二次函数与一元二次方程的关
系
•实际应用案例
01
二次函数图像的基本概念
二次函数
顶点
对称轴
开口方向
定义与性质
01
02
03
04
一般形式为$y = ax^2 + bx + c$，其中$a \neq 0$。

二次函数图像的最低点或最高点，坐标为$(-\frac{b}{2a},
f(-\frac{b}{2a}))$。

二次函数图像的垂直平分线，方程为$x = -\frac{b}{2a}$。

由$a$的正负决定，$a > 0$时向上开口，$a < 0$时向下
开口。

在坐标系上标出若干个点，用平滑的曲线连接这些点。

描点法
配方法
函数计算器法
将二次函数化为顶点式，确定顶点和对称轴，再根据开口方向绘制图像。

使用函数计算器计算二次函数的值，在坐标系上标出这些点，再用平滑的曲线连接。

03
02
01
图像的绘制方法
将二次函数图像沿$x$轴平移，左加右减。

例如，$y = ax^2 + bx + c$向左平移$m$个单位得到$y = a(x+m)^2 + bx + c$。

横向平移
将二次函数图像沿$y$轴平移，上加下减。

例如，$y = ax^2 + bx + c$向上平移$n$个单位得到$y = ax^2 + bx + c+n$。

纵向平移
图像的变换与平移
02
二次函数图像的特性
总结词：开口方向
详细描述：二次函数$y=ax^2+bx+c$的开口方向由系数a决定。

当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。

开口方向与a的关系
顶点坐标与对称轴
顶点坐标与对称轴
详细描述
二次函数$y=ax^2+bx+c$的顶点坐标为$(-\frac{b}{2a}, c-\frac{b^2}{4a})$，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$。

判别式与图像交点
总结词
判别式与图像交点
详细描述
判别式$\Delta=b^2-4ac$用于判断一元二次方程的根的情况。

当$\Delta>0$时，方程有两个不相等的实根；当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实根；当$\Delta<0$时，方程无实根。

二次函数的图像与x轴的交点即为方程的根。

03
一元二次方程的解法
直接开平方法
总结词
直接、简便、适用于特定形式
详细描述
对于形如$ax^2+bx+c=0$（$a\neq 0$）的一元二次方程，若满足$b^2-4ac\geq 0$，则可以通过直接开平方法求解。

具体步骤为：先求出$b^2-4ac$的值，然后将其开平方得到两个解。

分而治之、适用于特定形式
总结词
对于形如$(x-m)(x-n)=0$（其中$m\neq n$）的一元二次方程，可以通过因式分解法求解。

具体步骤为：将方程左边进行因式分解，得到$(x-m)(x-n)=0$，从而得出两个解$x_1=m$和$x_2=n$。

详细描述
因式分解法
公式法
总结词
通用、适用于任意形式
详细描述
对于任意形式的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\neq 0$），都可以通过公式法求
解。

具体步骤为：先求出判别式$b^2-4ac$的值，然后将其代入一元二次方程的求根
公式$\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$中，得到两个解。

04
二次函数与一元二次方程的关系
二次函数图像与x轴交点即为方程的实数根
当二次函数图像与x轴有交点时，这些交点
的横坐标即为对应的一元二次方程的实数根。

实数根与判别式的关系
一元二次方程实数根的个数与判别式的大小有关。

当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数根；当判别式等于0时，方程有两个相等的实数根；当判别式小于0时，方程
没有实数根。

二次函数图像与x轴交点与一元二次方程实数根的关系
观察图像确定开口方向和顶点通过观察二次函数的图像，可以确定抛物线的开口方向和顶点的位置。

这有助于确定一元二次方程的解的形式。

要点一
要点二
找到与x轴交点
在二次函数图像上找到与x轴的交点，这些交点的横坐标就是对应的一元二次方程的解。

利用二次函数图像求一元二次方程的解
已知一元二次方程求解析式
如果已知一元二次方程的形式，可以通过求解该方程得到二次函数的解析式。

已知抛物线性质求解析式
如果已知抛物线的开口方向、顶点坐标等性质，可以通过这些性质得到二次函数的解析式。

利用一元二次方程求二次函数的解析式
05
实际应用案例
通过建立二次函数模型，可以解决企业或个人在一定条件下的最大利润问题。

例如，一个企业生产某种产品的成本和收益函数是二次函数，那么可以通过求导数找到最大利润点。

最优选择问题
在某些情况下，我们需要选择一个最优的方案。

通过建立二次函数模型，可以找到使目标函数取得最大值或最小值的自变量值。

例如，在旅行过程中，我们希望选择一条花费最少的时间和金钱的路线，可以通过建立旅行时间和花费之间的二次函数模型来找到最优的路线。

最大利润问题
利用二次函数解决生活中的实际问题
VS
一元二次方程是现实生活中许多问题的数学模型。

例如，在物理学中，自由落体运动可以用一元二次方程来描述；在经济学中，供求关系可以用一元二次方程来描述。

通过求解一元二次方程，我们可以找到问题的答案。

一元二次方程可以用来预测未来的趋势。

例如，在生态学中，种群数量的变化可以用一元二次方程来描述。

通过求解这个方程，我们可以预测未来种群数量的变化趋势。

求解实际问题预测未来趋势利用一元二次方程解决实际问题
利用计算机绘图软件，我们可以绘制二次函数的图像。

通过调整二次函数的参数，我们可以观察图像的变化
规律。

绘制图像通过求解一元二次方程，我们可以得到方程的解。

利用计算机绘图软件，我们可以将二次函数的图像和一元二次方程的解绘制在同一张图上。

通过观察图像和
方程解的关系，我们可以更好地理解二次函数和一元
二次方程在实际问题中的应用。

观察解的关系
利用计算机绘制二次函数图像与一元二次方程的解的关系
THANKS 谢谢您的观看。