2019全国中考数学真题分类汇编：与圆的有关计算及参考答案

一、选择题
1．（2019·德州）如图，点O为线段BC的中点，点A，C，D到点O的距离相等，若∠ABC＝40°，则∠ADC的度数是（）
A．130°B．140°C．150°D．160°
【答案】B．
【解析】由题意得到OA＝OB＝OC＝OD，作出圆O，如图所示，∴四边形ABCD为圆O的内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC＝40°，∴∠ADC＝140°，故选B．
2．（2019·滨州）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为（）
A．60°B．50°C．40°D．20°
【答案】B
【解析】如图，连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∵∠A和∠BCD都是弧BD所对的圆周角，∴∠A=∠BCD=40°，∴∠ABD=90°－40°=50°．故选B．
3、（2019·遂宁）如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠A=45°，⊙O 的半径r=4，则阴影部分的面积为 ( )
A.4π-8
B. 2π
C.4π
D. 8π-8 【答案】A
【解析】由题意可知∠BOC=2∠A=45°2⨯=90°，S 阴=S 扇-S △OBC ，S 扇=
14S 圆=1
4
π42=4π， S △OBC =
2
142
⨯=8，所以阴影部分的面积为4π-8，故选A. 4．(2019·广元)如图,AB,AC 分别是 O 的直径和弦,OD ⊥AC 于点D,连接BD,BC,且AB ＝10,AC ＝8,则BD 的长为( )
A.
B.4
C.
D.4.8
第6题图 【答案】C
【解析】∵AB 是直径,∴∠C ＝90°,∴BC ＝6,又∵OD ⊥AC,∴OD ∥BC,∴△OAD ∽△BAC,∴CD ＝AD
＝1
2
AC ＝4,∴BD =故选C.
5．（2019·温州）若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为（ ） A ．
3
2
π B ．2π C ．3π D ．6π 【答案】D
【解析】扇形的圆心角为90°，它的半径为6，即n=90°，r=6，根据弧长公式l=
180
n r
π，得6π．故选D. 6．（2019·绍兴 ）如图，△ABC 内接于圆O ，∠B=65°，∠C=70°，若BC=22，则弧BC 的长为 ( )
A.π
B.π2
C.π2
D.π22
【答案】A
【解析】在△ABC 中，得∠A＝180°-∠B -∠C＝45°， 连接OB ，OC ，则∠BOC＝2∠A＝90°，
设圆的半径为r ，由勾股定理，得22
r r +＝（22）2
，解得r=2，
所以弧BC 的长为
902
180
π⨯=π．
7．（2019·山西）如图,在Rt △ABC 中,∠ABC ＝90°,AB ＝＝2,以AB 的中点O 为圆心,OA 的长为半径作半
圆交AC 于点D,则图中阴影部分的面积为( )
2
π
- 2
π
C.π
D.2
π
第10题图 【答案】A
【解题过程】在Rt △ABC 中,连接OD,∠ABC ＝90°,AB ＝
＝2,∴∠A ＝30°,∠DOB ＝60°,过点D 作DE ⊥AB 于点E,∵AB ＝
∴AO ＝OD
＝∴DE ＝3
2
,∴S 阴影
＝S △ABC －S △AOD －S
扇形BOD
＝
－2
π
2π-,故选A.
8．（2019·长沙）一个扇形的半径为6，圆心角为120°，则该扇形的面积是
【 】
A ．2π B．4π C．12π D．24π 【答案】C
【解析】根据扇形的面积公式，S=120×π×6
2
360
=12π，故本题选：C ．
9．（2019·武汉） 如图，AB 是⊙O 的直径，M 、N 是弧AB （异于A 、B ）上两点，C 是弧MN 上动点，∠ACB 的角平分
线交⊙O 于点D ，∠BAC 的平分线交CD 于点E ．当点C 从点M 运动到点N 时，则C 、E 两点的运动路径长的比是（ ）
A ．2
B ．
2
π
C ．
2
3 D ．
2
5
【答案】A
【解题过程】由题得∠1＝∠2＝
1
2
∠C ＝45°，∠3＝∠4，∠5＝∠6 设∠3＝∠4＝m ，∠5＝∠6＝n ，得m ＋n ＝45°，∴∠AEB ＝∠C ＋m ＋n
90°＋45°＝135°
∴E 在以AD 为半径的⊙D 上（定角定圆）
4t 2t t
1
6
54
32Q
P E
D
A
O
B
C M
N
如图，C的路径为MN,E的路径为PQ
设⊙O的半径为1，则⊙D
，
∴MN
PQ
＝
4
21
360
2
2
360
t
t
π
π
⨯⨯
⨯
10. (2019·泰安)如图,将O沿弦AB折叠,AB恰好经过圆心O,若O的半径为3,则AB的长为
A.1
2
π B.π C.2π D.3π
【答案】C
【解析】连接OA,OB,过点O作OD⊥AB交AB于点E,由题可知OD＝DE＝1
2
OE＝
1
2
OA,在Rt△AOD中,sinA＝
OD
OA
＝
1 2,∴∠A＝30°,∴∠AOD＝60°,∠AOB＝120°,AB＝
180
n rπ
＝2π,故选C.
11. (2019·枣庄)如图,在边长为4的正方形ABCD中,以点B为圆心,AB为半径画弧,交对角线BD与点E,则图中
阴影部分的面积是(结果保留π)
A.8－π
B.16－2π
C.8－2π
D.8－1 2π
【答案】C
【解析】在边长为4的正方形ABCD 中,BD 是对角线,∴AD ＝AB ＝4,∠BAD ＝90°,∠ABE ＝45°,∴S △ABD ＝1
2
AD AB
⋅⋅＝8,S 扇形ABE ＝2
454360
π⋅⋅＝8－2π,故选C.
12. (2019·巴中)如图,圆锥的底面半径r ＝6,高h ＝8,则圆锥的侧面积是( )
A.15π
B.30π
C.45π
D.60π
【答案】D
【解析】圆锥的高,母线和底面半径构成直角三角形,其中r ＝6,h ＝8,所以母线为10,即为侧面扇形的半径,底面周长为12π,即为侧面扇形的弧长,所以圆锥的侧面积＝1
2
×10×12π＝60π,故选D.
13. （2019·凉山） 如图，在△AOC 中，OA =3cm ，OC =lcm ，将△AOC 绕点D 顺时针旋转90 °后得到△BOD ，则
AC 边在旋转过程中所扫过的图形的面积为( ▲ )cm 2 A ．
2
π
B ．2π
C ．
178
π
D ．
198
π
【答案】B
【解析】AC 边在旋转过程中所扫过的图形的面积=S △OCA +S 扇形OAB - S 扇形OCD - S △ODB ①,由旋转知：△OCA ≌△ODB ，∴S △OCA =S
△ODB ,∴①式=S 扇形OAB - S 扇形OCD =
360
3902⨯π-3601902
⨯π=2π，故选B .
14.（2019·自贡）图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形面板翻折起来后，就
能形成一个圆形桌面（可近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近（）
A. B. C. D.
【答案】C.
【解析】由题意可知，⊙O是正方形ABCD的外接圆，
过圆心O点作OE⊥BC于E，
在Rt△OEC中，∠COE=45°，
∴sin∠COE=,
设CE=k，则OC=CE=k，
∵OE⊥BC，
∴CE=BE=k，即BC=2k.
∴S正方形ABCD=BC2=4k2，⊙O的面积为πr2=π×(k)2=2πk2.
∴正方形==≈.
15.（2019·湖州）已知圆锥的底面半径为5cm，母线长为13cm，则这个圆锥的侧面积是（）
A．60πcm2 B．65πcm2 C．120πcm2 D．130πcm2
【答案】B．
【解析】∵r＝5，l＝13，∴S锥侧＝πrl＝π×5×13＝65π（cm2）．故选B．
16. （2019·金华）如图，物体由两个圆锥组成，其主视图中，∠A=90°，∠ABC=105°，若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为（）
3
2
【答案】D．
【解析】∵∠A=90°，∠ABC=105°，∴∠ABD=45°，∠CBD =60°，∴△ABD是等腰直角三角形，△CBD是等边三角形．设AB长为R，则BD
R．∵上面圆锥的侧面积为1，即1＝
1
2
lR，∴l＝
2
R
·∴下面圆锥的侧面积为
1
2
lR＝
1
2
·
2
R
．故选D．
17.(2019·宁波)如图所示,矩形纸片ABCD中,AD＝6cm,把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后,分别裁
出扇形ABF和半径最大的圆,恰好能作为一个圆锥的底面和侧面,则AB的长为
A.3.5cm
B.4cm
C.4.5cm
D.5cm
【答案】
B
D
C
B
A
【解析】AE＝1
2
4
AB
π
⋅⋅,右侧圆的周长为DE
π⋅,∵恰好能作为一个圆锥的底面和侧面,∴,
1
2
4
AB
π
⋅⋅＝
DE
π⋅,AB＝2DE,即AE＝2ED,∵AE+ED＝AD＝6,∴AB＝4,故选B.
18. （2019·衢州）如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形。

则原来的纸带宽为
（A）
A.1 D.2
【答案】C
【解析】正多边形的相关计算，作AM⊥FC于M，由正六边形的性质得∠A FC=60°，因为sin∠AFM=AM AF
，
二、填空题
1．（2019·苏州）如图，扇形OAB中∠AOB=90°，P为AB上的一点，过点P作PC⊥OA，垂足为C．PC与AB交于点D.若PD=2，CD=1，则该扇形的半径长为 .
【答案】5
（第17题）
第17题答图
【解析】连接DP，∵∠AOB=90°，过点P作PC⊥OA，∴∠DCA=∠AOB=90°，又∠DAC=∠BAO，∴△ACD∽△AOB，
∴AC CD
AO OB
=，又OA=OB，∴AC=CD=1，又PD=2，∴CP=3，设CO=x，则OP=OA=x+1，∵∠PCA=90°，∴OP2=OC2+CP2，
∴x2+32=（x+1）2，解得x=4，∴OA= x+1=5.故答案为5.
2．（2019·德州）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，＝，CE＝1，AB＝6，则弦AF的长度为．
【答案】
【解析】连接OA、OB，OB交AF于G，如图，∵AB⊥CD，∴AE＝BE＝AB＝3，设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣1，OA＝r，在Rt△OAE中，32+（r﹣1）2＝r2，解得r＝5，∵＝，∴OB⊥AF，AG＝FG，在Rt△OAG中，AG2+OG2＝52，①在Rt△ABG中，AG2+（5﹣OG）2＝62，②解由①②组成的方程组得到AG＝，∴AF＝2AG＝．故答案为．
3．(2019·广元)如图,△ABC是 O的内接三角形,且AB是 O的直径,点P为 O上的动点,且
∠BPC＝60°, O的半径为6,则点P到AC距离的最大值是________.
第14题图
【答案】
【解析】作直径MN ⊥AC 于点Q,QM 为点P 到AC 的最大距离,∵半径为6,∴MO ＝OA ＝6,∠A ＝∠P ＝60°,∴OQ
OA ＝
,∴MQ ＝
4．（2019·温州）如图，⊙O 分别切∠BAC 的两边AB ，AC 于点E ，F ，点P 在优弧EDF 上．若∠BAC=66°，则∠
EPF 等于 度．
【答案】57
【解析】连接OE 、OF.∵⊙O 分别切∠BAC 的两边AB 、AC 于点E 、F ，∴OF ⊥AC 、OE ⊥AB ，∴∠BAC+∠EOF=180°，∵∠BAC=66°，∴∠EOF=114°.∵点P 在优弧EDF 上，∴∠EPF=12
∠EOF=57°. 故填：57. 5.（2019·杭州）如图是一个圆锥形冰淇淋外壳(不计厚度)，已知其母线长为12cm.底面圆半径为3cm.则这个冰淇淋外壳的侧面积等于______ cm(结果精确到个位).
【答案】113
【解析】这个冰淇淋外壳的侧面积=12
×2π×3×12=36π≈113（cm 2）．故答案为113． 6．（2019·烟台）如图，分别以边长为2的等边三角形ABC
的三个顶点为圆心，以边长为半径作弧，三段弧所围
O P F
D C
A
成的图形是一个曲边三角形．已知O 是△ABC 的内切圆，则阴影部分的面积为 ．
【答案】53
π-
【解题过程】22ABC
S == 260223603
ABC S ππ⨯==扇形， △ABC
的内切圆半径为12ABC S
=（2+2+2）
2
33ABC S ππ⎛=⨯= ⎝⎭的内切圆，
所以阴影部分的面积为()3=ABC ABC ABC ABC S S
S S -+-的内切圆扇形（
）53
π-． 7．（2019·淮安）若圆锥的侧面积是15π，母线长是5，则该圆锥底面圆的半径是.
【答案】3
【解析】设该圆锥底面圆的半径是r ，则ππ15522
1=⨯⨯r ，解得r=3. 14．（2019·黄冈）用一个国心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的面积为.
【答案】4π
【解析】设此圆锥的底面半径为r ，由题意可得2πr＝π⨯1206180
，解得r=2，故这个圆锥的底面圆的半径为2. 8．（2019·陇南）把半径为1
的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于 ．
【答案】4-π．
【解析】如图：∵新的正方形的边长为1+1＝2，∴恒星的面积＝2×2﹣π×21＝4﹣π，故答案为：4﹣π．
9.（2019·无锡）已知圆锥的母线成为5cm ，侧面积为15π2cm ，则这个圆锥的底面圆半径为_______cm.
【答案】3
【解析】本题考查了圆锥的计算，∵圆锥的母线长是5cm ，侧面积是15πcm 2，∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：l 2305s r π===6π，∵锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，∴r 622l πππ
===3cm ，故答案为3． 10. （2019·滨州）若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为____________．
【答案】3
【解析】如图，连接OE ，作OM ⊥EF 于M ，则OE=EF ，EM=FM ，OM=2，∠EOM=30°，在Rt △OEM 中，cos ∠EOM=OM OE
，
∴2OE ，解得．
11．(2019·泰州)如图,分别以正三角形的3个顶点为圆心,边长为半径画弧,三段弧围成的图形称为莱洛三角形.
若正三角形边长为6cm,则该莱洛三角形的周长为______cm.
第15题图
【答案】3
【解析】以边长为半径画弧,这三段弧的半径为正三角形的边长6cm,圆心角为正三角形的内角度数为60°,每段弧长为606180
π⋅⋅＝2π,所以周长为2π×3＝6π. 12. (2019·聊城)如图是一个圆锥的主视图,根据图中标出的数据(单位：cm),计算这个圆锥侧面展开图圆心角的
度数为________.
【答案】120°
【解析】由图可知,圆锥的底面周长为2π,圆锥的母线AC ＝3,∴设圆锥侧面展开图圆心角的度数为n °,根据弧长公式可得2π＝
180
n r π,n ＝120.∴圆心角的度数为120.
13. (2019·泰安)如图,∠AOB ＝90°,∠B ＝30°,以点O 为圆心,OA 为半径作弧交AB 于点A,点C,交OB 于点D,若OA ＝3,则阴影部分的面积为________.
【答案】34
π 【解析】连接OC,过点C 作CN ⊥AO 于点N,CM ⊥OB 于点M,∠AOB ＝90°,∠B ＝30°,∴∠A ＝60°,∵OA ＝OC,∴△
AOC 为等边三角形,∵OA ＝3,∴CN ＝CN ＝32,∴S 扇形AOC ＝32π,S △AOC 在Rt △AOB 中,OB ＝
△OCB∠COD＝30°,S扇形COD＝3
4
π,S阴影＝S扇形AOC－S△AOC+S△OCB－S扇形COD＝
3
4
π.
14. （2019·潍坊）如图所示，在平面直角坐标系xoy中，一组同心圆的圆心为坐标原点O，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线l0，l1，l2，l3，…都与x轴垂直，相邻两直线的间距为1，其中l0与y轴重合．若半径为2的圆与l1在第一象限内交于点P1，半径为3的圆与l2在第一象限内相交于点P2，…，半径为n+1的圆与l n在第一象限内交于点P n，则点P n的坐标为．（n为正整数）
【答案】（n）
【解析】由图可知点P n的横坐标与它所在圆的半径相同，故点P n的横坐标为n，
点P1=，
点P2
……
点P n=，
∴点P n的坐标为（n）．
15．(2019·广元)如图,AB是 O的直径,点P是BA延长线上一点,过点P作 O的切线PC,切点是C,过点C作弦CD⊥AB于E,连接CO,CB.
(1)求证:PD是 O的切线;
(2)若AB＝10,tanB＝1
2
,求PA的长;
(3)试探究线段AB,OE,OP之间的数量关系,并说明理由.
第23题图
解：(1)连接OD,∵CD⊥AB,∴CE＝ED,∴PC＝PD,∵OC＝OD,∴△POC≌△POD,∴∠PDO＝∠PCO,∵PC是 O的切线,∴PC⊥OC,∠PCO＝90°,∴∠PDO＝90°,∴PD⊥DO,∴PD是 O的切线;
(2)连接AC,∵tanB＝1
2
,∴设AC＝x,则BC＝2x,∵AB＝10,∴AO＝CO＝5,在Rt△ABC中,由勾股定理可求得:AC＝
＝∴CE＝4,EO＝3,∵△COE∽△POC,∴PO＝25
3,∴AP＝PO－AO＝
10
3
;
(3)∵△COE∽△POC,∴CO EO
PO CO
,∴CO2＝PO·EO,∵CO＝
2
AB
,∴
2
4
AB
＝PO·EO,即AB2＝4PO·EO.
16．（2019浙江省温州市，22，10分）（本题满分10分）
如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，点E 在BC 边上，且CA=CE ，过A ，C ，E 三点的⊙O 交AB 于另一点F ，作直径AD ，连结DE 并延长交AB 于点G ，连结CD ，CF ．
（1）求证：四边形DCFG 是平行四边形；
（2）当BE=4，CD=38
AB 时，求⊙O 的直径长．
【解题过程】（1）连接AE. ∵∠BAC=90°，∴CF 是⊙O 的直径.
∵ AC=EC ，∴CF ⊥AE.∵AD 为⊙O 的直径，∴∠AED=90°，即GD ⊥AE ，∴CF ∥DG.
∵ AD 为⊙O 的直径，∴∠ACD=90°，∴∠ACD+∠BAC=180°，∴AB ∥CD ，∴四边形DCFG 为平行四边形；
（2）由CD=38
AB ，可设CD=3x,AB=8x ，∴CD=FG=3x. ∵ ∠AOF=∠COD ，∴AF=CD=3x ，∴BG=8x-3x-3x=2x.
∵ GE ∥CF ，∴△BGE ∽△CDE ，∴23
BE BG EG GF ==. 又∵ BE=4，∴AC=CE=6，∴BC=6+4=10，∴
，∴x=1.
在Rt △ACF 中，AF=3，AC=6，∴
，即⊙O 的直径长为
17.（2019浙江省杭州市，23，12分）(本题满分12分)
如图，已知锐角三角形ABC 内接于⊙O ，OD ⊥BC 于点D.连接0A.
(1)若∠BAC=60°，
①求证：OD=12
OA. ②当OA=1时，求△ABC 面积的最大值.
(1) 点E 在线段0A 上.OE=OD.连接DE ，设∠ABC=m ∠OED.∠ACB=n ∠OED(m ，n 是正数).
第22题图
第22
题图
若∠ABC＜∠ACB.求证:m-n+2=0 【解题过程】（1）①连接OB、OC，则∠BOD=BOC=∠BAC=60°，
∴∠OBC=30°，
∴OD=1
2
OB=
1
2
OA；
②∵BC长度为定值，
∴△ABC面积的最大值，要求BC边上的高最大，
当AD过点O时，AD最大，即：AD=AO+OD=3
2
，
△ABC面积的最大值=1
2
×BC×AD=
1
2
×2OBsin60°×
3
2
（2）如图2，连接OC，
设∠OED=x，则∠ABC=mx，∠ACB=nx，
则∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-mx-nx=1
2
∠BOC=∠DOC，
∵∠AOC=2∠ABC=2mx，∴∠AOD=∠COD+∠AOC=180°-mx-nx+2mx=180°+mx-nx，
∵OE=OD，∴∠AOD=180°-2x，即：180°+mx-nx=180°-2x，化简得：m-n+2=0．
三、解答题
1. （2019·衢州）如图，在等腰△ABC中，AB=AC.以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E. （1）求证：DE是⊙O的切线。

（2）若C=30°，求AD的长.
解：（1）证明：如图，连结OD，∵OC=0D.AB-AC，∴∠1=∠C.∠C=∠B.……1分
∴∠1=∠B.…2分
∵DE⊥AB，
∴∠2+∠B=90°.
∴∠2+∠1=90°，…3分
∴∠ODE=90°，…4分
∴DE为⊙O的切线。

（2）连结AD，∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC=90°.…5分
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，BD=CD.
∴∠AOD=60°.…6分
∵
，
∴0C=2 …7分
∴AD=120
2
180
π⨯=2
3
π。

…8分
21
2. (2019·巴中)△ABC在边长为1的正方形网格中如图所示.
（1）以点C为位似中心,作出△ABC的位似图形△A1B1C,使其位似比为1:2,且△A1B1C位于点C的异侧,并表示出A1的坐标;
（2）作出△ABC绕点C顺时针旋转90°后的图形△A2B2C;
（3）在（2）的条件下,求出点B经过的路径长.
解：（1）如图所示即为所求的△A1B1C,点A1的坐标为(3,－3).
（2）如图所示即为所求的△A2B2C.
（3）点B绕点C顺时针旋转90°,半径为BC
.
3. (2019·巴中)如图,在菱形ABCD中,连接BD,AC交于点O,过点O作OH⊥BC于点H,以点O为圆心,OH为半径的半圆交AC于点M.
（1）求证:DC是O的切线;
（2）若AC＝4MC且AC＝8,求图中阴影部分的面积;
（3）在②的条件下,P是线段BD上的一动点,当PD为何值时,PH+PM的值最小,并求出最小值.
解：（1）过点O 作OG ⊥CD 于点G,
菱形ABCD 中,AC 是对角线, ∴AC 平分∠BCD,
∵OH ⊥BC, ∴OH ＝OG,
∵OH 是
O 的半径, ∴OG 等于O 的半径,
∴CD 是
O 的切线.
①
（2）∵AC ＝4MC ，AC ＝8,
∴OC ＝2MC ＝4,MC ＝OM ＝2,∴OH ＝OM ＝2,
在Rt △OHC 中,OH ＝2,OC ＝4,
∴HC ,tan ∠HOC ＝
HC OH
∴∠HOC ＝60°,
∴S 阴影＝S △OCH －S 扇形OHM ＝2
16022360CH OH p 鬃鬃-＝23
. （3）作点M 关于BD 的对称点N,连接HN 交BD 于点P,此时PH+PM 的值最小.
∵ON ＝OM ＝OH,∠MOH ＝60°,
∴∠MNH＝30°,∠MNH＝∠HCM,
∴HN＝HC
＝即PH+PM
的最小值为
在Rt△NPO中,OP＝ONtan30
,
在Rt△COD中,OD＝OCtan30
,
∴PD＝OP+OD
＝.
②
4. （2019·淄博）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⊙O经过点D．
(1)求证：①BC是⊙O的切线；
②CD2＝CE⋅CA；
(2)若点F是劣弧AD的中点，且CE＝3，试求阴影部分的面积.
解：(1)①连接DO，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠EAD，∵DO＝AO，∴∠EAD＝∠ADO，∴∠BAD＝∠ADO，∴BA∥DO，∴∠CDO＝∠B，∵∠B＝90°，∴∠CDO＝90°，∴BC是⊙O的切线；
②连DE，∵AE是直径，∴∠ADE＝90°，∴∠CDE＋∠ADB＝90°，又∵∠ADB＋∠BAD＝90°，∠BAD＝∠DAE，
∴∠CDE＝∠DAE，又∵∠C＝∠C,∴△CDE∽△CAD，∴CD
CA
＝
CE
CD
，∴CD2＝CE⋅CA；
(2)连接OD 、FO 、DF ，∵点F 是劣弧AD 的中点，∴DF ＝AF ，∴∠AOF ＝∠DOF ，∠BAD ＝∠ADF ，∵∠BAD ＝∠EAD ，∴∠EAD ＝∠ADF ，∴DF ∥AC ，∴∠AOF ＝∠DFO ，又∵∠DFO ＝∠FDO ，∴∠DFO ＝∠FDO ＝∠DOF ＝60°，又∴DF ∥AC ，∴S △DFA ＝S △DFO ,
连DE ，∴△DEO 是等边三角形，∴∠CDE ＝30°＝∠C ，∴CE ＝DE ＝DO ＝3，
∴S 阴影＝S 扇形DFO ＝16×π×32＝32
π. 5. （2019·滨州）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 分别与BC ，AC 交于点D ，E ，过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F ．
（1）求证：直线DF 是⊙O 的切线；
（2）求证：BC 2
＝4CF •AC ；
（3）若⊙O 的半径为4，∠CDF ＝15°，求阴影部分的面积．
解：（1）如图所示，连接OD ，
∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ，而OB ＝OD ，∴∠ODB ＝∠ABC ＝∠C ，
(2)答图
O
F
E D C B A
② (1)答图①
∵DF ⊥AC ，∴∠CDF +∠C ＝90°，∴∠CDF +∠ODB ＝90°，
∴∠ODF ＝90°，
∴直线DF 是⊙O 的切线．………………………………………………………………………4分
（2）连接AD ，则AD ⊥BC ，则AB ＝AC ，
则DB ＝DC ＝．………………………………………………………………………………6分
∵∠CDF +∠C ＝90°，∠C +∠DAC ＝90°，∴∠CDF ＝∠DCA ，
而∠DFC ＝∠ADC ＝90°，∴△CFD ∽△CDA ，
∴CD 2＝CF •AC ，即BC 2
＝4CF •AC ．…………………………………………………………8分
（3）连接OE ，
∵∠CDF ＝15°，∠C ＝75°，∴∠OAE ＝30°＝∠OEA ，
∴∠AOE ＝120°， S △OAE ＝AE ×OE sin ∠OEA ＝×2×OE ×cos ∠OEA ×OE sin ∠OEA ＝4，…………12分
S 阴影部分＝S 扇形OAE －S △OAE ＝×π×42－4＝－4．………………………13分 6.（2019·无锡）一次函数b kx y +=的图像与x 轴的负半轴相交于点A ，与y 轴的正半轴相交于点B ，且，2
3sin =∠ABO △OAB 的外接圆的圆心M 的横坐标为-3. （1）求一次函数的解析式；
（2）求图中阴影部分的面积.
解：（1）作 MN ⊥BO ，由垂径定理得 N 为OB 中点，MN =12
OA ，∵MN =3，∴OA =6，即 A （-6，0）.
∵sin ∠ABO
，OA =6，∴OB
， B （0，
），设 y = kx +b ，将 A 、B
坐标代入得60
b k b ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，
解得b k ⎧=⎪⎨=⎪⎩
，∴y
x
； （2）∵第一问解得∠ABO =60°，∴∠AMO =120°，
所以阴影部分面积为S
=(
(
22143ππ⨯=-。