揭阳市普宁市勤建学校2017届高三上学期期末数学试卷(理科) 含解析

2016—2017学年广东省揭阳市普宁市勤建学校高三（上)期末数学试卷（理科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A={x||x|≤2}，B=｛x|x2﹣2x﹣3≤0},则A∩B=（）A．［﹣1，2］B．[﹣2,3] C．[﹣2,1] D．[1,2］
2．设（1+i)（x+yi）=2,其中x，y是实数，则|2x+yi|=( ）A．1 B．C．D．
3．等比数列｛a n}的前n项和为S n,若a2+S3=0,则公比q=( ）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
4．已知双曲线C：﹣=1（a＞0,b＞0）的渐近线方程为y=±x，则双曲线C的离心率为（）
A．B．C．D．
5．若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向左平移φ个单位,所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是( )
A．B．C．D．
6．GZ新闻台做“一校一特色”访谈节目，分A,B，C三期播出,A 期播出两间学校,B期，C期各播出1间学校，现从8间候选学校中选出4间参与这三项任务，不同的选法共有（）
A．140种 B．420种C．840种D．1680种
7．已知函数f（x)=，g（x)=﹣f(﹣x）,则函数g（x）的图象是( )
A．B．C．
D．
8．设a=0。

70.4，b=0.40.7，c=0。

40。

4，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a
9．阅读如图程序框图，运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为（)
A．7 B．9 C．10 D．11
10．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F,准线为l，P是l上一点，直线PF与曲线相交于M,N两点，若=3,则｜MN|=（）A．B．C．10 D．11
11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是（)
A．25πB．πC．29πD．π
12．若函数f（x）=e x(sinx+acosx)在（，)上单调递增，则实数a 的取值范围是（)
A．（﹣∞，1］ B．(﹣∞，1）C．［1，+∞）D．（1，+∞）
二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.
13．若等比数列｛a n}的前n项和为S n，,则公比q= ．14．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为．
15．已知tanα，tanβ分别是lg（6x2﹣5x+2）=0的两个实根，则tan （α+β)=．
16．若偶函数y=f（x）,x∈R，满足f（x+2）=﹣f（x)，且当x∈［0，2]时，f(x)=2﹣x2，则方程f（x）=sin｜x|在[﹣10,10]内的根的个数为．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．△ABC的内角A,B，C的对边分别为a，b,c，已知a(sinA﹣sinB）=（c﹣b)(sinC+sinB）
(Ⅰ）求角C;
（Ⅱ）若c=,△ABC的面积为,求△ABC的周长．
18．设数列{a n｝的前n项和为S n，且S n=﹣1+2a n
（Ⅰ）求{a n}的通项公式；
（Ⅱ）若b n=log2a n+1，且数列{b n｝的前n项和为T n，求+…+．
19．某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示：全市100 000名男生的身高服从正态分布N．现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160cm和184cm 之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组［160，164］,第二组［164，168],…，第6组[180,184］，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（Ⅰ)试评估该校高三年级男生在全市高中男生中的平均身高状况；(Ⅱ）求这50名男生身高在172cm以上（含172cm）的人数; (Ⅲ）在这50名男生身高在172cm以上（含172cm)的人中任意抽取2人，该2人中身高排名（从高到低）在全市前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．
参考数据：若ξ﹣N（μ，σ2),则p（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ)=0.6826，p（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）=0。

9544,p(μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）=0.9974．
20．在四棱锥P﹣ABCD中，底面是边长为2的菱形，∠BAD=60°，PB=PD=2，AC∩BD=O．
（Ⅰ）证明：PC⊥BD
（Ⅱ)若E是PA的中点，且△ABC与平面PAC所成的角的正切值为，求二面角A﹣EC﹣B的余弦值．
21．已知函数f(x）=（x﹣1）e x+ax2有两个零点．
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ)设x1，x2是f（x）的两个零点，证明x1+x2＜0．
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.［选修4—4：坐标系与参数方程]
22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（θ为参数），以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρsin(θ+）=2
(Ⅰ)直接写出C1的普通方程和极坐标方程，直接写出C2的普通方程；
(Ⅱ）点A在C1上，点B在C2上，求｜AB|的最小值．
[选修4-5:不等式选讲］
23．已知f（x）=｜x﹣a｜+|x﹣1｜
（Ⅰ）当a=2，求不等式f（x）＜4的解集；
(Ⅱ）若对任意的x，f（x）≥2恒成立，求a的取值范围．
2016—2017学年广东省揭阳市普宁市勤建学校高三(上）期末数学
试卷（理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A=｛x｜｜x｜≤2}，B=｛x|x2﹣2x﹣3≤0｝，则A∩B=（）
A．[﹣1,2］B．［﹣2,3］C．［﹣2，1] D．[1，2]
【考点】交集及其运算．
【分析】化简集合B,根据交集的定义写出A∩B即可．
【解答】解：集合A=｛x｜|x|≤2｝，
B=｛x|x2﹣2x﹣3≤0｝=｛x|﹣1≤x≤3｝，
则A∩B={x|﹣1≤x≤2｝=［﹣1，2]．
故选：A．
2．设（1+i）（x+yi）=2，其中x，y是实数，则｜2x+yi|=（）A．1 B．C．D．
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】把已知等式变形，然后利用复数相等的条件求得x，y的值，则答案可求．
【解答】解：由（1+i）（x+yi）=2，得x﹣y+（x+y）i=2,
即，解得，
∴｜2x+yi|=｜2﹣i|=．
故选：D．
3．等比数列{a n}的前n项和为S n,若a2+S3=0,则公比q=（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】利用等比数列的通项公式、求和公式即可得出．
【解答】解：∵等比数列{a n}满足，a2+S3=0，则a1（1+2q+q2）=0,即（1+q）2=0,解得q=﹣1．
故选：A．
4．已知双曲线C：﹣=1（a＞0,b＞0）的渐近线方程为y=±x，则双曲线C的离心率为（）
A．B．C．D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据题意,由双曲线的方程分析可得其焦点在x轴上，进而可得渐近线方程，结合题意可得有=,即a=2b，由双曲线的几何性质分析可得c==a，由离心率的计算公式可得答案．
【解答】解:根据题意，双曲线的方程为﹣=1，其焦点在y轴上，其渐近线方程为y=±x，
又由其渐近线方程为y=±x,
则有=,即b=2a，
c==a，
则其离心率e==；
故选：B．
5．若将函数f(x）=sin2x+cos2x的图象向左平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（）
A．B．C．D．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】将f(x）化简只有一个函数名,通过变换后图象关于y轴对称建立关系,可得φ的最小值．
【解答】解：函数f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+）图象向左平移φ可得对应图象的函数解析式为:y=sin（2x+2φ+）,
由于其图象关于y轴对称，
可得：2φ+=+kπ(k∈Z）
解得：φ=kπ+．
∵φ＞0，
当k=0时,φ的值最小值为．
故选:A．
6．GZ新闻台做“一校一特色”访谈节目，分A,B，C三期播出,A 期播出两间学校,B期，C期各播出1间学校，现从8间候选学校中选出4间参与这三项任务，不同的选法共有（)
A．140种 B．420种C．840种D．1680种
【考点】排列、组合及简单计数问题．
【分析】从8间候选学校中选出4间，共有方法=70种方法，4
所选出2所，共有方法=6种方法，再进行全排,共有方法=2种方法,利用乘法原理可得结论．
【解答】解：从8间候选学校中选出4间，共有方法=70种方法，4所选出2所,共有方法=6种方法，再进行全排，共有方法=2种方法,共有70×6×2=840种方法，
故选C．
7．已知函数f（x）=,g（x）=﹣f（﹣x），则函数g（x)的图象是（）
A．B．C．
D．
【考点】函数的图象．
【分析】根据分段函数的特点即可判断．
【解答】解：当x≥0时，g（x）=﹣f（﹣x)=﹣=，函数单调递减，
当x＜0时，g（x）=﹣f(﹣x）=﹣（﹣x）2=﹣x2，函数单调递增，故选:D．
8．设a=0。

70。

4，b=0。

40。

7，c=0.40.4，则a，b,c的大小关系为（）
A．b＜a＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a
【考点】对数值大小的比较．
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
【解答】解：∵a=0.70。

4＞0.40。

4=c，b=0。

40.7＜c=0.40.4，
∴a＞c＞b．
故选:C．
9．阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）
A．7 B．9 C．10 D．11
【考点】程序框图．
【分析】模拟程序的运行，由程序框图得出该算法的功能以及S＞1时,终止循环;再根据S的值求出终止循环时的i值即可．
【解答】解:模拟执行程序，可得
i=1,S=0
S=lg3，
不满足条件1＜S,执行循环体，i=3，S=lg3+lg=lg5，
不满足条件1＜S,执行循环体,i=5，S=lg5+lg=lg7，
不满足条件1＜S，执行循环体,i=7，S=lg5+lg=lg9，
不满足条件1＜S，执行循环体，i=9,S=lg9+lg=lg11，
满足条件1＜S，跳出循环，输出i的值为9．
故选：B．
10．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点,直线PF与曲线相交于M,N两点，若=3,则|MN|=( ）A．B．C．10 D．11
【考点】直线与抛物线的位置关系．
【分析】先根据题意写出直线的方程，再将直线的方程与抛物线y2=8x的方程组成方程组，消去y得到关于x的二次方程，最后利用根与系数的关系结合抛物线的定义即可求线段MN的长．
【解答】解：抛物线C：y2=8x的焦点为F(2，0),准线为l：x=﹣2，设M(x1，y1),N（x2，y2），M，N到准线的距离分别为d M,d N,
由抛物线的定义可知｜MF|=d M=x1+1，｜NF｜=d N=x2+1，于是|MN|=｜MF|+｜NF|=x1+x2+4．
∵=3，
∴直线AB的斜率为±，
∵F(2,0），
∴直线PF的方程为y=±（x﹣2）,
将y=±（x﹣2），代入方程y2=8x，得3（x﹣2)2=8x，化简得3x2﹣20x+12=0，
∴x1+x2=，于是|MN｜=|MF|+|NF｜=x1+x2+4=+4=．
故选：B．
11．如图,网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是（）
A．25πB．πC．29πD．π
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;由三视图求面积、体积．
【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其外接球相当于以俯视图为底面的三棱柱的外接球，进而得到答案．
【解答】解:由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，
其外接球相当于以俯视图为底面的三棱柱的外接球,
底面三角形的外接圆半径r=×=,
球心到底面的距离d=，
故球半径R满足，R2=r2+d2=,
故球的表面积S=4πR2=π,
故选：D．
12．若函数f（x）=e x(sinx+acosx）在(,）上单调递增,则实数a 的取值范围是（）
A．（﹣∞,1] B．（﹣∞，1）C．［1，+∞）D．(1，+∞）
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】求导，分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值即可．
【解答】解：∵f(x）=e x（sinx+acosx）在（,）上单调递增,
∴f′(x）=e x[（1﹣a）sinx+(1+a)cosx]≥0在(,）上恒成立，
∵e x＞0在(,）上恒成立,
∴（1﹣a）sinx+(1+a）cosx≥0在（，）上恒成立，
∴a（sinx﹣cosx）≤sinx+cosx在（，)上恒成立
∴a≤,
设g（x）=,
∴g′（x）=＜0在(,)上恒成立,
∴g（x）在（，）上单调递减,
∴g（x）＞g(）=1，
∴a≤1,
故选：A．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．若等比数列｛a n}的前n项和为S n，，则公比q= 1或．
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】根据等比数列的前n项和建立等式，利用a3和q表示出a1与a2，然后解关于q的一元二次方程，即可求出所求．
【解答】解：∵
∴a1+a2+a3=则a1+a2=3
∴化简得2q2﹣q﹣1=0
解得q=1或
故答案为：1或
14．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为．
【考点】几何概型．
【分析】求出一名行人前25秒来到该路口遇到红灯，即可求出至少需要等待15秒才出现绿灯的概率．
【解答】解：∵红灯持续时间为40秒，至少需要等待15秒才出现绿灯，
∴一名行人前25秒来到该路口遇到红灯，
∴至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为=．
故答案为．
15．已知tanα，tanβ分别是lg（6x2﹣5x+2）=0的两个实根,则tan （α+β）= 1 ．
【考点】两角和与差的正切函数．
【分析】由条件利用一元二次方程根与系数的关系可得tanα+tanβ和tanα•tanβ的值，从而求得tan（α+β）的值．
【解答】解：由题意lg（6x2﹣5x+2）=0,
可得6x2﹣5x+1=0,tanα，tanβ分别是lg（6x2﹣5x+2）=0的两个实根，∴tanα+tanβ=，tanα•tanβ=，
∴tan(α+β）===1．
故答案为：1．
16．若偶函数y=f（x），x∈R,满足f（x+2）=﹣f（x），且当x∈［0，2]时，f(x)=2﹣x2，则方程f（x）=sin|x|在[﹣10，10］内的根的个数为10 ．
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】由题意可得偶函数y=f（x）为周期为4的函数，f（x)=sin|x|是偶函数,作出函数的图象,的交点的个数即为所求．
【解答】解：∵函数y=f（x)为偶函数，且满足f（x+2）=﹣f（x)，∴f（x+4）=f(x+2+2)=﹣f（x+2）=f（x）,
∴偶函数y=f（x）为周期为4的函数，
由x∈［0，2]时f(x）=3﹣x2可作出函数f（x）在[﹣10,10]的图象，同时作出函数y=sin|x｜在［﹣10，10］的图象，交点个数即为所求．数形结合可得交点个为10，
故答案为：10．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a（sinA ﹣sinB）=（c﹣b）（sinC+sinB)
(Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为,求△ABC的周长．
【考点】正弦定理．
【分析】（Ⅰ)由已知a(sinA﹣sinB)=（c﹣b）(sinC+sinB)利用正弦定理，得a（a﹣b）=（c﹣b）（c+b），即a2+b2﹣c2=ab．再利用余弦定理即可得出．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a2+b2﹣c2=ab．变形为（a+b）2﹣3ab=c2=7，又S=sinC=ab=，可得ab=6，可得a+b=5．即可得出．
【解答】解:(Ⅰ）由已知a（sinA﹣sinB)=(c﹣b）（sinC+sinB）
由正弦定理，得a（a﹣b）=（c﹣b）(c+b），
即a2+b2﹣c2=ab．
所以cosC==，
又C∈（0，π），所以C=．
(Ⅱ）由（Ⅰ）知a2+b2﹣c2=ab．所以(a+b）2﹣3ab=c2=7，
又S=sinC=ab=,
所以ab=6，
所以（a+b）2=7+3ab=25，即a+b=5．
所以△ABC周长为a+b+c=5+．
18．设数列{a n}的前n项和为S n，且S n=﹣1+2a n
（Ⅰ）求{a n｝的通项公式；
(Ⅱ）若b n=log2a n+1，且数列{b n｝的前n项和为T n，求+…+．
【考点】数列递推式;数列的求和．
【分析】（Ⅰ）由数列递推式求出首项,进一步得当n≥2时，S n﹣1=﹣1+2a n﹣1，与原递推式联立可得a n=2a n﹣1（n≥2),即{a n}是2为公比，1为首项的等比数列，再由等比数列的通项公式求得｛a n}的通项公式；
（Ⅱ）把数列通项公式代入b n=log2a n+1，求出数列｛b n｝的前n项和为T n，再由裂项相消法求+…+．
【解答】解：（Ⅰ）由已知，有S n=﹣1+2a n，①
当n=1时，a1=﹣1+2a1，即a1=1．
当n≥2时，S n﹣1=﹣1+2a n﹣1，②
①﹣②得a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2a n﹣1，即a n=2a n﹣1(n≥2）．
∴{a n｝是2为公比，1为首项的等比数列，即．
（Ⅱ）由(Ⅰ),得，
∴．
∴
==2．
19．某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示：全市100 000名男生的身高服从正态分布N．现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160cm和184cm 之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组[160，164]，第二组［164，168],…，第6组［180，184]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（Ⅰ）试评估该校高三年级男生在全市高中男生中的平均身高状况;
（Ⅱ）求这50名男生身高在172cm以上（含172cm）的人数；（Ⅲ)在这50名男生身高在172cm以上（含172cm）的人中任意抽取2人，该2人中身高排名（从高到低)在全市前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．
参考数据：若ξ﹣N(μ，σ2），则p（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）=0.6826,p(μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）=0.9544，p（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ)=0.9974．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列；正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【分析】（I）高三男生的平均身高用组中值×频率，即可得到结论；（II)首先理解频数分布直方图横纵轴表示的意义，横轴表示身高，纵轴表示频数，即:每组中包含个体的个数．我们可以依据频数分布直方图，了解数据的分布情况,知道每段所占的比例,从而求出求这50名男生身高在172cm以上（含172cm)的人数．
（III）先根据正态分布的规律求出全市前130名的身高在172cm以上，这50人中172cm以上的有2人，确定ξ的可能取值，求出其概率，即可得到ξ的分布列与期望．
【解答】解：（Ⅰ)由直方图,经过计算该校高三年级男生平均身高为
,
高于全市的平均值168（或者：经过计算该校高三年级男生平均身高为168.72，比较接近全市的平均值168)．…
（Ⅱ）由频率分布直方图知，后三组频率为（0.02+0。

02+0。

01)×4=0。

2，人数为0。

2×5=10，即这50名男生身高在172 cm以上(含172 cm）的人数为10人．…
（Ⅲ）∵P=0.9974,∴，0。

0013×100 000=130．所以，全市前130名的身高在180 cm以上，这50人中180 cm以上的有2人．
随机变量ξ可取0，1，2,于是,，，∴．…
20．在四棱锥P﹣ABCD中,底面是边长为2的菱形，∠BAD=60°，PB=PD=2，AC∩BD=O．
(Ⅰ)证明:PC⊥BD
（Ⅱ）若E是PA的中点，且△ABC与平面PAC所成的角的正切值为，求二面角A﹣EC﹣B的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．
【分析】（Ⅰ)证明BD⊥AC,BD⊥PO，推出BD⊥面PAC,然后证明BD⊥PC．
(Ⅱ）说明OE是BE在面PAC上的射影，∠OEB是BE与面PAC
所成的角．利用Rt△BOE,在Rt△PEO中，证明PO⊥AO．推出PO ⊥面ABCD．
方法一:说明∠OHB是二面角A﹣EC﹣B的平面角．通过求解三角形求解二面角A﹣EC﹣B的余弦值．
方法二：以建立空间直角坐标系,求出平面BEC的法向量,平面AEC的一个法向量，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】（本小题满分12分）
证明：(Ⅰ）因为底面是菱形，所以BD⊥AC．
又PB=PD,且O是BD中点,所以BD⊥PO．
PO∩AC=O,所以BD⊥面PAC．
又PC⊂面PAC，所以BD⊥PC．
（Ⅱ)由(Ⅰ）可知，OE是BE在面PAC上的射影,
所以∠OEB是BE与面PAC所成的角．
在Rt△BOE中，,BO=1，所以．
在Rt△PEO中，，,所以．
所以，又，
所以PO2+AO2=PA2，所以PO⊥AO．
又PO⊥BD，BD∩AO=O，所以PO⊥面ABCD．
方法一：
过O做OH⊥EC于H,由（Ⅰ）知BD⊥面PAC,所以BD⊥EC,所以EC⊥面BOH,BH⊥EC，
所以∠OHB是二面角A﹣EC﹣B的平面角．
在△PAC中，，所以PA2+PC2=AC2，即AP⊥PC．所以．
，得，
，，所以二面角A﹣EC﹣B的余弦值为．方法二：
如图,以建立空间直角坐标系，
，B(0,1,0），,，
，,．
设面BEC的法向量为，则，
即，得方程的一组解为,
即．
又面AEC的一个法向量为，
所以，所以二面角A﹣EC﹣B的余弦值为．
21．已知函数f（x）=（x﹣1）e x+ax2有两个零点．
(Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ)设x1，x2是f（x）的两个零点，证明x1+x2＜0．
【考点】利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断．【分析】(Ⅰ)求出f’（x）=xe x+2ax=x(e x+2a），通过（i）当a＞0时,判断函数的单调性，判断零点个数;（ii）若a=0,判断f(x)只有一个零点．（iii）若a＜0，利用单调性判断零点个数即可．
(Ⅱ)不妨设x1＜x2．推出x1＜﹣x2．利用函数f（x）在(﹣∞，0）单调递减,证明f（﹣x2)＜0．令g(x）=（﹣x﹣1）e﹣x+（1﹣x）e x，x ∈(0，+∞)．利用g'（x）=﹣x(e﹣x+e x)＜0，转化证明即可．
【解答】（本小题满分12分)
解：（Ⅰ）f’(x）=xe x+2ax=x（e x+2a)
（i）当a＞0时，
函数f(x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0,+∞)单调递增．
∵f(0）=﹣1＜0，f(2）=e2+4a＞0，
取实数b满足b＜﹣2且b＜lna，则f（b)＞a（b﹣1)+ab2=a（b2+b ﹣1）＞a（4﹣2﹣1）＞0，
所以f(x）有两个零点．
（ii)若a=0，则f（x）=（x﹣1）e x，故f（x）只有一个零点．（iii)若a＜0，由（I)知，
当,则f（x）在(0,+∞）单调递增，又当x≤0时,f（x）＜0,故f(x）不存在两个零点；
当,则函数在(ln(﹣2a），+∞）单调递增;在（0，ln（﹣2a))单调递减．又当x≤1时，f（x）＜0，故不存在两个零点．
综上所述，a的取值范围是（0，+∞）．
证明：（Ⅱ）不妨设x1＜x2．
由(Ⅰ)知x1∈(﹣∞，0），x2∈(0，+∞），﹣x2∈（﹣∞，0）,则x1+x2＜0等价于x1＜﹣x2．
因为函数f（x）在（﹣∞,0）单调递减,
所以x1＜﹣x2等价于f(x1）＞f(﹣x2），即证明f（﹣x2）＜0．
由，得，
,
令g（x）=（﹣x﹣1)e﹣x+（1﹣x）e x,x∈(0，+∞）．
g’（x）=﹣x(e﹣x+e x)＜0,g(x）在（0，+∞）单调递减，又g（0）=0,所以g(x）＜0，
所以f(﹣x2）＜0,即原命题成立．
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4—4：坐标系与参数方程］
22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(θ为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρsin（θ+）=2
(Ⅰ)直接写出C1的普通方程和极坐标方程,直接写出C2的普通方程;（Ⅱ)点A在C1上,点B在C2上,求｜AB|的最小值．
【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程．
【分析】(Ⅰ）把圆C1的参数方程变形,两式平方作和可得普通方程，进一步求得极坐标方程，展开两角和的正弦,结合x=ρcosθ，y=ρsinθ可得C2的普通方程；
（Ⅱ)由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，可得直线和圆
相离,由点到直线的距离减去圆的半径求得｜AB｜的最小值．
【解答】解：（Ⅰ)由,得，两式平方作和得：（x+2）2+y2=4，
C1的极坐标方程为ρ=﹣4cosθ，
由ρsin(θ+）=2,得,
即，
得x+y﹣4=0．
（Ⅱ)C1是以点（﹣2，0）为圆心，半径为2的圆，C2是直线．
圆心到直线C2的距离为＞2,直线和圆相离．
∴｜AB｜的最小值为．
［选修4—5：不等式选讲］
23．已知f（x）=|x﹣a|+｜x﹣1|
（Ⅰ）当a=2，求不等式f（x）＜4的解集;
（Ⅱ）若对任意的x，f(x）≥2恒成立，求a的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．
【分析】（Ⅰ）将a的值带入，通过讨论x的范围,求出不等式的解集即可;
（Ⅱ）根据绝对值的性质得到关于a的不等式,解出即可．
【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，不等式f(x）＜4，即｜x﹣2｜+|x﹣1|＜4，
可得，或或，
解得：﹣＜x＜，所以不等式的解集为{x｜﹣＜x＜}．
（Ⅱ)∵｜x﹣a|+|x﹣1|≥|a﹣1｜，当且仅当(x﹣a）（x﹣1)≤0时等号成立，
由|a﹣1|≥2，得a≤﹣1或a≥3，
即a的取值范围为（﹣∞,﹣1］∪［3，+∞)．
2017年3月15日。