广东省广州市南沙区第一中学2017-2018学年高一数学上学期期中试题(含解析)

南沙一中2017学年第一学期期中考试高一数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 若集合M={-1，0，1},则下面结论中正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据元素与集合之间是属于、不属于的关系，集合与集合之间为包含和包含于的关系可得：，故选A.
2. 已知全集,，则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵全集，集合，∴，故选D.
3. 函数的定义域是（）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】要使函数有意义，则需，解得：，所以函数的定义域是：
，故选．
4. 下列四个函数中，满足的函数是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵不恒成立，∴选项A不满足；恒成立，∴选项B满足；不恒成立，∴选项C不满足
；不恒成立，∴选项D不满足，故选B.
5. 下列四组函数中，表示同一函数的一组是( )
A. ，
B. ，
C. ，，，，
D. ，
【答案】D
【解析】对于A，的定义域为，的定义域为R，两者定义域不同，故
不合题意；对于B：的定义域为，的定义域为，两者定义域不同，故不合题意；对于C：两个函数的定义域分别为和，两者定义域不同，故不合题意；对于D：由于，故两者为同一函数，故选D.
点睛：本题主要考查了判断两个函数是否为同一函数，属于基础题；函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系均相同时才是同一函数，值得注意的是判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于定义域内任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同.
6. 函数的单调递增区间是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】函数开口向上，对称轴是，函数在递增，故选B.
7. 下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】选项，是奇函数，故错误；
选项，是偶函数，在上是减函数，故错误；
选项，是偶函数，时，，
所以在上是减函数，故错误，
综上所述，故选．
8. 已知，，，则（）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由于，，，则，故选C.
9. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】∵函数是定义在上的奇函数，∴，故选
C.
10. 函数的图象可能是（）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】当时，函数单调递增，且时，，
故，错误；
当时，函数单调递减，且时，，
故错误，正确．
综上，故选．
11. 给出下列四种说法：
（）函数与函数的定义域相同；
（）函数与的值域相同；
（）函数与均是奇函数；
（）函数与在上都是增函数．
其中正确说法的序号是( )
A. (1)、（2）
B. （1）、（3）
C. （1）（2）、(3)
D. (1) 、（2）、(3)、(4) 【答案】B
【解析】（1）函数的定义域为，函数的定义域也为，故正确；（2）函数的值域为，函数的值域为，故错误；（3）函数的定义域为，∵，∴，故为奇函数；的定义域，∵，∴，故其为奇函数，故（3）正确；（4）函数与在递减，函数在上递增，故错误；综上故选B.
12. 已知是定义在上的奇函数，当时，，函数，如果对于任意，存在，使得，则实数的取值范围是（）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵是定义在的奇函数，
∴，
当时，，
∴当时，的值域为：；
∵，对称轴为：，
∴，，
即的值域为．
∵对于任意的，存在，便得，
则且，
即且，
解得：，
所以实数的取值范围是：，
故选．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13. 函数的定义域是____________。

【答案】
【解析】要使函数有意义需满足，解得，故函数的定义域是，故答案为.
点睛：本题主要考查了具体函数的定义域问题，属于基础题；常见的形式有：1、分式函数分母不能为0；2、偶次根式下大于等于0；3、对数函数的真数部分大于0；4、0的0次方无意义；5、对于正切函数，需满足等等，当同时出现时，取其交集.
14. 幂函数经过点(2,8)，则该幂函数的解析式是____________。

【答案】
【解析】设幂函数解析式为，
∵幂函数经过点，
∴，解得，
故该幂函数的解析式是：．
15. 已知集合，，则____________。

【答案】
【解析】由，得：，则
，故答案为.
点睛：首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.解指数或对数不等式要注意底数对单调性的影响.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目.
16. 已知函数_____________。

【答案】
【解析】.
三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17. 设，．
（）当时，求，．
（）当时，求实数的取值范围．
【答案】（1），；（2）
【解析】试题分析：（1）先分别求集合A,B，再利用数轴求，．（2）根据数轴确定满足时的实数的取值范围．
试题解析：解：（）当时，或，
，
∴，．
（）或，，
∵,
∴，，
故实数的取值范围是：．
18. 已知函数（1）在图给定的直角坐标系内画出的图象；（2）写出的单调递增区间。

【答案】（1）见解析；（2）和
【解析】试题分析：（1）时，函数为二次函数，开口向下，时，函数为一次函数，为增函数；（2）结合（1）的图象可知，函数的增区间为.
试题解析：
（1）函数的图象如图所示：
（2）由图像可知，函数的单调递增区间为．
考点：函数图象与单调性．
19. 已知．
（1）求函数的定义域．
（2）判断函数的奇偶性．
（3）求的值．
【答案】（1）；（2）偶函数；（3）
【解析】略
20. 已知函数是定义域在上的奇函数，并．
（）求函数的解析式．
（）判断的单调性，并证明你的结论．
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】试题分析：（1）利用函数为奇函数，可得，利用，可得，从而可得函数的解析式；（2）根据函数单调性的定义取值、作差、化简、下结论判断并证明函数在
上单调性.
试题解析：（）根据题意可以知道，∴，∴，∴，∴，∴，因此，函数的解析式是．
（）设任意的，且,则
，∵∴，∵
∴∴，又，∴，∴，即，因此，函数在上单调递增。

21. （某厂生产某种零件，每个零件的成本为元，出厂单价元，该厂为鼓励销售商订购．决定当一次订购超过个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低元，但实际出厂价不低于元．
（）当一次订购量为多少时，零件的实际出厂单价降为元？
（）当一次订购量为个，零件的实际出厂单价为元，写出函数的表达式．
（）当销售商一次订购个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购个，利润又是多少？
【答案】（1）51；（2）；（3）见解析
【解析】试题分析：（1）设一次订购量为x0个，根据题意可得；（2）零件的实际出厂单价为P元，与订单个数有关，当时，P＝60；当时，
，当时，P＝51，所以可得p函数；（3）设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则，由（2）可得L的解析式，求得每段上的最大值，即可得函数的最大值，即利润的最大值
试题解析：（1）设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则x0＝100＋＝550．
因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元．
（2）当时，P＝60；
当时，
当时，P＝51．
所以P＝f（x）＝
（3）设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，
则L＝（P－40）x＝
当x＝500时，L＝6 000；
当x＝1 000时，L＝11 000．
因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6 000元；
如果订购1 000个，利润是11 000元．
考点：1．函数的实际应用问题；2．函数的最值
22. 已知函数且．
（1）求的值．
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：（1）由函数的解析式以及，求得的值；（2）由题意可
得当时，恒成立，令，则，且，利用单调性求得，从而可得的范围.
试题解析：（1）对于函数，由，求得，故
．
（2）∵当，恒成立，即恒成立，令，则，且，因为在上单调递减，∴，∴．。