开福区一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

开福区一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 如图，AB 是半圆O 的直径，AB ＝2，点P 从A 点沿半圆弧运动至B 点，设∠AOP ＝x ，将动点P 到A ，B 两点的距离之和表示为x 的函数f （x ），则y ＝f （x ）的图象大致为（ ）
2． 已知三个数1a -，1a +，5a +成等比
数列，其倒数重新排列后为递增的等比数列
{}n a 的前三
1212
111
n n
a a a a a a +++≤
+++
成立的项，则能使不等式
自然数的最大值为（ ）
A ．9
B ．8 C.7 D ．5 3． 过直线3x ﹣2y+3=0与x+y ﹣4=0的交点，与直线2x+y ﹣1=0平行的直线方程为（ ） A ．2x+y ﹣5=0
B ．2x ﹣y+1=0
C ．x+2y ﹣7=0
D ．x
﹣2y+5=0
4． 如图，空间四边形
OABC 中，，
，
，点M
在OA 上，且
，点N 为BC 中点，
则
等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5． 将正方形的每条边8等分，再取分点为顶点（不包括正方形的顶点），可以得到不同的三角形个数为（ ） A ．1372 B ．2024 C ．3136 D ．4495
6． 已知条件p ：x 2+x ﹣2＞0，条件q ：x ＞a ，若q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围可以是（ ） A ．a ≥1 B ．a ≤1 C ．a ≥﹣1
D ．a ≤﹣3
7． 已知圆M 过定点)1,0(且圆心M 在抛物线y x 22
上运动，若x 轴截圆M 所得的弦为||PQ ，则弦长
||PQ 等于（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．与点位置有关的值
【命题意图】本题考查了抛物线的标准方程、圆的几何性质，对数形结合能力与逻辑推理运算能力要求较高，难度较大.
8． 给出下列各函数值：①sin100°；②cos （﹣100°）；③tan （﹣100°）；④．其中符号为
负的是（ ） A ．①
B ．②
C ．③
D ．④
9． 圆锥的高扩大到原来的 倍，底面半径缩短到原来的
1
2
，则圆锥的体积（ ） A.缩小到原来的一半 B.扩大到原来的倍 C.不变 D.缩小到原来的
16
10．已知实数a ，b ，c 满足不等式0＜a ＜b ＜c ＜1，且M=2a ，N=5﹣b ，P=（）c ，则M 、N 、P 的大小关系为（ ）
A ．M ＞N ＞P
B ．P ＜M ＜N
C ．N ＞P ＞M
11．已知
，其中i 为虚数单位，则a+b=（ ）
A ．﹣1
B ．1
C ．2
D ．3
12．如图表示的是四个幂函数在同一坐标系中第一象限内的图象，则幂函数y=x 的图象是（ ）
A ．①
B ．②
C ．③
D ．④
二、填空题
13．若曲线f （x ）=ae x +bsinx （a ，b ∈R ）在x=0处与直线y=﹣1相切，则b ﹣a= ． 14．函数()x f x xe =在点()()
1,1f 处的切线的斜率是 .
15．已知各项都不相等的等差数列{}n a ，满足223n n a a =-，且2
6121a a a =∙，则数列12n n S -⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
项中 的最大值为_________.
16．如图，在棱长为的正方体1111D ABC A B C D -中，点,E F 分别是棱1,BC CC 的中点,P 是侧 面11BCC B 内一点，若1AP 平行于平面AEF ,则线段1A P 长度的取值范围是_________.
17．已知A （1，0），
P ，Q 是单位圆上的两动点且满足，则+的最大值为 ．
18．分别在区间[0,1]、[1,]e 上任意选取一个实数a b 、，则随机事件“ln a b ≥”的概率为_________.
三、解答题
19．如图所示，在边长为
的正方形ABCD 中，以A 为圆心画一个扇形，以O 为圆心画一个圆，M ，N ，
K 为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O 为圆锥底面，围成一个圆锥，求圆锥的全面积与体积．
20．已知全集U=R ，函数
y=
+
的定义域为A ，B={y|y=2x
，1≤x ≤2}，求：
（1）集合A ，B ； （2）（∁U A ）∩B ．
21．本小题满分12分如图，在边长为4的菱形ABCD 中，60BAD ∠=，点E 、F 分别在边CD 、CB 上．点
E 与点C 、D 不重合，E
F AC ⊥，EF AC O =，沿EF 将CEF ∆翻折到PEF ∆的位置，使平面PEF ⊥
平面ABFED ．
Ⅰ求证：BD ⊥平面POA ；
Ⅱ记三棱锥P ABD -的体积为1V ，四棱锥P BDEF -的体积为2V ，且1243
V V =，求此时线段PO 的长．
P
A
B
C
D
O
E
F F
E
O D
C
B
A
226
（2）求年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程；
（3）若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额．
23．（本题满分12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+1．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）令b n=n（a n+1），求数列{b n}的前n项和T n．
24．已知函数f（x）=|x﹣m|，关于x的不等式f（x）≤3的解集为[﹣1，5]．（1）求实数m的值；
（2）已知a，b，c∈R，且a﹣2b+2c=m，求a2+b2+c2的最小值．
开福区一中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】
【解析】选B.取AP 的中点M ， 则P A ＝2AM ＝2OA sin ∠AOM
＝2sin x
2，
PB ＝2OM ＝2OA ·cos ∠AOM ＝2cos x
2
，
∴y ＝f （x ）＝P A ＋PB ＝2sin x 2＋2cos x 2＝22sin （x 2＋π
4），x ∈[0，π]，根据解析式可知，只有B 选项符合要求，
故选B.
2． 【答案】C
【解析】
试题分析：因为三个数1,1,5a a a -++等比数列，所以()()()2
115,3a a a a +=-+∴=，倒数重新排列后恰
好为递增的等比数列{}n a 的前三项，为111,,842，公比为，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是以为首项，12为公比的等比数列，则
不等式1212
11
1n n a a a a a a ++
+≤
+++等价为()1181122811212
n n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤--，整理，得722,17,n n n N +≤∴
≤≤≤∈，故选C. 1
考点：1、等比数列的性质；2、等比数列前项和公式. 3． 【答案】A 【解析】解：联立，得x=1，y=3，
∴交点为（1，3），
过直线3x ﹣2y+3=0与x+y ﹣4=0的交点， 与直线2x+y ﹣1=0平行的直线方程为：2x+y+c=0， 把点（1，3）代入，得：2+3+c=0， 解得c=﹣5，
∴直线方程是：2x+y ﹣5=0， 故选：A ．
4． 【答案】B
【解析】解： ===；
又，
，
，
∴．
故选B ．
【点评】本题考查了向量加法的几何意义，是基础题．
5． 【答案】
C
【解析】
【专题】排列组合．
【分析】分两类，第一类，三点分别在三条边上，第二类，三角形的两个顶点在正方形的一条边上，第三个顶点在另一条边，根据分类计数原理可得．
【解答】解：首先注意到三角形的三个顶点不在正方形的同一边上．任选正方形的三边，使三个顶点分别在其
上，有4种方法，
再在选出的三条边上各选一点，有73种方法．这类三角形共有4×73
=1372个．
另外，若三角形有两个顶点在正方形的一条边上，第三个顶点在另一条边上，则先取一边使其上有三角形的两个顶点，有4种方法， 再在这条边上任取两点有21种方法，然后在其余的21个分点中任取一点作为第三个顶点．这类三角形共有4×21×21=1764个． 综上可知，可得不同三角形的个数为1372+1764=3136．
故选：C ．
【点评】本题考查了分类计数原理，关键是分类，还要结合几何图形，属于中档题． 6． 【答案】A
【解析】解：∵条件p ：x 2
+x ﹣2＞0， ∴条件q ：x ＜﹣2或x ＞1 ∵q 是p 的充分不必要条件 ∴a ≥1 故选A ．
7． 【答案】A
【解析】过M 作MN 垂直于x 轴于N ，设),(00y x M ，则)0,(0x N ，在MNQ Rt ∆中，0||y MN =，MQ 为
圆的半径，NQ 为PQ 的一半，因此
22222222
00000||4||4(||||)4[(1)]4(21)PQ NQ MQ MN x y y x y ==-=+--=-+
又点M 在抛物线上，∴02
02y x =，∴2200||4(21)4PQ x y =-+=，∴2||=PQ .
8． 【答案】B
【解析】解：：①sin100°＞0，②cos （﹣100°）=cos100°＜0，③tan （﹣100°）=﹣tan100＞0，
④∵sin
＞0，cos π=﹣1，tan
＜0，
∴＞0，
其中符号为负的是②， 故选：B ．
【点评】本题主要考查三角函数值的符号的判断，判断角所在的象限是解决本题的关键，比较基础．
9． 【答案】A 【解析】
试题分析：由题意得，设原圆锥的高为，底面半径为，则圆锥的体积为2
113
V r h π=，将圆锥的高扩大到原来的倍，底面半径缩短到原来的12，则体积为2
22111(2)326
V r h r h ππ=⨯=，所以122V V =，故选A.
考点：圆锥的体积公式.1 10．【答案】A
【解析】解：∵0＜a ＜b ＜c ＜1，
∴1＜2a
＜2，
＜5﹣b ＜1，
＜（）c
＜1，
5﹣b =（）b
＞（
）c
＞（
）c
，
即M ＞N ＞P ，
故选：A
【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据幂函数和指数函数的单调性的性质是解决本题的关键．
11．【答案】B
【解析】解：由得a+2i=bi ﹣1，所以由复数相等的意义知a=﹣1，b=2，所以a+b=1
另解：由得﹣ai+2=b+i （a ，b ∈R ），则﹣a=1，b=2，a+b=1．
故选B ．
【点评】本题考查复数相等的意义、复数的基本运算，是基础题．
12．【答案】D
【解析】解：幂函数y=x 为增函数，且增加的速度比价缓慢，
只有④符合． 故选：D ．
【点评】本题考查了幂函数的图象与性质，属于基础题．
二、填空题
13．【答案】 2 ．
【解析】解：f （x ）=ae x +bsinx 的导数为f ′（x ）=ae x
+bcosx ，
可得曲线y=f （x ）在x=0处的切线的斜率为k=ae 0
+bcos0=a+b ， 由x=0处与直线y=﹣1相切，可得a+b=0，且ae 0
+bsin0=a=﹣1，
解得a=﹣1，b=1， 则b ﹣a=2． 故答案为：2．
14．【答案】2e 【解析】 试题分析：
()(),'x x x f x xe f x e xe =∴=+，则()'12f e =，故答案为2e .
考点：利用导数求曲线上某点切线斜率. 15．【答案】
【解析】
考
点：1.等差数列的通项公式；2.等差数列的前项和．
【方法点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前项和公式.等差数列的通项公式及前项和公式,共涉及1,,,,n n a a d n S 五个量,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.数列的通项公式和前项和公式在解题中起到变量代换作用,而1,a d 是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法.
16．【答案】42⎡⎢⎣
⎦， 【解析】
考点：点、线、面的距离问题.
【方法点晴】本题主要考查了点、线、面的距离问题，其中解答中涉及到直线与平面平行的判定与性质，三角形的判定以及直角三角形的勾股定理等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，同时考查了学生空间想象能力的训练，试题有一定的难度，属于中档试题.
17．【答案】．
【解析】解：设=，则==，的方向任意．
∴+==1××≤，因此最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了数量积运算性质，考查了推理能力 与计算能力，属于中档题．
18．【答案】1e e
- 【解析】解析： 由ln a b ≥得a b e ≤，如图所有实数对(,)a b 表示的区域的面积为e ，满足条件“a b e ≤”的
实数对(,)a b 表示的区域为图中阴影部分，其面积为1
1
001|a a e da e e ==-⎰，∴随机事件“ln a b ≥”的概率为1e e
-． 三、解答题
19．【答案】
【解析】解：设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，高为h ，
由已知条件
，
解得，，，
∴S=πrl+πr 2=10π，
∴
20．【答案】
【解析】解：（1）由
，解得0≤x ≤3
A=[0，3]， 由B={y|y=2x ，1≤x ≤2}=[2，4]，
（2））∁U A=（﹣∞，0）∪[3，+∞），
∴（∁U A ）∩B=（3，4]
21．【答案】
【解析】Ⅰ证明：在菱形ABCD 中，
∵BD AC ⊥，∴BD AO ⊥．
∵EF AC ⊥，∴PO EF ⊥，
∵平面PEF ⊥平面ABFED ，平面PEF
平面ABFED EF =，且PO ⊂平面PEF ，
∴PO ⊥平面ABFED ，
∵BD ⊂平面ABFED ，∴PO BD ⊥．
∵AO
PO O =，∴BD ⊥平面POA ． Ⅱ设AO BD H =．由Ⅰ知，PO ⊥平面ABFED ，
∴PO 为三棱锥P ABD -及四棱锥P BDEF -的高， ∴1211,33ABD BFED V S PO V S PO ∆=⋅=⋅梯形，∵1243
V V =， ∴3344ABD CBD BFED S S S ∆∆==梯形，∴14
CEF CBD S S ∆∆=， ∵,BD AC EF AC ⊥⊥，
∴//EF BD ，∴CEF ∆∽CBD ∆． ∴21()4
CEF CBD S CO CH S ∆∆==，
∴111222
CO CH AH ===⨯
∴PO OC == 22．【答案】
【解析】解：（1）依题意，画出散点图如图所示，
（2）从散点图可以看出，这些点大致在一条直线附近，
设所求的线性回归方程为
．
则，
∴年推销金额y 关于工作年限x
的线性回归方程为=0.5x+0.4．
（3）由（2）可知，当x=11
时， =0.5x+0.4=0.5×11+0.4=5.9（万元）． ∴可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元．
23．【答案】解：（1）∵a n+1=2a n +1，
∴a n+1+1=2（a n +1），
又∵a 1=1，
∴数列{a n +1}是首项、公比均为2的等比数列，
∴a n +1=2n ，
∴a n =﹣1+2n ； 6分
（2）由（1）可知b n =n （a n +1）=n •2n =n •2n ﹣1，
∴T n =1•20+2•2+…+n •2n ﹣1，
2T n =1•2+2•22…+（n ﹣1）•2n ﹣1+n •2n ，
错位相减得：﹣T n =1+2+22…+2n ﹣1﹣n •2n
=﹣n •2n
=﹣1﹣（n ﹣1）•2n ，
于是T n =1+（n ﹣1）•2n ． 则所求和为12n
n 6分
24．【答案】
【解析】解：（1）|x ﹣m|≤3⇔﹣3≤x ﹣m ≤3⇔m ﹣3≤x ≤m+3，由题意得，解得m=2；
（2）由（1）可得a ﹣2b+2c=2，
由柯西不等式可得（a 2+b 2+c 2）[12+（﹣2）2+22]≥（a ﹣2b+2c ）2=4，
∴a 2+b 2+c 2≥
当且仅当，即a=，b=﹣，c=时等号成立，
∴a 2+b 2+c 2的最小值为．
【点评】本题主要考查绝对值三角不等式、柯西不等式的应用，属于基础题．。