江苏省无锡市宜兴外国语学校九年级数学下学期期中(一

江苏省无锡市宜兴外国语学校2014届九年级下学期期中考试（中考一模）数学试
题
一、精心选一选（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每题的四个选项中，只有一个．．．．
符合题意）： 1．
的相反数是（ ） A ． B ．﹣ C ．3 D ．-3
2．下列运算正确的是（ ）
A ．a 2•a 3=a 6
B ．（a 4）3=a 12
C ．（﹣2a ）3=﹣6a 3
D ．a （a ﹣1）=a 2﹣1
3．如图所示，∠1+∠2=180°，∠3=100°，则∠4等于（ ）
A ．100°
B ．90°
C ．80°
D ．70°
4．⊙O 的半径为8，圆心O 到直线l 的距离为4，则直线l 与⊙O 的位置关系是（ ）
A ．相切
B ．相交
C ．相离
D ．不能确定
5．在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，则估计盒子中大约有白球（ ）
A ．12个
B ．16个
C ．20个
D ．30个
6．要了解甲乙两名学生成绩的稳定情况，可以通过什么统计量来决策（ ）
A ．平均数
B ．中位数
C ．方差
D ．众数
7．一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是（ ）
A ．正六边形
B ．正八边形
C ．正十边形
D ．正十二边形
8．已知A （﹣1，y 1），B （2，y 2）两点在双曲线y=
上，且 y 1＞y 2，则m 的取值范围是（ ） A ．m
＜0 B ．m ＞0 C ．m ＞﹣ D ．m ＜﹣
9．如图，在半径为5的⊙O 中，AB ，CD 是互相垂直的两条弦，垂足为P ，且AB=CD=8，则OP 的长为（ ）
A ．3
B ．4
C ．32
D ．24
10．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象如图所示，若|ax 2＋bx ＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根，则k
的取值范围是（ ）
A ．k ＜－3
B ．k ＞－3
C ．k ＜3
D ．k ＞3
二、仔细填一填 (本大题共8小题，每空2分，共计16分)：
11．5的平方根是 ．
12．在函数1+=x y 中，自变量x 的取值范围是 。

13.分解因式：2327x -＝ .
14．圆锥底面圆的半径为3m ，其侧面展开图是半圆，则圆锥母线长为 .
15．二次函数142
+-=x x y 的顶点坐标为 .
16．如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点。

若EF ＝2，BC ＝5，CD ＝3，则tan C 等于 ．
17．如图①，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A=60°，动点P 从A 点出发，以1cm/s 的速度沿着A→B→C→D 的方
向不停移动，直到点P 到达点D 后才停止．已知△PAD 的面积S （单位：cm 2）与点P 移动的时间（单位：s ）
的函数如图②所示，则点P 从开始移动到停止移动一共用了 秒（结果保留根号）．
警示戒烟 强制戒烟 药物戒烟 替代品戒烟 10% 15% 强制 戒烟 警示 戒烟 替代品 戒烟 药物 戒烟 戒烟方式 人数 200 200 150 100 50 50 0 250 18．如图，点A 在双曲线x
k y =的第一象限的那一支上，AB ⊥y 轴于点B ，点C 在x 轴正半轴上，且OC=2AB ，点E 在线段AC 上，且AE=3EC ，点D 为OB 的中点，若△ADE 的面积为3，则k 的值为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共计84分．解答时应写出必要的证明过程或演算步骤．）
19．（本题满分8分）（1）计算： sin60°+|1﹣|+-1 （2）化简：)3)(1(2)2(2
+---x x x 20．（本题满分8分）（1）解不等式组 ⎪⎩⎪⎨⎧-≤-<+x x x x 2382
1148 （2）解方程：022=--x x 21.（本题满分8分）如图，在菱形ABCD 中，AC 为对角线，点E 、F 分别是边BC 、AD 的中点．
（1）求证：△ABE ≌△CDF ；
（2）若∠B=60°，AB=4，求线段AE 的长．
22．（本题满分8分）在3×3的方格纸中，点A 、B 、C 、D 、E 、F 分别位于如图所示的小正方形的顶点上．
（1）从A 、D 、E 、F 四个点中任意取一点，以所取的这一点及点B 、C 为顶点画三角形，则
所画三角形是等腰三角形的概率是 ；
（2）从A 、D 、E 、F 四个点中先后任意取两个不同的点，以所取的这两点及点B 、C 为顶点
画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率。

（用树状图或列表法求解）．
23．（本题满分8分）吸烟有害健康，为配合“戒烟”运动，某校组织同学们在社区开展了
“你支持哪种戒烟方式”的随机问卷调查，并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图：
根据统计图解答下列问题： （1）同学们一共调查了 人？
（2）将条形统计图补充完整。

（3）若该社区有1万人，请你估计大约有多少人支持“警示戒烟”这种方式？
（4）为了让更多的市民增强“戒烟”意识，同学们在社区做了两期“警示戒烟”的宣传。

在（3）的条件下，若每期宣传后，市民支持“警示戒烟”的平均增长率为20%，则两期宣传后支持“警示戒烟”的市民约有多少人？
24．（本题满分8分）某文具商店销售功能相同的A 、B 两种品牌的计算器，购买2个A 品牌和3个B 品牌的计算器共需156元；购买3个A 品牌和1个B 品牌的计算器共需122元．
（1）求这两种品牌计算器的单价；
（2）学校开学前夕，该商店对这两种计算器开展了促销活动，具体办法如下：A 品牌计算器按原价的八折销售，B 品牌计算器5个以上超出部分按原价的七折销售，设购买x 个A 品牌的计算器需要y 1元，购买x 个B 品
C
A B D 第26题图 E O ┐ α 牌的计算器需要y 2元，分别求出y 1、y 2关于x 的函数关系式；
（3）小明准备联系一部分同学集体购买同一品牌的计算器，若购买计算器的数量超过5个，购买哪种品牌的计算器更合算？请说明理由．
25．（本题满分8分) 如图，在东西方向的海岸线l 上有一长为1千米的码头MN ，在码头西端M 的正西方向30 千米处有一观察站O ．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于O 的北偏西30°方向，且与O 相距千米的A 处；经过40分钟，又测得该轮船位于O 的正北方向，且与O 相距20千米的B 处．
（1）求该轮船航行的速度；
（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN 靠岸？请说明理由．
26．（本题满分8分）如图所示,AC AB ⊥,3AB =2AC =,点D 是以AB 为直径的半圆O 上一动点, DE CD ⊥交直线AB 于点E ,设(090)DAB αα∠=︒<<︒.
(1)当18α=︒时,求弧BD 的长； (2)当30α=︒时,求线段BE 的长； (3)若要使点E 在线段BA 的延长线上,则α的取值范围是_________.(直接写出答案)
27．（本题满分10分）矩形纸片ABCD 中，AB=5，AD=4．
（1）如图1，四边形MNEF 是在矩形纸片ABCD 中裁剪出一个正方形．你能否在该矩形中裁剪出一个面积最大的正方形，最大面积是多少？说明理由；
（2）请用矩形纸片ABCD 剪拼成一个面积最大的正方形．要求：在图2的矩形ABCD 中画出裁剪线，并在网格中画出用裁剪出的纸片拼成的正方形示意图（使正方形的顶点都在网格的格点上）．
28．（本题满分10分）如图，二次函数c bx ax y ++=2
的图象交x 轴于A （-1，0），B （2，0），交y 轴于C （0，-2），过A ，C 画直线．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P 在x 轴正半轴上，且PA=PC ，求OP 的长；
（3）点M 在二次函数图象上，以M 为圆心的圆与直线AC 相切，切点为H ．
①若M 在y 轴右侧，且△CHM ∽△AOC （点C 与点A 对应），求点M 的坐标；
②若⊙M 的半径为 55
4，求点M 的坐标．
初三数学期中考试答案
24.解（1）A ，B 两种品牌计算机的单价为30元，32元 （3分）
（2）由题意可知：10.830y x =⨯，即124y x = （4分）
当05x ≤≤时，232y x = （5分）
当5x >时，232532(5)0.7y x =⨯+-⨯，即222.448y x =+ （6分）
（3）当购买数量超过5个时，222.448y x =+。

①当12y y <时，2422.448,30x x x <+∴< 即当购买数量超过5个而不足30个时，购买A 品牌的计算机更合算
②当12y y =时，2422.448,30x x x =+∴= 即当购买数量为30个时，购买两种品牌的计算机花费相同。

③当12y y >时，2422.448,30x x x >+∴> 即当购买数量超过30个时，购买B 品牌的计算机更合算 （8分）
25．轮船航行的速度为：（千米/时） （4分）
＞30+1，∴该轮船不改变航向继续航行，不能行至码头MN 靠岸． （8分）
26．解: (1)连接OD ,在⊙O 中，∵18DAB ∠=︒,∴236DOB DAB ∠=∠=︒………1分
又∵23AB =,∴»363
31805BD l ππ
⨯== …………………………………………2分
(2)∵AB 为⊙O 的直径,∴90ADB ∠=︒,又∵30DAB ∠=︒,23AB =,
∴3BD =，cos303AD AB =⋅︒=……………………………………………………3分
又∵AC AB ⊥, ∴90CAB ∠=︒, ∴90CAD DAB ∠+∠=︒,
又∵90ADB ∠=︒, ∴90DAB B ∠+∠=︒,∴CAD B ∠=∠ ………………………4分
又∵ DE CD ⊥,∴90CDE ∠=︒,∴90CDA ADE ∠+∠=︒,
又∵90ADE EDB ∠+∠=︒,∴CDA EDB ∠=∠,∴CDA ∆∽EDB ∆ ……………5分
∴AC AD BE BD =,又∵2AC =, ∴2
3BE =,∴23
3BE = ………………………6分
（3）60︒＜α＜90︒………………………………………………………………………8分
28.解：（1）y =x 2﹣x ﹣2即； 2分
（2）设OP =x ，则PC =PA =x +1，
在Rt △POC 中，由勾股定理，得x 2+22=（x +1）2，解得，x =， 即OP =； 4分
（3）①∵△CHM ∽△AOC ，∴∠MCH =∠CAO ，
（i ）如图1，当H 在点C 下方时，
∵∠MCH =∠CAO ，∴CM ∥x 轴，∴y M =﹣2，
∴x 2﹣x ﹣2=﹣2，解得x 1=0（舍去），x 2=1，∴M （1，﹣2）， 6分
（ii ）如图1，当H 在点C 上方时，
∵∠MCH =∠CAO ，
∴PA =PC ，由（2）得，M 为直线CP 与抛物线的另一交点，
设直线CM 的解析式为y =kx ﹣2，
把P（，0）的坐标代入，得k﹣2=0，
解得k=，∴y=x﹣2，
由x﹣2=x2﹣x﹣2，解得x1=0（舍去），x2=，此时y=×﹣2=，
∴M′（，）， 8分
②在x轴上取一点D，如图（备用图），过点D作DE⊥AC于点E，使DE=，
在Rt△AOC中，AC===，
∵∠COA=∠DEA=90°，∠OAC=∠EAD，
∴△AED∽△AOC，
∴=，即=，解得AD=2，∴D（1，0）或D（﹣3，0）．
过点D作DM∥AC，交抛物线于M，如图（备用图）
则直线DM的解析式为：y=﹣2x+2或y=﹣2x﹣6，
当﹣2x﹣6=x2﹣x﹣2时，即x2+x+4=0，方程无实数根，
当﹣2x+2=x2﹣x﹣2时，即x2+x﹣4=0，解得x1=，x2=，
∴点M的坐标为（，3+）或（，3﹣）． 10分。