内蒙古包头市重点中学2019-2020学年高一下学期期末2份数学调研试题

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若关于x 的不等式(
)
2
2log 230ax x -+>的解集为R ，则a 的取值范围是（ ） A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．1,2⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
D ．1
,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭
2．为了得到函数πsin(2)3
y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点
A ．向左平行移动
π
3个单位长度 B ．向右平行移动π
3个单位长度
C ．向左平行移动π
6个单位长度
D ．向右平行移动π
6
个单位长度
3．用数学归纳法证明1+a+a 2
+…+a n+1
=2
11n a a
+-- （a≠1，n ∈N *），在验证n=1成立时，左边的项是（ ）
A ．1
B ．1+a
C ．1+a+a 2
D ．1+a+a 2+a 4
4．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =
A ．
31
44AB AC - B ．
1344AB AC - C ．31
44
+AB AC
D ．1344
+AB AC
5．已知向量(2,0)a
=，||1b =，1a b ⋅=-，则a 与b 的夹角为（ ）
A ．
6
π B ．
4
π
C ．
3
π D ．
23
π 6．已知数列{a n }为等差数列，1(*)n a n N ≠∈,12019a a +=1，若2()1
x
f x x =-，则122019()()()f a f a f a ⨯⨯⨯＝( ) A ．-22019
B ．22020
C ．-22017
D ．22018
7．计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A ～F 共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：
现在，将十进制整数2019化成16进制数为（ ） A ．7E3
B ．7F3
C ．8E3
D ．8F3
8．设非零向量a ，b 满足a b a b +=-，则（ ）
A ．a b ⊥
B ．a b =
C ．a //
b
D ．a b >
9．已知函数()sin()sin ((0,))2f x x x π
αααπ⎛⎫
=+++
-∈ ⎪⎝
⎭
的最大值是2，则α的值为（ ） A ．6
π B ．
4
π
C ．
3
π D ．
2
π 10．如图，在矩形ABCD 中，AB 4=，2BC =，点P 满足1CP =，记a AB AP =⋅，b AC AP =⋅，
c AD AP =⋅，则,,a b c 的大小关系为( )
A ．a b c >>
B ．a c b >>
C ．b a c >>
D ．b c a >>
11．若221,x y x y +=+则的取值范围是（ ） A ．[]
0,2
B ．[]
2,0-
C ．[]
2,-+∞
D ．[]
,2-∞-
12．若实数,x y 满足约束条件4312,1,33,x y y x x y +≤⎧⎪
≤+⎨⎪-≤⎩
则2z x y =-的最大值与最小值之和为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
二、填空题：本题共4小题 13．已知函数
，
，若直线
与函数
的图象有四个不同的交
点，则实数k 的取值范围是_____.
14．从集合A={-1,1,2}中随机选取一个数记为k,从集合B={-2,1,2}中随机选取一个数记为b,则直线y=kx+b 不经过第三象限的概率为_____.
15．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若2
1461
3
a a a ==，，则S 5=____________． 16．在ABC ∆中,60ABC ∠=, 且5,7AB AC ==,则BC = ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知直线l 1：ax ﹣y ﹣2＝0与直线l 2：（3﹣2a ）x+y ﹣1＝0（a ∈R ）. （1）若l 1与l 2互相垂直，求a 的值：
（2）若l 1与l 2相交且交点在第三象限，求a 的取值范围.
18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥底面ABCD .
（Ⅰ）证明：BD PC ⊥；
（Ⅱ）若60BAD BPA ︒∠=∠=，求二面角P CD A --的余弦值. 19．（6分）在ABC 中，103a =，102b =，45B =︒，解三角形. 20．（6分）已知向量()()4,3,1,2a b ==-． (1)求a 与b 的夹角θ的余弦值；
(2)若向量a b λ-与2a b +垂直，求λ的值．
21．（6分）在某市高三教学质量检测中，全市共有5000名学生参加了本次考试，其中示范性高中参加考试学生人数为2000人，非示范性高中参加考试学生人数为3000人.现从所有参加考试的学生中随机抽取
100人，作检测成绩数据分析.
（1）设计合理的抽样方案（说明抽样方法和样本构成即可）；
（2）依据100人的数学成绩绘制了如图所示的频率分布直方图，据此估计本次检测全市学生数学成绩的平均分；
22．（8分）等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2
2
n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．C 【解析】 【分析】
根据对数的性质列不等式，根据一元二次不等式恒成立时，判别式和开口方向的要求列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围. 【详解】
由(
)
2
22log 23log 1ax x -+>得2231ax x -+>，即2220ax x -+>恒成立，由于0a =时，220
x -+>在R 上不恒成立，故0480
a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得12a >.
故选：C. 【点睛】
本小题主要考查对数函数的性质，考查一元二次不等式恒成立的条件，属于基础题. 2．D 【解析】
试题分析：由题意，为得到函数sin(2)sin[2()]36
y x x π
π
=-=-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点向右平行移动
π
6
个单位长度，故选D. 【考点】三角函数图象的平移
【名师点睛】本题考查三角函数图象的平移，在函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象平移变换中要注意“ω”的影响，变换有两种顺序：一种sin y x =的图象向左平移ϕ个单位得sin()y x ϕ=+的图象，再把横坐标变为原来的1
ω
倍，纵坐标不变，得sin()y x ωϕ=+的图象，另一种是把sin y x =的图象横坐标变为原来
的
1
ω
倍，纵坐标不变，得sin y x ω=的图象，再向左平移
ϕ
ω
个单位得sin()y x ωϕ=+的图象． 3．C 【解析】 【分析】
在验证1n =时，左端计算所得的项，把1n =代入等式左边即可得到答案. 【详解】
解：用数学归纳法证明()
22
1
111,
1n n a a a a
a n N a
++*-+++⋯+=
≠∈-，
在验证1n =时，把当1n =代入，左端21a a =++. 故选：C. 【点睛】
此题主要考查数学归纳法证明等式的问题，属于概念性问题. 4．A 【解析】
分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得11
22
BE BA BC =+，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC =+，之后将其合并，得到31
44
BE BA AC =+，下一步应
用相反向量，求得31
44
EB AB AC =-，从而求得结果.
详解：根据向量的运算法则，可得
()
111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =
+=+=++ 11131
24444
BA BA AC BA AC =++=+， 所以31
44EB AB AC =-，故选A.
点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算. 5．D 【解析】 【分析】
直接利用向量的数量积转化求解向量的夹角即可. 【详解】 因为cos ,a b a b a b
<>=，所以a 与b 的夹角为
23
π
. 故选：D. 【点睛】
本题主要考查向量的夹角的运算，以及运用向量的数量积运算和向量的模. 6．A 【解析】 【分析】
根据等差数列的性质和函数的性质即可求出. 【详解】
由题知()()()212141x x f x f x x x
-⨯-=
⨯=-- ∵数列{a n }为等差数列，a n ≠1（n ∈N*），a 1+a 2019＝1， ∴a 1+a 2019＝a 2+a 2018＝a 3+a 2017＝…＝a 1009+a 10112=a 1010=1, ∴a 10101
2
=
∴f （a 1）×f （a 2）×…×f （a 2019）＝41009×（﹣2）＝﹣1． 故选A ． 【点睛】
本题考查了等差数列的性质和函数的性质，考查了运算能力和转化能力，属于中档题，注意：若{a n }为等差数列，且m+n=p+q,则a m n p q a a a +=+ ，性质的应用. 7．A 【解析】 【分析】
通过竖式除法，用2019除以16，取其余数，再用商除以16，取其余数，直至商为零，将余数逆着写出来即可. 【详解】
用2019除以16，得余数为3，商为126； 用126除以16，得余数为14，商为7； 用7除以16，得余数为7，商为0； 将余数3,14,7逆着写，即可得7E3. 故选：A. 【点睛】
本题考查进制的转化，只需按照流程执行即可. 8．A 【解析】 【分析】
根据a b +与a b -的几何意义可以判断. 【详解】
由a b a b +=-的几何意义知，以向量a ，b 为邻边的平行四边形为矩形，所以a b ⊥. 故选：A. 【点睛】
本题考查向量的加减法的几何意义,同时，本题也可以两边平方，根据数量积的运算推出结论. 9．B 【解析】 【分析】
根据诱导公式以及两角和差的正余弦公式化简，根据辅助角公式结合范围求最值取得的条件即可得解. 【详解】
由题函数()sin()sin 2f x x x π
αα⎛⎫=+++
- ⎪⎝
⎭
()sin()cos x x αα=++-
sin cos cos sin cos cos sin sin x x x x αααα=+++
()()cos sin sin cos sin cos x x αααα=+++
)
cos sin sin 4x παα⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，最大值是2，
所以cos sin αα+=，平方处理得：12cos sin 2αα+=， 所以sin21α=，(0,)απ∈，所以4
π
α=
. 故选：B 【点睛】
此题考查根据三角函数的最值求参数的取值，考查对三角恒等变换的综合应用. 10．C 【解析】 【分析】
可建立合适坐标系，表示出a,b,c 的大小，运用作差法比较大小. 【详解】
以C 为圆心，以,CD CB 所在直线为x 轴、y 轴建立坐标系， 则()4,2A --，()0,2B -，()4,0D -，设()cos ,sin P αα，
则()()4,0cos 4,sin 24cos 16a ααα=⋅++=+，
()()4,2cos 4,sin 24cos 2sin 20b αααα=⋅++=++， ()()0,2cos 4,sin 22sin 4c ααα=⋅++=+， 2sin 40b a α-=+>，b a ∴>，
()4cos 2sin 1225cos 120a c αααϕ-=-+=++>，a c ∴>，
b a
c ∴>>，故选C.
【点睛】
本题主要考查学生的建模能力，意在考查学生的理解能力及分析能力，难度中等. 11．D 【解析】
12222?222x y x y x y +=+≥=21
224
x y
+-∴≤
=故2x y +≤-. 【考点定位】本题主要考查基本不等式的应用及指数不等式的解法，属于简单题. 12．A 【解析】 【分析】
首先根据不等式组画出对应的可行域，再分别计算出顶点的坐标，带入目标函数求出相应的值，即可找到最大值和最小值. 【详解】
不等式组对应的可行域如图所示：
943127
1167x x y y x y ⎧=
⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨
=+⎩⎪=
⎪⎩
，916(,)77C . 33312
x y x y x y -==-⎧⎧⇒⎨
⎨=+=-⎩⎩，(3,2)A --. 18162
777
C z =
-=，6B z =，62=4A z =-+-. max 6z =，min 4z =-， max min 642z z +=-=.
故选：A 【点睛】
本题主要考查线性规划，根据不等式组画出可行域为解题的关键，属于简单题. 二、填空题：本题共4小题 13． (0,1) 【解析】 【分析】 画出函数f(x)在以及直线y=k 的图象,数形结合可得k 的取值范围.
【详解】
解:画出函数y=cosx+2|cosx|=
,
以及直线y=k 的图象,如图所示;
由f(x)的图象与直线y=k 有且仅有四个不同的交点,可得0<k<1. 故答案为:(0,1). 【点睛】
本题主要考查利用分段函数及三角函数的性质求参数，数形结合是解题的关键. 14．
29
【解析】
由题意，基本事件总数为3×3＝9，其中满足直线y ＝kx ＋b 不经过第三象限的，即满足0{
0k b <>，
，
有k ＝－1，
b ＝1或k ＝－1，b ＝2两种，故所求的概率为29
. 15．
121
3
. 【解析】 【分析】
本题根据已知条件，列出关于等比数列公比q 的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到5S ．题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查． 【详解】
设等比数列的公比为q ，由已知21461,3a a a =
=，所以32511
(),33
q q =又0q ≠， 所以3,q =所以
55
151
(13)
(1)12131133
a q S q --===
--． 【点睛】
准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部分考生易出现运算错误． 16．8 【解析】 【分析】 【详解】
∵在△ABC 中，∠ABC ＝60°，且AB ＝5，AC ＝7，
∴由余弦定理2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠， 可得：2
2
2
1
75BC 25BC 2
=+-⨯⨯⨯
， ∴整理可得：2BC 5BC 240--=，解得：BC ＝8或−3（舍去）．考点：1、正弦定理及余弦定理；2、三角形内角和定理及两角和的余弦公式．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）a 1
2
=，或a ＝1（2）a ＞3 【解析】 【分析】
（1）由题意利用两条直线互相垂直的性质，求得a 的值；
（2）联立方程组求出两条直线的交点坐标，再根据交点在第三象限，求出a 的取值范围.
【详解】
（1）∵直线l 1：ax ﹣y ﹣2＝0与直线l 2：（3﹣2a ）x+y ﹣1＝0，l 1与l 2互相垂直，
∴a•（3﹣2a ）+（﹣1）•1＝0，求得a 12=，或a
＝1. （2）若l 1与l 2相交且交点在第三象限，联立方程组203210ax y a x y --=⎧⎨-+-=⎩
（）， ∵l 1与l 2相交，故a≠3，
求得方程组的解为33563x a a y a ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩
，∴3035603a a a ⎧⎪⎪-⎨-⎪⎪-⎩
＜＜，求得a ＞3. 【点睛】 本题主要考查两条直线互相垂直的性质，求两条直线的交点坐标，属于基础题.
18．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
313 【解析】
【分析】
（Ⅰ）由PA ⊥底面ABCD 推出BD PA ⊥，由菱形的性质推出BD AC ⊥，即可推出BD ⊥平面PAC 从而得到BD PC ⊥；（Ⅱ）作AE CD ⊥，交CD 的延长线于E ，连接PE ，则二面角P CD A --的平面角是PEA ∠，由已知条件求出AD ，进而求出AE 、PD ，即可求得cos PEA ∠.
【详解】
（Ⅰ）证明：连接AC ，
∵PA ⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ,∴BD PA ⊥.
∵四边形ABCD 是菱形，∴BD AC ⊥.
又∵PA AC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，
∴BD ⊥平面PAC ，
∴BD PC ⊥.
（Ⅱ）作AE CD ⊥，交CD 的延长线于E ，连接PE .
由于,,AE CD PA CD AE PA A ⊥⊥=，于是CD ⊥平面PAE ，
PE ⊂平面PAE ，PE CD ∴⊥，
所以二面角P CD A --的平面角是PEA ∠.
设PA =“1”，
60BAD BPA ∠=∠=︒且底面ABCD 是菱形，
BA AD ∴==30DAE ∠=
3cos302AE AD ∴==
，PE ==，
∴cos AE PEA PE ∠=
=. 【点睛】 本题考查线面垂直、线线垂直的证明，二面角的余弦值，属于中档题.
19．当60A =︒时，75C =°
，c =，当120A =︒，155C =°
，c =
【解析】
【分析】
利用已知条件通过正弦定理求出A ，然后利用正弦定理或余弦定理转化求解c ，即可求解．
【详解】
在ABC ∆
中，45a b B ︒===， 由正弦定理可得：asin sin B A b =
因为(0,180)A ∈，所以60A =或120，
当60A =时，因为45B ︒=，所以75c ︒=
，从而c ==， 当120A =时，因为45B ︒=，所以15c ︒=
，从而c =
． 【点睛】
本题主要考查了三角形的解法，正弦定理以及余弦定理的应用，其中解答中熟记三角形的正弦定理与余弦定理，合理运用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
20．（1
（2）529λ=
【解析】
【分析】
（1）分别求出a ，b ，a b ⋅，再代入公式cos a b
a b θ⋅=求余弦值；
（2）由向量互相垂直，得到数量积为0，从而构造出关于λ的方程，再求λ的值.
【详解】
(1) 2435a =
+=，21b =-+=14322a b ⋅=-⨯+⨯=，
∴cos 55
a b a b θ⋅===⨯. (2) ()()()4,3,24,32a b λλλλλ-=--=+-．
()()()28,61,27,8a b +=+-=
若()()2a b a b λ-⊥+，
则()()748320λλ++-=， 解得529
λ=. 【点睛】
本题考查向量数量积公式的应用及两向量垂直求参数的值，考查基本的运算求解能力. 21．（1）见解析；（2）92.4
【解析】
【分析】
（1）根据总体的差异性选择分层抽样，再结合抽样比计算出非示范性高中和示范性高中所抽取的人数； （2）将每个矩形底边的中点值乘以相应矩形的面积所得结果，再全部相加可得出本次测验全市学生数学成绩的平均分．
【详解】
（1）由于总体有明显差异的两部分构成，故采用分层抽样，
由题意，从示范性高中抽取2000100405000⨯
=人， 从非师范性高中抽取3000100605000
⨯=人； （2）由频率分布直方图估算样本平均分为
(600.005800.0181000.021200.0051400.002)2092.4⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=
推测估计本次检测全市学生数学平均分为92.4
【点睛】
本题考查分层抽样以及计算频率分布直方图中的平均数，着重考查学生对几种抽样方法的理解，以及频率分布直方图中几个样本数字的计算方法，属于基础题．
22．（1）3(1)12n a n n =+-⨯=+；（2）2101
【解析】
（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ．
由已知得()()1114{3615
a d a d a d +=+++=， 解得13{1
a d ==． 所以()112n a a n d n =+-=+．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得2n n b n =+．
所以()()()()
231012310212223210b b b b +++⋅⋅⋅+=++++++⋅⋅⋅++ ()
()2310222212310=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+ ()()10
21211010122
-+⨯=+- ()
112255=-+
112532101=+=．
考点：1、等差数列通项公式；2、分组求和法．
2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图是某地某月1日至15日的日平均温度变化的折线图，根据该折线图，下列结论正确的是（ ）
A ．这15天日平均温度的极差为15℃
B ．连续三天日平均温度的方差最大的是7日，8日，9日三天
C ．由折线图能预测16日温度要低于19℃
D ．由折线图能预测本月温度小于25℃的天数少于温度大于25℃的天数
2．长方体1111ABCD A B C D -，AB 1=，AD 2=，1AA 3=，则异面直线11A B 与1AC 所成角的余弦值为( )
A ．1414
B ．19214
C ．1313
D ．13
3．215是（ ）
A ．第一象限角
B ．第二象限角
C ．第三象限角
D ．第四象限角
4．在ABC ∆中，已知sin :sin :sin 1:1:2A B C =，且1a =，则AB BC ⋅的值是（ ） A ．1 B ．12 C ．1- D ．12
- 5．中国古代的“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”合称“六艺”.某校国学社团准备于周六上午9点分别在6个教室开展这六门课程讲座，每位同学只能选择一门课程，则甲乙两人至少有人选择“礼”的概率是（ ） A ．56 B ．2536 C ．13 D ．1136
6．函数y=2
的最大值、最小值分别是( ) A ．2，－2 B ．1，－3 C ．1，－1 D ．2，－1
7．某型号汽车使用年限x 与年维修费y （单位：万元）的统计数据如下表，由最小二乘法求得回归方程0.10.2y x =+．现发现表中有一个数据看不清，推测该数据的值为（ ）
使用年限()x 1 2 3 4 5 维修费()y
0.2 0.5 0.4 0.8
A ．0.4
B ．0.5
C ．0.6
D ．0.7 8．已知圆内接四边形ABCD 各边的长度分别为AB ＝5，BC ＝8，CD ＝3，DA ＝5，则AC 的长为（） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9
9．已知向量(2,3)a =，(,4)b m =，若a ，b 共线，则实数m =（ ）
A ．6-
B ．8
3- C ．83 D ．6
10．ABC ∆中，3,,4sin sin 3a A b B c C π==
=，则cos C （ ） A ．3 B ．3- C ．3-或3 D ．0
11．在钝角ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，若3013C c a =︒==，，，则ABC ∆的面积为
A ．3
B ．3
C ．34
D ．32
12．某班的60名同学已编号1,2,3，…，60，为了解该班同学的作业情况，老师收取了号码能被5整除的12名同学的作业本，这里运用的抽样方法是( )
A ．简单随机抽样
B ．系统抽样
C ．分层抽样
D ．抽签法 二、填空题：本题共4小题
13．在ABC ∆中，已知角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且a x =，3b =，60B =，若ABC ∆有两解，则x 的取值范围是__________．
14．在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若ABC 的面积为
()2223a b c +-，且4c =，则ABC 的周长的取值范围是________.
15．在等差数列{}n a 中，155a a +=，43a =，则8a 的值为_______.
16．若数列{}n a 的前n 项和n S ，满足22n S n n =-，则n a =______． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知．
（Ⅰ）求A 的大小；
（Ⅱ）如果，求a 的值．
18．已知ABC 中，3A π=，10AC =，点D 在AB 上，CD AB ⊥，并且51::1AD DB =.
（1）求BC 的长度；
（2）若点E 为AB 中点，求CE 的长度.
19．（6分）已知22()(sin cos )2cos f x x x x =++
（1）求f 6π⎛⎫ ⎪⎝⎭
的值； （2）求()f x 的最小值以及取得最小值时X 的值
20．（6分）在数列{}n a 中，11a =，22a =，且()()111,2,0n n n a q a qa n q +-=+-≥≠；
（1）设()*1,n n n b a a n N +=-∈，证明{}n b 是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）若3a 是6a 与9a 的等差中项，求q 的值，并证明：对任意的*n N ∈，n a 是3n a +与6n a +的等差中项；
21．（6分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设222sin sin sin sin sin B C A B C +-=. （1）求A ；
（2）若2sin sin 2sin A B C +=，求C .
22．（8分）如图，在正ABC 中，2AB =，BP tBC =()t ∈R .
（1）试用AB ，AC 表示AP ；
（2）若12
t =，3CA EA =，求AP BE ⋅.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B
【解析】
【分析】
利用折线图的性质，结合各选项进行判断，即可得解．
【详解】
由某地某月1日至15日的日平均温度变化的折线图，得：
在A 中，这15天日平均温度的极差为：381919℃℃℃-=，故A 错误；
在B 中，连续三天日平均温度的方差最大的是7日，8日，9日三天，故B 正确；
在C 中，由折线图无法预测16日温度要是否低于19℃，故C 错误；
在D 中，由折线图无法预测本月温度小于25℃的天数是否少于温度大于25℃的天数，故D 错误． 故选B ．
【点睛】
本题考查命题真假的判断，考查折线图的性质等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查数形结合思想，是基础题．
2．A
【解析】
【分析】
由题，找出11AB //A B ，故1C AB ∠(或其补角)为异面直线11A B 与1AC 所成角，然后解出答案即可.
【详解】
如图，连接1BC ，由11AB //A B ，1C AB ∠∴(或其补角)为异面直线11A B 与1AC 所成角，
由已知可得
1BC ==1AC ==1cos C AB 14∠∴=
=．即
异面直线11A B 与1AC ． 故选A ．
【点睛】
本题考查了异面直线的夹角问题，找平行线，找出夹角是解题的关键，属于较为基础题.
3．C
【解析】
【分析】
本题首先要明确平面直角坐标系中每一象限所对应的角的范围，然后即可判断出215在哪一象限中．
【详解】 第一象限所对应的角为π2π,2π2k k k Z ；
第二象限所对应的角为π2π,π2π2k k k Z ； 第三象限所对应的角为3ππ2π,2π2k k k Z ；
第四象限所对应的角为3π2π,2π2π2
k k k Z ； 因为3π215π2π,2π2k k k Z ， 所以215位于第三象限，故选C ．
【点睛】 本题考查如何判断角所在象限，能否明确每一象限所对应的角的范围是解决本题的关键，考查推理能力，是简单题．
4．C
【解析】
【分析】
由正弦定理边角互化思想得::2a b c =1a =可得出ABC ∆的三边长，可判断出三角形的形状，
由此可得出B 的值，再利用平面向量数量积的定义可计算出AB BC ⋅的值.
【详解】
sin :sin :sin 1:1:2A B C =，::1:1:2a b c ∴=，
1a =，1b ∴=，2c =，222c a b ∴=+，ABC ∆∴为等腰直角三角形，4B π∴=
. 因此，()2cos cos 211AB BC AB BC B ca B π⋅=⋅-=-=-⨯⨯
=-，故选C. 【点睛】 本题考查正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了平面向量数量积定义的计算，在求平面向量数量积的计算时，要注意向量的起点要一致，考查运算求解能力，属于中等题.
5．D
【解析】
【分析】
甲乙两人至少有人选择“礼”的对立事件是甲乙两人都不选择“礼”，求出后者的概率即可
【详解】
由题意，甲和乙不选择“礼”的概率是
56
，且相互独立 所以甲乙两人都不选择“礼”的概率是55256636
⨯= 所以甲乙两人至少有人选择“礼”的概率是251113636-= 故选：D
【点睛】
当遇到“至多”“至少”型题目时，一般用间接法求会比较简单，即先求出此事件的对立事件的概率，然后即可得出原事件的概率.
6．B
【解析】
【分析】
根据余弦函数有界性确定最值.
【详解】
因为
，所以，即最大值、最小值分别是1，－3，选B.
【点睛】
本题考查余弦函数有界性以及函数最值，考查基本求解能力，属基本题.
7．C
【解析】
设所求数据为a ，计算出x 和y ，然后将点(),x y 代入回归直线方程可求出a 的值.
【详解】
设所求数据为a ，则1234535x ++++==，0.20.50.40.8 1.955
a a y +++++==， 由于回归直线0.10.2y x =+过样本的中心点 1.93,
5a +⎛
⎫ ⎪⎝⎭，则有 1.930.120.55a +=⨯+=， 解得0.6a =，故选：C.
【点睛】
本题考查利用回归直线计算原始数据，解题时要充分利用“回归直线过样本中心点(),x y ”这一结论的应用，考查运算求解能力，属于基础题.
8．B
【解析】
【分析】
分别在△ABC 和△ACD 中用余弦定理解出AC ，列方程解出cosD ，得出AC ．
【详解】
在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2+BC 2﹣2AB×BCcosB ＝89﹣80cosB ，
在△ACD 中，由余弦定理得AC 2＝CD 2+AD 2﹣2AD×CDcosD ＝34﹣30cosD ，
∴89﹣80cosB ＝34﹣30cosD ，
∵A+C ＝180°，∴cosB ＝﹣cosD ，
∴cosD 12
=-， ∴AC 2＝34﹣30×（12-
）＝1． ∴AC ＝2．
故选B ．
【点睛】
本题考查了余弦定理的应用，三角形的解法，考查了圆内接四边形的性质的应用，属于中档题． 9．C
【分析】
利用向量平行的性质直接求解．
【详解】
向量(2,3)a =，(,4)b m =，,a b 共线， ∴423
m =， 解得实数83
m =． 故选：C ．
【点睛】
本题主要考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10．D
【解析】
【分析】
根据正弦定理把角化为边，可得2c b =，然后根据余弦定理，可得,b c ，最后使用余弦定理，可得结果.
【详解】
由4sin sin b B c C =，所以224b c =，即2c b =
由2222cos a b c bc A =+-，又3a A π==
所以()222224cos
3b b b π=+-，则1b = 故2c =，又222
cos 02a b c C
ab 故选：D
【点睛】
本题考查正弦定理、余弦定理的应用，属基础题.
11．A
【解析】
【分析】
根据已知求出b 的值，再求三角形的面积.
【详解】
在ABC ∆中，301C c a =︒==，，
由余弦定理得：2222cos c a b a b C =+-⋅⋅，
即2320b b -+=，
解得：1b =或2b =.
∵ABC ∆是钝角三角形，∴2b =（此时为直角三角形舍去）.
∴ABC ∆的面积为
111
sin 1222ab C =⨯=故选A.
【点睛】
本题主要考查余弦定理解三角形和三角形的面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
12．B
【解析】
由题意，抽出的号码是5,10,15，…，60，符合系统抽样的特点：“等距抽样”，故选B.
二、填空题：本题共4小题
13．(3,
【解析】
【分析】 利用正弦定理得到sin
A =
ABC ∆有两解得到sin sin 1B A <=<，计算得到答案. 【详解】
由正弦定理得：sin
sin sin sin a b x A A B A =⇒=⇒= 若ABC ∆有两解：
sin sin 13
B A x <=<⇒<<
故答案为(3,
【点睛】
本题考查了正弦定理，ABC ∆有两解，意在考查学生的计算能力.
14．4,12]
【解析】
【分析】
通过观察ABC 的面积的式子很容易和余弦定理联系起来，所以
)2221sin 2a b c ab C +-=，求出
tan C =所以3C π
=.再由正弦定理即可将+a b 的范围通过辅助角公式化简利用三角函数求出范围即
可．
【详解】
因为ABC
)222a b c +-，所以
)2221sin 2
a b c ab C +-=
222sin 2a b c C ab +-=.由余弦定理可得222cos 2a b c C ab +-=，
sin C C =
，即tan C =3C π
=.
由正弦定理可得sin sin sin a b c A B C ===，所以
2(sin sin )sin sin 8sin 3336a b A B A A A ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎣⎦.因为ABC 为锐角三角形，所以62A π
π<<，
所以sin 126A π⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，
则ssin()86A π<+，
即8a b <+.故ABC 的
周长的取值范围是4,12].
【点睛】
此题考察解三角形，熟悉正余弦定理，然后一般求范围的题目转化为求解三角函数值域即可，易错点注意转化后角的范围区间，属于中档题目．
15．5.
【解析】
【分析】
设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题中条件建立1a 、d 的方程组，求出1a 、d 的值，即可求出8a 的值.
【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ，所以1514124533a a a d a a d +=+=⎧⎨=+=⎩，解得13212a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， 因此，813177522
a a d =+=
+⨯=，故答案为：5. 【点睛】
本题考查等差数列的项的计算，常利用首项和公差建立方程组，结合通项公式以及求和公式进行计算，考查方程思想，属于基础题.
16．23n -
【解析】
【分析】
令1n =，得出11a S =，令2n ≥，由1n n n a S S -=-可计算出n a 在2n ≥时的表达式，然后就1a 是否符合
()2n a n ≥进行检验，由此可得出n a .
【详解】
当1n =时，2111211a S ==-⨯=-；
当2n ≥时，则()()()2
21212123n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦
. 11a =-也适合23n a n =-.
综上所述，()23n a n n N
*=-∈.
故答案为：23n -.
【点睛】 本题考查利用n S 求n a ，一般利用11,1,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩来计算，但需要对1a 进行检验，考查计算能力，属于基础题.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）先根据条件结合余弦定理求出的值，从而求出的大小；（2）先利用同角三角函数的基本关系结合角的范围求出的值，最后利用正弦定理求解的值.
试题解析：（1）因为
， 所以， 又因为
， 所以. （2）解：因为，， 所以， 由正弦定理， 得.
考点：1.正弦定理与余弦定理；2.同角三角函数的基本关系
18．（1）14；（2）【解析】
【分析】
（1）根据所给条件,结合三角函数可先求得AD .再由51::1AD DB =即可求得DB ,进而得AB 的值. 在ABC ∆中由余弦定理即可求得BC 的值.
（2）由（1）可知16AB =,而51::1AD DB =,且E 为AB 中点,可得8BE =,3ED =.在ADC ∆可由
勾股定理求得2||CD ,再在CDE ∆由勾股定理求得||CE 即可.
【详解】
（1）由CD AB ⊥,3A π=
, 可知1||||cos 10532
AD AC π
==⨯=, 又51::1AD DB =,可得11DB =, 所以16AB =.
在ABC ∆中,由余弦定理可得2222cos 196BC AB AC AB AC A =+-⋅=, 所以14BC =；
（2）由（1）可知5AD =,11DB =,
又点E 为AB 中点,可得8BE =,3ED =,
在直角ADC ∆中,222||||||1002575CD AC AD =-=-=,
在直角CDE ∆中,222||||||75984CE CD DE =+=+=,
所以||CE =【点睛】
本题考查了余弦定理在解三角形中的应用,线段关系及勾股定理求线段长的应用,属于基础题.
19．（1）
522+（2）当3,()8x k k Z ππ=-+∈时，函数取得最小值2-【解析】
【分析】
（1）将6x π
=代入函数计算得到答案.
（2
）根据降次公式和辅助角公式化简函数为()224f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭，当 sin 214x π⎛⎫+=- ⎪⎝
⎭时取最小值. 【详解】
(1)
22
2215sin cos 2cos 2666622f ππππ⎛⎛⎫⎛⎫=++=++⨯=+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
(2)2()1sin 22cos 11sin 2cos 22224f x x x x x x π⎛⎫=++-+=++=
++ ⎪⎝⎭ 由22k 42x πππ+=-+可得38
x k ππ=-
+，
故函数的最小值为23,()8x k k Z ππ=-+∈时取得最小值. 【点睛】
本题考查了三角函数的计算，三角函数的最小值，将三角函数化简为标准形式是解题的关键，意在考查学生的计算能力.
20．（1）略（2）1
11,1,{1,
1.n n
q q a q n q --+≠=-=（3）证明略
【解析】
本题源自等差数列通项公式的推导． （1）证明：由题设11(1)n n n a q a qa +-=+-（2n ≥），得
11()n n n n a a q a a +--=-，即1n n b qb -=，2n ≥．
又1211b a a =-=，0q ≠，所以{}n b 是首项为1，公比为q 的等比数列．
（2）由（1）211a a -=，
32a a q -=，
……
21n n a a q --=，（2n ≥）．
将以上各式相加，得211n n a a q q --=+++（2n ≥）．
所以当2n ≥时，1
11,1,{
1, 1.n n q q a q n q --+≠=-=
上式对1n =显然成立．
（3）由（2），当1q =时，显然3a 不是6a 与9a 的等差中项，故1q ≠．
由3693a a a a -=-可得5228q q q q -=-，由0q ≠得3611q q -=-， ①
整理得323
()20q q +-=，解得32q =-或31q =（舍去）．于是q = 另一方面，21133(1)11n n n n n q q q a a q q q
+--+--==---， 151
66(1)11n n n n n q q q a a q q q
-+-+--==---． 由①可得36n n n n a a a a ++-=-，*n N ∈．
所以对任意的*n N ∈，n a 是3n a +与6n a +的等差中项．
21． (1)
3π (2) 512C π= 【解析】
【分析】
（1）由正弦定理得222b c a bc +-=，再利用余弦定理的到3A π=
. （2）将3A π=
代入等式，化简得到答案.
【详解】
解：（1）由222sin sin sin sin sin B C A B C +-=
结合正弦定理得222b c a bc +-=； ∴2221cos 22
b c a A b c +-==⋅⋅ 又(0,)A π∈，∴3A π
=.
（2sin 2sin A B C +=,∴
sin()2sin A A C C ++=
∴sin 2sin 3C C π⎛⎫++= ⎪⎝⎭
,
∴1cos 222C C -=∴sin 62C π⎛⎫-= ⎪⎝
⎭ 又203C π<<∴662
C πππ-<-< 解得：64C ππ-=，512C π=. 【点睛】
本题考查了正弦定理，余弦定理，和差公式，意在考查学生的计算能力. 22．（1）()1AP t AB t AC =-+；（2）-2
【解析】
【分析】
（1）由BP tBC =，可得()AP AB t AC AB -=⋅-，整理可求出答案； （2）用AB 、AC 分别表示AP 和BE ，进而求出AP BE ⋅即可.
【详解】
（1）因为BP tBC =，则()AP AB t AC AB -=⋅-，所以()1AP t AB t AC =-+. （2）当12
t =时，1122AP AB AC =+，因为3CA EA =，所以E 为边AC 的三等分点，则13BE AE AB AC AB =-=-， 故
111223AP BE AB AC AC AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
22111263AB AC AB AC =-+-⋅111π4422cos 22633
=-⨯+⨯-⨯⨯⨯=-. 【点睛】
本题考查平面向量的线性运算，考查向量的数量积，考查学生的计算能力与推理能力，属于基础题.。