人教版九年级数学下册配套学案设计：26.2 其他学科中的反比例函数

第2课时其他学科中的反比例函数
【学习目标】
1．经历分析实际问题中变量之间的关系建立反比例函数模型，进而解决实际问题的过程．
2．体会数学与现实生活的紧密性，培养学生的情感、态度，增强应用意识。

体会数形结合的数学思想．
3．培养学生自由学习、运用代数方法解决实际问题的能力．
【自主预习】
自主预习：教材P14，15,例3，4，并尝试完成自主预习区．
活动1 如图，在温度不变的条件下，通过一次又一次地对气缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后气缸内气体的体积和气体对气缸壁所产生的压强．21教育网
(1)请根据表中的数据求出压强p(kPa)关于体积V(mL)的函数解析式；
(2)当压力表读出的压强为72kPa
分析：(1)对于表中的实验数据你将作怎样的分析、处理?
(2)能否用图象描述体积V与压强户的对应值?
(3)猜想压强户与体积V之间的函数类别．
师生一起解答此题，并引导学生归纳此种数学建模的方法与步骤：
(1)由实验获得数据；
(2)用描点法画出图象；
(3)根据图象和数据判断或估计函数的类别；
(4)用待定系数法求出函数解析式；
(5)用实验数据验证．
指出：由于测量数据不完全准确等原因，这样求得的反比例函数的解析式可能只是近似地刻画了两个变量之间的关系．21世纪教育网版权所有
【合作探究】
材料P15例4
思考：(1)怎样求解析式？(2)如何求功率的范围.
引导：因为电阻有范围110—220Ω，电阻越大，功率越小，即R取最小，P取最大；R取最大，P取最小
学生分小组讨论、交流、回答，教师评价.
【当堂评价】
习题26.2第6,8题.
【拓展提升】
【课后检测】【课后反思】
中考数学模拟试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．如图，矩形ABCD中，E为DC的中点，AD：AB＝3：2，CP：BP＝1：2，连接EP并延长，交AB的延长线于点F，AP、BE相交于点O．下列结论：①EP平分∠CEB；②2
BF＝PB•EF；③PF•EF＝22
AD；④EF•EP＝4AO•PO．其中正确的是（）
A．①②③B．①②④C．①③④D．③④
【答案】B
【解析】由条件设3，AB=2x，就可以表示出3
，
23
，用三角函数值可以求出∠EBC
的度数和∠CEP的度数，则∠CEP=∠BEP，运用勾股定理及三角函数值就可以求出就可以求出BF、EF 的值，从而可以求出结论．
【详解】解：设3，AB=2x
∵四边形ABCD是矩形
∴AD=BC，CD=AB，∠D=∠C=∠ABC=90°．DC∥AB
∴3，CD=2x
∵CP：BP=1：2
∴3
，
23
x
∵E为DC的中点，
∴CE=1
2
CD=x，
∴tan∠CEP=PC
EC
3
tan∠EBC=
EC
BC
3
∴∠CEP=30°，∠EBC=30°
∴∠CEB=60°
∴∠PEB=30°
∴∠CEP=∠PEB
∴EP平分∠CEB，故①正确；∵DC∥AB，
∴∠CEP=∠F=30°，
∴∠F=∠EBP=30°，∠F=∠BEF=30°，∴△EBP∽△EFB，
∴BE BP EF BF
∴BE·BF=EF·BP
∵∠F=∠BEF，
∴BE=BF
∴2
BF＝PB·EF，故②正确∵∠F=30°，
∴PF=2PB=43
3
x，
过点E作EG⊥AF于G，
∴∠EGF=90°，
∴3
∴PF·43
x·32
2AD2=2×3）2=6x2，∴PF·EF≠2AD2，故③错误. 在Rt△ECP中，
∵∠CEP=30°，
∴EP=2PC=23 3
x
∵tan∠PAB=PB
AB
3
∴∠PAB=30°
∴∠APB=60°
∴∠AOB=90°
在Rt△AOB和Rt△POB中，由勾股定理得，
AO=3x ，PO=33
x ∴4AO·PO=4×3x·
33x=4x 2 又EF·EP=23x·233
x=4x 2 ∴EF·EP=4AO·PO ．故④正确．
故选，B
【点睛】
本题考查了矩形的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，特殊角的正切值的运用，勾股定理的运用及直角三角形的性质的运用，解答时根据比例关系设出未知数表示出线段的长度是关键．
2．实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则代数式|c ﹣a|﹣|a+b|的值等于（ ）
A ．c+b
B ．b ﹣c
C ．c ﹣2a+b
D ．c ﹣2a ﹣b
【答案】A
【解析】根据数轴得到b ＜a ＜0＜c ，根据有理数的加法法则，减法法则得到c-a ＞0，a+b ＜0，根据绝对值的性质化简计算．
【详解】由数轴可知，b ＜a ＜0＜c ，
∴c-a ＞0，a+b ＜0， 则|c-a|-|a+b|=c-a+a+b=c+b ，
故选A ．
【点睛】
本题考查的是实数与数轴，绝对值的性质，能够根据数轴比较实数的大小，掌握绝对值的性质是解题的关键．
3．如图，△ABC 中AB 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是（﹣1，0），以点C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A′B′C′，且△A′B′C′与△ABC 的位似比为2：1．设点B 的对应点B′的横坐标是a ，则点B 的横坐标是（ ）
A ．12a -
B ．1(1)2a -+
C ．1(1)2a --
D ．1(3)2
a -+ 【答案】D
【解析】设点B的横坐标为x，然后表示出BC、B′C的横坐标的距离，再根据位似变换的概念列式计算．【详解】设点B的横坐标为x，则B、C间的横坐标的长度为﹣1﹣x，B′、C间的横坐标的长度为a+1，∵△ABC放大到原来的2倍得到△A′B′C，
∴2（﹣1﹣x）＝a+1，
解得x＝﹣1
2
（a+3），
故选：D．
【点睛】
本题考查了位似变换，坐标与图形的性质，根据位似变换的定义，利用两点间的横坐标的距离等于对应边的比列出方程是解题的关键．
4．小轩从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：
①ab＞0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④a﹣2b+4c＞0；⑤
3
a b
2 =．
你认为其中正确信息的个数有
A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】D
【解析】试题分析：①如图，∵抛物线开口方向向下，∴a＜1．
∵对称轴x
b1
2a3
=-=-，∴
2
b a
3
=-＜1．∴ab＞1．故①正确．
②如图，当x=1时，y＜1，即a+b+c＜1．故②正确．
③如图，当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞1，∴2a﹣2b+2c＞1，即3b﹣2b+2c＞1．∴b+2c＞1．故③正确．
④如图，当x=﹣1时，y＞1，即a﹣b+c＞1，
∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞1．
∵b＜1，∴c﹣b＞1．
∴（a﹣b+c）+（c﹣b）+2c＞1，即a﹣2b+4c＞1．故④正确．
⑤如图，对称轴
b1
2a3
=-=-，则
3
a b
2
=．故⑤正确．
综上所述，正确的结论是①②③④⑤，共5个．故选D．5．观察下列图形，则第n个图形中三角形的个数是()
A．2n+2 B．4n+4 C．4n﹣4 D．4n
【答案】D
【解析】试题分析：由已知的三个图可得到一般的规律，即第n个图形中三角形的个数是4n，根据一般规律解题即可．
解：根据给出的3个图形可以知道：
第1个图形中三角形的个数是4，
第2个图形中三角形的个数是8，
第3个图形中三角形的个数是12，
从而得出一般的规律，第n个图形中三角形的个数是4n．
故选D．
考点：规律型：图形的变化类．
6．观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形共有()个〇．
A．6055 B．6056 C．6057 D．6058
【答案】D
【解析】设第n个图形有a
n 个O(n为正整数),观察图形,根据各图形中O的个数的变化可找出"a
n
=1+3n(n
为正整数)",再代入a=2019即可得出结论
【详解】设第n个图形有a n个〇(n为正整数)，
观察图形，可知：a1＝1+3×1，a2＝1+3×2，a3＝1+3×3，a4＝1+3×4，…，
∴a n＝1+3n(n为正整数)，
∴a2019＝1+3×2019＝1．
故选：D．
【点睛】
此题考查规律型：图形的变化，解题关键在于找到规律
7．《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道
长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？”
如图所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径AC是（）
A．13寸B．20寸C．26寸D．28寸
【答案】C
【解析】分析：设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，则有r2=52+（r-1）2，解方程即可.
详解：设⊙O的半径为r．
在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，
则有r2=52+（r-1）2，
解得r=13，
∴⊙O的直径为26寸，
故选C．
点睛：本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题
8．“山西八分钟，惊艳全世界”.2019年2月25日下午，在外交部蓝厅隆重举行山西全球推介活动．山西经济结构从“一煤独大”向多元支撑转变，三年累计退出煤炭过剩产能8800余万吨，煤层气产量突破56亿立方米．数据56亿用科学记数法可表示为（）
A．56×108B．5.6×108C．5.6×109D．0.56×1010
【答案】C
【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于56亿有10位，所以可以确定n＝10﹣1＝1．
【详解】56亿＝56×108＝5.6×101，
故选C．
【点睛】
此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
9．为了锻炼学生身体素质，训练定向越野技能，某校在一公园内举行定向越野挑战赛．路线图如图1所
示，点E为矩形ABCD边AD的中点，在矩形ABCD的四个顶点处都有定位仪，可监测运动员的越野进程，其中一位运动员P从点B出发，沿着B﹣E﹣D的路线匀速行进，到达点D．设运动员P的运动时间为t，到监测点的距离为y．现有y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这一信息的来源是（）
A．监测点A B．监测点B C．监测点C D．监测点D
【答案】C
【解析】试题解析：A、由监测点A监测P时，函数值y随t的增大先减少再增大．故选项A错误；
B、由监测点B监测P时，函数值y随t的增大而增大，故选项B错误；
C、由监测点C监测P时，函数值y随t的增大先减小再增大，然后再减小，选项C正确；
D、由监测点D监测P时，函数值y随t的增大而减小，选项D错误．
故选C．
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有()
A．1对B．2对C．3对D．4对
【答案】C
【解析】∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴△ABC∽△ACD，
△ACD∽CBD，
△ABC∽CBD，
所以有三对相似三角形．
故选C．
二、填空题（本题包括8个小题）
11．若2，则x2+2x+1=__________.
【答案】2
【解析】先利用完全平方公式对所求式子进行变形，然后代入x的值进行计算即可.
【详解】∵2，
∴x2+2x+1=(x+1)222=2，
故答案为：2.
【点睛】
本题考查了代数式求值，涉及了因式分解，二次根式的性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键.
12．不等式组
2x+1x
{
4x3x+2
>
≤
的解集是▲ ．
【答案】﹣1＜x≤1
【解析】解一元一次不等式组．
【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）．因此，
解第一个不等式得，x＞﹣1，
解第二个不等式得，x≤1，
∴不等式组的解集是﹣1＜x≤1．
13．化简：
2
22
2-2-2
+1-121
x x x
x x x x
-÷
-+
=_____.
【答案】1 x
【解析】先算除法，再算减法，注意把分式的分子分母分解因式
【详解】原式=
2 22(1
1(11)(2)
x x
x x x x x
--
-⨯
++--
）
）（
=
212(1)
1(1)(1)
x x x
x x x x x
-----=
+++
=1 x
【点睛】
此题考查分式的混合运算，掌握运算法则是解题关键
14．有6张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到6的一个自然数，从中任意抽出一张卡片，卡片上的数是3的倍数的概率是
【答案】1
3
．
【解析】分别求出从1到6的数中3的倍数的个数，再根据概率公式解答即可．
【详解】有6张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到6的一个自然数，从中任意抽出一张卡片，共有6种结果，其中卡片上的数是3的倍数的有3和6两种情况，所以从中任意抽出一张卡片，卡片上的数是
3的倍数的概率是21 63 =．
故答案为1 3
【点睛】
考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.
15．在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形ABCD 的边均平行于坐标轴，A 点的坐标为（a ，a ）．如图，若曲线3(0)y x x => 与此正方形的边有交点，则a 的取值范围是________．
【答案】3－1≤a≤3
【解析】根据题意得出C 点的坐标（a-1，a-1），然后分别把A 、C 的坐标代入求得a 的值，即可求得a 的取值范围．
【详解】解:反比例函数经过点A 和点C ．
当反比例函数经过点A 时，即2a =3，
解得：a=±3（负根舍去）；
当反比例函数经过点C 时，即2(1)a -=3，
解得：a=1±3（负根舍去），
则3－1≤a≤3．
故答案为:
3－1≤a≤3． 【点睛】
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握反比例函数y=
k x
（k 为常数，k≠0）的图象上的点（x ，y ）的横纵坐标的积是定值k ，即xy=k ．
16．如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心在x 轴上，且经过点A （m ，﹣3）和点B （﹣1，n ），点C 是第一象限圆上的任意一点，且∠ACB=45°，则⊙P 的圆心的坐标是_____．
【答案】（2，0）
【解析】作辅助线，构建三角形全等，先根据同弧所对的圆心角是圆周角的二倍得：∠APB=90°，再证明△BPE ≌△PAF ，根据PE=AF=3，列式可得结论．
【详解】连接PB、PA，过B作BE⊥x轴于E，过A作AF⊥x轴于F，
∵A（m，﹣3）和点B（﹣1，n），
∴OE=1，AF=3，
∵∠ACB=45°，
∴∠APB=90°，
∴∠BPE+∠APF=90°，
∵∠BPE+∠EBP=90°，
∴∠APF=∠EBP，
∵∠BEP=∠AFP=90°，PA=PB，
∴△BPE≌△PAF，
∴PE=AF=3，
设P（a，0），
∴a+1=3，
a=2，
∴P（2，0），
故答案为（2，0）．
【点睛】本题考查了圆周角定理和坐标与图形性质，三角形全等的性质和判定，作辅助线构建三角形全等是关键．
17．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点，将Rt△ABC沿CD折叠，使点B 落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于_____．
【答案】40°．
【解析】∵将Rt △ABC 沿CD 折叠，使点B 落在AC 边上的B′处，
∴∠ACD=∠BCD ，∠CDB=∠CDB′，
∵∠ACB=90°，∠A=25°，
∴∠ACD=∠BCD=45°，∠B=90°﹣25°=65°，
∴∠BDC=∠B′DC=180°﹣45°﹣65°=70°，
∴∠ADB′=180°﹣70°﹣70°=40°．
故答案为40°．
18．将三角形纸片（ABC ∆）按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点'B ，折痕为EF ，已知3AB AC ==，4BC =，若以点'B ，F ，C 为顶点的三角形与ABC ∆相似，则BF 的长度是______.
【答案】127或2 【解析】由折叠性质可知B’F=BF ，△B’FC 与△ABC 相似，有两种情况，分别对两种情况进行讨论，设出B’F=BF=x ，列出比例式方程解方程即可得到结果.
【详解】由折叠性质可知B’F=BF ，设B’F=BF=x ，故CF=4-x 当△B’FC ∽△ABC ，有
'B F CF AB BC =，得到方程434x x -=，解得x=127，故BF=127
； 当△FB’C ∽△ABC ，有'B F FC AB AC =，得到方程433
x x -=，解得x=2，故BF=2； 综上BF 的长度可以为127或2. 【点睛】
本题主要考查相似三角形性质，解题关键在于能够对两个相似三角形进行分类讨论.
三、解答题（本题包括8个小题）
19．先化简，再求值：822224
x x x x x +⎛⎫-+
÷ ⎪--⎝⎭，其中12x =-． 【答案】1.
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x 的值代入计算即可求出值．
【详解】原式＝（
+）• ＝• ＝2（x+2）
当x ＝﹣时，
原式＝2×（﹣）+4
＝﹣1+4
＝1．
【点睛】
本题考查的知识点是分式的化简求值，解题的关键是熟练的掌握分式的化简求值.
20．如图所示，一艘轮船位于灯塔P 的北偏东60︒方向与灯塔Р的距离为80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东45︒方向上的B 处.求此时轮船所在的B 处与灯塔Р的距离.（结果保留根号）
【答案】406海里
【解析】过点P 作PC AB ⊥，则在Rt △APC 中易得PC 的长，再在直角△BPC 中求出PB ．
【详解】解：如图，过点P 作PC AB ⊥，垂足为点C.
∴30APC ︒∠=，45BPC ︒∠=，80AP =海里.
在Rt APC ∆中，cos PC APC AP
∠=， ∴3cos 80403PC AP APC =⋅∠≡=． 在Rt PCB ∆中，cos PC BPC PB
∠=， ∴403406cos PC PB BPC ===∠. ∴此时轮船所在的B 处与灯塔P 的距离是406
解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．21．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，1），B（4，0），C（4，4）．按下列要求作图：
①将△ABC向左平移4个单位，得到△A1B1C1；
②将△A1B1C1绕点B1逆时针旋转90°，得到△A1B1C1．求点C1在旋转过程中所经过的路径长．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（1）1π．
【解析】（1）①利用点平移的坐标规律，分别画出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标，然后描点可得△A1B1C1；
②利用网格特点和旋转的性质，分别画出点A1、B1、C1的对应点A1、B1、C1即可；
（1）根据弧长公式计算．
【详解】（1）①如图，△A1B1C1为所作；
②如图，△A1B1C1为所作；
（1）点C1在旋转过程中所经过的路径长＝904
2 180
π
π
⨯
=
【点睛】
本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移的性质．
22．为进一步深化基教育课程改革，构建符合素质教育要求的学校课程体系，某学校自主开发了A书法、B阅读，C足球，D器乐四门校本选修课程供学生选择，每门课程被选到的机会均等．学生小红计划选修两门课程，请写出所有可能的选法；若学生小明和小刚各计划送修一门课程，则他们两人恰好选修同一门课程的概率为多少？
【答案】（1）答案见解析；（2）1 4
【解析】分析：（1）直接列举出所有可能的结果即可.
（2）画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出他们两人恰好选修同一门课程的结果数，然后根据概率公式求解．
详解：（1）学生小红计划选修两门课程，她所有可能的选法有：A书法、B阅读；A书法、C足球；A书法、D器乐；B阅读，C足球；B阅读，D器乐；C足球，D器乐.
共有6种等可能的结果数；
（2）画树状图为：
共有16种等可能的结果数，其中他们两人恰好选修同一门课程的结果数为4，
所以他们两人恰好选修同一门课程的概率
41
. 164 ==
点睛：本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
23．如图，在四边形ABCD中，E是AB的中点，AD//EC，∠AED=∠B．
求证：△AED≌△EBC；当AB=6时，求CD的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）CD =3
【解析】分析: （1）根据二直线平行同位角相等得出∠A=∠BEC，根据中点的定义得出AE=BE，然后由ASA判断出△AED≌△EBC；
（2）根据全等三角形对应边相等得出AD=EC，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形AECD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等得出答案.
详解:
（1）证明：∵AD∥EC
∴∠A=∠BEC
∵E是AB中点，
∴AE=BE
∵∠AED=∠B
∴△AED≌△EBC
（2）解：∵△AED≌△EBC ∴AD=EC
∵AD∥EC
∴四边形AECD是平行四边形∴CD=AE
∵AB=6
∴CD= 1
2
AB=3
点睛: 本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型.
24．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直于x轴，垂足为点B，反比例函
数y＝k
x
(x＞0)的图象经过AO的中点C，交AB于点D，且AD＝1．设点A的坐标为(4，4)则点C的坐
标为；若点D的坐标为(4，n)．
①求反比例函数y＝k
x
的表达式；
②求经过C，D两点的直线所对应的函数解析式；在(2)的条件下，设点E是线段CD上的动点(不与点C，D重合)，过点E且平行y轴的直线l与反比例函数的图象交于点F，求△OEF面积的最大值．
【答案】(1)C(2，2)；(2)①反比例函数解析式为y＝4
x
；②直线CD的解析式为y＝﹣
1
2
x+1；(1)m＝1
时，S△OEF最大，最大值为1 4 .
【解析】（1）利用中点坐标公式即可得出结论；
（2）①先确定出点A坐标，进而得出点C坐标，将点C，D坐标代入反比例函数中即可得出结论；
②由n=1，求出点C，D坐标，利用待定系数法即可得出结论；
（1）设出点E坐标，进而表示出点F坐标，即可建立面积与m的函数关系式即可得出结论．
【详解】(1)∵点C是OA的中点，A(4，4)，O(0，0)，
∴C
4040
,
22
++
⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
∴C(2，2)；
故答案为(2，2)；
(2)①∵AD＝1，D(4，n)，∴A(4，n+1)，
∵点C是OA的中点，
∴C(2，
3
2
n+
)，
∵点C，D(4，n)在双曲线
k
y
x
=上，
∴
3
2
2
4
n
k
k n
+
⎧
=⨯
⎪
⎨
⎪=
⎩
，
∴
1
4 n
k
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴反比例函数解析式为
4
y
x =；
②由①知，n＝1，
∴C(2，2)，D(4，1)，
设直线CD的解析式为y＝ax+b，
∴
22 41
a b
a b
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，
∴
1
2
3
a
b
⎧
=-
⎪
⎨
⎪=
⎩
，
∴直线CD的解析式为y＝﹣1
2
x+1；
(1)如图，由(2)知，直线CD的解析式为y＝﹣1
2
x+1，
设点E(m，﹣1
2
m+1)，
由(2)知，C(2，2)，D(4，1)，∴2＜m＜4，
∵EF∥y轴交双曲线
4
y
x
=于F，
∴F(m，4
m )，
∴EF＝﹣1
2
m+1﹣
4
m
，
∴S△OEF＝1
2
(﹣
1
2
m+1﹣
4
m
)×m＝
1
2
(﹣
1
2
m2+1m﹣4)＝﹣
1
4
(m﹣1)2+
1
4
，
∵2＜m＜4，
∴m＝1时，S△OEF最大，最大值为1 4
【点睛】
此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，线段的中点坐标公式，解本题的关键是建立S△OEF与m的函数关系式．
25．“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中，因此，越来越多的人喜欢骑自行车出行．某自行车店在销售某型号自行车时，以高出进价的50%标价．已知按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同．求该型号自行车的进价和标价分别是多少元？若该型号自行车的进价不变，按（1）中的标价出售，该店平均每月可售出51辆；若每辆自行车每降价20元，每月可多售出3辆，求该型号自行车降价多少元时，每月获利最大？最大利润是多少？
【答案】（1）进价为1000元，标价为1500元；（2）该型号自行车降价80元出售每月获利最大，最大利润是26460元．
【解析】分析：（1）设进价为x元，则标价是1.5x元，根据关键语句：按标价九折销售该型号自行车8辆的利润是1.5x×0.9×8-8x，将标价直降100元销售7辆获利是（1.5x-100）×7-7x，根据利润相等可得方程1.5x×0.9×8-8x=（1.5x-100）×7-7x，再解方程即可得到进价，进而得到标价；
（2）设该型号自行车降价a元，利润为w元，利用销售量×每辆自行车的利润=总利润列出函数关系式，再利用配方法求最值即可．
详解：（1）设进价为x元，则标价是1.5x元，由题意得：
1.5x×0.9×8-8x=（1.5x-100）×7-7x，
解得：x=1000，
1.5×1000=1500（元），
答：进价为1000元，标价为1500元；
（2）设该型号自行车降价a元，利润为w元，由题意得：
w=（51+20a ×3）（1500-1000-a ）， =-320
（a-80）2+26460， ∵-320
＜0， ∴当a=80时，w 最大=26460，
答：该型号自行车降价80元出售每月获利最大，最大利润是26460元．
点睛：此题主要考查了二次函数的应用，以及元一次方程的应用，关键是正确理解题意，根据已知得出w 与a 的关系式，进而求出最值．
26．如图，在△ABC 中，已知AB=AC ，AB 的垂直平分线交AB 于点N ，交AC 于点M ，连接MB ．若∠ABC=70°，则∠NMA 的度数是 度．若AB=8cm ，△MBC 的周长是14cm ．
①求BC 的长度；
②若点P 为直线MN 上一点，请你直接写出△PBC 周长的最小值．
【答案】（1）50；（2）①6；②1
【解析】试题分析：（1）根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可得到结论；
（2）①根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AM=BM ，然后求出△MBC 的周长=AC+BC ，再代入数据进行计算即可得解；
②当点P 与M 重合时，△PBC 周长的值最小，于是得到结论．
试题解析：解：（1）∵AB=AC ，∴∠C=∠ABC=70°，∴∠A=40°．∵AB 的垂直平分线交AB 于点N ，∴∠ANM=90°，∴∠NMA=50°．故答案为50；
（2）①∵MN 是AB 的垂直平分线，∴AM=BM ，∴△MBC 的周长
=BM+CM+BC=AM+CM+BC=AC+BC ．∵AB=8，△MBC 的周长是1，∴BC=1﹣8=6；
②当点P 与M 重合时，△PBC 周长的值最小，理由：∵PB+PC=PA+PC ，PA+PC≥AC ，∴P 与M 重合时，PA+PC=AC ，此时PB+PC 最小，∴△PBC 周长的最小值=AC+BC=8+6=1．
中考数学模拟试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．小手盖住的点的坐标可能为（ ）
A ．()5,2
B ．()3,4-
C ．()6,3-
D ．()4,6--
【答案】B 【解析】根据题意，小手盖住的点在第四象限，结合第四象限点的坐标特点，分析选项可得答案．
【详解】根据图示，小手盖住的点在第四象限，第四象限的点坐标特点是：横正纵负；
分析选项可得只有B 符合．
故选：B ．
【点睛】
此题考查点的坐标，解题的关键是记住各象限内点的坐标的符号，进而对号入座，四个象限的符号特点分别是：第一象限（＋，＋）；第二象限（−，＋）；第三象限（−，−）；第四象限（＋，−）．
2．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上10℃记作+10℃，则﹣3℃表示气温为（ ）
A ．零上3℃
B ．零下3℃
C ．零上7℃
D ．零下7℃
【答案】B
【解析】试题分析：由题意知，“-”代表零下，因此-3℃表示气温为零下3℃.
故选B.
考点：负数的意义
3．△ABC 在正方形网格中的位置如图所示，则cosB 的值为( )
A 5
B ．25
C ．12
D ．2
【答案】A
【解析】解：在直角△ABD 中，BD=2，AD=4，则22222425BD AD +=+= 则cosB=525BD AB ==． 故选A ．
4．如图，点M 是正方形ABCD 边CD 上一点，连接MM ，作DE ⊥AM 于点E ，BF ⊥AM 于点F ，连接BE ，若AF ＝1，四边形ABED 的面积为6，则∠EBF 的余弦值是（ ）
A ．21313
B 313
C ．23
D ．1313
【答案】B
【解析】首先证明△ABF ≌△DEA 得到BF=AE ；设AE=x ，则BF=x ，DE=AF=1，利用四边形ABED 的面积等于△ABE 的面积与△ADE 的面积之和得到12
•x•x+•x×1=6，解方程求出x 得到AE=BF=3，则EF=x-1=2，然后利用勾股定理计算出BE ，最后利用余弦的定义求解．
【详解】∵四边形ABCD 为正方形，
∴BA ＝AD ，∠BAD ＝90°，
∵DE ⊥AM 于点E ，BF ⊥AM 于点F ，
∴∠AFB ＝90°，∠DEA ＝90°，
∵∠ABF+∠BAF ＝90°，∠EAD+∠BAF ＝90°，
∴∠ABF ＝∠EAD ，
在△ABF 和△DEA 中
BFA DEA ABF EAD AB DA ∠=∠⎧⎪∠=⎨⎪=⎩
∴△ABF ≌△DEA （AAS ），
∴BF ＝AE ；
设AE ＝x ，则BF ＝x ，DE ＝AF ＝1，
∵四边形ABED 的面积为6， ∴111622
x x x ⋅⋅+⋅⨯=，解得x 1＝3，x 2＝﹣4（舍去）， ∴EF ＝x ﹣1＝2，
在Rt△BEF中，22
2313
BE=+=，
∴
3313 cos
13
13
BF
EBF
BE
∠===．
故选B．
【点睛】
本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．会运用全等三角形的知识解决线段相等的问题．也考查了解直角三角形．
5．一个不透明的布袋里装有5个只有颜色不同的球，其中2个红球、3个白球．从布袋中一次性摸出两个球，则摸出的两个球中至少有一个红球的概率是（）
A．1
2
B．
2
3
C．
2
5
D．
7
10
【答案】D
【解析】画出树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好是两个红球的情况数，即可求出所求的概率．【详解】画树状图如下：
一共有20种情况，其中两个球中至少有一个红球的有14种情况，
因此两个球中至少有一个红球的概率是：
7 10
．
故选：D．
【点睛】
此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
6．□ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（）
A．BE=DF B．AE=CF C．AF//CE D．∠BAE=∠DCF
【答案】B
【解析】根据平行线的判定方法结合已知条件逐项进行分析即可得.
【详解】A、如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，
∵BE=DF，∴OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意；
B、如图所示，AE=CF，不能得到四边形AECF是平行四边形，故符合题意；
C、如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，
∵AF//CE，∴∠FAO=∠ECO，
又∵∠AOF=∠COE，∴△AOF≌△COE，∴AF=CE，
∴AF//CE，∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意；
D、如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB//CD，
∴∠ABE=∠CDF，
又∵∠BAE=∠DCF，∴△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，∴∠AEO=∠CFO，
∴AE//CF，
∴AE//CF，∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意，
故选B.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的判定定理与性质定理是解题的关键.
7．多项式ax2﹣4ax﹣12a因式分解正确的是（）
A．a（x﹣6）（x+2）B．a（x﹣3）（x+4）C．a（x2﹣4x﹣12）D．a（x+6）（x﹣2）
【答案】A
【解析】试题分析：首先提取公因式a，进而利用十字相乘法分解因式得出即可．
解：ax2﹣4ax﹣12a
=a（x2﹣4x﹣12）
=a（x﹣6）（x+2）．
故答案为a（x﹣6）（x+2）．
点评：此题主要考查了提取公因式法以及十字相乘法分解因式，正确利用十字相乘法分解因式是解题关键．8．不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的6个球，其中4个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（）
A ．摸出的是3个白球
B ．摸出的是3个黑球
C ．摸出的是2个白球、1个黑球
D ．摸出的是2个黑球、1个白球
【答案】A 【解析】由题意可知，不透明的袋子中总共有2个白球，从袋子中一次摸出3个球都是白球是不可能事件，故选B.
9．如图，在ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，DEF ABF S S 425∆∆=：：，则DE ：EC=（ ）
A ．2：5
B ．2：3
C ．3：5
D ．3：2
【答案】B 【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD
∴∠EAB=∠DEF ，∠AFB=∠DFE
∴△DEF ∽△BAF
∴()2
DEF ABF S S DE AB ∆∆=：： ∵DEF ABF S S 425∆∆=：：
， ∴DE ：AB=2：5
∵AB=CD ，
∴DE ：EC=2：3
故选B
10．如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，BC=1，CE=3，CH┴AF 与点H ，那么CH 的长是（ ）
A 22
B ．5
C ．322
D ．355
【答案】D
【解析】连接AC 、CF ，根据正方形性质求出AC 、CF ，∠ACD=∠GCF=45°，再求出∠ACF=90°，然后利用勾股定理列式求出AF ，最后由直角三角形面积的两种表示法即可求得CH 的长.
【详解】如图，连接AC 、CF ，。