如皋市第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学卷

如皋市第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________
姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 设是等差数列的前项和，若，则（ ）n S {}n a 5359a a =95
S
S =A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2． 已知a ∈R ，复数z=（a ﹣2i ）（1+i ）（i 为虚数单位）在复平面内对应的点为M ，则“a=0”是“点M 在第四象限”的（
）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
　3． “方程+=1表示椭圆”是“﹣3＜m ＜5”的（ ）条件．
A ．必要不充分
B ．充要
C ．充分不必要
D ．不充分不必要
4． 二项式的展开式中项的系数为10，则（ ）(1)(N )n
x n *
+Î3
x n =A ．5
B ．6
C ．8
D ．10
【命题意图】本题考查二项式定理等基础知识，意在考查基本运算能力．
5． 圆心在直线2x ＋y ＝0上，且经过点（－1，－1）与（2，2）的圆，与x 轴交于M ，N 两点，则|MN |＝（
）
A ．4
B ．425
C ．2
D ．225
6． 过点P （﹣2，2）作直线l ，使直线l 与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线l 一共有
（ ）
A ．3条
B ．2条
C ．1条
D ．0条
7． 在△ABC 中，a=1，b=4，C=60°，则边长c=（ ）
A ．13
B ．
C ．
D ．21
8． 全称命题：∀x ∈R ，x 2＞0的否定是（ ）
A ．∀x ∈R ，x 2≤0
B ．∃x ∈R ，x 2＞0
C ．∃x ∈R ，x 2＜0
D ．∃x ∈R ，x 2≤0
9． 命题“存在实数x ，使x ＞1”的否定是（ ）
A ．对任意实数x ，都有x ＞1
B ．不存在实数x ，使x ≤1
C ．对任意实数x ，都有x ≤1
D ．存在实数x ，使x ≤1
10．命题“∃x ∈R ，使得x 2＜1”的否定是（
）
A ．∀x ∈R ，都有x 2＜1
B ．∃x ∈R ，使得x 2＞1
C ．∃x ∈R ，使得x 2≥1
D ．∀x ∈R ，都有x ≤﹣1或x ≥1
11．如图所示，阴影部分表示的集合是（
）
A ．（∁U
B ）∩A B ．（∁U A ）∩B
C ．∁U （A ∩B ）
D ．∁U （A ∪B ）
12．设x ，y ∈R ，且满足，则x+y=（
）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题
13．已知偶函数f （x ）的图象关于直线x=3对称，且f （5）=1，则f （﹣1）= ．14．已知集合M={x||x|≤2，x ∈R}，N={x ∈R|（x ﹣3）lnx 2=0}，那么M ∩N= ．
15．= .
-2
331
1
+
log 6-log 4
2
（
16有两个不等实根，则的取值范围是 ．
()23k x =-+17．命题：“∀x ∈R ，都有x 3≥1”的否定形式为 ．
18．将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，若第一次朝上一面的点数为a ，第二次朝上一面的点数为b ，则函数y=ax 2﹣2bx+1在（﹣∞，2]上为减函数的概率是 ．
三、解答题
19．（本小题满分13分）
如图，已知椭圆的上、下顶点分别为，点在椭圆上，且异于点，直线2
2:14
x C y +=,A B P ,A B ,AP BP 与直线分别交于点，
:2l y =-,M N （1）设直线的斜率分别为，求证：为定值；,AP BP 12,k k 12k k ⋅（2）求线段的长的最小值；
MN （3）当点运动时，以为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．
P MN
【命题意图】本题主要考查椭圆的标准方程及性质、直线与椭圆的位置关系，考查考生运算求解能力，分析问题与解决问题的能力，是中档题.
20．已知数列{a n}与{b n}，若a1=3且对任意正整数n满足a n+1﹣a n=2，数列{b n}的前n项和S n=n2+a n．
（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{}的前n项和T n．
21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点，求证：
（1）直线EF∥平面PCD；
（2）平面BEF⊥平面PAD．
22．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面是菱形，且．点是棱的中点，平面P ABCD -ABCD 120ABC ∠=︒E PC ABE 与棱交于点．PD F （1）求证：；
//AB EF （2）若，且平面平面，求平面与平面所成的锐二面角的余2PA PD AD ===PAD ⊥ABCD PAF AFE 弦值．
【命题意图】本小题主要考查空间直线与平面，直线与直线垂直的判定，二面角等基础知识，考查空间想象能力,推理论证能力,运算求解能力，以及数形结合思想、化归与转化思想.
23．（本小题满分12分）已知函数.
2
()x
f x e ax bx =--（1）当时，讨论函数在区间上零点的个数；0,0a b >=()f x (0,)+∞（2）证明：当，时，.
1b a ==1[,1]2
x ∈()1f x <24．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】已知函数.
()()2
ln R f x x ax x a =-+-∈（1）若函数是单调递减函数，求实数的取值范围；
()f x a （2）若函数在区间上既有极大值又有极小值，求实数的取值范围.
()f x ()0,3a
如皋市第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题
1． 【答案】A 【解析】1111]
试题分析：．故选A ．111]19951553
9()9215()52
a a S a a a S a +===+考点：等差数列的前项和．2． 【答案】A
【解析】解：若a=0，则z=﹣2i （1+i ）=2﹣2i ，点M 在第四象限，是充分条件，
若点M 在第四象限，则z=（a+2）+（a ﹣2）i ，推出﹣2＜a ＜2，推不出a=0，不是必要条件；故选：A ．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查了复数问题，是一道基础题．　
3．
【答案】C
【解析】解：若方程+=1表示椭圆，则满足，即，
即﹣3＜m ＜5且m ≠1，此时﹣3＜m ＜5成立，即充分性成立，当m=1时，满足﹣3＜m ＜5，但此时方程+=1即为x 2+y 2=4为圆，不是椭圆，不满足条件．即必要性
不成立．故“方程+=1表示椭圆”是“﹣3＜m ＜5”的充分不必要条件．
故选：C ．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查椭圆的标准方程，根据椭圆的定义和方程是解决本题的关键，是基础题．　
4． 【答案】B
【解析】因为的展开式中项系数是，所以，解得，故选A ．
(1)(N )n x n *+Î3
x 3C n 3
C 10n =5n =5． 【答案】
【解析】选D.设圆的方程为（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2（r ＞0）．
由题意得，
{
2a ＋b ＝0
（－1－a ）2＋（－1－b ）2＝r 2（2－a ）2＋（2－b ）2＝r 2)
解之得a ＝－1，b ＝2，r ＝3，
∴圆的方程为（x ＋1）2＋（y －2）2＝9，
令y ＝0得，x ＝－1±，
5∴|MN |＝|（－1＋）－（－1－）|＝2，选D.5556． 【答案】C
【解析】解：假设存在过点P （﹣2，2）的直线l ，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为8，设直线l 的方程为：，
则．
即2a ﹣2b=ab
直线l 与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积S=﹣ab=8，即ab=﹣16，联立
，解得：a=﹣4，b=4．∴直线l 的方程为：，
即x ﹣y+4=0，
即这样的直线有且只有一条，故选：C
【点评】本题考查了直线的截距式、三角形的面积计算公式，属于基础题．　
7． 【答案】B
【解析】解：∵
a=1，b=4，C=60°，∴由余弦定理可得：c==
=
．
故选：B ．　
8． 【答案】D
【解析】解：命题：∀x ∈R ，x 2＞0的否定是：∃x ∈R ，x 2≤0．故选D ．
【点评】这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“＞”的否定用“＜”了．这里就有注意量词的否定形式．如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”．特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”．
9．【答案】C
【解析】解：∵命题“存在实数x，使x＞1”的否定是
“对任意实数x，都有x≤1”
故选C
10．【答案】D
【解析】解：命题是特称命题，则命题的否定是∀x∈R，都有x≤﹣1或x≥1，
故选：D．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
11．【答案】A
【解析】解：由图象可知，阴影部分的元素由属于集合A，但不属于集合B的元素构成，
∴对应的集合表示为A∩∁U B．
故选：A．
12．【答案】D
【解析】解：∵（x﹣2）3+2x+sin（x﹣2）=2，
∴（x﹣2）3+2（x﹣2）+sin（x﹣2）=2﹣4=﹣2，
∵（y﹣2）3+2y+sin（y﹣2）=6，
∴（y﹣2）3+2（y﹣2）+sin（y﹣2）=6﹣4=2，
设f（t）=t3+2t+sint，
则f（t）为奇函数，且f'（t）=3t2+2+cost＞0，
即函数f（t）单调递增．
由题意可知f（x﹣2）=﹣2，f（y﹣2）=2，
即f（x﹣2）+f（y﹣2）=2﹣2=0，
即f（x﹣2）=﹣f（y﹣2）=f（2﹣y），
∵函数f（t）单调递增
∴x﹣2=2﹣y，
即x+y=4，
故选：D．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，利用条件构造函数f （t ）是解决本题的关键，综合考查了函数的性质．　
二、填空题
13．【答案】　1　．
【解析】解：f （x ）的图象关于直线x=3对称，且f （5）=1，则f （1）=f （5）=1，f （x ）是偶函数，所以f （﹣1）=f （1）=1．故答案为：1．　
14．【答案】　{1，﹣1}　．
【解析】解：合M={x||x|≤2，x ∈R}={x|﹣2≤x ≤2}，N={x ∈R|（x ﹣3）lnx 2=0}={3，﹣1，1}，则M ∩N={1，﹣1}，故答案为：{1，﹣1}，
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．　
15．【答案】33
2
【解析】
试题分析：原式=。

2
333
31334log log 16log 16log 1622+-=+=+=+=考点：指、对数运算。

16．【答案】53,124⎛⎤
⎥⎝⎦
【解析】
试题分析：作出函数和的图象，如图所示，函数
的图象是一个半圆，
y =
()23y k x =-
+y =直线的图象恒过定点，结合图象，可知，当过点时，，当直线()23y k x =-+()2,3()2,0-303
224
k -=
=+
，解得，所以实数的取值范围是.111]
()23y k x =-+2512k =53,124⎛⎤
⎥⎝⎦
考点：直线与圆的位置关系的应用．
【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、两点间的斜率公式，以及函数的图像的应用等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归思想和学生的分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中把方程的根转化为直线与半圆的交点是解答的关键.17．【答案】　∃x 0∈R ，都有x 03＜1　．
【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题．所以，命题：“∀x ∈R ，都有x 3≥1”的否定形式为：命题：“∃x 0∈R ，都有x 03＜1”．
故答案为：∃x 0∈R ，都有x 03＜1．
【点评】本题考查全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．　
18．【答案】 ．
【解析】解：由题意，函数y=ax 2﹣2bx+1在（﹣∞，2]
上为减函数满足条件．
∵第一次朝上一面的点数为a ，第二次朝上一面的点数为b ，
∴a 取1时，b 可取2，3，4，5，6；a 取2时，b 可取4，5，6；a 取3时，b 可取6，共9种∵（a ，b ）的取值共36种情况∴所求概率为=
．
故答案为：．
三、解答题
19．【答案】
【解析】（1）易知，设，则由题设可知 ，
()()0,1,0,1A B -()00,P x y 00x ≠ 直线AP 的斜率，BP 的斜率，又点P 在椭圆上，所以∴0101y k x -=
020
1
y k x +=
，，从而有.（4分）
20014x y +=()00x ≠200012200011114y y y k k x x x -+-⋅===
-
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由题意知数列{a n }是公差为2的等差数列，
又∵a 1=3，∴a n =3+2（n ﹣1）=2n+1．
列{b n }的前n 项和S n =n 2+a n =n 2+2n+1=（n+1）2
当n=1时，b1=S1=4；
当n≥2时，．
上式对b1=4不成立．
∴数列{b n}的通项公式：；
（Ⅱ）n=1时，；
n≥2时，，
∴．
n=1仍然适合上式．
综上，．
【点评】本题考查了求数列的通项公式，训练了裂项法求数列的和，是中档题．
21．【答案】
【解析】证明：（1）在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD．
又因为EF不在平面PCD中，PD⊂平面PCD
所以直线EF∥平面PCD．
（2）连接BD．因为AB=AD，∠BAD=60°．
所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD．
因为平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，所以BF⊥平面PAD．
又因为BF⊂平面EBF，所以平面BEF⊥平面PAD．
【点评】本题是中档题，考查直线与平面平行，平面与平面的垂直的证明方法，考查空间想象能力，逻辑推理能力，常考题型．
22．【答案】
【解析】
∵平面，∴是平面的一个法向量，
BG ⊥PAD )0,3,0(=GB PAF
23．【答案】（1）当时，有个公共点，当时，有个公共点，当时，有个公共2(0,)4e a ∈24e a =2
(,)4
e a ∈+∞点；（2）证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）零点的个数就是对应方程根的个数,分离变量可得,构造函数,利用求出2x e a x =2()x
e h x x
=()'h x 单调性可知在的最小值,根据原函数的单调性可讨论得零点个数；（2）构造函数()h x (0,)+∞2
(2)4
e h =,利用导数可判断的单调性和极值情况,可证明.1
2()1x h x e x x =---()h x ()1f x <试题解析：
当时，有0个公共点；2
(0,4
e a ∈当，有1个公共点；2
4
e a =当有2个公共点.2
(,)4
e a ∈+∞（2）证明：设，则，
2()1x h x e x x =---'()21x h x e x =--令，则，'()()21x m x h x e x ==--'()2x
m x e =-因为，所以，当时，；在上是减函数，1(,1]2x ∈1[,ln 2)2
x ∈'
()0m x <()m x 1[,ln 2)2
当时，，在上是增函数，(ln 2,1)x ∈'()0m x >()m x (ln 2,1)
考点：1.函数的极值；2.函数的单调性与导数的关系；3.不等式；4.函数的零点.
【方法点睛】本题主要考查函数的极值，函数的单调性与导数的关系，不等式，函数的零点.有关零点问题一类题型是直接求零点,另一类是确定零点的个数.确定函数零点的常用方法:（1）解方程判定法,若方程易求解时用此法；（2）零点存在的判定定理法,常常要结合函数的性质,导数等知识；（3）数形结合法.在研究函数零点,方程的根及图象交点的问题时,当从正面求解难以入手,可以转化为某一个易入手的等价问题求解,如求解含绝对值,分式,三角式等较复杂的函数零点问题,常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解.
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.
24．【答案】（1）2）.a ≤193a <<
【解析】试题分析：
（1）原问题等价于对恒成立，即对恒成立，结合均值不等式的结论可()0f x '≤()0,+∞12a x x
≤+
()0,+∞
得a ≤（2）由题意可知在上有两个相异实根，结合二次函数根的分布可得实数的()2210x ax f x x
-+-'==()0,3a
取值范围是.193
a <<试题解析：
（2）∵函数在上既有极大值又有极小值，
()f x ()0,3∴在上有两个相异实根，()2210x ax f x x
-+-'==()0,3即在上有两个相异实根，
2210x ax -+=()0,3记，则，得，()221g x x ax =-+()()003{ 4
0030a g g ∆><<>
>{012 193
a a a a -<<<即
.193
a <<。