高中数学第2章统计2.4线性回归方程自我检测苏教版必修320171017524

2.4 线性回归方程
自我检测
基础达标
一、选择题
1．下列有关线性回归的说法，不正确的是（）
A
．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关
关系
B．在平面直角坐标系中用描点的方法得到具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图
C．线性回归直线能得到具有代表意义的回归直线方程
D．任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线方程
答案：D
2．下列命题中正确的为（）
①任何两个变量都具有相关关系②圆的周长与该圆的半径具有相关关系③某商品的需求与该商品的价格是一种非确定性关系④根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的⑤两个变量间的相关关系可以通过回归直线，把非确定性问题转化为确定性问题进行研究
A．①③④B．②④⑤
C．③④⑤D．②③⑤
答案：C
3．观测两相关变量得如下数据：
x -1 -2 -3 -4 -5 5 4 3 2 1
y -1 -2 -3 -3 -5 5 4 3 2 1
则两变量间的回归直线方程为（）
1
A．yˆ= x-1 B．yˆ=0.964x
2
1
C．yˆ=2x+ D．yˆ=0.964x+0.1
3
答案：D
4．由一组样本数据（x1,y1）,（x2,y2）,…,（x n,y n）得到的回归直线方程yˆ=bx+a,那么下面说法不正确的是（）
A．直线yˆ=bx+a必经过点（x,y）
B．直线yˆ=bx+a至少经过点（x1,y1）,（x2,y2）,…，（x n,y n）中的一个点
C．直线yˆ=bx+a的斜率为n
x y nxy
i i
2
i
i1
1
n
D．直线yˆ=bx+a和各点（x1,y1）,（x2,y2）,…，（x n,y n）的偏差
[y是
i(bx a)]
i
2
i1
该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的
答案：B
5．下列变量中具有相关关系的是（）
A．正方形的体积和边长
B．人的身高与体重
C．匀速行驶车辆的行驶距离与时间
D．球的半径与体积
答案：B
6．一位同学对自家所开小卖部就“气温与热饮杯的销售量进行调查”，根据统计结果，该生运
用所学知识得到气温x℃与当天销售量y（个）之间的线性回归方程yˆ=-2．352x+147.767,估计在x=2℃时，可卖出热饮杯的个数为（）
A．128 B．134
C．143 D．109
答案：C
7．下列两个变量之间的关系不是函数关系的是（）
A．正方体的体积与棱长
B．角的度数和它的正弦值
C．单产为常数时，土地面积和总产量
D．日照时间与水稻的亩产量
答案：D
8．统计中用相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱，对应于变量x取值x i，变量y 的观测值为y i（1≤i≤n）.若计算得相关系数r=0.8 ，则对变量x 、y的相关强弱为（）A．相关性很强B．相关性一般
C．相关性很弱D．不相关
答案：A
9．两个变量成负相关关系时，散点图的特征是（）
A．点散布特征为从左下角到右上角区域
B．点散布在某带形区域内
C．点散布在某圆形区域内
D．点散布特征为从左上角到右下角区域内
答案：D
10．某医学科研所对人体脂肪含量与年龄这两个变量的一组随机样本数据，运用Excel软件计算得yˆ=0.577x-0.448（x为人的年龄，y为人体脂肪含量）.对年龄为37的人来说，下列说法正确的是（）
A．年龄为37的人体内脂肪含量为20.90%
B．年龄为37的人体内脂肪含量约为20.90%
2
二、填空题
11．已知回归直线方程yˆ=0.50x-0.81，则当x=25时，y的估计值为_________.
答案：11.69
12．用科学计算器求回归方程的过程中，进入回归计算模式键是_________.
答案：
13．对某种产品表面进行腐蚀刻线实验，腐蚀深度y（μm）与时间x（s）之间有线性相关关系，回归方程为yˆ=0.304x+5.36，则回归系数b=0.304的实质意义是_____________.
答案：腐蚀时间x每增加1s，估计深度y平均增加0.304个μm（或腐蚀速度为0.304μm/s）14．在研究硝酸钠的可溶性程度时，在不同的温度观测它在水中的溶解度，得观测结果如下表：
温度（x）0 10 20 50 70
溶解度（y）66.7 76.0 85.0 112.3 128.0
由此得到回归直线的斜率是___________
答案：0.880 9
三、解答题
15．设对变量x,Y有如下观察数据：
x 151 152 153 154 156 157 158 160 160 162 163 164
Y 40 41 41.5 41.5 42 42.5 43 44 45 45 46 45.5
使用科学计算器求Y对x的回归直线方程.（结果保留4位小数）并写出操作过程.
解：计算得：a=－26.057 3,b=0.438 967
回归直线方程为yˆ=0.438 967x-26.057 3，操作过程略.
16．一台机器由于使用时间较长，但还可以使用.它按不同的转速生产出来的某机械零件有一
些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少随机器运转的速度而变化，下表为抽样试验结果：
转速（x转/秒）16 14 12 8
每小时生产有缺点的零件数（y件）11 9 8 5
（1）如果y与x有线性相关关系，求回归直线方程；
（2）求线性相关系数；
（3）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个，那么，机器的运转
速度应控制在什么范围内？
解：（1）计算得：a=-0.857 5,b=0.728 6
回归直线方程为yˆ=0.728 6x-0.857 5.
（2）相关系数r=0.995.
（3）x≤14.9019.
17．在对某产品进行耐压强度试验中，运用刻线试验方法，得到凹陷深度Y与挤压冲力x个单位（N）之间相应的一组观察值，如下表：
x（N） 5 10 15 20 30 40 50 60 70 90 100
Y（μm） 6 10 10 13 16 17 19 23 25 29 46
（1）画出表中数据的散点图；
（2）求Y对x的回归直线方程；
（3）试预测冲击力为100N时，凹陷深度是多少？
解：（1）散点图略.
（2）计算得：a=4.82,b=0.329.
回归直线方程为yˆ=0.329x+4.82．
（3）38.26μm．
更上一层
1．下列语句所表示的事件中的因素不具有相关关系的是（）
A．吸烟有害健康
B．乌鸦叫,没好兆
C．粮食产量与施肥量
D．名师出高徒
答案：B
2．下列关于回归直线的命题,正确的个数是（）
①回归直线通过散点图的中心（x,y）
②回归直线必经过散点图的多个点
③对给定数据组（x i,y i）（1≤i≤n）得出的散点图,回归直线可有多条
④如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,且散点图中各点到这条直线的距离差最小,这条直线是回归直线
A．0 B．1
C．2 D．3
答案：C
3．改革开放以来,我国高等教育事业迅速发展.为调查某省从1990年到2000年农村18岁到24 岁的青年人每年考入大学的百分比，为便于统计，把1990年到2000年的年号依次编号为0，1，…，10作为自变量x，每年考入大学的百分比作为因变量y，进行回归分析，得到回归直
线yˆ=0.42x+1．80.下列对数据解释正确的是（）
①每年升入大学的百分比为1.80②升入大学的18岁到24岁的人数按大约每年0.42%的速度递增③1990年升入大学的百分比约为1.80%，2000年升入大学的百分比约为6% ④从1990年到2000年升入大学的人数成等距离增加
A．．．．②③
答案：D
4．观察下列四个散点图，两变量具有线性相关关系的是（）
答案：A
5．对相关关系的变量的一组数据（x1,y1）,（x2,y2）,…，（x n,y n），所求回归方程为yˆ=bx+a，其中回归直线的斜率为（）
1n A．
n1
i x i y
i
B．x y
C．
n
x y
nx y
i i
i1
n
x n(x)
2
2
i
i1
D．
x y n
i1
x i y
i
答案：C
6．下列两个变量具有相关关系的是（）A．三角形的面积与三角形的底和高的乘积B．粮食单产量与光照时间
C．圆柱的体积与底面圆的半径
施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45
5
水稻产量y 330 345 365 405 445 450 455
则由此得到的回归直线的斜率是（）
A．B．4.75
C．3．．5.35
答案：B
8．对相关关系的两个变量x、y，与相关强对应的相关系数r满足（）
A．r∈［0.5,0.9］
B．r∈［0.75,1］
C．|r|∈［0.75,1］
D．r∈［-1,-0.75］
答案：C
9．现抽取某校高一10名学生入学考试中的数学成绩x和入学后的第一次考试数学成绩y，统计计算得x=107.8，∑（x i）2=116 584，y=68，∑（y i）2=47 384，∑x i y i=73 796,则两次数
学成绩的关系（）
A．相关强B．不相关
C．没关系D．相关一般
答案：A
10．某考察团对全国10大城市进行职工人均平均工资x与居民人均消费y进行统计调查，y
与x具有相关关系，回归方程yˆ=0.66x+1.562（单位：千元），若某城市居民消费水平为
7.675，估计该城市消费额占人均工资收入的百分比为（）
A．66%
B．72.3%
C．67.3%
D．83%
答案：D
11．回归直线方程yˆ=bx+a中，b=__________，a=___________.
n
x y nx y
i i
答案：y bx
i
1
n
x n(x)
2
2
i
i1
12．对某种机器购置后运营年限x（1，2，3，…）与当年增加利润y的统计分析知具备线性相关关系，回归方程为yˆ=10.47-1.3x，估计这种机器使用_________年最合算.
答案：劳动生产率提高1 000元，则工资提高80元
14．对具有线性相关关系的变量的一组数据（x1,y1）,（x2,y2）,…，（x n,y n），回归方程为yˆ
6
，求Q=_________的最小值而得出回归方程的方法，叫最小二乘法.
n
答案：
(y，，，
i bx a)2(i12n)
i
i1
15．5个学生的数学和物理成绩如下表：
学生 A B C D E
学科
数学80 75 70 65 60
物理70 66 68 64 62
（1）画出散点图；
（2）确定回归方程.
解：（1）散点图略.
（2）计算得：a=40.8,b=0.36.
回归直线方程为yˆ=0.36x+40.8.
16．现对x ，y有如下观测数据：
x 18 25 30 39 41 42 49 52
y 3 5 6 7 8 8 9 10
试求y对x的线性回归方程.
解：计算得：a=-0.067,b=0.191．
回归直线方程为yˆ=0.191x-0.067.
17．某公司抽查5位职工的月收入及储蓄额（单位：元）得到如下对应数据：
x 700 800 950 1 000 1 200
y 254 281 317 331 382
（1）作散点图；
（2）如果y与x之间具有线性相关关系，求回归直线方程.
解：（1）散点图略.
（2）计算得：a=76.13,b=0.254 7.
回归直线方程为yˆ=0.254 7x+76.13．
18．某厂某产品的产量x（单位：千件）与单位成本y（单位：万元/千件）的对应数据如下：x 29 28 28.5 29.5 30 31 30 29
y 500 510 504 494 493 485 492 498
（1）对变量y与x作出散点图；
（2）若y与x具有线性相关关系，求回归直线方程；
7
（3）预测产量x=25千件时的单位成本.
解：（1）散点图略.
（2）计算得：a=732,b=-8.
回归直线方程为yˆ=-8x+732．
（3）当x=25时，yˆ=-8×25+732=532万元/千件.
8。