湖南师范大学附属高二下学期期中考试文科数学试卷 有答案

湖南师范大学附属高二下学期期中考试
数学（文）试卷
(考试范围：除立体几何与统计概率，选修1－2,4－4外内容)
时量：120分钟 满分：150分
得分：
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1.已知全集U ＝{x ∈N |0＜x ≤8}，集合A ＝{1,2,4,5}，B ＝{3,5,7,8}，则图中阴影部分所表示的集合是
A.{1,2,4}
B.{3,7,8}
C.{1,2,4,6}
D.{3,6,7,8}
2.已知f (x )＝x 1
2，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是
A.f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫
1b B.f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b )<f (a ) C.f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a D.f ⎝⎛⎭⎫1a <f (a )<f ⎝⎛⎭
⎫1b <f (b ) 3.函数f (x )＝ln x －x ＋2的零点所在的区间为 A.(4,5) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
4.在三角形ABC 中，A 、B 、C 的对应边分别是a 、b 、c ，若a cos C ＝c cos A ，且a 、b 、c 成等比，则三角形ABC 是
A.等边三角形
B.直角三角形
C. 等腰直角三角形
D. 钝角三角形
5.在等比数列{a n }中，已知a 3＝1
2
，a 9＝8，则a 5a 6a 7的值为
A.±8
B.－8
C. 8
D.64
6.已知平面向量a ，b 满足|a|＝4，|b|＝3，向量a 与b 的夹角是60°，则|a ＋b |＝ A.13 B.15 C.19 D. 37
7.已知sin α＝35，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin 2α
cos 2α的值等于 A.32 B.34 C.－32 D. －3
4
8.函数y ＝ln cos x ⎝⎛⎭
⎫－π2<x <π
2的图象是
9.已知定义在R 上的函数f (x )满足：对任意x ∈R ，都有f (x )＝f (2－x )成立，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0(其中f ′(x )为f (x )的导数).设a ＝f (0)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12，c ＝f (3)，则a ，b ，c 三者的大小关系是
A.a <b <c
B.c <a <b
C.c <b <a
D.b <c <a
10.x 为实数，[x ]表示不超过x 的最大整数(如[－1.5]＝－2，[0]＝0，[2.3]＝2)，则关于函数f (x )＝x －[x ]，x ∈R 的说法不正确．．．
的是 A.函数不具有奇偶性
B.x ∈[1,2)时函数是增函数
C.函数是周期函数
D.若函数g(x)＝f(x)－kx 恰有两个零点，则k ∈(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫
13，12
选择题答题卡
二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.
11.计算sin 600°＝ .
12.已知圆C 的圆心坐标为(0,1)，且与直线2x －y －4＝0相切，则圆C 的标准方程是 .
13.已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x )＝f (x ＋4)，f (1)＝2，则f (2 015)等于 . 14.下面是一个算法的程序框图，当输入的x 值为5时，则输出的结果是 .
15.若函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫
π8x ＋π4，(－2<x <14)的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线与函数的图象交于B 、C 两点，则(OB ＋OC )·OA ＝ .(其中O 为坐标原点)
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
已知函数f (x )＝log 2(－4x ＋5·2x ＋
1－16). (1)求f (x )的定义域；
(2)求f (x )在区间[2，log 27]上的值域.
17.(本小题满分12分)
已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫7π
6－2x －2sin 2x ＋1(x ∈R ). (1)求函数f ()x 的最小正周期及单调递增区间；
(2)在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知函数f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫A ，1
2，b ，a ，c 成等差数列，且AB ·AC ＝9，求a 的值.
已知数列{a n }的首项a 1＝2，前n 项和为S n ，且－a 2，S n,2a n ＋1成等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)记b n ＝a n
(a n －1)(a n ＋1－1)
，求证：数列{b n }的前n 项和T n ∈⎣⎡⎭⎫23，1.
19.(本小题满分13分)
甲、乙两地相距s 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过60千米/小时，已知汽车每小时的运输成本(单位：元)由可变成本和固定成本组成，可变成本与速度v (千米/小时)的平方成正比，已知速度为50千米/小时时每小时可变成本是100元；每小时固定成本为a 元.
(1)把全程运输成本y (元)表示为速度v (千米/小时)的函数并标明定义域； (2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？
已知两个定点A 1(－2,0)，A 2(2,0)，动点M 满足直线MA 1与MA 2的斜率之积是定值m
4(m
∈R ，m ≠0).
(1)求动点M 的轨迹方程，并指出随m 变化时方程所表示的曲线的形状；
(2)若m ＝－3，已知点A (1，t )(t >0)是轨迹M 上的定点，E ，F 是动点M 的轨迹上的两个动点且E ，F ，A 不共线，如果直线AE 的斜率k AE 与直线AF 的斜率k AF 满足k AE ＋k AF ＝0，试探究直线EF 的斜率是否是定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由.
21.(本小题满分13分)
已知函数f (x )＝a x ＋x 2－x ln a (a >0，a ≠1). (1)求证：函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增； (2)若函数y ＝f (x )－t 有零点，求t 的最小值；
(3)若x 1，x 2∈[－1,1]，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥e －1，试求a 的取值范围.
高二第二学期期中考试试题
数学(文科)参考答案
一、选择题
1.B 【解析】图中阴影部分所表示的集合是(C U A )∩B ＝{3,7,8}，故选B.
2.C 【解析】因为函数f (x )＝x 12在(0，＋∞)上是增函数，又0<a <b <1b <1
a ，故选C.
3.D 【解析】∵f (1)＝ln 1＋1>0，f (2)＝ln 2>0，f (3)＝ln 3－1>0，f (4)＝ln 4－2<0，f (5)<0，
选D.
4.A 【解析】∵sin A cos C ＝sin C cos A A －C )＝A ＝C a ＝c ，由b 2＝ac ，故a ＝b ＝c ，选A.
5.A 【解析】因{a n }为等比数列，则a 26＝a 5·a 7＝a 3·a 9＝4，所以a 6＝±2，a 5·a 6·a 7＝±8，故选A.
6.D 【解析】由已知|a|＝4，|b|＝3，a·b ＝|a|·|b |cos θ＝4×3×1
2＝6.(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2
＝16＋12＋9＝37，||a ＋b ＝37.
7.C 【解析】因为sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos α＝－45，tan α＝－34.所以sin 2α
cos 2α＝2tan α＝－3
2
，故选C.
8.A 【解析】函数是偶函数排除B 、D ，而ln cos π
3
＝－ln 2<0，选A.
9.B 【解析】由f (x )＝f (2－x )可得，函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以f (3)＝f (－1).
又当x ∈()－∞，1时，(x －1)f ′(x )<0，即f ′(x )>0，则f (x )在()－∞，1上单调递增.
所以f (－1)<f (0)<f ⎝⎛⎭⎫
12.即c <a <b ，故选B.
10.D 【解析】画出函数f (x )＝x －[x ]的图像如图，据图可知选D. 二、填空题 11.－
32 【解析】sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32
. 12.x 2＋(y －1)2＝5 【解析】因为直线2x －y －4＝0与圆C 相切，所以圆C 的半径r ＝
|－1－4|
5
＝ 5. 故圆C 的标准方程是x 2＋(y －1)2＝5. 13.－2 【解析】f (2 015)＝f (4×503＋3)＝f (3)＝－f (－3) ＝－f (－3＋4)＝－f (1)＝－2.
14.2 【解析】第一次x ＝5－3＝2，第二次x ＝2－3＝－1，满足x ≤0，计算y ＝0.5－
1＝2.
15.72 【解析】f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4的周期是16，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π
4(－2<x <14)的图像仅与x 轴交于点A (6,0)且关于点A 对称，故A 是线段BC 的中点，则(OB ＋OC )·OA ＝2OA
2
＝72.
三、解答题
16.【解析】(1)－4x ＋5·2x ＋1－x －2)(2x －x
x <3. 即函数f (x )的定义域是(1,3)；6分
(2)当x ∈[2，log 27]时2x ∈[4,7]，－4x ＋5·2x ＋
1－16＝9－(2x －5)2∈[5,9]， 此时 f (x )的值域是[log 25,2log 23].12分
17.【解析】f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫7π
6－2x －2sin 2x ＋1 ＝－12cos 2x ＋3
2sin 2x ＋cos 2x
＝12cos 2x ＋3
2sin 2x ＝sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π
63分 (1)最小正周期：T ＝2π
2
＝π，4分
由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π
2(k ∈Z )可解得：
k π－π3≤x ≤k π＋π
6
(k ∈Z )，
所以f (x )的单调递增区间为：⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π
6(k ∈Z )；6分 (2)由f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝12可得：2A ＋π6＝π6＋2k π或5π
6＋2k π(k ∈Z ) 所以A ＝π
3
，8分
又因为b ，a ，c 成等差数列，所以2a ＝b ＋c ，9分 而AB ·AC ＝bc cos A ＝1
2bc ＝9，∴bc ＝1810分
∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝4a 2－54，
∴a ＝3 2.12分
18.【解析】(1)∵2S n ＝－a 2＋2a n ＋1，∴当n ≥2时，2S n －1＝－a 2＋2a n 2分 两式相减得2a n ＝2a n ＋1－2a n ，故a n ＋1＝2a n (n ≥2)，所以a n ＋1
a n ＝2.4分
又当n ＝1时，2a 1＝－a 2＋2a 2，得a 2＝2a 1，所以n ＝1时也满足a n ＋1
a n ＝2
∴{a n }是首项a 1＝2，公比为2的等比数列，∴a n ＝2n .6分 (2)∵b n ＝2n (2n －1)·(2n ＋1－1)＝12n －1－1
2n ＋
1－1
，8分 ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝⎛⎭⎫121－1－122－1＋⎝⎛⎭⎫122－1－123－1＋…＋⎝⎛⎭
⎫12n －1－1
2n ＋1－1＝1－
1
2n ＋1
－1
，10分
∵2n ＋
1≥4，∴T n ≥1－13＝23，
又
12n ＋1
－1
>0，∴T n <1，∴2
3≤T n ＜1.12分
19.【解析】(1)由已知有可变成本＝v 225，全程所用的时间为s
v ，3分
全程运输成本为y ＝a ·s v ＋125v 2·s
v ＝s ⎝⎛⎭⎫a v ＋v 25， 所求函数及其定义域为y ＝s ⎝⎛⎭⎫
a v ＋v 25，v ∈(0,60].6分
(2)y ′＝s ⎝⎛⎭⎫125－a v 2＝v 2－25a 25v 2s ＝(v ＋5a )(v －5a )25v 2s ，v ∈(0,60]8分
由题意：s ，a ，v 均为正数，当5a <60即a <144时， y ＝s ⎝⎛⎭⎫
a v ＋v 25在(0,5a ]上单减 ，在[5a ，60]上单增 所以此时当v ＝5a 时，全程运输成本y 最小.11分
(或用均值不等式：当5a <60即a <144时，y ＝s ⎝⎛⎭⎫a v ＋v 25≥2s a 25，当且仅当a v ＝v
25
，即v ＝5a 时等号成立)
当5a ≥60即a ≥144时，
当v ∈(0,60]时，y ′<0， y ＝s ⎝⎛⎭⎫
a v ＋v 25在(0,60]上单减 ， ∴此时当v ＝60时，全程运输成本y 取最小值
综上，当a <144时，行驶速度v ＝5a 千米/小时时全程成本最小； 当a ≥144时，行驶速度v ＝60千米/小时时全程成本最小.13分 20.【解析】(1)设动点M (x ，y )，依题意有：y x －2·y x ＋2＝m
4(m ≠0)
整理得x 24－y 2
m ＝1 (x ≠±2)，即为动点M 的轨迹方程，3分
m >0时轨迹是焦点在x 轴上的双曲线；
m ∈(－4,0)时，轨迹是焦点在x 轴上的椭圆； m ＝－4时，轨迹是圆；
m ∈(－∞，－4)时，轨迹是焦点在y 轴上的椭圆. 且点A 1(－2,0)，A 2(2,0)不在曲线上.6分
(2)m ＝－3时，动点M 的轨迹方程为x 24＋y 2
3＝1(x ≠±2)
∵点A (1，t )(t >0)在轨迹M 上，∴14＋t 2
3＝1
解得t ＝3
2
，即点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，327分 设k AE ＝k (k ≠0)，则直线AE 方程为：y ＝k (x －1)＋32，代入x 24＋y 2
3＝1并整理得(3＋4k 2)x 2
＋4k (3－2k )x ＋4⎝⎛⎭⎫32－k 2
－12＝0
设E (x E ，y E )，F (x F ，y F )，∵点A ⎝⎛⎭⎫1，3
2在动点M 的轨迹上， ∴x E ＝4⎝⎛⎭⎫32－k 2
－123＋4k 2 ③，
y E ＝kx E ＋3
2
－k ④9分
又k AE ＋k AF ＝0得k AF ＝－k ，将③、④式中的k 代换成－k ，可得 x F ＝4⎝⎛⎭⎫32＋k 2－123＋4k 2
，y F ＝－kx F ＋32＋k 10分 ∴直线EF 的斜率k EF ＝y F －y E x F －x E ＝－k (x F ＋x E )＋2k
x F －x E
∵x E ＋x F ＝8k 2－64k 2＋3，x F －x E ＝24k
4k 2＋3
∴k EF ＝－k ·8k 2－64k 2＋3＋2k
24k 4k 2
＋3＝－k (8k 2－6)＋2k (4k 2＋3)24k ＝1
2
即直线EF 的斜率为定值，其值为1
2
.13分
21.【解析】(1)f ′(x )＝a x ln a ＋2x －ln a ＝2x ＋(a x －1)ln a 1分
由于0<a <1或a >1，故当x ∈(0，＋∞)时，ln a 与a x －1同号，所以 f ′(x )>0，
故函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增.3分 (2)当a >0，a ≠1时，易知f ′(0)＝0，
设g (x )＝2x ＋(a x －1)ln a g ′(x )＝2＋a x (ln a )2>0 则f ′(x )在R 上单调递增， 故f′(x)＝0有唯一解x ＝05分
且x ，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：
故f min (x)＝f(0)＝1，即使函数y ＝f(x)－t 有零点的t 的最小值是1.7分 (3)因为1，x 2∈[－1,1]，使得|f(x 1)－f(x 2)|≥e －1，
所以当x ∈[－1,1]时，|(f(x))max －(f(x))min |＝(f(x))max －(f(x))min ≥e －18分 由(2)知，f(x)在[－1,0]上递减，在[0,1]上递增，
所以当x ∈[－1,1]时，(f(x))min ＝f(0)＝1，(f(x))max ＝max {}f(－1)，f(1)， 而f(1)－f(－1)＝(a ＋1－ln a)－⎝⎛⎭⎫1a ＋1＋ln a ＝a －1
a －2ln a ， 记g(t)＝t －1
t
－2ln t(t>0)，
因为g′(t)＝1＋1t 2－2t ＝⎝⎛⎭⎫1t
－12
≥0(当t ＝1时取等号)，
所以g(t)＝t －1
t －2ln t 在t ∈(0，＋∞)上单调递增，而g(1)＝0，
所以当t>1时，g(t)>0；当0<t<1时，g(t)<0，11分
也就是当a>1时，f(1)>f(－1)；当0<a<1时，f(1)<f(－1) ①当a>1时，由f(1)－f(0)≥e －－ln a ≥e －≥e ， ②当0<a<1时，由f(－1)－f(0)≥e －
1
a
＋ln a ≥e －≤1e
， 综上知，所求a 的取值范围为a ∈⎝⎛⎦⎤0，1
e ∪[)e ，＋∞.13分。