【数学】山东省K12联盟2018届高三开年迎春考试数学(理)试题 含答案

山东K12联盟2018届高三开年迎春考试
数学（理科试题卷）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集3|
04x U x Z x +⎧⎫
=∈≤⎨⎬-⎩⎭
，集合{}||21|1A x Z x =∈+≤，{}2*|20B x N x x =∈--≤，则()U A
B ð中元素的个数是（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
2.若复数2
3
2018
|34|
134i z i i i i i
-=++++++
-…，则z 的共轭复数z 的虚部为（ ）
A ．1
5
-
B ．95
-
C ．95
D ．95
i -
3.在区间(,)ππ-上随机取一个实数x ，使得|tan |2x ≤
） A ．
23
B ．
13
C ．
14
D ．
12
4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A ．
112
π B ．
356
π C ．
173
π D ．
163
π 5.在边长为2的等边三角形ABC 中，若30BC DC +=，则AB AD ⋅=（ ） A ．2
B ．2-
C ．4-
D ．4
6.执行下面的程序框图，如果输入的0.04t =，则输出的n 为（ ）
A ．7
B ．6
C ．5
D ．4
7.已知2
2
2
|2|a x x dx -=
-⎰
，在2
(1)(1)
a a
x y +-的展开式中，记m n x y 的系数为(,)f m n ，则
(2,3)f (7,2)f +=（ ）
A ．64-
B ．64
C ．160-
D ．160
8.在四面体ABCD
中，AB BC CD DA ====2AC BD ==，则它的外接球的面积S =（ ） A
B ．
52
π C ．10π D ．5π
9.以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，称它们互
为共轭双曲线．设双曲线1C ：22
221x y a b
-=（0a >，0b >）与双曲线2C 互为共轭双曲线，
它们的离心率分别为1e 、2e ．以下说法错误的是（ ） A ．1C 、2C 的渐近线方程都是b y x a
=± B ．12e e ⋅的最小值是2 C ．22121e e +=
D ．
2212
111e e += 10.记函数2
()sin 22cos
1f x a x x ωω=+-（0a >，0ω>）的图象按向量3(,1)4m πω
=-
平移后所得图象对应的函数为()g x ，对任意的x R ∈都有()()4f x f x π
=-，则()8
g π
的值为（ ） A
B
1
C ．a
D ．1
11.函数()|sin |f x x mx =-（m R ∈）在(0,)+∞上有两个不同的零点1x 、2x （12x x <），以下正确的是（ ） A ．2
22
1tan()4
1x x x π
++
=
- B ．2
22
1tan()4
1x x x π
-+
=
+
C ．2
22
1tan()4
1x x x π
--
=
+ D ．2
22
1tan()4
1x x x π
+-
=
- 12.对于函数()ln(2)2x f x e x =-+-，以下描述正确的是（ ） A ．0(2,)x ∃∈-+∞，0()(,2)f x ∈-∞- B ．(2,)x ∀∈-+∞，()(,2)f x ∈-∞- C ．(2,)x ∀∈-+∞，()(2,)f x ∈-+∞
D ．min ()(1,1)f x ∈-
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知变量x 、y 满足20,230,0,x y x y x -≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
则22441z x xy y =+++的最大值为 ．
14.公元五世纪张丘建所著《张丘建算经》卷中第1题为：今有户出银一斤八两一十二铢，今以家有贫富不等，今户别作差品，通融出之，最下户出银八两，以次户差各多三两，问户几何？题目的意思是：每户应交税银1斤8两12铢，若考虑贫富的差别，家最贫者交8两，户别差为3两，则户数为 ．（1斤16=两，1两24=铢）
15.过抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F 的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，过A 、B 两点分别作抛物线C 的准线l 的垂线，垂足分别为M 、N
，若MF ，1NF =，则抛物线C 的方程为 ．
16.ABC ∆
的面积S =A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，7a =
，
1=，ABC ∆的内切圆半径等于 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知数列{}n a ，1a e =，31n n a a +=（*n N ∈）． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设(21)ln n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
18.在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，E 为线段AD 的中点，如图1，沿BE 将ABE ∆折起至PBE ∆，使BP CE ⊥，如图2所示．
（1）求证：平面PBE ⊥平面BCDE ； （2）求二面角C PD E --的余弦值．
19.为了治理大气污染，某市2017年初采用了一系列措施，比如“煤改电”，“煤改气”，“整治散落污染企业”等．下表是该市2016年11月份和2017年11月份的空气质量指数（AQI ）（AQI 指数越小，空气质量越好）统计表．根据表中数据回答下列问题：
（1）将2017年11月的空气质量指数AQI 数据用该天的对应日期作为样本编号，再用系统抽样方法从中抽取6个AQI 数据，若在2017年11月16日到11月20日这五天中用简单随机抽样抽取到的样本的编号是19号，写出抽出的样本数据；
（2）根据《环境空气质量指数（AQI ）技术规定（试行）》规定：当空气质量指数为0~50（含50）时，空气质量级别为一级，用从（1）中抽出的样本数据中随机抽取三天的数据，空气质量级别为一级的天数为ξ，求ξ的分布列及数学期望；
（3）求出这两年11月空气质量指数为一级的概率，你认为该市2017年初开始采取的这些大气污染治理措施是否有效？
20.已知1F 、2F 分别是离心率为
13的椭圆C ：22221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点，点P
是椭圆C 上异于其左、右顶点的任意一点，过右焦点2F 作12F PF ∠的外角平分线
L 的垂线2F Q ，交L 于点Q ，且||3OQ =（O 为坐标原点）． （1）求椭圆C 的方程；
（2）若点M 在圆222x y b +=上，且在第一象限，过M 作圆222x y b +=的切线交椭圆于
A 、
B 两点，问：2AF B ∆的周长是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，说明理由．
21.已知函数2()()()x x f x e e a a x a R =--∈．
（1）曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线垂直于直线L ：2220x e y ++=，求a 的值； （2）讨论函数()f x 零点的个数．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线1C
的参数方程为,
1x y αα
⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以原点O 为
极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C
的极坐标方程为
cos()()4
2
t R πρθ+=∈．
（1）写出曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；
（2）已知点P 是曲线1C 上一点，点Q 是曲线2C 上一点，||PQ
的最小值为t 的值．
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数()|1||21|f x x x =++-． （1）解不等式()2f x x ≤+；
（2）若()|32||31|g x x m x =-+-，对1x R ∀∈，2x R ∃∈，使12()()f x g x =成立，求实数m 的取值范围．
山东K12联盟2018届高三开年迎春考试数学（理科试题卷）答案 一、选择题
1-5:DBBDC 6-10:CADCD 11、12：AC
二、填空题
13.17 14.12 15.2y =三、解答题
17.解：（1）由1a e =，31n n a a +=知，0n a >，所以1ln 3ln n n a a +=， 数列{}ln n a 是以1为首项，3为公比的等比数列， 所以1ln 3n n a -=，31n n a e -=．
（2）由（1）得1(21)ln (21)3n n n b n a n -=-=-⋅，
0121133353(21)3n n T n -=⨯+⨯+⨯++-⨯…，①
1213 1333(23)3(21)3n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+-⨯…，②
①-②，得1231212(3333)(21)3n n n T n --=+++++--⨯…
3312(21)32(1)3213
n n n n n -=+⨯--⨯=--⨯--．
所以(1)31n
n T n =-⨯+．
18.（1）证明：在图1中连接EC ，则A E B C E B ∠=∠45=︒，90BEC ∠=︒，BE CE ⊥．
∵PB CE ⊥，PB
PE P =，∴CE ⊥平面PBE ，
∵CE ⊂平面BCDE ，∴平面PBE ⊥平面BCDE .
（2）解：取BE 中点O ，连接PO ， ∵PB PE =，∴PO BE ⊥，
∵平面PBE ⊥平面BCDE ，∴PO ⊥平面BCDE ．
以O 为坐标原点，以过点O 且平行于CD 的直线为x 轴，过点O 且平行于BC 的直线为y 轴，直线PO 为z 轴，建立如图所示的直角坐标系，则11(,,0)22B -
，11
(,,0)22
E -，13(,,0)22C ，13(,,0)22D -
，(0,0,2
P ， 11(,,)222PE =--，(0,1,0)DE =-
，13(,,222
CP =--，(1,0,0)CD =-．
设平面PDE 的法向量为111(,,)m x y z =，平面PCD 的法向量为222(,,)n x y z =，
由1111110,2220,m PE x y z m DE y ⎧⋅=-+-
=⎪⎨⎪⋅=-=⎩
可得(m =-；
由22
22
130,220,
n CP x y z n CD x ⎧⋅=--+=⎪⎨⎪⋅=-=⎩
可得2(0,3n =； 则33
cos ,||||m n m n m n ⋅
<>=
=
⋅ 所以二面角C PD E --的余弦值为 19.解：（1）系统抽样，分段间隔30
56
k =
=， 这些抽出的样本的编号依次是4号、9号、14号、19号、24号、29号， 对应的样本数据依次是28、56、94、48、40、221． （2）随机变量ξ所有可能的取值为0，1，2,3，
0333361(0)20C C P C ξ===，1233369(1)20C C P C ξ===，21
333
69
(2)20C C P C ξ===，30333
61
(3)20
C C P C ξ===，
随机变量ξ的分布列为：
所以()0123 1.520202020
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯=． （3）2016年11月AQI 指数为一级的概率1
730P =， 2017年11月AQI 指数为一级的概率217
30
P =，
21P P >，说明这些措施是有效的．
20.解：（1）延长2F Q 交直线1F P 于点R ，
∵2F Q 为12F PF ∠的外角平分线的垂线，∴2||||PF PR =，Q 为2F R 的中点，
∴11||||||||22F R F P PR OQ +=
=12||||
32
F P PF a +===
， 由椭圆的离心率
13
c a =，得1c =，2
8b =，
∴椭圆的方程为2
2
198
x y +=． （2）由题意，设AB 的方程为y kx m =+（0k <，0m >）， ∵直线AB 与圆2
2
8x y +==，即m =
由22,
1,98
y kx m x y =+⎧⎪⎨+
=⎪⎩得222(89)189720k x kmx m +++-=，
设11(,)A x y 1(03)x <≤，22(,
)B x y （
203x <≤），则1221889km x x k -+=+，2122
972
89m x x k -=+， 12|||AB x x =-=2|6|89km k =
+2
689km
k =-+，
又22
2
2
2
21211
111
||(1)(1)8(1)(9)99
x AF x y x x =-+=-+-=-， ∴21111
||(9)333
AF x x =
-=-，
同理22211
||(9)333
BF x x =
-=-， ∴22121||||6()3AF BF x x +=-+2
6689km
k
=++， ∴2222
66||||||668989km km
AF BF AB k k ++=+
-=++，即2AF B ∆的周长为定值6． 21.解：（1）22'()2x x f x e ae a =--，
因为()f x 在点(1,(1))f 处垂直于直线22x e y +20+=，
所以222'(1)22f e ae a e =--=，2
0ae a --=，解得0a =或a e =-．
（2）函数()f x 的定义域为R ，'()(2)()x x f x e a e a =+-． ①当0a =时，2()x f x e =0>，无零点； ②当0a <时，'()0f x =，得0ln()2
a
x =-．
当9(,ln())2
x ∈-∞-时，'()0f x <，函数()f x 单调递减； 当(ln(),)2
a x ∈-+∞时，'()0f x >，函数()f x 单调递增， ∴2
min 3()(ln())ln()242a
a f x f a ⎡⎤=-=--⎢⎥⎣⎦
．
因为222()()x x x
f x e e a a x e a x =-->-，
且当0x <时，220x
e
a x ->，当x →+∞时，220x e a x ->，()0f x >，
∴当23
ln()042a a ⎡⎤--<⎢⎥⎣⎦时，即3ln()24a ->，3
42a e <-，函数()f x 有两个不同的零点；
当23
ln()042a a ⎡⎤--=⎢⎥⎣⎦时，即3
42a e =-时，函数()f x 有一个零点；
当23
ln()04
2a a ⎡⎤-->⎢⎥⎣⎦时，即3420e a -<<时，函数()f x 没有零点；
③当0a >时，令'()0f x =，得0ln x a =．
当(,ln )x a ∈-∞时，'()0f x <，函数()f x 单调递减； 当(ln ,)x a ∈+∞时，'()0f x >，函数()f x 单调递增，
∴2min ()(ln )ln f x f a a a ==-． 当x →+∞和当x →-∞，均有()0f x >，
∴当2
ln 0a a -<时，即ln 0a >，1a >时，函数()f x 有两个不同的零点；
当2
ln 0a a -=时，即1a =时，函数()f x 有一个零点；
当2
ln 0a a ->时，即01a <<时，函数()f x 没有零点； 综上，当34
2a e <-或1a >时，函数()f x 有两个不同的零点； 当34
2a e =-或1a =时，函数()f x 有一个零点； 当3
4
21e a -<<时，函数()f x 没有零点．
22.解：（1）由曲线1C 的参数方程，消去参数t ，可得1C 的普通方程为2
2
(1)2x y +-=， 即22210x y y +--=，化为极坐标方程为22sin 10ρρθ--=， 由曲线2C
的极坐标方程cos()4
2π
ρθ+=
（t R ∈）
，得(cos sin )22
ρθρθ-=（t R ∈），
∴曲线2C 的直角坐标方程为x y t -=，即0x y t --=． （2）曲线1C 的圆心(0,1)到直线0x y t --=
的距离d =
， 故||PQ
的最小值为d =
=7t =-或5t =． 23.解：（1）不等式等价于1,32,x x x ≤-⎧⎨-≤+⎩或11,222,x x x ⎧-<≤⎪⎨⎪-+≤+⎩或1,
2
32,
x x x ⎧
>⎪⎨⎪≤+⎩
解得x ∈∅或102x ≤≤
或1
12
x <≤， 所以不等式()2f x x ≤+的解集为{}|01x x ≤≤．
（2）由3,1,1()2,1,213,2
x x f x x x x x ⎧⎪-≤-⎪⎪=-+-<≤⎨⎪⎪>⎪⎩知，当12x =时，min 13()()22f x f ==； ()|(32)(31)||21|g x x m x m ≥---=-， 当且仅当(32)(31)0x m x --≤时取等号， 所以3|21|2
m -≤
， 解得1544m -≤≤． 故实数m 的取值范围是15,44⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦
．。