2022-2022年高二上半年第一次月考数学试卷(江西省崇义中学)

2022-2022年高二上半年第一次月考数学试卷（江西省崇义中学）
选择题
如图所示，平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD ⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD⊥平面BCD，若四面体ABCD的顶点在同一个球面上，则该球的体积为()
A. B. 3π C. D. 2π
【答案】A
【解析】由题意平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD＝，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′﹣BCD顶点在同一个球面上，可知A′B⊥A′
C，所以BC 是外接球的直径，所以BC=，球的半径为：；所以球的体积为: ．
选择题
设数列{an}是等差数列，且a2=-8，a15=5，Sn是数列{an}的前n 项和，则（）
A. S10=S11
B. S10＞S11
C. S9=S10
D. S9＜S10
【答案】C
【解析】∵a2=﹣8，a15=5，
设公差为d，则d，
∴an=n﹣10，
因此S9=S10是前n项和中的最小值，
选择C．
选择题
已知直线l1：2ax+（a+1）y+1=0，l2：（a+1）x+（a﹣1）y=0，若l1⊥l2，则a=（）
A.2或
B.或﹣1
C.
D.﹣1
【答案】B
【解析】
试题分析：由已知得2a（a+1）+（a+1）（a﹣1）=0，由此能求出结果．
解：∵直线l1：2ax+（a+1）y+1=0，l2：（a+1）x+（a﹣1）y=0，l1⊥l2，
∴2a（a+1）+（a+1）（a﹣1）=0，
解得a=或a=﹣1．
故选：B．
选择题
右面茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8,则的值分别为（）
A. 2，5
B. 5，5
C. 5，8
D. 8，8
【答案】C
【解析】试题分析：由题意得，，选C.
选择题
某校高三（1）班共有48人，学号依次为1，2，3，…，48，现用系统抽样的办法抽取一个容量为6的样本.已知学号为3，11，19，35，43的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为（）A．27B．26C．25D．24
【答案】A
【解析】
试题分析：根据系统抽样的规则——“等距离”抽取，也就抽取
的号码差相等，根据抽出的序号可知学号之间的差为，所以在与之间还有，故选A.
填空题
已知函数是上的偶函数，满足，且当
时，，令函数，若在区间上有个零点，分别记为
，则____________．
【答案】；
【解析】因为函数是上的偶函数，所以，由
，令，可得，因此，即
是函数的对称轴，周期，又函数是偶函数，关于轴对称，因此也是其对称轴函数，因为当时，单调递增，在区间上单调递增，所以当时，只有一个零点设为，同理在区间上只有一个零点设为，则，同理，故答案为.
解答题
在平面直角坐标系xOy中，已知定点A(－4，0)、C(4，0)，半径为r的圆M的圆心M在线段AC的垂直平分线上，且在y轴右侧，圆
M被y轴截得的弦长为r.
(1)求圆M的方程；（2)当r变化时，是否存在定直线l与动圆M 均相切？如果存在，求出定直线l的方程；如果不存在，说明理由．
【答案】（1）;(2) 存在两条直线y＝3和4x＋3y－9＝0与动圆M均相切.
【解析】试题分析：（1）根据圆心在弦的中垂线上求得线段AC 的垂直平分线方程为y＝2x＋3，可知圆心在这条线上，设圆心为M(a，2a＋3)再有垂径定理构造方程求解即可；（2）由直线和圆相切的性质
得到＝r，圆心到直线的距离为半径，再根据方程恒等得到
对应系数相等即可；
(1)由题意C(0，－2)，A(－4，0)，
所以线段AC的垂直平分线方程为y＝2x＋3.
设M(a，2a＋3)(a＞0)，则圆M的方程为(x－a)2＋(y－2a－3)2＝r2.
圆心M到y轴的距离d＝a，由r2＝d2＋，得a＝.
所以圆M的方程为＋(y－r－3)2＝r2.
(2)假设存在定直线l与动圆M均相切．当定直线的斜率不存在时，不合题意．
设直线l：y＝kx＋b，则＝r对任意r＞0恒成立．
由，得r2＋(k－2)(b－3)r＋(b－3)2＝(1＋k2)r2.
所以解得或
所以存在两条直线y＝3和4x＋3y－9＝0与动圆M均相切.
解答题
已知等差数列{an}的公差d＞0.设{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S2·S3＝36.
(1)求d及Sn；
(2)求m，k(m，k∈N*)的值，使得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am ＋k＝65.
【答案】（1）Snn2;(2) 当m＝5，k＝4时，am＋am＋1＋…＋am ＋k＝65.
【解析】试题分析:（1）已知数列前N项和的关系求通项化为基本量(2a1＋d)·(3a1＋3d)＝36；已知首项的值，可以求得公差，进而求出通项；（2）am＋am＋1＋…＋am＋k＝Sm＋k－Sm－1＝65，有第一问求出前N项和公式代入即可，在根据k、m是正整数求得值；
(1)∵S2·S3＝36，a1＝1，
∴(2a1＋d)·(3a1＋3d)＝36，即d2＋3d－10＝0，
∴d＝2或d＝－5.∵d＞0，∴d＝2，
∴an为1为首项，2为公差的等差数列，
∴Sn＝n＋×2＝n2.
(2)∵am＋am＋1＋…＋am＋k＝65，
∴Sm＋k－Sm－1＝65.
由(1)得(m＋k)2－(m－1)2＝65，
即2mk＋k2＋2m－1＝65，2m(k＋1)＋k2－1＝65，
即(k＋1)(2m＋k－1)＝65＝5×13，
∵k、m∈N＋，∴2m＋k－1＞k＋1，
∴解之得＝5，k＝4.
∴当m＝5，k＝4时，am＋am＋1＋…＋am＋k＝65.
填空题
一所中学共有4 000名学生，为了引导学生树立正确的消费观，需抽样调查学生每天使用零花钱的数量(取整数元)情况，分层抽取容量为300的样本，作出频率分布直方图如图所示，请估计在全校所有学生中，一天使用零花钱在6元～14元的学生大约有________人．
【答案】2720
【解析】根据频率分布直方图得；
一天使用零花钱在6元～14元的学生频率是
1﹣（0.02+0.03+0.03）×4=1﹣0.32=0.68，
∴对应的频数是4000×0.68=2720；
∴估计全校学生中，一天使用零花钱在6元～14元的大约有2720人．
解答题
设向量．
（1）若，求的值；
（2）设函数，求的最大值及单调递增区间．
【答案】（1）；（2）最大值为，单调递增区间为．【解析】
试题分析：（1）条件是，只要由向量模的坐标运算可得的方程，可解得；（2）首先由向量积的定义求得的表达式，并利
用二倍角公式，两角差的正弦公式化函数为一个三角函数形式
，再由正弦函数的性质可求得的最大值和增区间．
试题解析：（1）由，，及，得，
又，从而，所以．
（2）
，当时，取最大值1．
所以的最大值为，单调递增区间为
填空题
长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=2，BC=3，AA1=5，则一只小虫从A点沿长方体的表面爬到C1点的最短距离是．
【答案】
【解析】
试题分析：画出长方体的展开图，在三种不同情况下，利用勾股定理计算并比较得小虫从A点沿长方体的表面爬到C1点的最短距离是。

选择题
将一圆的六个等分点分成两组相间的三点﹐它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星﹐如图所示的正六角星是以原点为中心﹐其中,分别为原点到两个顶点的向量﹒若将原点到正六角星12个顶点的向量﹐都写成为的形式﹐则的最大值为（）。

A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【解析】
试题分析：建立如图所示的直角坐标系，设，则，，，
由得，解得，则，对应的值为，再由对称性知对应的值分别为，由平面向量基本定理知所求最大值只能在这六个点中取得，故所所最大值
为5．选D
解答题
已知直线L：kx－y＋1＋2k＝0.
(1)求证：直线L过定点；
(2)若直线L交x轴负半轴于点A，交y正半轴于点B，△AOB的面积为S，试求S的最小值并求出此时直线L的方程．
【答案】(1)定点(－2，1); (2) x－2y＋4＝0.
【解析】
试题分析：(1)由直线系方程:
恒过两直线: 与的交点可知:只需将直线L的方程改写成:知直线L恒过直线与的交点(-2,1),从而问题得证;(2)先用k将点A和点B的坐标表示出来，由直线L交x轴负半轴于点A，交y正半轴于点B知：k>0;然
后再用含k的代数式将△AOB的面积为S表达出来，得到S是k的函数，再利用基本不等式就可求得使S取得最小值对应的k的值，从而就可写出直线L的方程.
试题解析：(1)证明：由已知得: k(x＋2)＋(1－y)＝0，3分
令x＋2=0 ，1－y=0
得: x=-2，y=1
∴无论k取何值，直线过定点(－2，1)5分
(2)解：令y＝0得：A点坐标为
令x＝0得：B点坐标为(0，2k＋1)(k>0)，7分
∴S△AOB＝|2k＋1|＝(2k＋1)
＝≥(4＋4)＝4.10分
当且仅当4k＝，即k＝时取等号．
即△AOB的面积的最小值为4，此时直线l的方程为x－y＋1＋1＝0，
即x－2y＋4＝0. 12分
选择题
函数，，在上的部分图象如图所示，则的值为()．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由函数在上的部分图象可知周期为，，将代入可知，，可知，故可知
，故选B.
选择题
已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上运动，则z=x﹣y的最小值是（）
A. ﹣1
B. ﹣2
C. 1
D. 2
【答案】A
【解析】
∵不等式组
画可行域如图，画直线z=x﹣y，
∵z=x﹣y
平移直线0=x﹣y过点A（0，1）时z有最小值zmin=0﹣1=﹣1；
则z=x﹣y的最小值为﹣1，
故选A；
选择题
某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是()
A. 8 cm3
B. 12 cm3
C. cm3
D. cm3
【答案】C
【解析】由三视图可知几何体是下部为棱长为2的正方体，上部是底面为边长2的正方形高为2的正四棱锥，
所求几何体的体积为：23+*2×2×2=．
故选：C．
解答题
如图所示，在三棱锥中，分别为棱的中点．已知．求证:
（1）直线平面；
（2）平面平面．
【答案】见解析
【解析】试题分析：（1）由分别为棱的中点，所以，利用线面平行的判定定理，即可证得直线平面；（2）根据勾股定理证得，利用几何体的结构特征得到，得到面，即可证明平面平面．
试题解析：（1）因为分别为棱的中点，所以．又因为平面平面，所以直线平面．
（2）因为分别为棱的中点，，
所以．
又因为，即．
又平面平面平面．又平面所以平面平面．
填空题
若点P(1，1)为圆(x－3)2＋y2＝9的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为________．
【答案】2x－y－1＝0
【解析】由题意得，×kMN＝－1，所以kMN＝2，故弦MN 所在直线的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.
解答题
某书店销售刚刚上市的某知名品牌的高三数学单元卷，按事先拟定的价格进行5天试销，每种单价试销1天，得到如表数据：单价x（元）
18
19
20
21
22
销量y（册）
61
56
50
48
45
（1）求试销5天的销量的方差和y对x的回归直线方程；
（2）预计今后的销售中，销量与单价服从（1）中的回归方程，已知每册单元卷的成本是14元，
为了获得最大利润，该单元卷的单价应定为多少元？
【答案】（1）;(2) 单价应定为23.5元时，可获得最大利润.
【解析】试题分析：（1）由回归直线方程的公式求得，再代入公式求得a,最终得到表达式；（2）先计算出利润的表达式z=（x﹣14）y=﹣4x2+188x﹣1848，再对这个二次函数求得最值即可。

（1）
根据公式得到
所以y对x的回归直线方程为：
（2）获得的利润z=（x﹣14）y=﹣4x2+188x﹣1848，
∵二次函数z=﹣4x2+188x﹣1848的开口朝下，∴当，z取最大值，
∴当单价应定为23.5元时，可获得最大利润．
选择题
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝bc，sin C＝2sin B，则A＝()
A. 30°
B. 60°
C. 120°
D. 150°
【答案】A
【解析】已知等式sinC=2sinB，利用正弦定理化简得：c=2b，
代入a2﹣b2=bc中，得：a2﹣b2=6b2，即a2=7b2，
由余弦定理得：cosA=,
则A=30°，
故答案为：30°.
选择题
已知: 、是不共线向量，，，且，则的值为
(A) 8(B) 3(C)-3(D)-8
【答案】D
【解析】∵，是不共线向量，=，=，且∥，
∴存在实数λ使得.
∴= =6λ．
∴解得k=﹣8．
故选：B．
选择题
设函数f(x)＝，且f(2)＝1，则f(1)＝()
A. 8
B. 6
C. 4
D. 2
【答案】B
【解析】f(2)＝1，.。