【山西省太原第五中学年】2017届高三第二次模拟考试(5月)数学年(理)试题
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太原市五中 2017 届高三第二次模拟考试(5 月)数学(理)试卷
答案
一、选择题 1~5．CDACB 二、填空题
6~10．BCDCA
11~12．CB
13． 13
14．120 15． 41π 16． 2 017 三、解答题 17．解：（1）在 △BEC 中,据正弦定理,有 BE CE ．
sinBCE sin B
2.
5
5
35 2 ． 17. 5
4分
1/6
a 16 2 3. 5 9 ．
月度市场占有率 y 与月份序号 x 之间的线性回归方程为 y 2x 9 ．
5分
当 x 7 时, y 2 7 9 =23 ．
故 M 公司 2 017 年 4 月份的市场占有率预计为 2300 ．
每辆 B 款车可产生的利润期望值为 2. 7 500 1 200 150 (元)．
应该采购 A 款单车．
12 分
19．解：（Ⅰ）取线段 CD 的中点 Q ,连结 KQ ,直线 KQ 即为所求．
如图所示:
10 分
2/6
（Ⅱ）以点 A 为原点, AB 所在直线为 x 轴, AD 所在的直线为 y 轴,建立空间直角坐标系,如图,
B 2π , BE 1,CE 7, sinBCE BE sinB 2 21 ．
3
CE
7 14
（2）由平面几何知识,可知 DEA BCE, 在 Rt△AED 中,
A π , AE 5, cosDEA 1 sin2DEA 1 3 5 7 ．
当 a 0 时,由 h(x) 0 得, x0 1 a , h(x) 在 ( 1 a , 1 a) 上单调递减,在 ( 1 a , ) 上单调递增．
4/6
当 0 a 1 时, h(x) 有两个极值点,即 x1 1 a , x2 1 a , x1 x2 0, x1x2 a 1,由 0 a 1 得, 1 x1 0,0 x2 1 由 2h(x2 ) x1 0 2h(x2 ) x2 0 2aln(x2 1) x22 x2 0
,
y2
)
,
P( x3
Байду номын сангаас
,
5) 3
,
Q(x4
,
y4
)
,
MN
的中点为
D(x0
,
y0 )
,
y 2x t,
由
x
2
2
y2
得 9y2 1,
2ty t2
80
,
所以
y1
y2
2t 9
,且
4t2 36(t2 8) 0 ,
故
y0
y1
2
y2
t ,且 3 t 9
由已知可得 A(0 ,0 ,0) , E(0 ,0 ,2) , B(2 ,0 ,0) , C(2 ,2 ,0) , F(0 ,2 ,1) , EC (2 ,2 , 2) , EB (2 ,0 , 2) , EF (0 ,2 , 1) ,
设平面
ECF
的法向量为
n
(x,
y,
z)
,得
3
由 PM NQ 知四边形 PMQN 为平行四边形,
而 D 为线段 MN 的中点,因此, D 也是线段 PQ 的中点,
所以
y0
5 3
y4 2
t 9
,可得
y4
2t
15 9
,
又
3
t
3 ,所以
7 3
y4
1,
因此点 Q 不在椭圆上.
21．解：（Ⅰ）
f
(x)
x
1 1
设切点为 (x0
6分
（Ⅱ）
方法一:
由频率估计概率,每辆 A 款车可使用1 年、 2 年、 3 年和 4 年的概率分别为 0.2 、 0. 35 、 0. 35 和 0.1 ,
7分
每辆 A 款车可产生的利润期望值为
E1 (500 1000) 0.2 (1000 1000) 0.35 (1500 1000) 0. 35 (2 000 1000) 0.1175 (元)．
3, x 1．
由 2 2x 1 0 ,解得 1 x 1 ,则不等式的解集为 ( 1 , 1) ．
2
2
22
（Ⅱ）
h 2 ,h a2 b2 ,h 2
a
ab
b
h3 4(a2 b2 ) 4 2ab 8
ab
ab
5/6
h 2
6/6
2
28 14
ED EA 5 2 7 ． cosDEA 5 7
14 在 △CED 中,据余弦定理,有
CD2 CE2 DE2 2CE DE cosCED 7 28 2 7 2 7 ( 1) 49 2
CD 7 ．
18．解：（Ⅰ）由折线图中所给的数据计算可得 x 1 2 3 4 5 6 3. 5 ．
,
y0 ) ,则切线的斜率为 k
1 x0 1
点
( x0
,
y0 ) 在
f
(x)
ln(x
1) 上, y0
ln(x0
1) ln(x0 1) x0 1
1 x0 1
,解得
x0
e
1
切线的斜率为 1 , 切线方程为 x ey 1 0 e
（Ⅱ） h(x) af (x) g(x) aln(x 1) 1 x2 x 2
1 1 | OA | | OB | 1 2 2 3 2 ．
| OA | | OB | | OA | | OB | 12
7
23．选修 4-5：不等式选讲
3, x 2, 解：(Ⅰ)记 f (x) | x 1| | x 2 | 2x 1, 2 x 1,
每辆 A 款车可产生的利润期望值为 2. 35 500 1000 175 (元)．
8分
由频率估计概率,每辆 B 款车可使用1 年、 2 年、 3 年和 4 年的概率分别为 0.1、 0. 3 、 0. 4 和 0. 2 ,
9分
每辆 B 款车可使用年限的期望值为 E2 1 0.1 2 0. 3 3 0. 4 4 0. 2 2. 7 (年)．
10 分
E1 E2 应该采购 A 款单车．
12 分
方法二: 由频率估计概率,每辆 A 款车可使用1 年、 2 年、 3 年和 4 年的概率分别为 0.2 、 0. 35 、 0. 35 和 0.1,
7分
每辆 A 款车可使用年限的期望值为 E1 1 0. 2 2 0. 35 3 0. 35 4 0.1 2. 35 (年)．
1分
6
y 1113 16 15 20 21 16 ．
2分
6
b
2.
5
(5) (1. (2. 5)2
5) (3) (0. 5) 0 (1. 5)2 + ( 0. 5)2
0. 5 (1) 1. 5 4 0. 52 1. 52 2. 52
8分 由频率估计概率,每辆 B 款车可使用1 年、 2 年、 3 年和 4 年的概率分别为 0.1 、 0. 3 、 0.4 和 0. 2 ,
9分 每辆 B 款车可产生的利润期望值为
E2 (500 1 200) 0.1 (1000 1 200) 0.3 (1500 1 200) 0.4 (2 000 1 200) 0.2 150 (元)．
由于直线 C2
过原点,且倾斜角为
π 3
,故其极坐标为
π 3
(
R) （或
tan
3）
2 4cos 4sin 7 0
(2)由
π 3
得: 2 (2 3 2) 7 0 ,故 1 2 2 3 2 , 12 7 ,
h(x)
a
x2 (a 1)
x 1
,x 1
x 1
x 1
当 a 1 0 时,即 a 1 时, h(x) 0, h(x) 在 (1, ) 上单调递增;
当 0 a 1 时 , 由 h(x) 0 得 , x1 1 a , x2 1 a , 故 h(x) 在 (1, 1 a) 上 单 调 递 增 , 在 ( 1 a , 1 a) 上单调递减,在 ( 1 a , ) 上单调递增;
所以 t(x) 0 在 x (0,1) 时恒成立,即 2(1 x2 )ln(x2 1) x2 0 成立
2lnx2 x1 0 ． 22．选修 4-4：坐标系与参数方程 (1)曲线 C1 的普通方程为 (x 2)2 ( y 2)2 1,
则 C1 的极坐标方程为 2 4cos 4sin 7 0 ,
x2 1 a,a 1 x22 ,即证明 2(1 x22 )ln(x2 1) x22 x2 0 即证明 2(1 x2 )ln(x2 1) x2 0 构造函数 t(x) 2(1 x)ln(x 1) x, x(0,1) t(x) 1 2ln(1 x) 0,t(x) 在 (0,1) 上单调递增,又 t(0) 0 ,
2 2
)
在椭圆
C
上,所以
2a
|
AF1
|
|
AF2
|
2
2,
因此 a 2 , b2 a2 c2 1,
故椭圆 C 的方程为 x2 y2 1． 2
（Ⅱ）椭圆 C 上不存在这样的点 Q ,证明如下:
3/6
设直线 l 的方程为 y 2x t ,
设
M
(x1,
y1 )
,
N ( x2
2x 2 y
2 z
y 2z 0,
0,
取 y 1,得平面 ECF 的一个法向量为 n (1,1, 2) ,
设直线 EB 与平面 ECF 所成的角为 ,
sin | cos n, EB | | 2 | 3 ． 43 6
20．解：（Ⅰ）设椭圆 C 的焦距为 2c ,则 c 1,因为 A(1,
答案
一、选择题 1~5．CDACB 二、填空题
6~10．BCDCA
11~12．CB
13． 13
14．120 15． 41π 16． 2 017 三、解答题 17．解：（1）在 △BEC 中,据正弦定理,有 BE CE ．
sinBCE sin B
2.
5
5
35 2 ． 17. 5
4分
1/6
a 16 2 3. 5 9 ．
月度市场占有率 y 与月份序号 x 之间的线性回归方程为 y 2x 9 ．
5分
当 x 7 时, y 2 7 9 =23 ．
故 M 公司 2 017 年 4 月份的市场占有率预计为 2300 ．
每辆 B 款车可产生的利润期望值为 2. 7 500 1 200 150 (元)．
应该采购 A 款单车．
12 分
19．解：（Ⅰ）取线段 CD 的中点 Q ,连结 KQ ,直线 KQ 即为所求．
如图所示:
10 分
2/6
（Ⅱ）以点 A 为原点, AB 所在直线为 x 轴, AD 所在的直线为 y 轴,建立空间直角坐标系,如图,
B 2π , BE 1,CE 7, sinBCE BE sinB 2 21 ．
3
CE
7 14
（2）由平面几何知识,可知 DEA BCE, 在 Rt△AED 中,
A π , AE 5, cosDEA 1 sin2DEA 1 3 5 7 ．
当 a 0 时,由 h(x) 0 得, x0 1 a , h(x) 在 ( 1 a , 1 a) 上单调递减,在 ( 1 a , ) 上单调递增．
4/6
当 0 a 1 时, h(x) 有两个极值点,即 x1 1 a , x2 1 a , x1 x2 0, x1x2 a 1,由 0 a 1 得, 1 x1 0,0 x2 1 由 2h(x2 ) x1 0 2h(x2 ) x2 0 2aln(x2 1) x22 x2 0
,
y2
)
,
P( x3
Байду номын сангаас
,
5) 3
,
Q(x4
,
y4
)
,
MN
的中点为
D(x0
,
y0 )
,
y 2x t,
由
x
2
2
y2
得 9y2 1,
2ty t2
80
,
所以
y1
y2
2t 9
,且
4t2 36(t2 8) 0 ,
故
y0
y1
2
y2
t ,且 3 t 9
由已知可得 A(0 ,0 ,0) , E(0 ,0 ,2) , B(2 ,0 ,0) , C(2 ,2 ,0) , F(0 ,2 ,1) , EC (2 ,2 , 2) , EB (2 ,0 , 2) , EF (0 ,2 , 1) ,
设平面
ECF
的法向量为
n
(x,
y,
z)
,得
3
由 PM NQ 知四边形 PMQN 为平行四边形,
而 D 为线段 MN 的中点,因此, D 也是线段 PQ 的中点,
所以
y0
5 3
y4 2
t 9
,可得
y4
2t
15 9
,
又
3
t
3 ,所以
7 3
y4
1,
因此点 Q 不在椭圆上.
21．解：（Ⅰ）
f
(x)
x
1 1
设切点为 (x0
6分
（Ⅱ）
方法一:
由频率估计概率,每辆 A 款车可使用1 年、 2 年、 3 年和 4 年的概率分别为 0.2 、 0. 35 、 0. 35 和 0.1 ,
7分
每辆 A 款车可产生的利润期望值为
E1 (500 1000) 0.2 (1000 1000) 0.35 (1500 1000) 0. 35 (2 000 1000) 0.1175 (元)．
3, x 1．
由 2 2x 1 0 ,解得 1 x 1 ,则不等式的解集为 ( 1 , 1) ．
2
2
22
（Ⅱ）
h 2 ,h a2 b2 ,h 2
a
ab
b
h3 4(a2 b2 ) 4 2ab 8
ab
ab
5/6
h 2
6/6
2
28 14
ED EA 5 2 7 ． cosDEA 5 7
14 在 △CED 中,据余弦定理,有
CD2 CE2 DE2 2CE DE cosCED 7 28 2 7 2 7 ( 1) 49 2
CD 7 ．
18．解：（Ⅰ）由折线图中所给的数据计算可得 x 1 2 3 4 5 6 3. 5 ．
,
y0 ) ,则切线的斜率为 k
1 x0 1
点
( x0
,
y0 ) 在
f
(x)
ln(x
1) 上, y0
ln(x0
1) ln(x0 1) x0 1
1 x0 1
,解得
x0
e
1
切线的斜率为 1 , 切线方程为 x ey 1 0 e
（Ⅱ） h(x) af (x) g(x) aln(x 1) 1 x2 x 2
1 1 | OA | | OB | 1 2 2 3 2 ．
| OA | | OB | | OA | | OB | 12
7
23．选修 4-5：不等式选讲
3, x 2, 解：(Ⅰ)记 f (x) | x 1| | x 2 | 2x 1, 2 x 1,
每辆 A 款车可产生的利润期望值为 2. 35 500 1000 175 (元)．
8分
由频率估计概率,每辆 B 款车可使用1 年、 2 年、 3 年和 4 年的概率分别为 0.1、 0. 3 、 0. 4 和 0. 2 ,
9分
每辆 B 款车可使用年限的期望值为 E2 1 0.1 2 0. 3 3 0. 4 4 0. 2 2. 7 (年)．
10 分
E1 E2 应该采购 A 款单车．
12 分
方法二: 由频率估计概率,每辆 A 款车可使用1 年、 2 年、 3 年和 4 年的概率分别为 0.2 、 0. 35 、 0. 35 和 0.1,
7分
每辆 A 款车可使用年限的期望值为 E1 1 0. 2 2 0. 35 3 0. 35 4 0.1 2. 35 (年)．
1分
6
y 1113 16 15 20 21 16 ．
2分
6
b
2.
5
(5) (1. (2. 5)2
5) (3) (0. 5) 0 (1. 5)2 + ( 0. 5)2
0. 5 (1) 1. 5 4 0. 52 1. 52 2. 52
8分 由频率估计概率,每辆 B 款车可使用1 年、 2 年、 3 年和 4 年的概率分别为 0.1 、 0. 3 、 0.4 和 0. 2 ,
9分 每辆 B 款车可产生的利润期望值为
E2 (500 1 200) 0.1 (1000 1 200) 0.3 (1500 1 200) 0.4 (2 000 1 200) 0.2 150 (元)．
由于直线 C2
过原点,且倾斜角为
π 3
,故其极坐标为
π 3
(
R) （或
tan
3）
2 4cos 4sin 7 0
(2)由
π 3
得: 2 (2 3 2) 7 0 ,故 1 2 2 3 2 , 12 7 ,
h(x)
a
x2 (a 1)
x 1
,x 1
x 1
x 1
当 a 1 0 时,即 a 1 时, h(x) 0, h(x) 在 (1, ) 上单调递增;
当 0 a 1 时 , 由 h(x) 0 得 , x1 1 a , x2 1 a , 故 h(x) 在 (1, 1 a) 上 单 调 递 增 , 在 ( 1 a , 1 a) 上单调递减,在 ( 1 a , ) 上单调递增;
所以 t(x) 0 在 x (0,1) 时恒成立,即 2(1 x2 )ln(x2 1) x2 0 成立
2lnx2 x1 0 ． 22．选修 4-4：坐标系与参数方程 (1)曲线 C1 的普通方程为 (x 2)2 ( y 2)2 1,
则 C1 的极坐标方程为 2 4cos 4sin 7 0 ,
x2 1 a,a 1 x22 ,即证明 2(1 x22 )ln(x2 1) x22 x2 0 即证明 2(1 x2 )ln(x2 1) x2 0 构造函数 t(x) 2(1 x)ln(x 1) x, x(0,1) t(x) 1 2ln(1 x) 0,t(x) 在 (0,1) 上单调递增,又 t(0) 0 ,
2 2
)
在椭圆
C
上,所以
2a
|
AF1
|
|
AF2
|
2
2,
因此 a 2 , b2 a2 c2 1,
故椭圆 C 的方程为 x2 y2 1． 2
（Ⅱ）椭圆 C 上不存在这样的点 Q ,证明如下:
3/6
设直线 l 的方程为 y 2x t ,
设
M
(x1,
y1 )
,
N ( x2
2x 2 y
2 z
y 2z 0,
0,
取 y 1,得平面 ECF 的一个法向量为 n (1,1, 2) ,
设直线 EB 与平面 ECF 所成的角为 ,
sin | cos n, EB | | 2 | 3 ． 43 6
20．解：（Ⅰ）设椭圆 C 的焦距为 2c ,则 c 1,因为 A(1,