天津市滨海新区2018届高三毕业班联考数学(文)试卷有答案

2018年天津市滨海七所重点学校高三毕业班联考
数学试卷（文科）
本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共150分,考试时间120分钟。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷2至4页。

参考公式： 圆柱的体积公式sh V =，其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高 锥体的体积公式1
3
V sh =
，其中S 表示锥体的底面面积，h 表示锥体的高 第I 卷（选择题，共40分）
一. 选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确
的）
1.已知全集}5,4,3,2,1{=U ,集合}5,1{=A ,集合}5,3,2{=B ,则()=⋂A B C U ( ) A.}2{
B.}3,2{
C.}1{
D.}4,1{
2.实数,x y 满足不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤--≥-+1020
2y y x y x 则目标函数y x z 2+=的最小值是（ ）
A.2
B.3
C.4
D.5
3.执行如图1所示的程序框图,若输入n 的值为3,则输出s 的值是（ ） A.1B.2 C. 4D.7
4.若31
)21
(=a ，3log ,2log 2
131==c b ,则c b a ,,的大小关系是( )
A.c a b <<
B.a c b <<
C.c b a <<
D.a b c <<
5.设R x ∈，则“1<x ”是“02||<-x x ”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 6.函数)2
,0)(sin()(π
ϕωϕω<>+=x x f 的最小正周期是π，
若其图象向左平移
3
π
个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图象 ( ) A.关于点)0,12
(π对称 B.关于直线12
x π
=
对称 C.关于点)0,6
(
π
对称 D.关于直线6
π
=
x 对称
7.已知双曲线22221x y a b
-=(0,0)a b >>的两条渐近线与抛物线 )0(22
>=p px y 的准线分别交于A ,B 两点,
O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2,ABO ∆的面积为32, 则抛物线的焦点为( )
A. (
0,21
) B.（0,22） C. )0,1( D. )0,2(
8.已知函数()2f x x x a x =-+,若存在(]32，
∈a ，使得关于x 的函数()()y f x tf a =- 有三个不同的零点，则实数t 的取值范围是（ ）
A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4589，
B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛24251，
C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛891，
D ．⎪⎭
⎫ ⎝⎛451，
第Ⅱ卷(非选择题，共110分)
二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在试题的相应的横线上. 9.已知i 是虚数单位，则
=++i
i
437． 10.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为． 11.等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1a ,
31
2
a ,22a 成等差数列，则15141413
a a a a ++=． 12.设直线a x y 2+=与圆022:2
2=--+ay y x C )0(>a 相交于B A ,两点,若32=AB ,则=a ．
13.已知正实数b a ,满足,b a >且2
1
=ab ,则b a b a -++21422的最小值为___________.
14.已知菱形ABCD 的边长为2,︒=∠120BAD ,点E 、F 分别在边CD BC ,上,BC BE λ=，DC DF μ=,若2
5
2=+μλ, 则AF AE ⋅的最小值．
三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15.（本题满分13分）从高三学生中抽取n 名学生参加数学竞赛，成绩（单位：分）的分组及各数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知成绩的范围是区间)100,40[,且成绩在区间)90,70[的学生人数是27人, （1）求n x ，的值；
（2）若从数学成绩（单位：分）在)60,40[的学
生中随机选取2人进行成绩分析 ①列出所有可能的抽取结果；
②设选取的2人中,成绩都在)60,50[内为事
件
A ,求事件A 发生的概率.
40
50
60
70
80
90
100
004
.0006.0016
.002.0x 03.0组距
频率
16．（本题满分13分）锐角ABC ∆中,c b a ,,分别为角C B A ,,的对边,b B a 7sin 4=，
（1）若6,8,a b c =+=求ABC ∆的面积； （2）求)3
22sin(π
+A 的值.
17.（本题满分13分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 的边长是2的正方形，PD PA =,PD PA ⊥,上的点，为PB F 且PBD AF 平面⊥. （1）求证:AB PD ⊥;
（2）求证:平面⊥PAD 平面ABCD ;
（3）求直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值.
18．(本题满分13分)已知(0,2)A -,椭圆2222:1(0)x y E a b a b
+=>>
,F 是椭圆E 的右焦点,
直线AF
的斜率为
3
O 为坐标原点. （1）求椭圆的方程；
（2）设过点A 的动直线l 与椭圆E 相交于P ,Q 两点,当OPQ ∆的面积最大时,求直线l 的方程.
19. (本题满分14分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足21n n S a =-(*n N ∈),数列{}n b 满足
()()111n n nb n b n n +-+=+(*n N ∈),且11b =
（1）证明数列⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧n b n 为等差数列,并求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; （2）若)
log 23)(log 23()
1(4)
1(1221
+-+++-=n n n n a a n c ,求数列{}n c 的前n 项和n T 2;
（3）若n n n b a d ⋅=,数列{}n d 的前n 项和为n D ,对任意的*n N ∈,都有a nS D n n -≤,求实数a 的取值范围.
20． (本题满分14分)已知函数()1ln x
f x x ax
-=
+（其中0a >,e 2.7≈）. （1）当1=a 时,求函数)(x f 在))1(,1(f 点处的切线方程; （2）若函数()f x 在区间[)+∞,2上为增函数,求实数a 的取值范围; （3）求证:对于任意大于1的正整数n ,都有111ln 23
n n
>
+++
. F
P
A
B
D
C
2018年天津市滨海七所重点学校高三毕业班联考
数学试卷（文科）评分标准
一、选择题：C B C D A B D B 二、填空题：
9.i -1 10. π64+ 11.12- 12.2 13. 32 14.3 三、解答题：
15.（本题满分13分）从高三学生中抽取n 名学生参加数学竞赛，成绩（单位：分）的分组及各数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知成绩的范围是区间)100,40[,且成绩在区间)90,70[的学生人数是27人, （1）求n x ，的值；
（2）若从数学成绩（单位：分）在)60,40[的学生中随
机选取2人进行成绩分析 ①列出所有可能的抽取结果；
②设选取的2人中,成绩都在)60,50[内为事件A , 求事件A 发生的概率.
解：(1)由直方图可得成绩分布在区间的频率为
024.0)03.0016.002.0006.0004.0(1.0=++++-=x ............. 2分
样本容量50)
024.003.0(1027
=+=
n ............ 4分
(2)①成绩在区间)50,40[共有2人记为y x ,
成绩在区间)60,50[共有3人记为c b a ,, ............ 5分
则从中随机选取2人所有可能的抽取结果共有10种情况；
},}{,}{,}{,}{,}{,}{,}{,}{,}{,{c b c a b a c y b y a y c x b x a x y x ............ 9分
② “从上述5人中任选2人，都来自)60,50[分数段”为事件A; 则事件A 包含的基本事件有},}{,}{,{c b c a b a ............ 11分
故所求概率10
3
)(=A P ............ 13分
16．（本题满分13分）锐角ABC ∆中,c b a ,,分别为角C B A ,,的对边,b B a 7sin 4=，
（1）若6,8,a b c =+=求ABC ∆的面积；
.0.0.0.0x
.0
（2）求)3
22sin(π
+
A 的值. 解：(1) b
B a 7sin 4=
B B A sin 7sin sin 4=∴……………1分
π<<B 0 ……………2分 4
7
sin =
∴A ……………3分 A 是锐角 ……………4分
43471sin 1cos 2
2
=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-=∴A A ……………5分 由余弦定理 2222cos a b c bc A =+-， 得bc bc c b bc c b 2
7
6427)(233622
2
-=-+=-
+=， ∴8=bc ，……………6分 则74
7
821sin 21=⨯⨯==
∆A bc S ABC ……………7分 （2）8
7
343472cos sin 22sin =⨯⨯
==A A A ，……………9分 8
1
)47(21sin 212cos 22=-=-=A A ……………11分 16
3
732381)21(87332sin 2cos 32cos 2sin )322sin(+-=⋅+-⋅=+=+
πππA A A …13分
17.（本题满分13分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 的边长是2的正方形，PD PA =,PD PA ⊥,上的点，为PB F 且PBD AF 平面⊥. （1）求证:AB PD ⊥;
（2）求证:平面⊥PAD 平面ABCD ;
（3）求直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值.
证明：（1）
AF PBD ⊥平面PB PBD ⊂平面PD AF ∴⊥……………………1分
PA PD ⊥PA AF A =PD PAB ∴⊥平面 ……………………2分
AB PAB ⊂平面PD AB ∴⊥……………………3分
(2)
ABCD 是正方形AB AD ∴⊥ …………………4分
PD AB ⊥AD PD D =AB PAD ∴⊥平面 …………………5分
P
A
B
C
D
F
AB ABCD ⊂平面PAD ABCD ∴⊥平面平面 …………………6分
(3)取AD 的中点H ,连接PH ,BH ,
PA PD =,PH AD ∴⊥
PAD ABCD ⊥平面平面PH PAD ⊂平面 …………………7分 PAD ABCD AD =平面平面
PH ABCD ∴⊥平面 ……………………8分
BH PB ∴是在平面ABCD 内的射影 ……………………9分 PBH PB ABCD ∴∠就是与平面所成的角……………………10分
在等腰中PAD Rt ∆，2AD =H 是AD 中点 1PH ∴= ……………………11分
在中
BAH Rt ∆1,2AH AB ==
BH ∴
=PB ∴=……………………12分
sin PH PBH PB ∴∠=
==
……………………13分 18．(本题满分13分)已知(0,2)A -,椭圆2222:1(0)x y E a b a b
+=>>
的离心率2，F 是椭圆E 的右焦点，
直线AF
O 为坐标原点。

（1）求椭圆的方程；
（2）设过点A 的动直线l 与椭圆E 相交于P ，Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求直线l 的方程。

解：(Ⅰ)设(,0)F c
，由条件知，
2c c =⇒=1分
又
22c a b a =⇒==，……………3分 故椭圆E 的方程为22
182
x y +=；……………4分 (Ⅱ)当l x ⊥轴时，不合题意，故可设:2l y kx =-，
222
2
2,
(14)16801,8
2y kx k x kx x y =-⎧⎪⇒+-+=⎨+=⎪⎩，……………5分 221
16(41)04
k k ∆=->⇒>，……………6分
设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，
2
2
1221418
,4116k x x k k x x +=+=
+，……………7分
PQ ==……………8分 又点O 到直线l 的距离
d =
，……………9分
∴△OPQ 的面积12OPQ
S PQ d ∆==，……………10分
t =，则0t >， ∴2
222OPQ S t t t
∆=
=≤++，……………11分
当且仅当2
t t t
=
⇒=2k =±时等号成立，……………12分
满足0∆>，∴当2k =±
时，△OPQ 的面积取得最大值2，此时直线l 的方程为22
y x =
-或
2y x =-.……………13分 19. (本题满分14分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足21n n S a =-(*n N ∈),数列{}n b 满足
()()111n n nb n b n n +-+=+(*n N ∈),且11b =
（1）证明数列⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧n b n 为等差数列,并求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; （2）若)
log 23)(log 23()
1(4)
1(1221
+-+++-=n n n n a a n c ，求数列{}n c 的前n 项和n T 2;
（3）若n n n b a d ⋅=,数列{}n d 的前n 项和为n D ,对任意的*n N ∈,都有a nS D n n -≤,求实数a 的取值范围.
试题解析：（1）由()()111n n nb n b n n +-+=+两边同除以()1n n +， 得
111n n
b b n n
+-=+，………………………………………1分 从而数列n b n ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
为首项11b =，公差1d =的等差数列，所以=n b n n ，
数列{}n b 的通项公式为2
n b n =．…………………2分
当=1n 时，11121=S a a =-，所以1=1a ．……………3分 当2n ≥时，21n n S a =-，-1-121n n S a =-，
两式相减得12n n a a -=，又1=1a ，所以
1
2n
n a a -=， 从而数列{}n a 为首项1=1a ，公比=2q 的等比数列，
从而数列{}n a 的通项公式为1
2n n a -=．……………4分
(2)
)
)32)(12()
1(4(
)1(1+++-=-n n n c n n …………5分
)3
21
121(
)1(1+++-=-n n n …………6分 n n n c c c c c T 2123212++++=- =341
14171515131+-
+-+--+n n …………7分 3
41
31+-
=
n …………8分 （3）由（1）得12-==n n n n n b a d ，…………9分
1
2222)1(232211--+-+⨯+⨯+⨯=n n n n n D n n n n n n n D 22)1(2)1(23222121132+-+-+⨯+⨯+⨯=-- ，
所以，
两式相减得,22
12122
2211
2
n n
n
n n n n D --==-+++=--
所以12)1(+-=n
n n D ，…………11分 由（1）得2121n
n n S a =-=-，
因为对∀*n N ∈，都有a nS D n n -≤，即()
12+121n n n n a -⋅≤--（）恒成立， 所以21n a n ≤--恒成立，…………12分
记21n
n d n =--，所以()min n a d ≤，
因为()()
1+121121n n
n n d d n n +⎡⎤-=-+----⎣⎦
210n =->，从而数列{}n d 为递增数列…………13分 所以当=1n 时，n d 取最小值1=0d ，于是0a ≤． …………14分
20． (本题满分14分)已知函数()1ln x
f x x ax
-=
+（其中0a >,e 2.7≈）. （1）当1=a 时,求函数)(x f 在))1(,1(f 点处的切线方程; （2）若函数()f x 在区间[)+∞,2上为增函数,求实数a 的取值范围;
（3）求证:对于任意大于1的正整数n ,都有111ln 23
n n
>+++
. 解（1）
()1ln x
f x x x
-=
+， ()2
1
(0).x f x a x -∴=
>' ……………………1分 ()10f ∴'= ……………………2分 ()01f = ……………………3分
()(1)f x f ∴在点（1，）处的切线方程为0y =……………………4分
（2）
()1ln x
f x x ax
-=
+， ()2
1
(0).ax f x a ax
-∴=
>'……………………5分 函数()f x 在[)2,+∞上为增函数，
()0f x ∴'≥对任意[)2,x ∈+∞恒成立. ……………………6分
10ax ∴-≥对任意[)2,x ∈+∞恒成立，
即1
a x
≥
对任意[)2,x ∈+∞恒成立. ……………………7分 [)2,x ∈+∞时，max 112x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭，
∴12a ≥
，即所求正实数a ……………………8分 （3）当1a =时，()1ln x f x x x -=+，()21
x f x x
='-， 当1x >时，()0f x '>，
故()f x 在(1,)+∞上是增函数. ……………………9分 当1n >时，令1
n
x n =
-，则当1x >时，()()10f x f >=. ……………………10分 所以()111ln ln 0111
n
n n n f x n n n n n -
-=
+=-+>---，……………………11分 所以1ln
1n n n >-,,ln
1n n -12分
所以
23111
ln ln ln
12123
n
n n
+++>+++
-
，……………………13分
111
)
123
n
n n
⨯⨯>+++
-
，
所以
111
ln
23
n
n
>+++，
即对于任意大于1的正整数n，都有
111
ln
23
n
n
>+++.……………………14分。