切线及切线长定理(解析版)

切线及切线长定理（解析版）
【要点梳理】
要点一、直线与圆的位置关系1.
切线的定义：
直线与圆有唯一的公共点时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点.此时直线与圆的位置关系称为相切.
2．直线和圆的三种位置关系：
(1)相交：当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交．这条直线叫做圆的割线.
(2)相切：当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切．这条直线叫做圆的切线，公共点叫做切点．
(3)相离：当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离．
3．直线与圆的位置关系的判定和性质．
一般地，直线与圆的位置关系有以下定理：如果⊙O 的半径为 r，圆心 O 到直线l 的距离为 d，那么，（1）d＜r直线l 与⊙O相交；直线l 与⊙O相切；直线l 与⊙O相离.
要点二、切线的性质和判定定理
1．切线性质：
圆的切线垂直于经过切点的半径.
要点诠释：切线的性质中要注意：圆的切线是与过切点的半径垂直，不是与任意半径都垂直.
2．切线判定：
过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
要点诠释：（1）切线的判定中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一
不可.
（2）切线证明的两种基本类型：①有交点，连半径，证垂直；②无交点，做垂直，证半径。

要点三、切线长定理
1．切线长：
经过圆外一点能够作圆的两条切线，切线上这一点到切点间的线段长叫做这点到圆的切线长.
要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理：
从圆外一点作圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.
要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.
【同步训练】
类型一、切线的判定与性质
1如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A的平分线交 BC 于D，以 D 为圆心，DB 长为半径作⊙D．求证：AC 是⊙D 的切线．
【答案与解析】
证明：过点 D 作DF⊥AC 于 F．
∵∠B＝90°，
∴ DB⊥AB．
∵ AD 平分∠BAC，
∴ DF＝BD．
∴ AC 与⊙D 相切．
2如图，△ABC 中，∠ACB=90°，以 AC 为直径的⊙O 交AB 于D，E 为BC 中点. 求证：DE 是⊙O 切线.
【答案与解析】
证明：连结 OD、CD，则: OA=OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∵ AC 是圆 O 的直径，
∴ ∠ADC=90°.
∴ △CDB 是直角三角形.
∵ E 是 BC 的中点，
∴ DE=EB=EC，
∴ ∠ECD=∠EDC。

∵ ∠ECD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC，
∴ ∠EDC+∠ODC=90°，即OD⊥ED.
∴ DE是⊙O 切线.
类型二、切线长定理
3如图，正方形ABCD 边长为4cm，以正方形的一边BC 为直径在正方形ABCD 内作半圆，过A 作半圆的切线，与半圆相切于F 点，与DC 相交于E 点，则△ADE的面积（）
△ADE A.12 B.24 C.8 D.6
【答案】D；
【解析】解：∵ 四边形 ABCD 为正方形，
∴ AB=BC=CD=AD=4，∠D = 900 .
∵ AE、AB 及 DC 分别与圆 O 相切于点 F、点 B 及点 C，
∴ AF =AB =4，EF =EC，
设EF=EC=x，则DE=（4﹣x），AE=（4+x），
Rt∆ADE 中，AE2 = AD2 + DE2
（4﹣x）2+42=（4+x）2，
∴x=1.
∴CE=1cm，DE=4﹣1=3cm，
∴S=AD•DE÷2=3×4÷2=6cm2．
4如图，PA、PB、CD 是⊙O 的切线，切点分别为点A、B、E，若△PCD 的周长为18cm，∠APB=60°，求⊙O 的半径．
【答案与解析】
解：连接OA，OP，则：OA⊥PA，
∵ P A、PB、CD 是⊙O 的切线，切点分别为点A、B、E，
∴ CA=CE，DE=DB，PA=PB，
∵ PC+CE+DE+PD=18，
∴ PC+CA+DB+PD=18.
∴PA=×18=9（cm），
∵ PA、PB 是⊙O 的切线，
∴ ∠APO ∠APB=30°，
在Rt∆ADE 中，PO=2AO，PO2 = OA2 + AP2
∴ OA2+92=（2AO）2，，
故⊙O 的半径为：3 cm．。