人教高中数学选修1-2：3.1数系的扩充与复数的概念 课件（34张ppt）

数系的扩充 SHUXI DI KUOCHONG
自然数 集
实数
? 虚数
整数 集
有理数 集
复
数 集
自然数
整数
有理数
负整数
分数 无理数
实数 集
正整数
零
复数的分类：
复数z=a+bi (a,bR)
条件
数的类型
b=0
实数
a=b=0
实数0
b≠0
虚数
a=0且b≠0
纯虚数
复数 z=a+bi (a,bR)
实数 (b=0)
等或不相等两关系，而不能比较大小
数系的扩充 SHUXI DI KUOCHONG
例2:已知 (x y)(x2y) i (2x5)(3x y) i
求实数 x与 y
解: 根据两个复数相等的充要条件， 可得方程组
x y 2x5 x 2y 3x y
解得:
x
y
3 2
转化
求方程组的解的问题
1、若x，y为实数，且
【问题1】在自然数集中方程 x 4 0 有解吗? 【问题2】在整数集中方程 x 4 0 有解吗?
自然数
整数 自负 然整 数数
数系的扩充 SHUXI DI KUOCHONG
【问题3】在整数集中方程 3x 2 0 有解吗?
自然数
整数 自负 然整 数数
有理数
整分 数数
数系的扩充 SHUXI DI KUOCHONG
行四则运算时,原有的加法与乘法 的运算律仍然成立.
数系的扩充 SHUXI DI KUOCHONG
2．复数的概念
(1)形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,
通常用字母 z 表示.
(2) z a bi (a R,b R) 实部 虚部 其中 i 称为虚数单位.
(3)全体复数所形成的集合叫做复数 集，一般用字母 C 表示.
c d
练习 1、以2i-3的虚部为实部，3i+2i2的实部为虚部
的复数是( A )
A. 2-2i B.2+2i C. -3+3i D. 3+3i
2、设全集I={复数},R={实数},M={纯虚数},那 么( B )
A. R∪M=I
B. R∩M＝{}
C. R M I
D. I M R
练习 3、已知复数Z=(2m2-3m -2)+(m2 -2m)i(m∈R)是: (1)实数；（2）虚数；（3）纯虚数； 求m的值.
3.复数包括了实数和虚数，实数的某些性质在复数 集中不成立，如x2≥0； 若x－y＞0，则x＞y等， 今后在数学解题中，如果没有特殊说明，一般都 在实数集内解决问题.
4.复数有关概念：
复数的代数形式: z a bi (a R,b R)
复数的实部 、虚部
虚数、纯虚数
复数相等
a
bi
c
di
a b

欧拉 Leonhard Euler （1707-1783）
1777年 欧拉首次提出用i表示平方等于-1的新数
高斯 Johann Carl Friedrich Gauss
（1777—1855）
1801年 高斯系统使用了i这个符号
使之通行于世
数系的扩充 SHUXI DI KUOCHONG
1．新数 i 叫做虚数单位,并规定： （1）i 2 1； （2）实数可以与 i 进行四则运算,在进
虚数(b≠0)
实数集R是复数 集C的真子集，
RC
纯虚数(a=0)
非纯虚数(a≠0)
复数集
虚数集
实数集
纯虚数集
C RQZ N
1.写出下列复数的实部与虚部.
4, 2 3i, 0, 1 4 i, 6i
23
解: 4的实部为 4 ,虚部为 0 ;
2-3i的实部为 2 ,虚部为 -3 ;
0的实部为 0 ,虚部为 0 ;
用红色算筹表示正,黑色算筹表示负.
数系的扩充 SHUXI DI KUOCHONG
珠穆朗玛峰大约比海平面高8844米. 吐鲁番盆地大约比海平面低155米.
+8844 -155
数系的扩充 SHUXI DI KUOCHONG
自然数集 整 数 集
正整数 整 自然数 零 数 负整数
自然数
整 数 有理数集
没有实数根
x2 1 0 x2 1
学生活动
讨论 现在我们要进行数系的再 一次扩充就是要解决这个 问题， 怎么解决？
问题6: 你能给出一个解决问题的方 案吗?
i 引入一个新数：
满足 i2 1
数系的扩充 SHUXI DI KUOCHONG
1637年，法国 数学家笛卡尔把这 样的数叫做“虚数”
笛卡尔(R.Descartes,1596--1661)
x2 y2 x yi 2 4i
求x，y.
x=-3,y=4
i 2.若(2x2-3x-2)+(x2-5x+6)
=0，求x的值. x=2
探究：任意两个复数可以比较大小吗？ 认为可以者，请拿出进行比较的方法； 认为不可以者，请说明理由。
两个实数可以比较大小
实数与虚数不可以比较大小
虚数与虚数不可以比较大小
（2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数
（3）若a为实数，则Z= a一定不是虚数
例1 实数m取什么值时，
复数 z m(m 1) (m 1)i 是
（1）实数（2）虚数（3）纯虚数 （4）0 （5）6+2i 解:（1）当 m 1 0，即 m 1 时，复数z 是实数．
（2）当 m 1 0，即 m 1 时，复数z 是虚数．
集
集
正整数
有理数
自然数 整数
零
负整数
分数
数系的扩充 SHUXI DI KUOCHONG
自然数 集
整数集
有理数 集
问题：边长为1的正方形的对角线长度为多少？
1 1
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自然数 集
整数 集
有理数 集
实数 集
正整数
整数 自然数 零
实 数
有理数
负整数
分数
无理数
数系的扩充 SHUXI DI KUOCHONG
【问题4】在有理数集中方程 x2 2 0 有解吗? 【问题5】在实数集中方程 x2 1 0 有解吗?
自然数
整数 自负 然整 数数
有理数
整分 数数
实数 有无 理理 数数
数系的扩充 SHUXI DI KUOCHONG
【问题4】在有理数集中方程 x2 2 0 有解吗? 【问题5】在实数集中方程 x2 1 0 有解吗?
（3）当 m(m 1) 0且m 1 0 即m 0
时，复数z 是纯虚数．
如果两个复数的实部和虚部分别相
等，那么我们就说这两个复数相等．
若a,b, c, d R,
a c
a bi c di b d
注 1、若Z1,Z2均为实数,则Z1,Z2具有大小关系 意 2、若Z1,Z2中不都为实数，Z1与Z2只有相
1 4i 23
的实部为
1 2
,虚部为
4 3
;
6i的实部为 0 ,虚部为 6 。
2.说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数， 哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部。
2 7 0.618
i2 i 1 3
2i 7
5i+8，
0
39
2i
3、判断下列命题是否正确：
（1）若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数
“数”是万物的本 源，支配整个自然界和 人类社会．世间一切事 物都可归结为数或数的 比例，这是世界所以美 好和谐的源泉．
毕达哥拉斯（约公元前560—480年）
数系的扩充 SHUXI DI KUOCHONG
计数的需要
正整数
自然数
零
数系的扩充 SHUXI DI KUOCHONG
中国是世界上最早认识应用负数的 国家.早在2000多年前的《九章算术》 中,就有正数和负数的记载.在古代人民 生活中,以收入钱为正,以支出钱为负.在 粮食生产中,以产量增加为正,以产量减 少为负.古代的人们为区别正、负数,常
B
nZ*
i4n 1
i4n2 -1
i4n1 i i4n3 i
课堂小结
1.将实数系扩充到复数系是源于解方程的需要， 到十九世纪中叶已建立了一套完整的复数理论， 形成一个独立的数学分支.
2.虚数单位i的引入解决了负数不能开平方的矛 盾，并将实数集扩充到了复数集，它使得任何一 个复数都可以写成 a＋bi（a，b∈R）的形式.