第2课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件(共13张PPT) 高一数学人教A版必修第一册

（3）
1+tan15°
1−tan15°
；
解：（1）原式 = sin (72°– 42°) = sin 30°=
1
；
2
（2）原式 = cos (20°+ 70°) = cos 90°= 0 ；
（3）原式 =
1+tan15°
1−tan15°
= tan (45°+ 15°) = tan (60°) = 3 .
5.5.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
学习目标
新课讲授
课堂总结
1. 类比两角差的余弦公式的推导过程，能推导两角和与差的正弦、余弦、
正切公式；（重点）
2. 会利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角函数化简、
求值等.（难点）
学习目标
新课讲授
课堂总结
知识点 1 ：两角和与差的正弦、余弦、正切公式
2 4
×
2
5
−
2
3
×(− )
2
5
=
7 2
；
10
于是有 sin ( − α) = sin ·cos α − cos

4
cos ( + α) = cos
tan(α −

)
4

4

4
3
；
4

4
3
tan α – tan 4
tan α – 1 – 4 – 1
=
=
=
=−7.
1 + tan α · tan 4 1 + tan α
tan α + tan β
T(α + β)：tan (α + β) =
1 – tan α · tan β
tan α – tan β
T(α – β)：tan (α – β) =
1 + tan α · tan β
S(α – β)、C(α – β)、T(α – β)；
思考：仔细观察左侧和(差)
角公式，说说它们间有怎样
（C(α + β)）
思考：上述推出的都是余弦公式，想一想，正弦公式又该如何推导？
学习目标
课堂总结
新课讲授
例 2：请根据 C(α − β)、C(α + β) 及诱导公式五（或六），用任意角 α、β 的正弦、
余弦表示 sin (α + β)、sin (α – β) 的公式.
解：将角 (α + β) 看做是一个整体，运用诱导公式五得：

– (α – β) ]
2

[( – α) + β] =
2
sin (α – β) = cos [
= cos
cos

(
2
– α) ·cos β – sin

(
2
– α) ·sin β
（S(α – β)）
= sin α ·cos β – cos α ·sin β；

2

2
同理：sin (α + β) = – cos [ + (α + β) ] = – cos ( + α + β)
1– 34

4

4
思考：本题条件中sin ( − α) = cos ( + α) ，那么对于任意角α ，等式仍成立吗？
学习目标
新课讲授Βιβλιοθήκη 课堂总结练一练B
学习目标
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课堂总结
例 5：利用和（差）角公式计算下列各式的值 ：
（1）sin72°cos42°– cos72°sin42°；
（2）cos20°cos70°– sin20°sin70°；
回顾：两角差的余弦公式的推导过程！
两点的距离公式： PQ =
1 − 2 2 + 1 − 2
2
P1(cosα，sinα)，A1(cosβ，sinβ)，P ( cos(α – β)，sin(α – β) )，A(1，0)；
[cos(α – β) – 1]2 + sin2(α – β) = (cosα – cosβ)2 + (sinα – sinβ)2
和角公式：
S(α – β)：sin (α − β) = sinα·cosβ − cosα·sinβ
S(α + β)、C(α + β)、T(α + β)；
C(α + β)：cos (α + β) = cosα·cosβ − sinα·sinβ
差角公式：
C(α – β)：cos (α − β) = cosα·cosβ + sinα·sinβ
cos α · cos β
tan α + tan β
（T(α + β)）
=
；
1 – tan α · tan β
同理：tan (α – β) =
tan α – tan β
.
1 + tan α · tan β
（T(α – β)）
学习目标
新课讲授
总结归纳
课堂总结
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
S(α + β)：sin (α + β) = sinα·cosβ + cosα·sinβ
sin (α + β) sin α · cos β + cos α · sin β
解：tan (α + β) =
=
cos (α + β) cos α · cos β − sin α · sin β
sin α · cos β + cos α · sin β
cos α · cos β
=
cos α · cos β − sin α · sin β
的关系？
学习目标
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总结归纳
课堂总结
和（差）公式之间的关系
【和角公式】S(α + β)、C(α + β)、T(α + β)； 【差角公式】：S(α – β)、C(α – β)、T(α – β) .
学习目标
课堂总结
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知识点 2 ：和（差）角公式的简单应用
例 4：已知sin α = −
3

，α是第四象限角，求sin(
5
4
−

α)，cos(
4
+ α)，tan(α −

)的值．
4
3
5
解：由 sin α = − ，α是第四象限角得：
cos α = 1−
sin2α
= 1−

4
3 2
(− )
5
4
5
= ，所以 tan α = −

4
·sin α =
2 4
×
2
5
−
2
3
×(− )
2
5
=
7 2
；
10
·cos α − sin ·sin α =
学习目标
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课堂总结
练一练
2. cos 65°cos 35°+ sin 65°sin 35°等于（ C ）
A. cos 100°
B. sin 100°
C.
3
2
D.
1
2
学习目标
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课堂总结
根据今天所学，回答下列问题：
（1）写出所有和（差）角公式；
（2）说说各和（差）角公式间的推导关系.
两角差的余弦公式：cos (α − β) = cosα·cosβ + sinα·sinβ
学习目标
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课堂总结
例 1 ：由公式 C(α − β)出发，能推导出两角和与差的三角函数的其他公式吗？
两角差的余弦公式：cos (α − β) = cosα·cosβ + sinα·sinβ
① 公式 C(α − β)对于任意 α，β 都成立，那么当角 β 换成 − β后也一定成立；
② 将 − β 带入公式得：cos [α − (− β)] = cosα·cos(− β) + sinα·sin(− β)
cos (α + β) = cosα·cosβ − sinα·sinβ
③ 两角和的余弦公式，简记作 C(α + β)：
cos (α + β) = cosα·cosβ − sinα·sinβ

2

2
= – cos ( + α) ·cos β + sin ( + α) ·sin β
= sin α ·cos β + cos α ·sin β；
（S(α + β)）
学习目标
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课堂总结
例 3：请根据正切函数与正、余弦函数的关系，从 C(α±β)、S(α±β) 出发，推导
出用任意角 α、β 的正切表示 tan (α + β)、tan (α – β) 的公式.