动量守恒之子弹打木块模型及悬绳模型高三物理一轮复习专题

一.必备知识精讲
1.子弹打木块模型根本特点
(1)“木块〞放置在光滑的水平面上
①运动性质：“子弹〞对地在滑动摩擦力作用下做匀减速直线运动；“木块〞在滑动摩擦力作用下做匀加速直线运动．
②处理方法：通常由于“子弹〞和“木块〞的相互作用时间极短，内力远大于外力，可认为在这一过程中动量守恒．把“子弹〞和“木块〞看成一个系统：
a.系统水平方向动量守恒；
b.系统的机械能不守恒；
c.对“木块〞和“子弹〞分别应用动能定理．
(2)“木块〞固定在水平面上
①运动性质：“子弹〞对地在滑动摩擦力作用下做匀减速直线运动；“木块〞静止不动．
②处理方法：对“子弹〞应用动能定理或牛顿第二定律．
2. 处理子弹打木块模型要点
〔1〕木块放在光滑水平面上，子弹水平打进木块，系统所受的合外力为零，因此动量守恒．
〔2〕两者发生的相对位移为子弹射入的深度x相．
〔3〕根据能量守恒定律，系统损失的动能等于系统增加的内能．
〔4〕系统产生的内能Q＝F f·x相，即两物体由于相对运动而摩擦产生的热(机械能转化为内能)，等于摩擦力大小与两物体相对滑动的路程的乘积．
〔5〕当子弹速度很大时，可能射穿木块，这时末状态子弹和木块的速度大小不再相等，但穿透过程中系统的动量仍守恒，系统损失的动能为ΔE k＝F f·L(L为木块的长度)．
二.典型例题精讲：
题型一：子弹留在木块中
例1：(多项选择)如图，一子弹以初速度v0击中静止在光滑的水平面上的木块，最终子弹未能射穿木块，射入的深度为d，木块加速运动的位移为s.那么以下说法正确的选项是( )
A．子弹动能的亏损等于系统动能的亏损
B．子弹动量变化量的大小等于木块动量变化量的大小
C ．摩擦力对木块做的功等于摩擦力对子弹做的功
D ．子弹对木块做的功等于木块动能的增量 答案 BD
解析 子弹射入木块的过程，要产生内能，由能量守恒定律知子弹动能的亏损大于系统动能的亏损，故A 错误；子弹和木块组成的系统动量守恒，系统动量的变化量为零，那么子弹与木块动量变化量大小相等，方向相反，故B 正确；摩擦力对木块做的功为F f s ，摩擦力对子弹做的功为－F f (s ＋d )，可知二者不等，故C 错误；对木块根据动能定理可知：子弹对木块做的功即为摩擦力对木块的功，等于木块动能的增量，应选项D 正确．
题型二：子弹穿出木块
例2:如图甲所示，一块长度为L 、质量为m 的木块静止在光滑水平面上．一颗质量也为m 的子弹以水平速度v 0射入木块．当子弹刚射穿木块时，木块向前移动的距离为s ，如图乙所示．设子弹穿过木块的过程中受到的阻力恒定不变，子弹可视为质点．那么子弹穿过木块的时间为( )
A.1
v 0
(s ＋L )
B.1
v 0(s ＋2L )
C.
1
2v 0
(s ＋L ) D.1
v 0
(L ＋2s )
答案 D
解析 子弹穿过木块过程，对子弹和木块组成的系统，外力之和为零，动量守恒，以v 0的方向为正方向，有：mv 0＝mv 1＋mv 2，
设子弹穿过木块的过程所受阻力为F f ，对子弹由动能定理：－F f (s ＋L )＝12mv 12－12mv 02
，
由动量定理：－F f t ＝mv 1－mv 0， 对木块由动能定理：F f s ＝12mv 22
，
由动量定理：F f t ＝mv 2，
联立解得：t ＝1
v 0
(L ＋2s )，应选D.
三.举一反三，稳固练习
1.一颗子弹水平射入置于光滑水平面上的木块A 并留在其中，A 、B 用一根弹性良好的轻质弹簧连在一起，如下图。

那么在子弹打击木块A 及弹簧被压缩的过程中，对子弹、两木块和弹簧组成的系统( )
A ．动量守恒，机械能守恒
B ．动量不守恒，机械能守恒
C ．动量守恒，机械能不守恒
D ．无法判定动量、机械能是否守恒
解析 动量守恒的条件是系统不受外力或所受外力之和为零，此题中子弹、木块、弹簧组成的系统，水平方向上不受外力，竖直方向上受合外力之和为零，所以动量守恒。

机械能守恒的条件是系统除重力、弹力做功外，其他力对系统不做功，此题中子弹穿入木块瞬间有局部机械能转化为内能(发热)，所以系统的机械能不守恒。

故C 项正确，A 、B 、D 三项错误。

答案 C
2．(·高考)质量为0.45 kg 的木块静止在光滑水平面上，一质量为0.05 kg 的子弹以200 m/s 的水平速度击中木块，并留在其中，整个木块沿子弹原方向运动，那么木块最终速度的大小是________ m/s 。

假设子弹在木块中运动时受到的平均阻力为4.5×103 N ，那么子弹射入木块的深度为________ m 。

答案 20 0.2
解析 根据动量守恒定律可得m v 0＝(M ＋m )v ， 解得v ＝m v 0(M ＋m )＝0.05×2000.45＋0.05 m/s ＝20 m/s ；
系统减小的动能转化为克服阻力产生的内能， 故有fd ＝12m v 20－12(M ＋m )v 2
， 解得d ＝12m v 20－1
2
(M ＋m )v 2f
＝12×0.05×－1
2(0.45＋0.05)×2024.5×103 m ＝0.2 m 。

3.如下图，子弹水平射入放在光滑水平地面上静止的木块，子弹未穿透木块，此过程木块的动能增加了6 J ，那么此过程产生的内能可能为( )
A ．16 J B.2 J C.6 J D.4 J
答案 A
解析 设子弹的质量为m 0，初速度为v 0，木块的质量为m ，子弹打入木块的过程中，子弹与木块组成的系统动量守恒，即m 0v 0＝(m ＋m 0)v ，此过程产生的内能等于系统损失的动能，即ΔE ＝12m 0v 20－12(m ＋m 0)v 2
＝m ＋m 0m 0·12mv 2，而木块获得的动能E k 木＝12mv 2＝6 J ，那么ΔE >6 J ，A
正确。

4. 如下图，质量为m 的均匀木块静止在光滑水平面上，木块左右两侧各有一位拿着完全相同步枪和子弹的射手。

首先左侧射手开枪，子弹水平射入木块的最大深度为d 1，然后右侧射手开枪，子弹水平射入木块的最大深度为d 2。

设子弹均未射穿木块，且两颗子弹与木块之间的作用力大小均相同。

当两颗子弹均相对于木块静止时，以下判断正确的选项是( )
A ．木块静止，d 1＝d 2 B.木块向右运动，d 1<d 2 C ．木块静止，d 1<d 2 D.木块向左运动，d 1＝d 2
答案 C
解析 把木块和打入的两颗子弹看成一个系统，规定水平向右为正方向，由动量守恒定律可得：m 弹v 弹＋0－m 弹v 弹＝(2m 弹＋m )v 共，解得v 共＝0。

开枪前后系统损失的机械能等于子弹射入木块时克服阻力所做的功，左侧射手开枪后，右侧射手开枪前，把左侧射手开枪打出的子弹和木块看作一个系统，设子弹射入木块时受到的平均阻力大小为f ，那么由动量守恒定律有：m 弹v 弹＋0＝(m 弹＋m )v 共′，那么v 共′＝
m 弹
m 弹＋m
v 弹，左侧射手射出的子弹射入木块中
时，该子弹和木块组成的系统损失的机械能ΔE 1＝1
2
m
弹
v 2弹－1
2
(m 弹＋m )v 共′2
＝fd 1，右侧射手
开枪打出的子弹射入木块时，那么有－m弹v弹＋(m弹＋m)v共′＝(2m弹＋m)v共，系统损失的机
械能ΔE2＝1
2
m弹v2弹＋
1
2
(m弹＋m)v共′2－0＝fd2，ΔE1<ΔE2，故d1<d2，C正确。

5.如下图，两个质量和速度均相同的子弹分别水平射入静止在光滑水平地面上质量相同、材料不同的两滑块A、B中，射入A中的深度是射入B中深度的两倍。

上述两种射入过程相比拟( )
A．射入滑块A的子弹速度变化大
B．整个射入过程中两滑块受的冲量一样大
C．两个过程中系统产生的热量相同
D．射入滑块A中时阻力对子弹做功是射入滑块B中时的两倍
解析设子弹的初速度为v，子弹和滑块的共同速度为v′，那么根据动量守恒定律，
有：mv＝(M＋m)v′，解得：v′＝
mv
M＋m
；由于两滑块A、B的质量相同，故两种情况中最后子
弹与滑块的速度都是相同的，子弹速度变化相同，故A项错误；滑块A、B的质量相同，初速
度均为零，末速度均为
mv
M＋m
，故动量变化量相等，根据动量定理可知，整个射入过程中两滑
块受的冲量一样大，故B项正确；根据能量守恒定律，两个过程中系统产生的热量等于系统减小的机械能，那么两个过程中系统产生的热量相同，故C项正确；根据动能定理，射入滑块中时阻力对子弹做的功等于动能的变化量，那么射入滑块A中时阻力对子弹做功等于射入滑块B中时阻力对子弹做功，故D项错误。

答案BC
6.如下图，光滑的水平杆上套有一质量为 1 kg、可沿杆自由滑动的滑块，滑块下方通过一根长为1 m的轻绳悬挂着质量为0.99 kg的木块．开始时滑块和
木块均静止，现有质量为10 g的子弹以500 m/s的水平速度击中
木块并留在其中(作用时间极短)，g ＝10 m/s 2
.以下说法正确的选项是( ) A ．子弹和木块摆到最高点时速度为零 B ．滑块的最大速度为2.5 m/s
C ．子弹和木块摆起的最大高度为0.625 m
D ．当子弹和木块摆起高度为0.4 m 时，滑块的速度为1 m/s 答案：C
解析：此题借助子弹打木块及圆周运动模型考查动量守恒定律、机械能守恒定律．设子弹质量为m 0，木块质量为m 1，滑块质量为m 2，由子弹、木块、滑块组成的系统在水平方向上动量守恒，故当子弹和木块摆到最高点时三者具有相同的速度，且速度方向水平向右，A 项错误；只要轻绳与杆之间的夹角为锐角，轻绳拉力对滑块做正功，滑块就会加速，所以当轻绳再次竖直时滑块速度最大，设此时滑块速度为v m ，子弹和木块速度为v ′，那么由系统水平方向动量守恒定律可得m 0v 0＝(m 0＋m 1)v 1＝(m 0＋m 1)v ′＋m 2v m ，子弹射入木块后三者组成的系统
机械能守恒，那么有12(m 0＋m 1)v 21＝12(m 0＋m 1)v 2
＋12m 2v 2m ，解得v m ＝0或v m ＝5 m/s ，即滑块的最大
速度为5 m/s ，B 项错误；当子弹和木块摆到最高点时三者具有相同的速度v ，由系统水平方向动量守恒定律可得m 0v 0＝(m 0＋m 1)v 1＝(m 0＋m 1＋m 2)v ，解得v ＝2.5 m/s ，由子弹进入木块后系统机械能守恒可得12(m 0＋m 1)v 21＝12(m 0＋m 1＋m 2)v 2
＋(m 0＋m 1)gh ，解得h ＝0.625 m ，C 项正确；
当子弹和木块摆起高度为0.4 m 时，由系统水平方向动量守恒定律可得m 0v 0＝(m 0＋m 1)v 1＝(m 0＋m 1)v x ＋m 2v 3，令v 3＝1 m/s ，
得v x ＝4 m/s ，此时木块和子弹竖直方向速度一定不为零，故由子弹进入木块后系统机械能守恒可得12(m 0＋m 1)v 21＝12(m 0＋m 1)(v 2x ＋v 2
y )＋12m 2v 23＋(m 0＋m 1)gh ，解得h <0.4 m ，D 项错误．
7.用不可伸长的细线悬挂一质量为M 的小木块，木块静止，如下图。

现有一质量为m 的子弹自左方水平射入木块，并停留在木块中，子弹初速度为v 0，重力加速度为g ，那么以下说法正确的选项是( )
A．从子弹射入木块到一起上升到最高点的过程中系统的机械能守恒
B．子弹射入木块瞬间水平方向动量守恒，故子弹射入木块瞬间子弹和木块的共同速度
为
m v0
M＋m
C．忽略空气阻力，子弹和木块一起上升过程中系统机械能守恒，其机械能等于子弹射
入木块前的动能
D．子弹和木块一起上升的最大高度为m2v20
2g(M＋m)2
解析从子弹射入木块到一起运动到最高点的过程可以分为两个阶段：子弹射入木块的瞬间水平方向系统动量守恒，但机械能不守恒，有局部机械能转化为系统内能，之后子弹在木块中与木块一起上升，该过程只有重力做功，机械能守恒但总能量小于子弹射入木块前的动能，故A、C两项错误；规定向右为正方向，由子弹射入木块瞬间系统动量守恒可知：m v0＝(m＋M)v′
所以子弹射入木块后的共同速度为v′＝
m v0
M＋m
，故B项正确；之后子弹和木块一起上
升，该阶段根据机械能守恒得：1
2(M＋m)v′
2＝(M＋m)gh，可得上升的最大高度为：
h＝
m2v20
2g(M＋m)2
，故D项正确。

答案BD
8．一质量为M的木块放在光滑的水平面上，一质量为m的子弹以初速度v0水平打进木块并留在其中，设子弹与木块之间的相互作用力为F f.那么：
(1)子弹、木块相对静止时的速度是多少？
(2)子弹在木块内运动的时间为多长？
(3)子弹、木块相互作用过程中子弹、木块发生的位移以及子弹打进木块的深度分别是多少？ 答案 (1)m
M ＋m v 0 (2)Mm v 0F f (M ＋m )
(3)Mm (M ＋2m )v 022F f (M ＋m )2 Mm 2v 022F f (M ＋m )2 Mm v 02
2F f (M ＋m )
解析 (1)设子弹、木块相对静止时的速度为v ，以子弹初速度的方向为正方向，由动量守恒定律得m v 0＝(M ＋m )v 解得v ＝m M ＋m
v 0
(2)设子弹在木块内运动的时间为t ，由动量定理得 对木块：F f t ＝M v －0 解得t ＝
Mm v 0
F f (M ＋m )
(3)设子弹、木块发生的位移分别为x 1、x 2，如下图，由动能定理得 对子弹：－F f x 1＝12m v 2－1
2m v 02
解得：x 1＝Mm (M ＋2m )v 02
2F f (M ＋m )2
对木块：F f x 2＝1
2M v 2
解得：x 2＝Mm 2v 02
2F f (M ＋m )2
子弹打进木块的深度等于相对位移，即x 相＝x 1－x 2＝Mm v 02
2F f (M ＋m )。