河南高三理数试题及答案

河南高三理数试题及答案
一、选择题（每题5分，共20分）
1. 若函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1，求f(-1)的值。

A. -2
B. 0
C. 2
D. 4
答案：A
2. 已知等比数列{a_n}中，a_1 = 2，公比q = 3，求a_5的值。

A. 96
B. 48
C. 24
D. 12
答案：A
3. 圆x^2 + y^2 = 4的圆心坐标为：
A. (0, 0)
B. (2, 2)
C. (-2, -2)
D. (1, 1)
答案：A
4. 已知向量a = (3, 4)，向量b = (-4, 3)，求向量a与向量b的夹角θ。

A. 30°
B. 60°
C. 90°
D. 120°
答案：C
二、填空题（每题5分，共20分）
1. 函数y = 3x - 2的图象与x轴交点的坐标为______。

答案：(2/3, 0)
2. 已知集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A∩B = ______。

答案：{2, 3}
3. 已知三角形ABC的内角A = 60°，边a = 2，边b = 3，求边c的
长度。

答案：√7
4. 已知直线方程为2x - 3y + 6 = 0，求该直线的斜率k。

答案：2/3
三、解答题（每题15分，共30分）
1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求函数的极值点。

解：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 6x。

令f'(x) = 0，解得x = 0
或 x = 2。

当x < 0或x > 2时，f'(x) > 0，函数单调递增。

当0 < x < 2时，f'(x) < 0，函数单调递减。

因此，x = 0为极大值点，x = 2为极小值点。

2. 已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_5 = 75，a_3 = 15，
求数列的通项公式。

解：由题意得，5a_1 + 10d = 75，a_1 + 2d = 15。

解得a_1 = 3，d = 6。

因此，数列的通项公式为a_n = 3 + 6(n - 1) = 6n - 3。

四、证明题（每题15分，共15分）
1. 证明：若a，b，c为正实数，且a + b + c = 1，则(a + b)(b +
c)(c + a) ≥ 4abc。

证明：由基本不等式得，a + b ≥ 2√(ab)，b + c ≥ 2√(bc)，c + a ≥ 2√(ca)。

因此，(a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8√(abc)^2 = 8abc。

又因为a + b + c = 1，所以(a + b)(b + c)(c + a) ≤ 1/4。

综合以上不等式，得(a + b)(b + c)(c + a) ≥ 4abc。

答案：证明完毕。