高三数学(概率统计部分)整理

高三数学(概率统计部分)整理
概率统计是历年高考的热点内容之一，考查方式多样，难度中等 ，主要考查概率与统计
的基本概念、公式以及基本技能、方法，以及分析问题、解决问题的能力
•通过对基础知识
的重新组合、变式和拓展，从而加工为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息、贴近 学生实际的问题。

以排列和概率统计知识为工具，考查概率的计算、随机变量的概率分布、 均值、方差、抽样方法、样本频率估计、线性回归方程、独立性检验、随机变量的分布列、 期望、方差等内容• 考点1.求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率
(1) 等可能性事件(古典概型)的概率：P(A) = Card (A )= m ； card (I) n (2) 互斥事件有一个发生的概率： P(A + B) = P(A) + P(B); 特例：对立事件的概率： P(A) + P(A ) = P(A + A )= 1.
(3) 相互独立事件同时发生的概率：
P(A • B) = P(A) • P(B);
特例：独立重复试验的概率：
P n (k) = cnv (1 _P )心.其中P 为事件A 在一次试验中发生的
概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项•
(4) 解决概率问题的一般步骤：
r 等可能事件
第一步，确定事件性质 互斥事件 ■独立事件
n 次独立重复试验
互斥事件：
P(A - B^P(A) ■ P(B)
独立事件： P(A B)=P(A) P(B)
n 次独立重复试验：
P n (k) =C
；
p k (1 _p)n ±
第四步，答，即给
提出的问题有一个明确的答复 注意：
两者都是等可能性.(2)在几何概型中注意区域是线段，平面图形，立体图形 型的概率问题，关键是正确找出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数， 概型的概率计算公式计算； (4)当基本事件总数较少时，用列举法把所有的基本事件一
一列
举出来，要做到不重不漏，有时可借助列表，树状图列举，当基本事件总数较多时，注意去 分排列与组合；(5)辨别清楚条件概率问题，两种计算方法，合理选用。

考点2离散型随机变量的分布列
1•随机变量及相关概念
① 随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，常用希腊字母E 、n 等 表示. ② 随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量 ③ 随机变量可以取某区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量
2•离散型随机变量的分布列
即所给的问题归结为四类事件中的某一种 第二步，判断事件的运算
即是至少有一个发生, r
第三步，运用公式 和事件 积事件
还是同时发生，分别运用相加或相乘事件
等可能事件：
P(A)
=m
n
求解
(1)注意判断是古典概型还是几何概型，基本事件前者是有限的，后者是无限的，
.(3)古典概 然后利用古典
①离散型随机变量的分布列的概念和性质
由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：并且；「＞0,则称•服从正态分布，记为~N （」，匚2）
(1)PVO , i =1 , 2,...;(2) P +P2 + (1)
②常见的离散型随机变量的分布列：
（1 ）两点分布（2 ）二项分布（3）超几何分布
注意：（1）随机变量的取值一定要正确；（2）二项分布与超几何分布的区别与联系
考点3离散型随机变量的期望与方差
随机变量的数学期望和方差
（1）离散型随机变量的数学期望：E • = X1P1 ・X2P2 •…；期望反映随机变量取值的平均水平•
⑵离散型随机变量的方差：D =（X1 -E ）2P1 ・（X2-E ）2P2 •…・（X n_E ）2P n
•…；
方差反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度•
⑶基本性质：E（a ：b）=aE ；D（a ；b）二a2D '.
⑷若〜B（n, P），贝U E =np ；D =npq （这里q=1-p）;
考点4抽样方法与总体分布的估计
抽样方法
1 •简单随机抽样：设一个总体的个数为N,如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每
次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样•常用抽签法和随机数表法.
2. 系统抽样：当总体中的个数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样（也称为等距抽样）.
3. 分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样.
总体分布的估计
由于总体分布通常不易知道，我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布，一般地，样本容量越大，这种估计就越精确.
总体分布：总体取值的概率分布规律通常称为总体分布
当总体中的个体取不同数值很少时，其频率分布表由所取样本的不同数值及相应的频率表示，几何表示就是相应的条形图.
当总体中的个体取值在某个区间上时用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布
总体密度曲线：当样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无
限接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线.
注意（1）在用样本估计总体中，会读图、识图（条形图，直方图，茎叶图）
（2）会从频率分布直方图中分析计算样本的数字特征（众数、中位数、平均数）
（3）解决总体分布估计问题的一般程序如下：先确定分组的组数（最大数据与最小数据之
差除以组距得组数）；分别计算各组的频数及频率；画出频率分布直方图（注意纵轴为频率/
组距），并作出相应的估计.
考点5正态分布与线性回归
1. 正态分布的概念及主要性质
（1）正态分布的概念
. （x4A2
如果连续型随机变量的概率密度函数为f（X）二1e一歹R 其中为常数,
(2)期望E •=卩，方差D丄
(3)正态曲线具有下列性质：
①曲线在x轴上方，并且关于直线x=卩对称.
②曲线在x= □时处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低.
③曲线的对称轴位置由□确定；曲线的形状由确定，二越大，曲线越“矮胖”；反之越"高瘦”.
(4)标准正态分布
当.1=0, L1时•服从标准的正态分布，记作~ N (0, 1)
(5)两个重要的公式
①(丄)=1 一(x),② P(a「：：：b)二(b) — ' (a).
(6)N(比n2)与N(0,1)二者联系.
①若~N(4；「2)，则- N(0,1)；
a
②若'~ N( J^r2)，则p(a ：：• ::b) = (b^ ) 一(a').
cr <i
2. 线性回归
简单的说，线性回归就是处理变量与变量之间的线性关系的一种数学方法
变量和变量之间的关系大致可分为两种类型：确定性的函数关系和不确定的函数关系•不确
定性的两个变量之间往往仍有规律可循•回归分析就是处理变量之间的相关关系的一种数量统
计方法•它可以提供变量之间相关关系的经验公式•
具体说来，对n个样本数据(x b yj , ( x a,y2)，…，(X n, y n)，其回归直线方程为：？=bx+a.
n
其中Z xy i -nxy
^其中i 1 ・
b n ,a = y -b x,
x2-n(x)2
i 1
注意相关系数的作用：当r > 0时，表明两个变量正相关；当r v 0时，表明两个变量负相关.r 的绝对值越接近于1,表明两个变量的线性相关性越强. r的绝对值越接近于0,表明两个
变量之间几乎不存在线性相关关系. 通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关
性.
考点6独立性检验
禾U用独立性检验，能够帮助我们对日常生活中的实际问题作出合理的推断和预测•独
立性检验就是考察两个分类变量是否有关系，并能较为准确地给出这种判断的可信度，具体做法是根据公式，计算值，值越大，说明“两个变量有关系”的可能性越大•独立性检验得
出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因
此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释.
并且；「＞0,则称•服从正态分布，记为~N （」，匚2）。