高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修4 1.2.1 三角函数的定义》8

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1.2.1任意角的三角函数
东方市铁路中学高肖鹏
一、教学内容解析
三角函数是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型,是对函数模型的丰富,是对函数概念,性质,图像变换及函数应用的进一步深化,三角函数在物理学、天文学、地理学等学科中都有重要的应用,它是解决实际问题的重要工具.
本节之前学生学习了函数的概念,指数函数、对数函数、幂函数和任意角弧度制,本节之后还要接着研究三角函数的图像和性质,并应用性质解决一些简单的具有周期现象的实际问题。

而本节内容是研究三角函数图像和性质的基础。

因此本节内容具有承上启下的作用.
任意角的三角函数是函数的下位概念,它建立在《数学1》中函数概念的基础上,是对锐角三角函数概念的扩张.
引入锐角三角函数的概念,目的是为了研究三角形中的边角关系,定义侧重于从几何的角度,在直角三角形中得到角与边的比值之间的确定关系.而引入任意角三角函数的概念,是为了研究周期变化现象,定义侧重于从代数的角度,以单位圆为工具,得到角和其终边与单位圆交点坐标的确定关系.在弧度制下,是数集到数集的映射.
教材中对任意角的三角函数有两种定义——单位圆定义法和终边定义法.从研究任意角的三角函数作用看,单位圆定义法显得更为简单直观,为后续研究三角函数性质埋下伏笔;从数学史发展看,单位圆定义法对描述周期性变化规律模型起到推动作用.因此,本教学设计从学生已有的反映周期现象变化的日常经验出发, 以数学史的发展为主线,完成任意角的三角函数的建构过程.
二、学生学情分析
1、初中学习了函数的初步概念,研究了一次函数、二次函数、反比例函数的图像和性质,进入高中后从集合与对应的观点重新刻画了函数的概念,研究了指数函数、对数函数和幂函数的定义、图像和性质。

学生已具备了学习和研究一个新函数的知识基础和初步能力。

本节课之前的任意角和弧度制,学生已经知道了角的弧度数与实数一一对应,这为学生学习任意角的三角函数奠定了基础。

2、三角函数是“从角的集合到坐标分量的集合”的对应关系,所以学生对任意角三角函数对应关系的理解要比从前学过的特殊函数困难些,这是教学的一个难点,所以需要借助单位圆上的圆周运
动以直观的几何方式给出定义,通过合理的设计问题串突破该难点。

学生在求解锐角三角函数时可能存在障碍,因为之前掌握的是用直角三角形的边长的比值来表示的,要克服这个困难,关键是引导学生联系之前新学的内容,怎样做出三角形,使得边长的比值更简洁,联想不到使用单位圆,因为以前没有接触过单位圆,而且单位长度也很少涉及过,针对这个问题,应引导学生利用相似三角形的知识来转换,引入单位圆解决。

学生在将用单位圆定义锐角三角函数推广到任意角的三角函数时,还可能出现障碍,主要原因是受初中锐角三角函数定义的影响,仍然局限在直角三角形中思考问题,要帮助学生克服这一困难,就要让学生知道,借助单位圆,用终边与单位圆交点的坐标表示三角函数,就是为了很好地解决在直角三角形中不能定义任意角三角函数的问题。

用单位圆定义三角函数,不仅没有改变初中锐角三角函数定义的本质,还能定义任意角的三角函数。

三、教学目标
知识与技能:理解任意角三角函数的定义,正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.
过程与方法:经历单位圆定义法,培养合情猜测的能力.
情感、态度与价值观:通过学生积极参与知识“发现危机”与“解决危机”的过程,加深对数学概念本质的理解,感悟数学概念的严谨性与科学性.
重点: 任意角三角函数的定义.
难点:任意角三角函数概念的建构过程.
四、教学流程
(一)、情境引入、提出问题
必修一我们学习了函数,通过学习我们知道函数是刻画客观世界变化规律的重要数学模型。

我们已经学过五个初等函数模型。

(匀速直线运动模型的一次函数,抛物运动中的二次函数,爆炸增长的指数函数,对数增长),在现实世界中还有这样一类现象,昼夜更替,四季变化,潮汐变化,月相变化等
这类现象有什么样的共同特点?
周而复始的特点。

这种现象我们叫做周期现象。

周期现象在现实生活中大量存在,时刻影响着我们的生活,为了使我们的生活更加美好、看清现象的本质。

我们很有必要研究周期现象。

同学们思考,已有的这些函数模型能否刻画这种周期性现象呢?
不能,这节课我们就寻找新的函数模型来刻画现实生活中的周期现象。

在初中,我们已经学习过锐角三角函数,还记得是怎样定义的吗?
设计意图:复习锐角三角函数,为引出该节课的授课内容做好的铺垫。

问题1:函数的概念?
设计意图:通过该问题,帮助学生回忆函数的定义,
问题2:在锐角三角函数的定义中,自变量是什么,函数值是什么?
设计意图:帮助学生回顾初中锐角三角函数的定义。

师生活动:教师提出问题并在白板上给出一个直角三角形,学生思考并回答。

思考1:还有其他的锐角三角函数吗?
设计意图:数学学习是一个不断反思不断提问不断设想的学习过程,。

思考2:有更简洁的表示吗?如何改进?
设计意图:让学生亲自体会如何一步步的思考---改进---把锐角三角函数放入单位圆进行研究,让学生亲自参与研究发现并解决问题,让学生体会到数学学习的成功感!
师生活动:让学生亲自体会如何求解一个角的正选函数,测量---求比值---
发现问题---太繁琐---计算麻烦---能否改进---引出单位圆!
问题4:如果∠A为钝角怎么去求解它的三角函数?
设计意图:引出三角函数学习的危机?
引导学生回忆前面两节课学习的任意角和弧度制。

角的概念被推广后,便有了新的概念:我们通常把逆时针旋转的角称为正角,顺时针旋转的角称为负角;如果没有进行旋转,也视为形成了一个角,这个角叫做零角。

正角和负角是表示具有相反意义的旋转量----模仿实数学习。

我们引进象限角,为了研究方便,我们往往在平面直角坐标系中讨论角。

把角的顶点置于坐标原点,
始边与x 轴的非负半轴重合,这样一来,角的终边落在第几象限,就说这个角是象限角或说这个角属于第几象限;如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不在任何象限,从而角被推广到任意角! 弧度制是用实数去表示角。

这两个概念的生成为实现几何问题代数化的发展奠定了基础,也为我们前面的三角危机做好的铺垫!
引导学生把角放入坐标表示三角函数,用锐角三角函数去探究,找到新的对应法则,从而解决前面的危机.
任意角的三角函数的定义:
设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点()y x p ,,那么
(1)y 叫做α的正弦,记作αsin ,即y =αsin ;
(2)x 叫做α的余弦,记作αcos ,即x =αcos ;
(3)x y 叫做α的正切,记作αtan ,即()0tan ≠=x x
y α 正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将它们统称为三角函数。

它们的定义域是什么?
sin y α=,cos y α=的定义域均为R ,tan y α=的定义域是{|k +,k Z}2π
ααπ≠∈
五、例题分析
例题1:求53
π的正弦、余弦和正切的值.. 设计意图:将例题以闯关的形式呈现,和综艺节目设置相似,寓教于乐,能激发学生的学习热情;明确已知角的终边,要求其三角函数值,可以先求终边与单位圆的交点坐标,通过运用概念,巩固对概念的理解. (追问)求113
π的正弦、余弦和正切的值. 设计意图:引起学生发现这两个角的终边是重合的,所以它们与单位圆的交点坐标相同,由任意角
三角函数的定义可知,终边相同的角的同一三角函数值是相等的.让学生体验到公式一的作用和三角函数的周期性.
例题2:已知角α的终边经过点
0(3,4),
P--求角α的正弦,余弦和正切值
设计意图:该点不在单位圆上,与例题1的解法对比;为课后探究“角α终边上任一点(,)
Q x y,求角α的正弦、余弦和正切的值.”这一问题作铺垫;增加了一个问题,加强了学生对任意角三角函数定义的理解,同时渗透了分类讨论的思想.
阅读:P17三角学与天文学简史
六、课堂小结,升华提高
通过本节课学习,你能对比初中、高中三角函数定义的区别!
思想与方法:坐标法、特殊到一般、数形结合、类比、转化、分类讨论.
通过学生积极参与知识“发现危机”与“解决危机”的过程,加深对数学概念本质的理解,感悟数学概念的严谨性与科学性,体会数学发展是一个不断思考不断猜想不断进步的过程。

设计意图:让学生自己总结,教师补充,并且提醒学生知识重要,探究的思想与方法更重要,体现了教学应以学生为主体,教师为主导的新课标理念.
七、作业布置:
1、课本15页练习
2、
3、5.。

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