2010上海各区中考二模数学压轴25题解析

2010上海各区二模数学压轴25题解析
1、（松江）解：1（1）∵
90=Ð=ÐFEB DEC ，∴BEC DEF Ð=Ð…………11分
∵
90=Ð+Ð=Ð+ÐDCP BCE DCP EDF ，…………………………，…………………………11分∴BCE EDF Ð=Ð，∴△DEF ∽△CEB ……………………………………………………………………11分（2）∵PDC Rt D 中，CP DE ^，∴
90=Ð=ÐCED CDP ∴△DEC ∽△PDC ，∴DC PD
EC
DE
=………………………………………………………………………………11分
∵△DEF ∽△CEB ，∴DC
DF CB
DF EC
DE ==
……………………………………………………………………11分
∴
DC
DF DC
PD =，∴DF PD =………………………………………………………………………………………………11分
∵AP =x ，DF =y ，∴,1x PD -=∴x y -=1…………………………………………………………11分
)
10(<<x ……………………………………………………………………………………………………………………………………11分
（3）∵△DEF ∽△CEB ，∴
2
2
CB
DF S S CEB
DEF =
D D （1）……………………………………………………11分
∵
CF
DF S S CEF
DEF =
D D （2），∴（1）¸（2）得
2
CB
CF DF S S CEB
cEF ×=
D D …………………………11分
又∵EFC BEC
S S
D D =4，∴
4
12
=
×=
D D CB CF
DF S S CEB
cEF …………………………………………………………11分
当P 点在边DA 上时，有
4
11
)1(=×-x
x ，解得2
1=
x ………………………………………………………………………………………………22分
当P 点在边DA 的延长线上时，
4
11
)1(=×+x
x ，解得2
12-=
x …………………………………………………………………………………………11分
2、(浦东)解：（1）在矩形ABCD 中，中，
∵AD ∥BC ，∴∠APB =∠DAP ．
又由题意，得∠QAD =∠DAP ，∴∠APB =∠QAD ．
∵∠B =∠ADQ =90°，∴△ADQ ∽△PBA ．………………………………（1分）
∴
BP
AD AB
DQ =，即
4
43
+=
x y ．
∴4
12
+=x y ．………………………………………………………………（1分）
定义域为0>x ．……………………………………………………………（1分）
（2）不发生变化．…………………………………………………………………（1分） 证明如下：证明如下：
∵∠QAD =∠DAP ，∠ADE =∠ADQ =90°，AD =AD ， ∴△ADE ≌△ADQ ．
∴DE =DQ =y ．………………………………………………………………（1分）
∴124
124
482
12
1=+++=
×+
×=
+=D D x x x PC QE AD QE S S S PQE AQE ．…（3分）
（3）过点Q 作QF ⊥AP 于点F ．
∵以4为半径的⊙Q 与直线AP 相切，∴QF =4．…………………………（1分） ∵12=S ，∴AP =6．………………………………………………………（1分）分） 在Rt △ABP 中，中，
∵AB =3，∴∠BPA =30°．…………………………………………………（1分） ∴∠PAQ =60°．°． ∴AQ =
3
38．………………………………………………………………（1分）分）
设⊙A 的半径为r ．
∵⊙A 与⊙Q 相切，∴⊙A 与⊙Q 外切或内切．外切或内切．
（i ）当⊙A 与⊙Q 外切时，AQ =r +4，即3
3
8=r +4．
∴r =
43
38-．………………………………………………………………（1分）
（ii ）当⊙A 与⊙Q 内切时，AQ =r -4，即3
38=r -4．
∴r =
43
38+．………………………………………………………………（1分）
综上所述，⊙A 的半径为43
38-或
43
38+．
3、（长宁）（1）由题意知由题意知 ∠COB = 90
°B(8，0) OB=8 在Rt △OBC 中tan ∠ABC = 2
1OB
OC = OC= O B ×tan tan∠∠ABC = 8ABC = 8××2
1=4 =4 ∴∴C(0,4) …1分 8OC AB 2
1S ABC =×=
D ∴AB = 4 A(4,0)
………………………1分 把A 、B 、C 三点的坐标带入)0(2
>++=a c bx ax y 得 ï
îï
íì==++=++4
08640
416c c b a c b a
解得解得
ïîï
íì=-==
4
2
381c b a ……………………………………….2分 所以抛物线的解析式为42
3
812+-=x x y 。

………………..1分
（2）C ( 0, 4 ) B ( 8, 0 ) E ( 0, 4-t ) ( t > 0) 
OC = 4 OB = 8 CE = t BP=2t OP =8-2t …………………………………………1分
∵EF // OB ∴△CEF ～△COB ∴
OB
EF CO
CE = 则有则有
8
EF 4
t =
得 EF = 2t 
…………………………………………...1分 ）（）（2t t 42
1t 28t 2t 28t 2OP EF OP
EF -=-+-=+×=
22t 21
2+--）（……………………………….2分 当t=2时
OP
+×EF OP
EF 有最大值2.
……………………………………………………………...1分 （3）存在符合条件的t 值，使△PBF 与△ABC 相似。

C ( 0, 4 ) B ( 8, 0 ) E ( 0, 4-t ) F(2t , 4 - t ) P ( 8-2t , 0 ) ( t > 0) AB = 4 BP=2t BF = 2t 45）（- ∵ OC = 4 OB = 8 ∴BC = 54 ①当点P 与A 、F 与C 对应对应 则BC
BF BA
BP =
代入得代入得
5
4t 454
t 22
）（-=
解得解得 3
4t =
…………………………2分
②当点P 与C 、F 与A 对应对应 则AB BF BC
BP =
代入得
4
)4(55
422
t t -=
解得解得 3
20t 720t 21=
=
，
（不合题意，舍去）……2分
420
4、（金山）25．解：（1）证明：如图9，作DQ⊥AC，DP⊥BC，垂足分别为点Q、P. （1分）
分）
∵∠C=90°，AC=BC，∴∠B=∠C．
∵DQ⊥AC，DQ⊥BC，∴∠APD=∠BQD=90°．
∵点D是边AB的中点，∴AD=BD．
∴△ADP≌△ADQ．
∴DQ=DP．································································································（1分）
分） ∵∠CPD=∠CQD=90°，∠C=90°，
∴∠QDP=90°．
∵DF⊥DE，∴∠EDF=90°．
∴∠QDE=∠PDF．
∵∠DQE=∠DPF=90°，
∴△DQE≌△PDF． ···················································································（1分）
分） ∴DE=DF． ································································································（1分）
分）
（2）解：如图8，作DQ⊥AC，DP⊥BC，垂足分别为点Q、P. 
∵∠B=∠C，∠APD=∠BQD=90°，
∴△ADP∽△ADQ，
∴DQ∶DP=AD∶DB=m． ···········································································（1分）
分） ∵∠CPD=∠CQD=90°，∠C=90°，
∴∠QDP=90°．
∵DF⊥DE，∴∠EDF=90°．
∴∠QDE=∠PDF．·····················································································（1分）
分） ∵∠DQE=∠DPF=90°，
∴△DQE∽△PDF， ···················································································（1分）
分）
∴DE∶DF =DQ∶DP
∴DE∶DF =DQ∶DP=AD∶DB =m．··························································（1分）
分） （3）解：①如备用图1，作EG⊥AB，FH⊥AB，垂足分别为点G、H. 
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，
∴AB=62，∴AD=22，DB=42，
由∠AGE=∠BHF=90°，∠A=∠B= 45°，可得AG=
EG=
2
2
x，BH=
FH=
2
2
y，
GD=
2
22
2
x
-，HD=
2
42
2
y
-，
易证△DGE∽△FHD，∴D G G E F H D H
=
∴
22
22
22
22
42
22
x x
y y
-
=，
∴82y x =-。

………………………………………（2分）分）
定义域是04x <£。

………………………………………………………（1分）分） ②如备用图1，取CE 的中点O ，作OM ⊥AB ， 可得CE =6x -，AO =132x +
，
OM =
21322x æö+ç÷èø
若以CE 为直径的圆与直线AB 相切，则
62132
22x x -æö
=+ç÷èø
…………（1分）分）
解得18122x =-
∴当18122x =-时，以CE 为直径的圆与直线AB 相切。

…………（1分）分）
C
A
B
D E
F
图9 P
Q C
A
B
D
E F
图8 P Q
C
A B D
备用图1 
F
E
G H C
A B
D 备用图2 
F
E
O
M
5、（卢湾）解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴OB =OD ．
∵OM ⊥BC ，∴∠OMB =∠DCB =90
，∴OM ∥DC ．
∴OM 12
=
DC 12
=
，CM 12
=
BC 12
=
．………………………………………2分
∵OM ∥DC ，∴C F C E O M
E M
=
，………………………………………………1分 即
1122
y x x =
+
，解得21
x
y x =
+．……………………………………………2分
定义域为0x >． ………………………………………………………………1分
（2）223
x
y x =
+（0x >）． …………………………………………………2分 （3）AD ∥BC ，B O B C a O D A D c ==，B O a
B D a c
=+． 过点O 作ON ∥CD ，交BC 于点N ， ∴
O N B O D C
B D
=，∴ab O N a c
=
+．………………………………………………2分
∵ON ∥CD ，
C N O
D B N
B O
c a
==
，∴
C N
c B C
a c
=
+，∴ac C N a c
=
+． ………2分
∵ON ∥CD ，∴C F C E
O N E N =，即，即 y
x
ab
ac x a c
a c
=
+
++．
∴y 关于x 的函数解析式为()x y x a ab a c c
=++（0x >）．…………………2分
6、（徐汇）（1）∵）∵ AD ∥BC ，AB=CD ，∴DCB ABC Ð=Ð，
∵直线MN 是梯形的对称轴，是梯形的对称轴，
∴PB=PC 。

∴PCB PBC Ð=Ð， ∴DCP ABP Ð=Ð，…………………………………………………………………………………………………………………………………………1 1 ∵AB ∥CF 
∴F ABP Ð=Ð
∴DCP F Ð=Ð……………………………………………………………………………………………………………………………………………………11 ∵FPC EPC Ð=Ð ∴PEC D ∽PCF D
∴2
PC PE PF =×………………………………………………………………………………………………………………………………………………11 （2）过点E 作EG ⊥BC ，∵3
4tan tan =
Ð=ÐDCB ABC
∴.5
3,5
4y GC y EG =
=
(11)
由题意有EG ∥MN ∴
BG
BN EG
PN =，即
y
y
x 5395.454-=
(11)
∴)30(6
15£<+=
x x x
y (22)
（3）（Ⅰ）当DCF PDC Ð=Ð时，PD ∥CF 
∴ABC MDP Ð=Ð (11)
∴4
3tan tan =
Ð=ÐABC MDP ，即43
45
.1=-x
(1)
1 ∴2=x (11)
（Ⅱ）当DEP FEC PDC Ð=Ð=Ð时，过点P 作PH ⊥DE 交AD 的延长线于点O 。

则2
5y
EH DH -=
= (11)
∴DPC DCB ODC Ð=Ð=Ð
∴3
5
25sin ×-=Ð=y ODC DE DO (11)
又34
=MP MO
，即x y 3435255.1=×-+，.16
241
25±=x (2)
2 因为
、
16
241
25±
2都在定义域内，所以当or x 16
241
25±
=2=x 时，E F C D 和
P D C
y
10
x
4k 5k-10
3k-62k-4
H P
O B
C
A M
N
5
10
10
8
6
4
2
-2
-4
-8
4k y
x
4-2k
2k
6-3k
3k
5k H
P O
B
C A
M N
7、（闸北）证明：(1) 过点N 作NH ⊥x 轴于点H ，…………………1分
设AN =5k ，得：AH =3k ，CM =2k
① 当点M 在CO 上时，点N 在线段AB 上时：上时： ∴OH =6-3k ，OM =4-2k ， ∴MH =10-5k ，
∵
PO ∥NH ，∴1055
633M N M H k N P O H
k -===-………………2分 ② 当点M 在OA 上时，点N 在线段AB 的延长线上时：的延长线上时：
∴OH =3k -6，OM =2k -4，∴MH =5k -10，
∵PO ∥NH ∴，
5105
363M N M H k N P O H
k -===-………………2分 解：(2) 当△BNP 与△MNA 相似时：相似时：
① 当点M 在CO 上时，只可能是∠MNB =∠MNA =90°，°，
∴△BNP ∽△MNA △∽BOA ，
A M A
B A N
A O
=，
1021056
k k
-=
，3031
k =
，6031
C M =
……2分
② 当点M 在OA 上时，只可能是∠NBP =∠NMA ，∴∠PBA =∠PMO ，
∵PBA BN P BPN PM O BN P BAO BAO PBA BPN Ð=Ð+Ðü
ï
Ð=Ð+ÐýïÐ>Ð>Ðþ
∴P B A P M O йÐ，矛盾∴不成立. ………………………2分 (3) ∵
25
P O N H
=
，22
45
5P O N H k =
=
×，∴8
5P O k =，8
85
BP k =-
，
① 当点M 在CO 上时，105B N k =-，
(ⅰ) B P B N =，881055k k -=-，1017k =，20
17
C M = ………………………1分
(ⅱ) P B P N =，则PNB PBN Ð=Ð，∵PN B BAC PBN Ð>Ð>Ð，矛盾∴不成立…1分 (ⅲ) NB NP =，则N B P N P B Ð=Ð
∵N P B M N H Ð=Ð, N B P A N H Ð=Ð，∴M N H A N H Ð=Ð
又∵N H M A ^，可证△M N A D 为等腰三角形，为等腰三角形，
∴M H A H =，∴1053k k -=，∴54
k =，5
2
C M =……………………………1分
② 当点M 在OA 上时，510B N k =-， (ⅰ) B P B N =，885105
k k -=-，3011
k =
， 6011
C M =
………………………1分
(ⅱ) P B P N =或NB NP =∵0
90PBN Ð>，∴不成立．…………………………1分
L
O
F
E
D
C
B
A
K
H 8、（黄浦）解：（1）线段BE 与OE 的长度相等的长度相等.. ———————————（1分）分）
联结AE ，在△ABE 与△AOE 中，中，
∵OA =AB ，AE =AE ，°
=Ð=Ð90AOE ABE ，——————————（2分） ∴△ABE ≌△AOE . —————————————————————（1分）分）
∴BE =OE .
（2）延长AO 交 BC 于点T ，———————————————————（1分）分） 由△由△CEF 是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， 易知△易知△OET 与△ABT 均为等腰直角三角形均为等腰直角三角形..————————————（1分） 于是在△
ABT 中，AB =4=4，则，则AT =24，—————————————（2分）
∴BE =OE =OT =424-.————————————————————（1分）分）
（3）在BC 上取点H ，使BH = BA =4，过点H 作AB 的平行线，的平行线，
交EF 、AD 于点K 、L ，（如图）————————————————（1分） 易知四边形ABHL 为正方形为正方形 由（1）可知KL =KO
令HK =a ,则在△HEK 中，EH =4–a , EK
=a x -+4, ∴∴()()2
2
2
44a x a x -+=+-，
化简得：x x
a +=48—————————————————————（1分）分）
又HL ‖AB ， ∴
x
x EH
EC a y --==45，即2
2
16840x
x x y --=
.————————————（1分）
∴函数关系式为2
2
16840x
x x y --=，定义域为0<2£x .—————（1+1=2分）
9、（虹口）解：（1）可求得：t DP 2=，t AP 218-=，………………………（，………………………（11分）分）
∵ABP Ð=A D B Ð,A A Ð=Ð
∴ABP D ∽ADB D ，…………………………………………………………（，…………………………………………………………（11分） ∴
AB
AP AD
AB =
， ………………………………………………………………（………………………………………………………………（11分）分）
即2
AB AD AP =×，∴)218(18102
t -´=， ……………………………（……………………………（11分）分）
解得：569
t =.
∵
5699
< ∴∴569
t =
.…………………………………………………（…………………………………………………（11分）分）
（2）过点B 作AD BH ^，垂足为H ，得8=BH ，………………………………（，………………………………（11分）分） 记BQ 中点为1O 、AP 中点为2O ，联结21O O ，过点1O 作AD I O ^1，垂足为I ，则
81==BH I O ，2
1t BO =
，2
121t CO -=，t t AO -=-=
92
2182，t DO +=92，
32
3)212()9(2-=--+=\t t t I O ，…………………………………………………（，…………………………………………………（1
1分） 当2
9)9(2
2121t t t AO BO O O -
=-+=+=时………………………………………（时………………………………………（11分）
以BQ 为直径的圆与以AP 为直径的圆外切，在21IO O Rt D 中，2
22
12
21I O I
O O O +=，即
2
2
2
)32
3(
8)
2
9(-+=-t t ，………………………………………………（，………………………………………………（11分）
整理得：42
=t ，0>t ，2=\t ；…………………………………………………（；…………………………………………………（11分） （3）能，t 的值可以是9
29=t 或3
8=
t 或2=t 或3
28=
t .……………………………（……………………………（44分）分）
10、（青浦）解：（1）过点A 作AE ^BC ，垂足为E ，由AB=AC ，得BE=
2
1BC=2.（1分）分）
在Rt △AEB 中，∠AEB=
90，AE=12
2
=-BE AB
………………（1分）分）
∴5
551sin =
==
ÐAB
AE
ABC .…………………………………………………………………… （1分）分）
（2）过点O 作OF ^AD ，垂足为F ，则AF=DF=y AD 2
1
21= ……………（1分）分） BF=y AF AB 2
15-=
-. …………………………………………（1分）分）
∵∠OFB=∠AEB=
90，∠OBF=∠ABE ，∴△OBF ∽△ABE …………（1分）分）
∴
AB OB BE
BF =
，即
52
215x
y =- ………………………………………………………………………… （1分）分） 整理得5255
4+-=x y （
2
54
5<
£x ）……………………）…………………… （2分）分）
(1)可能相切可能相切
在Rt △AEO 中，∠AEO= 90，AE=1，OE=x -2， 则AO=542
2
2
+-=
+x x AE
OE ……………………………（1分）分）
设⊙C 与BC 边相交于点P ，则⊙C 的半径CP=4
1BC=1，
①若⊙O 与⊙C 外切，则有OA+CP=OC. 即
x x x -=++-41542
解得解得 2=x ………………………………………………………………………………………………………… （1分）分） ②若⊙O 与⊙C 内切，则有OC CP OA =-. 
∵1£OA 4
5
£
，PC=1，OA CP ³，∴只有OC CP OA =-.……………………………… （1分）分）
即
x x x -=-+-41542
解得3
10
=x （不合题意，舍去）……………………………………（不合题意，舍去）…………………………………… （1分）分）
所以，当⊙O 与⊙C 相切时，2=x . ………………………………………………………………………… （1分）分）
11、（奉贤）证明：（1）∵AM ⊥AC ，∠ACB =90°∴AM ∥BC ∴
BP
AP BC
AE =
---------(1分) 
∵BC =6，AC =8， ∴AB=10-------------------------------------------------------(1分) ∵AE =x ，AP =y ∴
y
y x -=
106
∴()
0610
>
+=x
x
x y ---------------------------------------------------------------(2分) 
（2）假设在射线AM 上存在一点E ，使以点E 、A 、P 组成的三角形与△ABC 相似相似 ∵AM ∥BC ∴∠B =∠BAE ∵∠ACB =90° ∠AE P ≠90° ∴△ABC ∽△EAP -------------------------------------------------（2分）分） ∴
AP
AE BC
AB =----------------------------------------------------------（1分）分）
∴x x x +=6106
10 解得：0,33221==x x （舍去）----------------------（1分）分）
∴当AE 的长为
3
32时，△ABC ∽△EAP
（3）∵⊙C 与⊙E 相切，AE =x
①当点E 在射线AD 上，⊙C 与⊙E 外切时，ED=6-x ， EC=286+=+-x x
在直角三角形AEC 中，2
2
2
EC AE AC
=+
∴2
2
2
)2(8+=+x x 解得：15=x ∴⊙E 的半径为9. -----（2分）分） ②当点E 在线段AD 上，⊙C 与⊙E 外切时，ED=x -6， EC=x x -=+-1486
在直角三角形AEC 中，2
2
2
EC AE
AC
=+
∴222)14(8x x -=+ 解得：733=x ∴⊙E 的半径为7
9.----------（2分）分）
③当点E 在射线DA 上，⊙C 与⊙E 内切时，ED=6+x ， EC=286-=-+x x
在直角三角形AEC 中，2
2
2
EC AE AC
=+
∴2
2
2
)2(8-=+x x 解得：15-=x （舍去）-----------------（1分）分） ∴当⊙C 与⊙E 相切时，⊙E 的半径为9或7
9。

12、（杨浦）解：（1）△）△ABF ABF ABF∽△∽△∽△GBC, GBC, GBC, △△FDE FDE∽△∽△∽△CGE CGE CGE∽△∽△∽△BCE-------------4BCE-------------4分 （2）方法一：∵：∵BE BE 平分∠B ，∴∠ABE=∠EBC ，
∵AD//BC ，∴∠AFB=∠EBC ，∴∠ABE=∠AFB ，∴，∴AB=AF AB=AF AB=AF，， ∴AF=4AF=4，，DF=1DF=1，，----------------------------------------------------1分 ∵AD//BC ，∴，∴DF:BC=DE:EC DF:BC=DE:EC DF:BC=DE:EC，∴，∴，∴DE=DE=
23
,CE=
103
--------------------------2分
∵AD//BC AD//BC，，AB=CD ，∴∠BCD=∠ABC
∵CG 平分∠BCD ，BE 平分∠ABC ，∴∠CBG=∠BCG ，∴，∴BG=CG BG=CG 设BG = CG = x,BG = CG = x,则由△则由△则由△FDE FDE FDE∽△∽△∽△CGE CGE CGE，得，得DF:CG=DE:GE DF:CG=DE:GE，∴，∴，∴GE=GE=
23
x ----------1分
又由△又由△CGE CGE CGE∽△∽△∽△BCE BCE BCE，得，得EC 2
=EG =EG··EB EB，即，即2
1022(
)()
3
3
3
x x x =
×+
∴10x =，即BG=10---------------------------------------------2分 方法二：求得DF=1DF=1，，------------------------------------------------1分
求得DE=2
3,CE=10
3--------------------------------------------------2分 由DF:BC=1:5设EF=x,BE=5x,由△FDE FDE∽△∽△∽△CGE CGE CGE，，得103C G x
=
--------------1分
又由△CGE CGE∽△∽△∽△BCE BCE BCE，，得EC 2
=EG =EG··EB EB，，即2
1010(
)(5)53
3x x x
=-
，得103
x =
--1分
再得10103B G C G x
===-------------------------------------------1分 （3）①当4
10105B P <£
时，点A 在⊙P 内。

---------------------------------2分
②当4510105
6
B P <<
时点A 在⊙P 内而点E 在⊙P 外-----------------------2分
13、（静安）解：（1）联结OC ，∵AC 是⊙O 的弦，OD ⊥AC ，∴OD =AD ．…………（1分）
∵DF //AB ，∴CF =EF ，∴DF =AE 2
1=)(2
1
OE AO +．………………（1分）分）
∵点C 是以AB 为直径的半圆的中点，∴CO ⊥AB ．………………（1分）分） ∵EF =x ，AO =CO =4,∴CE =2x ,OE =4
2
1642
2
2
2
-=-=
-x
x
OC
CE （1分）
∴42)424(2
12
2
-+
=-+=
x x y . 定义域为2³x ．……（1+1分）分）
（2）当点F 在⊙O 上时联结OC 、OF ，EF =42
1==OF CE ，∴OC =OB =2
1
AB =4．（1分）
∴DF =2+442
-=2+23．………………………………………（1分）分） （3）当⊙E 与⊙O 外切于点B 时，BE =FE ．∵2
2
2
CO OE
CE =-，
∴,4)4()2(2
2
2
=+-x x 032832
=--x x ，
∴=
1x 37
44+，=
2x 舍去(37
44-）．…………………………（1分）分）
∴DF =3
7
214)37448(21)(21+=++=+BE AB ．…………………（1分）分）
当⊙E 与⊙O 内切于点B 时，BE =FE ．∵2
2
2
CO OE
CE
=-，
∴,4)4()2(2
2
2
=--x x 032832
=-+x x ，
∴=
1x 3744+-，=
2x 舍去(
3
744--）．……………………………（1分）分） ∴DF =
3
7
214)3
7
448(2
1)(2
1-=
+--
=
-BE AB ．……………………（1分）分）
当⊙E 与⊙O 内切于点A 时，AE =FE ．∵2
2
2
CO OE CE
=-，
∴,4)4()2(2
2
2
=--x x 032832
=-+x x ，
∴=
1x 37
44+-，=2x 舍去
(3
744--）．………………………（1分）分）
∴
DF =3
2722
1-=AE ．……………………………………………（1分）分）
14、（普陀）（1）解：联接EO ，过点O 作OH ⊥BA 于点H .
....................................22′ ∵EF =23，∴EH =3. (1)
1′ ∵⊙O 的半径为2，即EO =2，
∴OH=1.
……………………………………………………………………………………………………11′ 在Rt △BOH 中，中，
∵Sin ∠ABC=13
， (1)
1′ ∴BO=3.
……………………………………………………………………………………………………11′
（2） 当⊙P 与直线相切时，过点P 的半径垂直此直线.
………………………………………………11′ （a ）当⊙P 与⊙O 外切时，外切时，
①⊙P 与⊙O 切于点D 时，⊙P 与射线BA 相切，…………………………………………11′ Sin ∠ABC=
113
P P
r r
=
-，得到：14
P r =
； (1)
1′ ②⊙P 与⊙O 切于点G 时，⊙P 与射线BA 相切，相切， Sin ∠ABC =
133
P
P
r r =+，得到：52
P r =
. (1)
1′ (b ) 当⊙P 与⊙O 内切时，内切时，
①⊙P 与⊙O 切于点D 时，⊙P 与射线BA 相切，……………………………………………………………………11′ Sin ∠ABC =
113
P
P
r r
=
+，得到：12
P r =
； (1)
1′ ②⊙P 与⊙O 切于点G 时，⊙P 与射线BA 相切，相切， Sin ∠ABC =
153
P
P
r r
=
-，得到：54P r =
. (1)
1′ 综上所述：满足条件的⊙P 的半径为14
、52
、12
、
54
(1)
1′
15、（闵行）解：（1）∵AB = B C BC = 5，BO ⊥AC ，∴AO = C O CO ．………（1分）分）
∵四边形ABPQ 是平行四边形，∴AB // PQ ．………………………（1分）分） ∴
1C P C O PB
O A ==，即得PC = 
P B PB ．……………………………………（1分）分） ∴152
2
B P B
C ==
，即52
x =
．…………………………………………（1分）分）
（2）当x = 0或5时，易得△PQR ∽△CBO ．……………………………（2分）分） 当x ≠ 0 或5时，由∠QPR >∠OBC ，得当△PQR ∽△CBO 时，只有时，只有 ∠QPR =∠C ．∴OP = O C OC = 3． 又∵AB = B C BC ，∴∠BAC =∠C ． ∴△OPC ∽△BAC ． ∴
O P P C B A
A C
=，即得185
P C =．
∴75
B P B
C P C =-=，即75
x =．……………………………（2分）分）
∴当x = 0、5或7
5
时，△PQR 与△CBO 相似．……………………（1分）分）
（3）∵AE // B C BC ，∴△AOQ ∽△COP ． ∵AO = 
C O CO ，∴22
1AO Q
C O P
S
AO
S
C O
D D =
=，即得A O Q
C O P
S
S D D =．……………（1分）分）
在Rt △BOC 中，∠BOC = 90°，BC = 5，132
C O A C ==，
利用勾股定理，得BO = 4．……………………………（．……………………………（1分）分）
162
B O C
S B O C O D =´=．
∵BP = x ，∴CP = 5 – x ．∴55
C O P
BO C S
C P x S BC
D D -==．…………………（1分）分）
∴66
5y x =-+，定义域为0≤ x < 5．………………………………（．………………………………（2分）分）
16、（宝山）
如图9，矩形
ABCD 中，2AB =，点E 是BC 边上的一个动点，联结AE ，过点D 作
D F A
E ^，垂足为点
F . （1）设B E x =，AD F Ð的余切值为y ，求y 关于x 的函数解析式；的函数解析式；
（2）若存在点E ，使得D ABE 、D ADF 与四边形CDFE 的面积比是3：4：5，
试求矩形ABCD 的面积；的面积；
（3）对（2）中求出的矩形ABCD ，联结CF ，当BE 的长为多少时，D CDF 是等腰三角形？是等腰三角形？
解：（1）△ABE ∽△DF A ，x
y 2=
……………………………（3分）分）
（2）∵D ABE ：D ADF ：四边形CDFE 的面积比是3：4：5
∴ABCD 41
矩形S S ABE =D ∴BC 2
1E =
B …………………………………………………… (1分) 设x B =E ，则ＢＣ＝２x 
∵△ABE ∽△DF A ，且D ABE ：D ADF =3=3：：4 ∴
3
42
2=
AE
AD ∴
3
42
42
2
=
+x x
………………………（2分）分）
解得解得 x =1……（1分）分） ∴ BC =2，22ABCD =矩形S ………（1分）分） （3） ⅰ)CF=CD 时，过点C 作CM ⊥DF ，垂足为点M 则 CM ∥AE
MF DM =………………………（1分）分）
延长CM 交AD 于点G 
∴1==GD AG (备用图) 
D 
C 
B 
A E 
F 
D C 
B 
A E 
F 
(图9) 
D C B A E 
F D 
C 
B A 
E F 
M 
∴当BE=1时，D CDF 是等腰三角形………（1分）分） ⅱ）DF=DC 时，则DC=DF=2
∵DF ⊥AE AD=2 ∴∠DAE =45°………（1分）分） 则BE=2
∴当BE=2时，D CDF 是等腰三角形………（1分）分） ⅲ）ⅲ）FD=FC FD=FC 时，则F 为AE 中点中点
∵△∵△∵△ADF ADF ADF∽△∽△∽△EAB EAB
∴
EB
AF AE
AD =
∴
x
x x 22
1
2
22
2
+=+……………………（1分）分）
解得22±=x
∴当BE=22-时，D CDF 是等腰三角形……（1分）分）
D 
C B 
A 
E 
F 
D 
C 
B 
A
E 
F 
17、（杨浦2）
已知线段AB =10，点P 在线段AB 上，且AP =6，以A 为圆心AP 为半径作⊙A ，点C 在⊙A 上，以B 为圆心BC 为半径作⊙B ，射线BC 与⊙A 交于点Q （不与点C 重合）。

（1）当⊙B 过点A 时(如图1)，求CQ 的长；的长；
（2）当点Q 在线段BC 上时（如图2），设BC =x ，CQ =y ，试求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；写出定义域；
（3）当由A 、P 、Q 、C 四点构成的四边形是梯形时，求BC 的长。

的长。

解：（1）∵C 、Q 在⊙A 上，∴AC=AQ ，∴∠C=∠AQC ，
∵⊙B 过A 、C ，∴BA=BC ，∴∠C=∠CAB ，∴∠AQC =∠CAB, ∵∠C=∠C ，∴△CAQ ∽△CBA ，--------------1分
∴2
AC C Q C B =×，------------------------------------1分
即2
610C Q =×，∴ 3.6CQ =------------------------2分
(2) 作AH ⊥CQ ，则QH=CH=
2
y ，------------------1分
且2
2
2
2
AQ Q H
AB BH -=-------------------------1分
∵ BH=2
y
x -
，且AQ=6，∴2
2
36100()4
2
y
y x -
=--
A
B
C Q P
（第25题图2）
A
B
P
（备用图）
A
B
C Q （第25题图1）
P
A
B
C
Q P
H
解之得：2
64
x y x
-=
，（816x <£）-----2分，1分
（3）情况一：如图1 
A 、P 、Q 、C 四点构成的四边形是梯形，四点构成的四边形是梯形，
且AC//PQ ，则BA
BC
AP CQ =
∵CQ=2
64x y x -=，CB=x ，AP=6，
∴
2
1064
6
x x x
=
-，∵0x >，∴解得：410x =------2分
情况二：如图2 
A 、P 、Q 、C 四点构成的四边形是梯形，四点构成的四边形是梯形， 且AQ//PC ，则
BP BQ AP
CQ
=
作AH ⊥CQ ，则QH=CH,且2
2
2
2
AQ Q H
AB BH -=-
即2
2
36100()Q H x Q H -=--，得2
642x Q H x
-=
，则2
64x C Q x
-=-------------1分
则
2
4646
x x x
=-，∵0x >，∴解得：8105x =，---------------------------------------2分
∴ 当A 、P 、Q 、C 四点构成的四边形是梯形时，BC 的长为410或8105。

A
P
B
Q
C
图1 
图2 
A
B
C Q
P
H。