工程力学 第十二章 压杆的稳定性 课后习题答案

第十二章 压杆的稳定性

12-1 图示细长压杆，两端为球形铰支，弹性模量200E GPa =，对下面三种截面用欧拉公式计算其临界压力。（1）圆截面，25, 1.0d mm l m ==；（2）矩形截面，240h b mm ==，

1.0;l m =（3）16号工字钢，

2.0l m =。

解：结构为两端铰支，则有22

1,0,lj EI

P l πμ==

(1)圆截面杆，4

34

932(0.025),2001037.61037.664

(1.0)64

lj d I P kN ππ⨯==

⨯⨯=⨯=⨯

(2)矩形截面杆，

323123493

2

2020401040,20010531053121212(1.0)

lj bh I mm P N kN π-⨯⨯⨯==⨯=⨯⨯=⨯=⨯ (3)16号工字查型钢表知

284

932

113010200

1130,1046110461(2.0)

lj I cm P N kN π-⨯⨯⨯==

⨯=⨯=

题12-1图 题12-2图

12-2 图示为下端固定，上端自由并在自由端受轴向力作用的等直压杆。杆长为l ，在临界力lj p 作用下杆失稳时有可能在xy 平面内维持微弯曲状态下的平衡。杆横截面积对z 轴的惯性矩为I ，试推导其临界压力lj p 的欧拉公式，并求出压杆的挠曲线方程。

解：()()M x v ρδ=-，结合 ()EIv M x ''=设2

k EI

ρ

=

，则有微分方程：

2

2

V k v k δ''+= 通解为sin cos v A kx B kx δ=++

边界条件：0,0,x v ==则0B δ+=，解出B δ=-

0,0x v '==（转角为零），0A k ⋅=，解出0A = 解得挠曲线方程为：(1cos )v kx δ=-

因为v 在x l =处为δ，则cos 0kl δ⋅=，由于0δ≠，可得：cos 0,2

kl kl π

== （最小值）

而2

k EI

ρ

=

，得22

(2)lj EI

P l π=

注：由cos 0kl =，本有02

kl n π

π=+

>，计算可见0n =（2

kl π

=

时），对应的P 值

是最小的，这一点与临界力的力学背景是相符的。

12-3 某钢材，230,274p s MPa MPa σσ==，200E GPa =，338 1.22lj σλ=-，试计算p λ和s λ值，并绘制临界应力总图（0150λ≤≤）。

解：92.6,52.5,s

P s a b

σλλ-===

=式中338, 1.22a b ==

s σσs

p 50

题12-3图

12-4图示压杆的横截面为矩形，80,40,h mm b mm ==杆长2l m =，材料为优质碳钢，

210E GPa =。两端约束示意图为：在正视图（a ）的平面内相当于铰支；在俯视图（b ）

的平面内为弹性固定，并采用0.6μ=。试求此杆的临界应力lj P 。

题12-4图

解：在正视平面内，2342

1

,804012

lj EI

P I mm l π=

=

⨯⨯ 俯视平面内， 2234222

1

,4080()(0.6)12

lj EI EI P I mm l l ππμ===⨯⨯⨯ 因为3

32

1

80404080(0.6)

⨯<

⨯⨯，对同一结构，lj P 按正视平面内的公式计算（取较小值）： 22931232

2

3.1421011080401061410614212

lj EI

P N kN l π-⨯=

=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯= 12-5 钢结构压杆由两个56568⨯⨯的等边角钢组成，杆长 1.5l m =，两端为球形铰支受轴

向压力150P kN =，角钢为3A 钢。试确定压杆的临界应力及工作安全系数。

解：查型钢表得：42

8.36710,0.0168y A m i m -=⨯=，则 1 1.5

891230.0168

l

i

μλ⨯=

=

=<

采用抛物线公式：2

2350.0066182,2305lj lj lj MPa P A

kN σλσ=-=== 305

2.03150

lj P n P

=

=

=

题12-5图 题12-6图

12-6 图示立柱，长6l m =，由两根10号槽钢组成，下端固定，上端球形铰支。试问当a 为

多大时立柱的临界压力lj P 最高，其值为何？已知材料的弹性模量

200E GPa =，比例限200p MPa σ=。

解：a 的变化只会引起y I 的变化，对z I 没有影响；在两个平面内，μ值相同，l 同，同一结构，仅仅由I 的大小决定结构在那一平面内最易失稳（lj P 最小） 可见，立柱的临界压力lj P 最高时，应该有()()lj y lj z P P =

则由22

()

lj EI P l πμ=，有y z I I =，z I 查型钢表，为4

2198.3z I cm =⨯ 而2

4

2[25.612.74(0.12 1.52)]()y I cm =⨯+⨯+ 解得 4.343a cm mm ==

此时，268

2

3.14200102198.310443(0.76)

lj P N -⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯

P

题12-7图 题12-8图

12-7 由三根相同的钢管构成的支架如图所示，钢管的外径30D mm =，内径22d mm =，长度 2.5l m =，材料的弹性模量210E GPa =。支架顶点三杆铰接，取稳定安全系数3w n =求支架的许可载荷P 。

解：结构和载荷对称，各管所受压力相等，设为N ，

2.5269100

1

λ=

=>944

2

3.1421010 3.14(0.030.022)9360(1 2.5)64

lj P N ⨯⨯=⨯-=⨯