【精品】单频复正弦信号频率估计

单频复正弦信号频率估计摘要：频率估计是数字信号处理的重要内容，对淹没在噪声中的正弦波信号进行频率估计是信号处理的一个经典课题。

目前，高精度频率估计己经成功应用于雷达探测、声纳地震监测、桥梁振动检测以及电子通信技术中，因此，研究高精度频率估计算法，具有重要的理论意和应用价值。

本文对于高斯白噪声中单频复正弦信号的频率估计对常用的几种频率估计方法进行了回顾，提出了一种对复加性高斯白噪声环境下的复正弦信号的频率进行估计的迭代方法。

该方法在Kay提出的相位加权平均（WPA）方法的基础上引入迭代的思想，只需要通过少数几次迭代就可克服WPA方法中信噪比门限随所估计的复正弦信号频率的增大而升高的缺点，从而大大提升估计性能。

新的迭代方法的估计范围为整个区间，且在这整个估计范围内，新的迭代方法都能得到基本相同的较低信噪比门限。

仿真实验的结果验证了新的迭代方法对WPA方法及WNLP方法的性能提升，说明了该方法的优越性。

关键词复正弦信号，频率估计，信噪比门限，相位加权平均算法，迭代算法，matlabAbstract：Frequency estimation is an important part of digital signal processing and submerged inthe noise of the sine wave signal of frequency estimation is a classic signal processingtasks.Currently high-precision frequency estimation has been successfully applied to radar sonarseismic monitoring bridge vibration testing and electronic communications therefore of highaccuracy frequency estimation algorithm has important theoretical significance and applicationvalue. This white Gaussian noise for a single complex sinusoid of frequency estimation frequencyestimation of several commonly used methods were reviewed a pair of complex additive whiteGaussian noise environment of the complex sinusoidal signal to estimate the frequency of iterativemethod. The method proposed phase-weighted average Kay WPA method based on theintroduction of iterative thinking only a few times through the iteration method can overcome theWPA with the estimated signal to noise ratio threshold of the complex sinusoidal signal frequencyincreases increased shortcomings which greatly enhance the estimation performance. Newiteration method for the entire range of the estimated range and estimates in the context of thewhole the new iteration method can be basically the same low signal to noise ratio threshold.Simulation results verify the new method and iterative method WPA performance WNLP methodshows the superiority of the method.Kaywords:Complex sinusoidFrequency estimationSNR thresholdPhase weighted averagealgorithm，Iterative algorithm，matlab 目录1. 引言............................................................................................................................................ .. 12. 频率估计的研究综述相关算法回顾.......................................................................................... 3 2.1 最大似然估计法................................................................................................................ 3 2.2 双线幅度法Rife 法......................................................................................................... 4 2.3
M-Rife 算法修正Rife 算法............................................................................................
6 2.4 Quinn 频率估计方法....................................................................................................... 10 2.5 分段FFT
法测频............................................................................................................. 14 2.6 相关结论.......................................................................................................................... 163. 频率估计的相位加权平均算法及其迭代方法........................................................................ 17 3.1 相位加权平均
法.............................................................................................................. 17 3.2 迭代方法.......................................................................................................................... 19 3.2.1
信号模型............................................................................................................... 19 3.2.2 WPA 方法及其问题........................................................................................... 20 3.3.3 频率估计的迭代方法........................................................................................... 214. 性能对比及计算机模拟结果.................................................................................................... 255. 结论............................................................................................................................................
29 致谢......................................................................................................................................... 30 参考文
献: (31)
附录......................................................................................................................................... 331. 引言频率是参量估计中的一个重要物理量。

高斯白噪声中复正弦信号进行频率估计是对高斯白噪声中复正弦信号进行频率估计是一个广泛研究的重要课题。

要高精度和高速度测量信号频率必须要有好的频率估计方法一种好的频率估计方法在在雷达、通信、地球物理、通信对抗侦察及生物医学信号处理等领域都能占据更大优势。

频率估计方法繁多在实际信号处理中采取何种方法是经常要遇到的问题。

参考文献1中给出在高斯白噪声中对正弦波信号进行频率估计的最大似然估计ML算法该算法估计误差达到克拉美-罗限CRLB 因此是最优估计. 但是ML算法需要进行一维搜索计算量太大无法进行实时处理. 文献23利用信号频谱的最大两根谱线进行插值对频率进行估计. 文献4对噪声背景中的插值FFT方法估计正弦波频率的精度进行研究指出当信号真实频率与DFT 量化频率差为某一范围时Rife 算法精度不高. 文
献5提出相位平均算法速度很快但仅在高信噪比条件下才有较好的性能。

文献6利用牛顿迭代方法实现正弦波频率最大似然估计但计算量较大。

文献7利用半牛顿迭代方法Semi-Newton给出一个近似最大似然估计算法性能接近CRLB 计算量也较小获得广泛应用.但该迭代算法的收敛性与初始值选取有关作者以Rife 估计作为初始值由于当信号真实频率较接近量化频率时Rife 算法估计的偏差较大导致牛顿迭代算法
存在不收敛情况。

文献8提出将采样数据分段对较少数据点作快速傅里叶变换FFT 积累其幅度谱通过脉冲积累的方法提高信噪比可以改善相位加权算法的性能但在某些频段存在相位模糊导致估计精度下降其总体性能不如牛顿迭代算法。

但计算量较大。

本文就针对复白噪声下的信号回顾用5种方法估计其频率得出结论并提出了一种对复加性高斯白噪声环境下的复正弦信号的频率进行估计的迭代方法。

该方法在Kay提出的相位加权平均（WPA）方法的基础上引入迭代的思想，只需要通过少数几次迭代就可克服WPA方法中信噪比门限随所估计的复正弦信号频率的增
大而升高的缺点，从而大大提升估计性能。

新的迭代方法的估计范围为整个区间，且在这整个估计范围内，新的迭代方法都能得到基本相同的较低1信噪比门限。

仿真实验的结果验证了新的迭代方法对WPA方法及WNLP方法的性能提升，结果说明了该方法的优越性。

22. 频率估计的研究综述相关算法回顾2.1 最大似然估计法设复高斯白噪声v n 中混有复正弦信号为: s n A1 exp j1n 1 （1）设x n s n v n 的一次实现的N 个取样值为: x n A1 exp j1n 1 v n （2）n 01 2 N 1式中A1 ，1 ，1 分
别是正弦信号的振幅、频率和相位v n 为复高斯白噪声。

s n 和x n 用矢量分别表示为:s s 0 1 s N 1 T （3）A1 exp j1 1 exp j1 exp j N 1 1 Tx x 0 x 1 x N 1 T （4）白噪声v n 的自相关矩阵为: Rw v2 （5）3其中v2 为v n 的方差I 是N 阶单位矩阵。

令:Ac1 A1 exp j1 （6）又令:ei 1 exp j1 exp j N 1 1 T （7）则式3 可表示为: s Ac1 ei （8）为求A1 ，1 ，1 的最大似然估计需求解: L Ac1 1 x s H x s （9）如果已知1 则可求出使式（9）最小化的解Ac1 式中1 如果用最大似然估计取代则Ac1 就是正弦波复振幅的最大似然估计。

式（9）的求解即为x n 的周期图故有结论:在复高斯白噪声中混有单个复正弦信号其频率的最大似然
估计可根据数据的周期图的最大值所在的频率位置求出。

2.2 双线幅度法Rife 法设正弦信号为g n ae i 2 f 0 n T 0 0 n N 1 （1）4式中: a ， f 0 ，0 分别表示信号的振幅、频率、初相T 为采样间隔N 为样本数。

其离散时间的傅里叶变换DTFT 和离散傅里叶变换DFT分别为N 1 N 1G ei g n e i n ae i 2 f 0 n T 0 i n e （2）n 0 n 0 N 1 2 iGk g n e kn N n 0 2 （3）N 1 i 2 f 0 n T 0 i N kn ae e k 01 N 1 n 0式2 中为连续角频率。

若Gk0 是g n 经FFT 变换后功率谱的最大值Rife 法给出的频率估计公式为fs Gk0 f0 k0 （4）N Gk0 Gk0式中: 1 当Gk0 1 Gk0 1 时，则 1 ，反之，则 1 ，f s 为采样频率k0 为1功率谱最大值对应的量化频率k0 为整数。

修正因子0 Gk0 Gk0 。

根据功 2 1率谱的对称性特点被估计频率 f 0 介于k0 f s N 与k0 f s N 之间。

2 Rife 法利用了g n 的两根谱线因此也称双线幅度法它是在没有噪声x n g n v n （5）因此x n 的DFT 系数由两部分组成: X k Gk Vk ，其中Vk 是噪声序列的5DFT 系数对于有限长的采样序列它是随机变量。

在适度的信
噪比条件下当 f 0 位于最大谱线 f s k0 N 和次大谱线f s k0 N 中间时Rife 法的估计性能非常好但信噪比较低且 f 0 十分靠近最大谱线 f s k0 N
时算法精度降低。

假如 f s k0 N f 0 f s k0 1 N ，在没有噪声的情况下应该有X k0 1 X k0 1 ，但由于噪声的影响可能出现X k0 1 X k0 1 的误判情况若此时仍然用Rife 法那么估计频率被认为位于f s k0 1 N f 0 f s k0 N ，显然造成的误差比仅用DFT 的粗略估计还要大。

Rife算法的这一特点也可以这样分析: 如果fc 很接近两相邻离散频率的中点 1 k0 r 2 f s ，则X k0 r 的幅度与X k0 很接近这时采样内插公式具有较N k0高的精度。

反之若 f c 很接近于f s ，X k0 r 很小在有噪声存在的情况下则N噪声对X k0 r 的影响比较大这将影响内插的精度。

2.3 M-Rife 算法修正Rife 算法加性高斯白噪声污染的正弦波信号表示为x n ae j0 e 2 f c n T w n j n 01 2 N 1 （1）式中: a ，f c ，0 分别为振幅、频率和初相T 为采样间隔N 为样本数w n为实部和虚部相互独立的、方差为 2 2 的零均值复高斯白噪声。

对x n 作FFT 取其中的最大谱线值X k0 。

上面给出利用Rife算法进行正弦波频率估计的计算公式。

6 1 X k0 r f0 k0 r （2）T X k0 X k0 r 利用当 f c 位于两个离散采样频率的中心区域时Rife 算法性能很好
的特点，这里定义k 1 3 k 2 3 为离散频率点k 与k 1 之间的中心区域。

这种算法的基本思想是: 先用Rife 算法进行频率估计得 f c ，然后判断 f c 是否位于两相邻量化频率点中心区域如果是则将 f c 作为最后的频率估计值否则对原信号进行适当的频移使新信号的频率位于两个相邻离散频率点的中心区域再用Rife算法进行频率估计这样就可以保证较高的估计精度。

具体算法如下。

假设x n 经过FFT 以后的频谱为X k ，即N 1 2 nk j X k x n e N k 01 2 N 1 （3）n 0 求得最大谱
线位置k0 ，根据式 2 得到 f c 的估计值 f c 由于k0 1X k0 X k0 r ，
f c 满足 f c fs f ，式中 f 为DFT量化频率间隔。

N 2如果满足1 k 1 f fc 0 f s f （4）
3 N 2则认为f c 位于量化频率中心区域作为最终估计值。

反之需要进行修正。

估计值 f c 除可能满足式
4 外可能还有两种情况: k0 1 a 0 f c fs f；N 3 7 k0 1 b0 f c fs f 。

N 3 为了使被估计信号频率尽量接近量化频率中点将信号x n 向左或向右频移k 量化频率单位k 可以按式
5 确定 1 X k0 r k （5） 2 X k0 X k0 r平移之后的信号为 2 n r k x1 n x n e j N （6）频谱为N 1 2 n j k r kX1 n x n e N k 01 2 N 1 （7）n0当X k0 1 X k0 1 时，r 1 ，对应于a 谱线右移反之对应于b，r 1 ，谱线左移。

下面以r 1 为例来说明。

假设 f c 的位置如图1所示。

平移后的信号x1 n 的频率位于两相邻量化频率中点附近。

利用Rife 算法求得x1 n 的频率估计值f1c ，将f1c 减去k f 就可以得到一个比较精确的原信号的频率估计值。

Rife 算法仅利用x1 n 的最大两根谱线值。

将原始信号的频谱平移k f 后当r 1 时X 1 k 的最大两根谱线一定位于k0 和k0 1 处而当r 1 时最大两根谱线一定位于k0 1 和k0 处于
是仅需计算出相应的两根谱线再作简8单的判断就可以确定X 1 k 的最大值最
后再用式2 估计频率。

因此不需要对x1 n 作FFT 仅需计算k0 和k0 r 两点的DFT 即可。

式6 中的频移因子k 是一个不确定的值与初始估计值f c 有关。

因此上 2 n j k述方法需要计算复指数e N 计算量较大。

为了避免每次进行频率估计都要计1算复指数考虑取一个固定值k 通过频移新信号的频率将位于两个相邻3量化频率点的中心区域仍然可以保证得到较高的精度。

对于固定的k 可以预 2 n j k先将 e N 计算好存放在RAM 里极大地减少了计算量。

由于受噪声的影响可能出现图2 所示情况 f c 与真实频率 f c 不在k0 的同一侧不能保证一次频移就将新信号的频率移到离散频率的中心区域。

此时可以.。