2020年高考理科数学全国2卷(附答案)

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学校:____________________ _______年_______班 姓名:____________________ 学号:________- - - - - - - - - 密封线 - - - - - - - - - 密封线 - - - - - - - - -
2020年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学 全国II 卷
(全卷共10页)
(适用地区:甘肃、青海、内蒙古、黑龙江、吉林、辽宁、宁夏、新疆、陕西、重庆、西藏) 注意事项:
1.
答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.
回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

答题卡上,写在本试卷上无效。

3.
考一、 选择题:本题共12小题,每小题项中, 1. 3+i 1+i
= A .1+2i B .1–2i 2. 设集合A={1,2,4},B={x 2
–4x +m=0}A .{1,–3} B .{1,0} 3. 倍加增,共灯三百八十一,A .1盏 B .3盏 C 4. 如图,网格纸上小正方形的边长为A .90π B .63π C .42π D .36π
5. 设x 、y 满足约束条件⎩⎨⎧2x+3y–3≤0
2x–3y+3≥0y+3≥0
,则z=2x+y 的最小值是
A .–15
B .–9
C .1
D .9
6. 安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有
A .12种
B .18种
C . 24种
D .36种 7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞猜的成绩。

老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩, B .丁可以知道四人的成绩 D .乙、丁可以知道自己的成绩
,则输出的S= (x–2)2+y2=4所截得的弦长为
C . 2
D .23
3
10. 已知直三棱柱ABC–A 1B 1C 1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC 1=1, 则异面直
线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( )
A .32
B .155
C .105
D .33
11. 若x=–2是函数f(x)=(x2+ax–1)e x –1的极值点,则f(x)的极小值为( )
A .–1
B .–2e –3
C .5e –3
D .1 12. 已知ABC ∆是边长为2的等边三角形,P 为平面ABC 内一点,则
()PA PB PC ⋅+的最小值是()
A.2-
B.32-
二、填空题:本题共4小题,每小题513. 一批产品的二等品率为0.02100次,X 14. 函数()23
sin 4
f x x x =+-(15. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,3a =16. 已知F 是抛物线C:2
8y x =的焦点,点N .若M 为F N 的中点,则F N 三、解答题:共70为必做题,每个试题考生都必须作答。

第(一)必考题:共60分。

17.(12分)ABC ∆的内角,,A B C 2sin()8sin 2
B
A C +=.
(1)求cos B
(2)若6a c += , ABC ∆面积为2,求.b
kg )其频率分布直方
箱产量/kg
(1) 设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A 表示事件“旧养殖法的箱产量
低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg”,估计A 的概率;
(2) 填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养
(3)
(精确到0.01)
19.(12分)如图,四棱锥P -ABCD 中,侧面PAD 为等比三角形且垂直于底
面ABCD ,o 1
,90,2
AB BC AD BAD ABC ==
∠=∠=E 是PD 的中点. (1)证明:直线//CE 平面PAB
(2)点M 在棱PC 上,且直线BM 与底面ABCD 所成角为o 45,求二面
角M -AB -D 的余弦值
20.(12分)设O 为坐标原点,动点M 在椭圆C :2
212
x y +=上,过M 做x 轴的垂线,垂足为N ,点P 满足2NP NM =
.
(1) 求点P 的轨迹方程;
(2) 设点Q 在直线x =-3上,且1OP PQ ⋅=.证明:过点P 且垂直于OQ 的 直线l 过C 的左焦点F .
21.(12分)已知函数2
()ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥. (1)求a ;
(2)证明:()f x 存在唯一的极大值点0x ,且2
20()2e f x --<<.
(二)选考题:共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做,
按所做的第一题计分。

22. [选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,
曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=.
(1)M 为曲线1C 上的动点,点P 在线段OM 上,且满足||||16OM OP ⋅=,求
点P 的轨迹2C 的直角坐标方程; (2)设点A 的极坐标为(2,)3
π
,点B 在曲线2C 上,求OAB ∆面积的最大值.
23. [选修4-5:不等式选讲](10分)
已知3
3
0,0,2a b a b >>+=,证明: (1)5
5()()4a b a b ++≥; (2)2a b +≤.
2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学 全国Ⅱ卷 答案
一、选择题
1.D
2.C
3.B
4.B
5.A
6.D
7.D
8.B
9.A 10.C 11.A 12.B 二、填空题
13. 1.96 14. 1 15. 2n
1
n + 三、解答题 17.解:
(1)由题设及sin A B C B π++==得sin 4-cosB B =(1)
上式两边平方,整理得 217cos 解得 15
cosB=cosB 17
1(舍去),= (2)由158cosB sin B 1717==
得,故S ∆又17
=22
ABC S ac ∆=,则
由余弦定理及a 6c +=得
2
2
2
2
b 2cos a 2(1cosB)
1715
362(1)
217
4
a c ac B
ac =+-=-+=-⨯⨯+=(+c )
所以b=2
18.解:
(1)记B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg ”,C 表示事件“新养殖法的箱产
量不低于50kg ”
由题意知()()()()P A P BC P B P C == 旧养殖法的箱产量低于50kg 的频率为
0.0400.0340.0240.0140.0125=0.62++++⨯()
故()P B 的估计值为0.62
19.解:
(1)取PA 中点F ,连结EF ,BF .
因为E 为PD 的中点,所以EF AD ,1
2
EF AD = ,由90BAD ABC ∠=∠=︒得BC AD ∥,又1
2
BC AD =
所以EF BC ∥.四边形BCEF 为平行四边形,CE BF ∥. 又BF ⊂(2)
由已知得BA ⊥为坐标原点,AB 的方向为轴正方向,AB 为单位长,则
则(00A ,(110),,,(10PC =,,(10AB =,(x 1),(x BM z PM =-=因为BM ABCD 所成的角为向量,所以
0cos ,sin 45BM =n =
即(x-1)²+y²-z²=0
又M 在棱PC 上,设,PM PC λ=则 x ,1,y z λ===
x y ⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎪
⎪=⎪⎩
=1-2),=1
z 2
,从而1-,1⎛= ⎝⎭
AM
ABM 的法向量,则
00020
0即0+===y AM AB m m
所以可取m =(105
=
=m n
n m n
因此二面角M-AB-D ), ()()00,,0,=-=NP x x y NM y
由2=
NP NM 得00=,=x x y y 因为M (x 0,y 0)在C 上,所以22
122
+=x y
因此点P 的轨迹方程为222+=x y
(2)由题意知F (-1,0).设Q (-3,t ),P(m,n),则
()()3,1,,t =-=---OQ ,PF m n OQ PF ()(),3,==---OP m,n PQ m,t n
由1=OP PQ 得22-31-+-=m m tn n 3+3m-tn=0
所以0=OQ PF ,即⊥OQ PF 又过点P 垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F. 21.解:
(1)()f x 的定义域为()0,
+∞ 设()g x =ax -a -lnx ,则()()f x =xg x 因为()()()(1=0,0,故1=0,而≥g g x g'g'x 若a =1,则()1
1-
g'x =x
.当0<x <1()g'x >0,()g x 单调递增.所以x=1是(g 综上,a=1
(2)由(1)知()2ln ,f x x x x x =--设()1
22ln ,则'()2h x x x h x x
=--=-
当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝

时,()'<0h x ;当1,+2
x ⎛⎫∈∞ ⎪⎝⎭
时,()'>0h x ,所以()h x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝

单调递减,在1
,+2
⎛⎫
∞ ⎪⎝⎭
单调递增
又()
()21>0,<0,102h e h h -⎛⎫
= ⎪⎝⎭
,所以()h x 在10,2⎛
⎫ ⎪⎝
⎭有唯一零点x 0,在1,+2
⎡⎫∞⎪
⎢⎣⎭
有唯一零点1,且当()00,x x ∈时,()>0h x ;当()0,1x x ∈时,()<0h x ,当 )000=(1)x x x - ()()
110,1,'0e f e --∈≠得
M 的极坐标为()()1
1
,>0ρθρ,由题设
16OP =()
cos =4>0ρθρ
因此2C 的直角坐标方程为
()()2
2240x y x -+=≠
(2)设点B 的极坐标为()(),>0B B
ρα
ρ,由题设知
cos =2,=4B ραOA ,于是△OAB 面积
1
=
sin 2
4cos sin 32sin 232B S OA AOB ρ
πααπα∠⎛⎫
=- ⎪

⎭⎛⎫=--
⎪⎝⎭≤+
当=-12
π
α时,S 取得最大值
所以△OAB 面积的最大值为 23.解: (1)
()()
(
)
()
(
)
5
56556
2
33
3344
2
2
2
244
++=+++=+-++=+-≥a b a
b a ab a b b a b
a b ab a b ab a b
(2)因为
()
()()()
()3
3223
2
3
3323+3+3+2+
+24
4
a +=+++=+≤=+
b a a b ab b ab a b a b a b a b
所以()
3
+8≤a b ,因此a+b≤2.。

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