2020年高考理科数学全国2卷(附答案)

学校：____________________ _______年_______班 姓名：____________________ 学号：________- - - - - - - - - 密封线 - - - - - - - - - 密封线 - - - - - - - - -
2020年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学 全国II 卷
（全卷共10页）
(适用地区：甘肃、青海、内蒙古、黑龙江、吉林、辽宁、宁夏、新疆、陕西、重庆、西藏) 注意事项：
1．
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

答题卡上，写在本试卷上无效。

3．
考一、 选择题：本题共12小题，每小题项中， 1. 3+i 1+i
= A ．1+2i B ．1–2i 2. 设集合A={1,2,4}，B={x 2
–4x +m=0}A ．{1,–3} B ．{1,0} 3. 倍加增，共灯三百八十一，A ．1盏 B ．3盏 C 4. 如图，网格纸上小正方形的边长为A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π
5. 设x 、y 满足约束条件⎩⎨⎧2x+3y–3≤0
2x–3y+3≥0y+3≥0
，则z=2x+y 的最小值是
A ．–15
B ．–9
C ．1
D ．9
6. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有
A ．12种
B ．18种
C ． 24种
D ．36种 7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞猜的成绩。

老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩， B ．丁可以知道四人的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩
，则输出的S= (x–2)2+y2=4所截得的弦长为
C ． 2
D ．23
3
10. 已知直三棱柱ABC–A 1B 1C 1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC 1=1， 则异面直
线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( )
A ．32
B ．155
C ．105
D ．33
11. 若x=–2是函数f(x)=(x2+ax–1)e x –1的极值点，则f(x)的极小值为( )
A ．–1
B ．–2e –3
C ．5e –3
D ．1 12. 已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则
()PA PB PC ⋅+的最小值是（）
A.2-
B.32-
二、填空题：本题共4小题，每小题513. 一批产品的二等品率为0.02100次，X 14. 函数()23
sin 4
f x x x =+-（15. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，3a =16. 已知F 是抛物线C:2
8y x =的焦点，点N ．若M 为F N 的中点，则F N 三、解答题：共70为必做题，每个试题考生都必须作答。

第（一）必考题：共60分。

17.（12分）ABC ∆的内角,,A B C 2sin()8sin 2
B
A C +=．
(1)求cos B
(2)若6a c += , ABC ∆面积为2,求.b
kg ）其频率分布直方
箱产量/kg
（1） 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件“旧养殖法的箱产量
低于50kg, 新养殖法的箱产量不低于50kg”,估计A 的概率；
（2） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养
（3）
（精确到0.01）
19.（12分）如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等比三角形且垂直于底
面ABCD ，o 1
,90,2
AB BC AD BAD ABC ==
∠=∠=E 是PD 的中点. （1）证明：直线//CE 平面PAB
（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为o 45，求二面
角M -AB -D 的余弦值
20.（12分）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2
212
x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =
.
(1) 求点P 的轨迹方程；
(2) 设点Q 在直线x =-3上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的 直线l 过C 的左焦点F .
21.（12分）已知函数2
()ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥. （1）求a ；
（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且2
20()2e f x --<<.
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，
按所做的第一题计分。

22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．
（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ⋅=,求
点P 的轨迹2C 的直角坐标方程； （2）设点A 的极坐标为(2,)3
π
，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．
23. [选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知3
3
0,0,2a b a b >>+=，证明： （1）5
5()()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤．
2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学 全国Ⅱ卷 答案
一、选择题
1.D
2.C
3.B
4.B
5.A
6.D
7.D
8.B
9.A 10.C 11.A 12.B 二、填空题
13. 1.96 14. 1 15. 2n
1
n + 三、解答题 17.解：
（1）由题设及sin A B C B π++==得sin 4-cosB B =（1）
上式两边平方，整理得 217cos 解得 15
cosB=cosB 17
1（舍去），= （2）由158cosB sin B 1717==
得，故S ∆又17
=22
ABC S ac ∆=，则
由余弦定理及a 6c +=得
2
2
2
2
b 2cos a 2(1cosB)
1715
362(1)
217
4
a c ac B
ac =+-=-+=-⨯⨯+=（+c ）
所以b=2
18.解：
（1）记B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg ”，C 表示事件“新养殖法的箱产
量不低于50kg ”
由题意知()()()()P A P BC P B P C == 旧养殖法的箱产量低于50kg 的频率为
0.0400.0340.0240.0140.0125=0.62++++⨯（）
故()P B 的估计值为0.62
19.解：
（1）取PA 中点F ，连结EF ，BF ．
因为E 为PD 的中点，所以EF AD ,1
2
EF AD = ,由90BAD ABC ∠=∠=︒得BC AD ∥，又1
2
BC AD =
所以EF BC ∥．四边形BCEF 为平行四边形，CE BF ∥． 又BF ⊂（2）
由已知得BA ⊥为坐标原点，AB 的方向为轴正方向，AB 为单位长，则
则(00A ，(110)，，，(10PC =，，(10AB =，(x 1),(x BM z PM =-=因为BM ABCD 所成的角为向量，所以
0cos ,sin 45BM =n =
即（x-1）²+y²-z²=0
又M 在棱PC 上，设,PM PC λ=则 x ,1,y z λ===
x y ⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎪
⎪=⎪⎩
=1-2)，=1
z 2
，从而1-,1⎛= ⎝⎭
AM
ABM 的法向量，则
00020
0即0+===y AM AB m m
所以可取m =（105
=
=m n
n m n
因此二面角M-AB-D ）, ()()00,,0,=-=NP x x y NM y
由2=
NP NM 得00=,=x x y y 因为M （x 0,y 0）在C 上，所以22
122
+=x y
因此点P 的轨迹方程为222+=x y
（2）由题意知F （-1,0）.设Q （-3，t ）,P(m,n),则
()()3,1,,t =-=---OQ ,PF m n OQ PF ()(),3,==---OP m,n PQ m,t n
由1=OP PQ 得22-31-+-=m m tn n 3+3m-tn=0
所以0=OQ PF ，即⊥OQ PF 又过点P 垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F. 21.解：
（1）()f x 的定义域为()0，
+∞ 设()g x =ax -a -lnx ，则()()f x =xg x 因为()()()(1=0，0,故1=0,而≥g g x g'g'x 若a =1，则()1
1-
g'x =x
.当0＜x ＜1()g'x ＞0，()g x 单调递增.所以x=1是(g 综上，a=1
（2）由（1）知()2ln ,f x x x x x =--设()1
22ln ,则'()2h x x x h x x
=--=-
当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭
时，()'＜0h x ；当1,+2
x ⎛⎫∈∞ ⎪⎝⎭
时，()'＞0h x ，所以()h x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝
⎭
单调递减，在1
,+2
⎛⎫
∞ ⎪⎝⎭
单调递增
又()
()21＞0,＜0,102h e h h -⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，所以()h x 在10,2⎛
⎫ ⎪⎝
⎭有唯一零点x 0，在1,+2
⎡⎫∞⎪
⎢⎣⎭
有唯一零点1，且当()00,x x ∈时，()＞0h x ；当()0,1x x ∈时，()＜0h x ，当 )000=(1)x x x - ()()
110,1,'0e f e --∈≠得
M 的极坐标为()()1
1
，＞0ρθρ，由题设
16OP =()
cos =4＞0ρθρ
因此2C 的直角坐标方程为
()()2
2240x y x -+=≠
（2）设点B 的极坐标为()()，＞0B B
ρα
ρ,由题设知
cos =2，=4B ραOA ,于是△OAB 面积
1
=
sin 2
4cos sin 32sin 232B S OA AOB ρ
πααπα∠⎛⎫
=- ⎪
⎝
⎭⎛⎫=--
⎪⎝⎭≤+
当=-12
π
α时，S 取得最大值
所以△OAB 面积的最大值为 23.解： （1）
()()
(
)
()
(
)
5
56556
2
33
3344
2
2
2
244
++=+++=+-++=+-≥a b a
b a ab a b b a b
a b ab a b ab a b
（2）因为
()
()()()
()3
3223
2
3
3323+3+3+2+
+24
4
a +=+++=+≤=+
b a a b ab b ab a b a b a b a b
所以()
3
+8≤a b ，因此a+b≤2.。