高二11月月考(数学)试题含答案

高二11月月考（数学）
（考试总分：150 分）
一、 单选题 （本题共计12小题，总分60分）
1.（5分）1．设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是
A ．若//l α，//l β，则//αβ
B ．若l α⊥，l β⊥，则//αβ
C ．若l α⊥，//l β，则//αβ
D ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥
2.（5分）2．如图，1111ABCD A B C D -为正方体，下面结论错
误
的是（ ）
A ．//BD 平面11C
B D B ．1A
C B
D ⊥
C ．1AC ⊥平面11CB
D D ．异面直线AD 与1CB 所成的角为
60︒
3.（5分）3．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱
锥的体
积是
A ．16
B ．1
3
C ．2
3
D ．1
所表示的图像是（））方程（041.422=-+-y x y
4.（5分）A ．一条直线及一个圆 B ．两个点
C ．一条射线及一个圆
D ．两条射线及一个圆
5.（5分）5．直线20x y +-=与圆()()22
121x y -+-=相交于,A B 两点，则弦长AB =
A ．
22 B ．3
2
C ．3
D ．2 6.（5分）6．设实数x ，y 满足22(2)3x y -+=，那么y
x
的最大值是（ ）
A ．1
2
B ．
33
C ．
32
D ．3
7.（5分）7．若直线20x y a -+=始终平分圆22440x y x y +-+=的周长，则a 的值为
（ ） A ．4
B ．6
C ．-6
D ．-2
8.（5分）8．设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则点1D 到平面1A BD 的距离是
（ ）
A ．
32
B ．
22
C ．
33
D ．
23
3
9.（5分）9．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都
相等，且1CC ⊥底面ABC ，M 是侧棱1CC 的中点，则异面直线1
AB 和BM 所成的角为( ) A ．
2
π
B ．
C ．
D ．
3
π 10.（5分）10．如图，在三棱锥S －ABC 中，SA ⊥平面ABC ，SA ＝2，AC ＝2，BC ＝1，
⊥ACB ＝90°，则直线SB 与平面SAC 所成角的正弦值为（ ） A ．13 B ．24 C ．22
D ．
10
10
11.（5分）11．已知直线2x ay a +=+（a R ∈）与圆222270x y x y +---=交于M ，N 两点，则线段MN 的长的最小值为（ ）
A ．42
B ．22
C ．2
D ．2
12.（5分）12．如图所示，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为边BC ，AD 的
中点，将ABF ∆沿BF 所在直线进行翻折，将CDE ∆沿DE 所在直线进行翻折，在翻折的过程中，
⊥点A 与点C 在某一位置可能重合； ⊥点A 与点C 的最大距离为2AB ；
⊥直线AB 与直线CD 可能垂直； ⊥直线AF 与直线CE 可能垂直. 以上说法正确的个数为
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
二、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）
13.（5分）的位置关系为与平面，则直线，直线平面若直线ααb b a a ⊥⊥.13． 14.（5分）14.在圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上且到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有
________个.
15.（5分）15．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝2，P 为BC 的中点，点Q 为
侧面ADD 1A 1内的一点，当B 1P ⊥AQ ，CDQ 的面积最小值为2，则棱AB 的长为__________.
16.（5分）16．如图所示为一个正方体的展开图．对于原正方体，给出下列结论：
⊥AB 与EF 所在直线平行； ⊥AB 与CD 所在直线异面；
⊥MN 与BF 所在直线成60︒角；⊥MN 与CD 所在直线互相垂直． 其中正确结论的序号是________．
三、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）
17.（10分）17．如图，四面体ABCD 中，点E ，F 分别为线段
AC ，AD 的中点，平面EFNM ⋂平面BCD MN =，
90CDA CDB ∠=∠=︒，DH AB ⊥，垂足为H .
（1）求证：//EF MN ；
（2）求证：平面CDH ⊥平面ABC .
18.（12分）18．已知圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0与圆C 2：x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0相
交于A 、B 两点． (1)求公共弦AB 的长；
(2)求经过A 、B 两点且面积最小的圆的方程．
19.（12分）19．已知圆22:240C x y x y +-+=.
(1)若直线:20l x y t -+=与圆C 相切，求实数t 的值；
(2)若圆()()()2
2
2:320M x y r r -+-=>与圆C 无公共点，求r 的取值范围.
20.（12分）20．如图，六面体ABCD EFGH -中，平面//ABCD 平面EFGH .
（1）求证：BAD FEH ∠=∠；
（2）若AE EF ⊥，平面ABFE ⊥平面EFGH ，120FEH ∠=，1AB AE ==，
2EH EF ==，求四棱锥H ABFE -的体积.
21.（12分）21．已知两定点()1,0A -，()2,0B ，动点P 满足2PA PB =.
（⊥）求动点P 轨迹C 的方程；
（⊥）过点()2,2Q 的直线l 被曲线C 所截得的弦长为23，求l 的方程.
22.（12分）22．如图：在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD .3PA AB BC ===，
1AD CD ==，120ADC ∠=.点M 是AC 与BD 的交点，点N 在线段PB 上且14
PN PB =.
（1）证明：MN ∥平面PDC ；
（2）求直线MN 与平面PAC 所成角的正弦值.
答案
一、单选题（本题共计12小题，总分60分）
1.（5分）B
2.（5分）D
3.（5分）B
4.（5分）A
5.（5分）D
6.（5分）D
7.（5分）C
8.（5分）D
9.（5分）A
10.（5分）A
11.（5分）A
12.（5分）C
12．C
【分析】
∆沿DE所在直线进行翻折，在翻折的过程
将ABF
∆沿BF所在直线进行翻折，将CDE
中，A,C的运动轨迹分别是圆；AB,AF是以BF为旋转轴的圆锥型侧面；CE,CD是以DE 为旋转轴的圆锥型侧面.
【详解】
由题意，在翻折的过程中，A,C的运动轨迹分别是两个平行的圆，所以不能重合，
故⊥不正确；
点A与点C的最大距离为正方形的对角线AC,
故⊥正确；
由于⊥ABF和⊥CDE全等，把⊥CDE平移使得DC和AB重合，
如图，
⊥ABF绕BF旋转形成两个公用底面的圆锥，AB,CD是稍大的圆锥的母线，由于⊥ABF
小于45°，所以AB,CD的最大夹角为锐角，所以不可能垂直，
故⊥不正确；
同理可知，由于⊥AFB大于45°，所以AF,BE的最大夹角为钝角，所以可能垂直，故⊥正确.
故选:C.
【点睛】
本题主要考查空间位置关系的判断，侧重考查直观想象的核心素养.
二、填空题（本题共计4小题，总分20分）
13.（5分）13．α
α⊂
b
或
⊥b
14.（5分）14．3
15.（5分）15．
16.（5分）16．⊥⊥
【分析】
先将展开图还原为正方体，再由图观察即可得解.
【详解】
由展开图可知，各点在正方体中的位置如图：
由图可知，AB EF
⊥，⊥不正确；AB,CD异面，⊥正确；
MN BF,⊥不正确；MN CD
⊥，⊥正确，
故答案为⊥⊥.
【点睛】
本题考查了两直线平行、垂直的判定，属中档题.
三、解答题（本题共计6小题，总分70分）
17.（10分）17．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
本题考查线面平行与线面垂直的判定，难度不大.
（1）利用线面平行的判定定理证得//EF 平面BCD ，进而利用线面平行的性质定理证得；
（2）利用线面垂直的判定定理证得CD ⊥平面ADB ，进而证得AB ⊥平面CDH ，然后由面面垂直判定定理证得结论. 【详解】
证明：（1）因为点E 、F 分别为线段AC 、AD 的中点，
EF ∴为ACD △的中位线，则//EF CD ，
CD ⊂平面BCD ，EF ⊄平面BCD ， //EF ∴平面BCD ，又EF ⊂平面EFNM ，
平面EFNM ⋂平面BCD MN =，//EF MN ∴； （2）90CDA CDB ∠=∠=︒，
CD DA ∴⊥，CD DB ⊥，
DA DB D ⋂=，DA ⊂平面ADB ，DB ⊂平面ADB ，
CD 平面ADB ，CD AB ∴⊥
又DH AB ⊥，DH CD D ⋂=，DC ⊂平面DCH ，DH ⊂平面DCH ，
AB ∴⊥平面CDH ，AB ⊂平面ABC ，
∴平面CDH ⊥平面ABC.
【点睛】
要证线线平行，常常先证线面平行，综合利用线面平行的判定与性质进行证明；要证面面垂直，常常先证线面垂直，而要证线面垂直，又常常先证另一个线面垂直.
18.（12分）18．(1) (2) (x ＋2)2＋(y －1)2＝5.
【分析】
(1)直接把两圆的方程作差消去二次项即可得到公共弦AB 所在的直线方程,利用点到直线距离公式以及勾股定理可得结果；(2) 经过A 、B 两点且面积最小的圆就是以AB 为直径的圆，求出AB 中点坐标及AB 的长度，则以AB 为直径的圆的方程可求. 【详解】
(1)圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0与圆C 2：x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝方程相减, 可得得x －2y ＋4＝0，
此为公共弦AB 所在的直线方程．
圆心C 1(－1，－1)，半径r 1
C 1到直线AB 的距离为d =
故公共弦长|AB |＝
(2)过A 、B 且面积最小的圆就是以AB 为直径的圆， x －2y ＋4＝0与x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0联立可得，
()()4,0,0,2A B -，其中点坐标为()2,2-，
即圆心为()2,2- 所求圆的方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝5. 【点睛】
本题主要考查点到直线距离公式以及圆的弦长的求法，求圆的弦长有两种方法：一是利
用弦长公式12l x =-，结合韦达定理求解；二是利用半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，利用勾股定理求解.
19.（12分）19．(1)1或9-；(2){|0r r <r >.
【分析】
（1）求出圆的圆心与半径，利用点到直线的距离公式使圆心到直线的距离等于半径即可求解.
（2）根据圆C 的圆心为()1,2-，圆M 的圆心为()3,2，求出圆心距，两圆无交点可知：圆心距大于半径之和或小于半径之差即可. 【详解】
(1)圆22:240C x y x y +-+=的标准方程为()()2
2
125x y -++=， ∴
圆C 的圆心为()1,2-
若直线l 与圆C 相切，则有d ==
解得1t =或9t =-， 故实数t 的值为1或9-.
(2)圆C 的圆心为()1,2-，圆M 的圆心为()3,2，
则MC =
若圆M 与圆C 无公共点，则r <r >
解得r <r >
故r 的取值范围为{|0r r <r >. 【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系，同时考查了点到直线的距离公
式、两点间的距离公式，属于基础题.
20.（12分）20．（1）证明见解析；（2 【分析】
（1）利用面面平行的性质定理得出//AD EH ，//AB EF ，利用等角定理可证得
BAD FEH ∠=∠；
（2）在平面EFGH 内，作HM FE ⊥，交FE 的延长线于M ，利用面面垂直的性质定理得出HM ⊥平面ABFE ，计算出四边形ABFE 的面积和HM 的长，利用锥体的体积公式可求得四棱锥H ABFE -的体积. 【详解】
（1）平面ABCD 平面ABFE AB =，平面EFGH
平面ABFE EF =，
平面//ABCD 平面EFGH ，//AB EF ∴，同理可证，//AD EH ， 由等角定理可得BAD FEH ∠=∠；
（2）由（1）知//AB EF ，且AE EF ⊥，所以，四边形ABFE 为直角梯形， 所以，梯形ABCD 的面积为()()113121222
S AB EF AE =
+⋅=+⨯=， 在平面EFGH 内，作HM FE ⊥，交FE 的延长线于M ，
平面ABFE ⊥平面EFGH ，平面ABFE 平面EFGH EF =，HM EF ⊥，HM ⊂平面
EFGH ，HM ∴⊥平面ABFE ，
120FEH ∠=，60MEH ∴∠=，sin 602HM HE ∴=⋅==
113
332H ABFE V S HM -∴=⋅=⨯=
H ABFE - 【点睛】
方法点睛：求解空间几何体的体积，常用的方法有： （1）直接法； （2）等体积法；
（3）分割法； （4）补形法.
21.（12分）21．（⊥）()2
234x y -+=；（⊥）2x =或34140x y +-=.
【分析】
（⊥）设P 点坐标为(),x y ，由2PA PB ==.
（⊥）根据直线l 被曲线C 所截得的弦长为l 的距离
1d =，当斜率存在时，设直线l 的方程为：()22y k x -=-，利用圆心到直
线l 距离为1求解，当斜率不存在时，l 的方程为2x =成立. 【详解】
（⊥）设P 点坐标为(),x y ，
由2PA PB ==
整理得：()2
234x y -+=，
所以动点P 的轨迹C 的方程为()2
234x y -+=.
（⊥）因为直线l 被曲线C 所截得的弦长为
所以圆心到直线l 距离1d =，
当斜率存在时，设直线l 的方程为：()22y k x -=-， 即220kx y k -+-=，
1=，解得3
4k =-，
⊥直线l 的方程为：34140x y +-=， 当斜率不存在时，l 的方程为2x =， 综上：l 的方程为2x =或34140x y +-=. 【点睛】
本题主要考查动点的轨迹和直线与圆的位置关系，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.
22.（12分）22．（1）证明见解析；（2）1
4
；（3 【分析】
（1）推导出AC =ABC 中，31
,22
BM DM ==，从而
112
134
22DM BD ==+． 进而//MN PD ，由此能证明MN ∥平面PDC ；
（2）分别以,,AB AD AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图的空间直角坐标系，求出MN 与平面PAC 的法向量n ，进而利用向量的夹角公式可求出直线MN 与平面PAC 所成角的正弦值；
（3）求出面APC 与面PCD 的法向量，进而利用向量的夹角公式可求出二面角A PC D --的平面角的余弦值，再转化为正切值即可.
【详解】
证明：（1）⊥在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD
.PA AB BC === 1AD CD ==，120ADC ∠=.点M 是AC 与BD 的交点，
AC ∴
⊥在正三角形ABC
中，32
BM ==， 在ACD ∆中，⊥M 是AC 中点，DM AC ⊥，
AD CD ∴=，又120ADC ∠=，
12
DM ∴=， 112134
22
DM BD ∴==+， ⊥点N 在线段PB 上且14PN PB =
， //MN PD ∴，
MN ⊄平面PDC ，PD ⊂平面PDC ，
⊥MN ∥平面PDC ．
（2）90,BAD BAC CAD AB AD ︒∠=∠+∠=∴⊥，
分别以,,AB AD AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图的空间直角坐标系，
33
,0,(0,0,0),,,0
24
B C A P N M
⎫⎫∴⎪⎪
⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，()
0,1,0
D，
33
(0,0,3),,,0
22
AP AC
⎛⎫
== ⎪
⎪
⎝⎭
，
设平面PAC的法向量(,,)
n x y z
=，
则
30
33
22
n AP z
n AC x y
⎧⋅==
⎪
⎨
⋅=+=
⎪
⎩
，取x=(3,1,0)
n=-，
3
0,
4
MN
⎛
=-
⎝⎭
，
设直线MN与平面PAC所成角为θ，
则
3
||1
4
sin
4
||||36
2
MN n
MN n
θ
⋅
===
⋅
，
故直线MN与平面PAC所成角的正弦值为
1
4
；。