四川省雅安中学2016-2017学年高二上学期入学考试数学试题 含答案

雅安中学2016-2017学年上期高二年级入学考试
数 学
一、选择题（每题5分，共60分）
1、,a b R ∈，若0a b ->，则下列不等式中正确的是（ )
A 。

0b a ->
B 。

3
3
0a b +< C. 2
2
0a b -< D. 0b a +>
2、已知00(sin 20,cos160)a =，00
(sin140,sin50)b =，则a b ⋅=（ )
A ．
B
C ．12
D ．12
-
3、已知数列}{n
a 满足,,11
=a
,22=a ,2
1
--=
n n n a a a ),3(*∈≥N n n 。

则2016a = （ ) A.1 B.2
C. 2
1 D. 20162-
4、给出下列关于互不重合的三条直线m 、l 、n 和两个平面α、β的四个命题：
①若α⊂m ，A l =α ，点m A ∉，则l 与m 不共面;
② 若m 、l 是异面直线,α//l ，α//m ，且l n ⊥，m n ⊥，则α⊥n ； ③ 若α//l ，β//m ，βα//，则m l //；
④ 若α⊂l ，α⊂m ,A m l = ,β//l ,β//m ，则βα//， 其中为真命题的是（ )
（A ）①③④ （B ）②③④ （C ）①②④ (D ）①②③ 5、规定记号“”表示一种运算，定义：a b ab a b =+（,a b 为正实数），若2
13k <，则k 的
取值范围是（ ） A 。

11k -<< B 。

01k << C. 10k -<< D 。

02k <<
6、棱长为2的正方体被一平面截得的几何体的三视图如图所示，那么被截去．．．
的几何体的体积是( )
2
1
1
2
1
1
2
2
2
2俯视图
侧视图
正视图
11
A ．143
B ．4
C ．103
D ．163
6题图
7题图
7、如图,已知=OA a , =OB b ，且||2||2b a ==,任意点M 关于点A 的对称点为N ，点N 关于点B 的对称
点为P ，则()MP OA OB ⋅+= ( )
A ．6
B ．6-
C ．3
D ．3-
8、已知M 是ABC ∆内一点,且23AB AC ⋅=,30BAC ∠=,若MBC ∆、MAB ∆、MAC ∆的面积
分别为12
、x 、y ，则14x y
+的最小值是（ ）
20
.81.16.9.D C B A
9、在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若ABC ∆的面积为S ，且
222()S a b c =+-，
则tan C 等于（ )
A 。

34
B 。

43
C.
43
- D 。

3
4
- 10、如图，正四面体ABCD 的顶点A ，B ,C 分别在两两垂直的三条射线Ox ,Oy ，Oz 上,则在下列命题中，错误．．
的为 （ ）
A ．O ABC -是正三棱锥(底面为正三角形，顶点在底面的投影为底面的中心）
y
x
z
O
A B C
D
B ．直线OB ∥平面ACD
C ．O
D ⊥平面ABC
D ．直线CD 与平面ABC 所成的角的正弦值为63
11、已知关于x 的不等式012
<++c bx x
a
)1(>ab 的解集为空集，则
1
)
2()1(21-++
-=
ab c b a ab T 的最小值为（ )
A ．3
B ．2
C ．32
D ．4
12、设等差数列{}n a 满足22223663
45sin cos sin cos 1sin()
a a a a a a -=+,公差(1,0)d ∈-，
当且仅当9n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，求该数列首项1a 的取值范
围（ ） A ．
74(
,)63
ππ
B ．74,63ππ⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
C ．43(,)32
ππ D ．43,3
2ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
二、填空题(每题5分,共20分) 13、已知
ABC
∆的顶点坐标分别为
(1,1)
A ,
(4,1)
B ，
(4,5)
C ,则
cos A =。

14、如图所示，四边形OABC 是上底为2，下底为6，底角
为45的等腰梯形，由斜二测画法，画出这个梯
形的
直观图O A B C '''',在直观图中梯形的高为
15、设n
S 是等比数列{}n a 的前n 项和,0n
a >，若6325S S -=，则96S S -的最小
值为 。

16．,,a b c 已知为正实数,给出以下结论:
2
230,3;b a b c ac
-+=①若则的最小值是
228,24;a b ab a b ++=+②若则的最小值是
()4,222;a a b c bc a b c +++=++③若则的最小是 2224,5227.a b c ab bc ++=+④若则的最大值是 其中正确结论的序号是________________
三、解答题（共70分）
17、（本题满分10分）已知关于x 的不等式2
320ax
x -+≤的解集为
{|1}x x b ≤≤。

(1)求实数,a b 的值； （2)解关于x 的不等式：
0x c
ax b
->-（c 为常数）。

18、（本题满分12分）如图，在三棱柱11
1
ABC A B C -中，侧棱1
AA 与底面ABC
成角为θ，AB AC ⊥．
(1）若2
πθ=，求证:1
AC BA ⊥；
（2）若M 为11
AC 的中点，问：1
A B 上是否存在点N ，使得MN ∥平面
11
BCC B ？
若存在,求出1
A N
NB
的值,并给出证明；若不存在，请说明理由．
19、（本题满分12分）已知数列{}n
n
a n S 的前项和是，且*1
1().2
n
n S
a n N +=∈ (1)求数列{}n
a 的通项公式；
(2)设*31log (1)()n
n b S n N +=-∈,求适合方程
1223
111125
51
n n b b b b b b ++++
=
的正整数n 的值.
20、（本题满分12分）如图,ABC ∆中，13
sin 2
3
ABC ∠=
,2AB =，点D 为线段AC 上一点，过D 作DE 垂直于AB 与E ,作DF 垂直于BC 与F 。

（1）若2AD DC =，则433
BD =,求BC 的长。

(2）在（1)的结论下，若点D 为线段AC 上运动,求
DEF 面积的最大值。

21、(本题满分12分）在直角梯形ABCD 中,AD
BC ，
2222BC AD AB ===,90
ABC ∠=(如图1）．把ABD ∆沿BD 翻折，使得二面角
A BD C --的平面角为θ
（如图2),M 、N 分别是BD 和BC 中点.
(1）若E 为线段AN 上任意一点,求证：
ME BD ⊥
（2)若3
πθ=，求AB 与平面BCD 所成角的正弦值.
（3）P 、Q 分别为线段AB 与DN 上一点,使得()NQ AP R PB
QD
λλ==∈。

令PQ 与BD 和AN 所成的角分别为1
θ和2
θ。

求1
2sin sin θ
θ+的取值范围。

E
F
N M
B
C
D A P
Q
图(3)
E
22、 (本题满分12分）数列{}n
a 满足41
1
=
a
，()),2(2
111N n n a a a n n n n ∈≥--=--． 令
(21)sin
2
n n n b a π
-= （1)证明：数列()⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-+n
n a 11
为等比数列；
(2）设21
13n n c n b ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭
，求数列{}n c 的前n 项和n S ；
(3)数列{}n b 的前n 项和为n T ．求证:对任意的*
∈N n ，7
4<
n
T
．
数学试题参考答案
一、选择题(每题5分,共60份）
二、填空题（每题5分，共20份） 13、 35
; 14、
； 15、 20 ； 16、
①②④
三、解答题(共70分)
17、（1）由题知b ,1为关于x 的方程0232
=+-x ax 的两根,
即⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
+=a b a b 312 ∴2,1==b a 。

……………………5分
(2）不等式等价于0)2)((>--x c x ,
所以：当2>c 时解集为{}2|<>x c x x 或；……………7分 当2=c 时解集为{}R x x x ∈≠,2|； ……………………8分
当2<c 时解集为{}c x x x <>或2|. ……………………10分
18、（1)略…………6分
（2)1
1A N
NB
=………………12分
19、解： （Ⅰ）1n =时,1
1112123
a
a a +==，
2n ≥时，11111112()1212
n n n n n n n n S a S S a a S a
----⎧
=-⎪⎪-=-⎨⎪=-⎪⎩，,11(2)3n n a a n -∴=≥
{}n a 是以
2
3
为首项，
13
为公比的等比数列，
1211
()2()333
n n n a -=⨯= …………6分
（Ⅱ)11()331311
1log (1)log (1)23
n n n n n n S a b S n ++-===-==-+，
………8分
1111
12
n n b b n n +=-
++
1223
11111111
1111
()()(
)2334
1222
n n b b b b b b n n n ++++
=-+-++-=-
+++ …………10分
11251002251
n n -==+， …………12分
20、解:方法一:（1）因为sin 错误!∠ABC ＝错误!，所以cos ∠ABC ＝1－2×
错误!
＝错误!。

△ABC 中,设BC ＝a ，AC ＝3b ，
则由余弦定理可得9b 2＝a 2＋4－错误!① 在△ABD 和△DBC 中，
由余弦定理可得cos ∠ADB ＝错误!，cos ∠BDC ＝错误!. 因为cos ∠ADB ＝－cos ∠BDC ，所以有错误!＝－错误!， 所以3b 2－a 2＝－6，② 由①②可得a ＝3,b ＝1,即BC ＝3。

方法二:向量法
N
B
C
R
（2)令
12
,DE d DF d ==，则△ABC 的面积为1
2
×2×3×错误!＝2错误!
=1232d
d +≥，
从而可得124
3
d
d ⋅≤
而△DEF 的面积为1
212
d d
⋅≤
当且仅当1232d d =时取等）
21、解：（1）,AM BD MN BD BD AMN BD ME ⊥⊥⇒⊥⇒⊥又平面。

………3分 （2）由(1
）知=3
AMN πθ∠=，从而AMN 为等边三角形，从而易得答案为
7分
(3)在BN 线段去点R 使得()NQ AP NR R PB
RB QD
λλ===∈
从而易得////PR AN RQ BDA 且，1
2
==PQR QPR θθ
∠∠，
另一方面，易证,AM BD MN BD ⊥⊥,从而=AMN θ∠。

,=2////AM BD MN BD BD AMN BD AN PRQ PR AN RQ BDA π
⊥⊥⇒⊥⇒⊥⎫⇒∠⎬⎭
又平面
又有且
从而有1
2
1
2111+=sin sin sin cos )2
4
ππθθ
θθθθθ⇒+=+=+
(
1
2sin sin θ
θ∴+∈ (12)
分
22、解：（Ⅰ）1
2)1(1
--
-=n n n
a a ，])1(1
)[
2()1(1
11
---+-=-+∴n n n n
a a ，
又3)1(1
1
=-+a ，∴数列()⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧-+n n a 11是首项为3，公比为2-的等比数列．……4分
（Ⅱ)1
)1(2)12(sin --=-n n π ，111
(1)13(2)(1)321
n n n n n b ----∴==---⋅+．
21
123n n n c n n b ⎛⎫∴=⋅-=⋅ ⎪⎝⎭
∴S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，①
2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋（n －1)×2n ＋n ×2n ＋1。

② ①－②，得—S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝错误!－n ·2n ＋1
＝2n ＋1－n ·2n ＋1－2。

∴S n ＝(n -1)2n ＋1+2。

…………………………………………8分
(Ⅲ） 当3≥n 时,则1
231
123112311311
2+⋅+++⋅++⋅++=
-n n
T
<2
1221121
1321])(1[28112312312317141--+
=⋅+⋅+⋅++--n n 7
484488447612811])21(1[6128112=<=+<-+=
-n ． 321
T T T
<< , ∴对任意的*
∈N n ，
7
4
<
n
T ． …………………………
12分。