2022年北师九下《锐角三角函数2》配套练习(附答案)
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又∠CBG=∠CFA,BC=FC,
故△BCG≌△FCA,
从而BG=FA,又AG=AC,
∴AC+FA=AG+BG=AB.
16.(1)在残圆上任取三点A、B、C。
(2)分别作弦AB、AC的垂直平分线,那么这两垂直平分线的交点即是所求圆心
(3)连接OA,那么OA的长即是残圆的半径.
17.存在.∵AB不是直径(否那么∠APB=90°,而由cos∠APB= 知∠APB<90°,矛盾)
1.锐角三角形的外心在_______.如果一个三角形的外心在它的一边的中点上,那么该三角形是______.如果一个三角形的外心在它的外部,那么该三角形是_____.
2.边长为6cm的等边三角形的外接圆半径是________.
3.△ABC的三边为2,3, ,设其外心为O,三条高的交点为H,那么OH的长为_____.
18．如图,在钝角△ABC中,AD⊥BC,垂足为D点,且AD与DC的长度为x2-7x+12=0的两个根(AD<DC),⊙O为△ABC的外接圆,如果BD的长为6,求△ABC的外接圆⊙O的面积.
参考答案
1.三角形内部直角三角形钝角三角形
Hale Waihona Puke 3.4.其外接圆三角形三条边的垂直平分线三角形三个顶点
5. 6.两
7.C 8.B 9.A 10.C 11.B 12.C 13.略. 14.略.
A.圆心B.半径;
8.三角形的外心是( )
A.三条中线的交点;B.三条边的中垂线的交点;
9.以下命题不正确的选项是( )
10.一个三角形的外心在它的内部,那么这个三角形一定是( )
11.等腰直角三角形的外接圆半径等于( )
12.平面上不共线的四点,可以确定圆的个数为( )
三、解答题:
13.如图,:线段AB和一点C(点C不在直线AB上),求作:⊙O,使它经过A、B、C三点。(要求:尺规作图,不写法,保存作图痕迹)
4.三角形的外心是______的圆心,它是_______的交点,它到_______的距离相等.
⊙O的直径为2,那么⊙O的内接正三角形的边长为_______.
6.如图,MN所在的直线垂直平分线段AB,利用这样的工具,最少使用________次就可以找到圆形工件的圆心.
二、选择题:
7.以下条件,可以画出圆的是( )
∴取优弧 的中点为P点,过P作PD⊥AB于D,
那么PD是圆上所有的点中到AB距离最大的点.
∵AB的长为定值,
∴当P为优弧 的中点时,△APB的面积最大,连接PA、PB,
那么等腰三角形APB即为所求.
由作法知:圆心O必在PD上,如下图,连接AO,那么由垂径定理得AD= AB=2.
又∠AOD=∠1+∠2,而∠2=∠3,∠1=∠2
故∠AOD=∠2+∠1=∠2+∠3=∠APB,即cos∠AOD= ,
∴cos∠AOD= ,设OD=x,OA=3x,那么AD= ,
即 =2,故x= ,
∴AO=3x= ,OD=x= ,
∴PD=OP+OD= OA+OD= + =2 ,
∴S△APB= AB·PD=4 .
18．过O作OE⊥AB于E,连接OB,那么∠AOE= ∠AOB,AE= AB,
1.1 锐角三角函数
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°.假设sinA＝ ，那么cosB的值是( )
A. B. C. D.
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D.假设AC＝ ，BC＝2，那么sin∠ACD的值为( )
A. B. C. D.
3．如图，菱形ABCD的周长为20cm，DE⊥AB，垂足为E，cosA＝ ，那么以下结论中正确的个数为( )
11.如图，在直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为(10，0)，点B在第一象限内，BO＝5，sin∠BOA＝ . 求：(1)点B的坐标；(2)cos∠BAO的值．
12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E.AC＝15，cosA＝ .
(1)求线段CD的长；
15.(1)△FBC是等边三角形,由得:
∠BAF=∠MAD=∠DAC=60°=180°-120°=∠BAC,
∴∠BFC=∠BAC=60°,∠BCF=∠BAF=60°,
∴△FBC是等边三角形.
(2)AB=AC+FA.在AB上取一点G,使AG=AC,那么由于∠BAC=60°,
故△AGC是等边三角形,
从而∠BGC=∠FAC=120°,
①DE＝3cm；②EB＝1cm；③S菱形ABCD＝15cm2.
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝6，那么tan∠ACD的值为( )
A. B. C. D.
5．直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，那么tan∠CBE的值是( )
(2)请给出一个能反映AB、AC和FA的数量关系的一个等式,并说明你给出的等式成立.
16.要将如下图的破圆轮残片复制完成,怎样确定这个圆轮残片的圆心和半径(写出找圆心和半径的步骤).
17.:AB是⊙O中长为4的弦,P是⊙O上一动点,cos∠APB= ,问是否存在以A、P、B为顶点的面积最大的三角形假设不存在,试说明理由;假设存在,求出这个三角形的面积.
(2)求sin∠DBE的值．
参考答案
1---5 BAAAC
6.
7.
8.
9.
10.解：sin2A＋cos2A＝1，tanA＝ .理由略．
11.解：(1)作BH⊥OA，垂足为B，
在Rt△OHB中，∵OB＝5，sin∠BOA＝ ，
∴BH＝3，∴OH＝4，∴点B的坐标为(4，3)．
(2)∵OA＝10，OH＝4，AH＝6，
在Rt△AHB中，∵BH＝3，∴AB＝3 ，
∴cos∠BAO＝ ＝ .
12.解：(1)cosA＝ ＝ ，∴AB＝25，
∴CD＝BD＝ AB＝
(2)由CD＝BD＝ AB得∠ABC＝∠BCE，
易证△ABC∽△BCE， ＝ ，
∴CE＝16，∴DE＝16－ ＝ ，
∴sin∠DBE＝ ＝ .
5确定圆的条件
一、填空题:
14.如图,A、B、C三点表示三个工厂,要建立一个供水站,使它到这三个工厂的距离相等,求作供水站的位置(不写作法,尺规作图,保存作图痕迹).
15.如图,△ABC的一个外角∠CAM=120°,AD是∠CAM的平分线,且AD与△ABC的外接圆交于F,连接FB、FC,且FC与AB交于E.
(1)判断△FBC的形状,并说明理由.
∴∠C= ∠AOB=∠AOE.
解方程x2-7x+12=0可得DC=4,AD=3,
故AB= ,AE= ,
可证Rt△ADC∽Rt△AEO,
故 ,
又AC= =5, AD=3,AE= ,
故AO= ,
从而S⊙O= .
A. B. C. D.
6．如图，直线l1∥l2∥l3∥l4ABCD的四个顶点分别在四条直线上，那么sinα＝＿＿＿＿＿．
7．如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点．假设EF＝2，BC＝5，CD＝3，那么cosC的值为＿＿＿＿．
8．如图，将以A为直角顶点的等腰Rt△ABC沿直线BC平移得到△A′B′C′，使点B′与C重合，连接A′B，那么sin∠A′BC′的值为＿，cos∠A′BC＝＿＿．
9.如图，在Rt△ABC中，BC、AC、AB三边的长分别为a、b、c，那么sinA＝ ，cosA＝ ，tanA＝ .我们不难发现：sin260°＋cos260°＝1，…，试探求sinA、cosA、tanA之间存在的一般关系，并说明理由．
10.在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝ △ABC的周长和面积．
故△BCG≌△FCA,
从而BG=FA,又AG=AC,
∴AC+FA=AG+BG=AB.
16.(1)在残圆上任取三点A、B、C。
(2)分别作弦AB、AC的垂直平分线,那么这两垂直平分线的交点即是所求圆心
(3)连接OA,那么OA的长即是残圆的半径.
17.存在.∵AB不是直径(否那么∠APB=90°,而由cos∠APB= 知∠APB<90°,矛盾)
1.锐角三角形的外心在_______.如果一个三角形的外心在它的一边的中点上,那么该三角形是______.如果一个三角形的外心在它的外部,那么该三角形是_____.
2.边长为6cm的等边三角形的外接圆半径是________.
3.△ABC的三边为2,3, ,设其外心为O,三条高的交点为H,那么OH的长为_____.
18．如图,在钝角△ABC中,AD⊥BC,垂足为D点,且AD与DC的长度为x2-7x+12=0的两个根(AD<DC),⊙O为△ABC的外接圆,如果BD的长为6,求△ABC的外接圆⊙O的面积.
参考答案
1.三角形内部直角三角形钝角三角形
Hale Waihona Puke 3.4.其外接圆三角形三条边的垂直平分线三角形三个顶点
5. 6.两
7.C 8.B 9.A 10.C 11.B 12.C 13.略. 14.略.
A.圆心B.半径;
8.三角形的外心是( )
A.三条中线的交点;B.三条边的中垂线的交点;
9.以下命题不正确的选项是( )
10.一个三角形的外心在它的内部,那么这个三角形一定是( )
11.等腰直角三角形的外接圆半径等于( )
12.平面上不共线的四点,可以确定圆的个数为( )
三、解答题:
13.如图,:线段AB和一点C(点C不在直线AB上),求作:⊙O,使它经过A、B、C三点。(要求:尺规作图,不写法,保存作图痕迹)
4.三角形的外心是______的圆心,它是_______的交点,它到_______的距离相等.
⊙O的直径为2,那么⊙O的内接正三角形的边长为_______.
6.如图,MN所在的直线垂直平分线段AB,利用这样的工具,最少使用________次就可以找到圆形工件的圆心.
二、选择题:
7.以下条件,可以画出圆的是( )
∴取优弧 的中点为P点,过P作PD⊥AB于D,
那么PD是圆上所有的点中到AB距离最大的点.
∵AB的长为定值,
∴当P为优弧 的中点时,△APB的面积最大,连接PA、PB,
那么等腰三角形APB即为所求.
由作法知:圆心O必在PD上,如下图,连接AO,那么由垂径定理得AD= AB=2.
又∠AOD=∠1+∠2,而∠2=∠3,∠1=∠2
故∠AOD=∠2+∠1=∠2+∠3=∠APB,即cos∠AOD= ,
∴cos∠AOD= ,设OD=x,OA=3x,那么AD= ,
即 =2,故x= ,
∴AO=3x= ,OD=x= ,
∴PD=OP+OD= OA+OD= + =2 ,
∴S△APB= AB·PD=4 .
18．过O作OE⊥AB于E,连接OB,那么∠AOE= ∠AOB,AE= AB,
1.1 锐角三角函数
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°.假设sinA＝ ，那么cosB的值是( )
A. B. C. D.
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D.假设AC＝ ，BC＝2，那么sin∠ACD的值为( )
A. B. C. D.
3．如图，菱形ABCD的周长为20cm，DE⊥AB，垂足为E，cosA＝ ，那么以下结论中正确的个数为( )
11.如图，在直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为(10，0)，点B在第一象限内，BO＝5，sin∠BOA＝ . 求：(1)点B的坐标；(2)cos∠BAO的值．
12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E.AC＝15，cosA＝ .
(1)求线段CD的长；
15.(1)△FBC是等边三角形,由得:
∠BAF=∠MAD=∠DAC=60°=180°-120°=∠BAC,
∴∠BFC=∠BAC=60°,∠BCF=∠BAF=60°,
∴△FBC是等边三角形.
(2)AB=AC+FA.在AB上取一点G,使AG=AC,那么由于∠BAC=60°,
故△AGC是等边三角形,
从而∠BGC=∠FAC=120°,
①DE＝3cm；②EB＝1cm；③S菱形ABCD＝15cm2.
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝6，那么tan∠ACD的值为( )
A. B. C. D.
5．直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，那么tan∠CBE的值是( )
(2)请给出一个能反映AB、AC和FA的数量关系的一个等式,并说明你给出的等式成立.
16.要将如下图的破圆轮残片复制完成,怎样确定这个圆轮残片的圆心和半径(写出找圆心和半径的步骤).
17.:AB是⊙O中长为4的弦,P是⊙O上一动点,cos∠APB= ,问是否存在以A、P、B为顶点的面积最大的三角形假设不存在,试说明理由;假设存在,求出这个三角形的面积.
(2)求sin∠DBE的值．
参考答案
1---5 BAAAC
6.
7.
8.
9.
10.解：sin2A＋cos2A＝1，tanA＝ .理由略．
11.解：(1)作BH⊥OA，垂足为B，
在Rt△OHB中，∵OB＝5，sin∠BOA＝ ，
∴BH＝3，∴OH＝4，∴点B的坐标为(4，3)．
(2)∵OA＝10，OH＝4，AH＝6，
在Rt△AHB中，∵BH＝3，∴AB＝3 ，
∴cos∠BAO＝ ＝ .
12.解：(1)cosA＝ ＝ ，∴AB＝25，
∴CD＝BD＝ AB＝
(2)由CD＝BD＝ AB得∠ABC＝∠BCE，
易证△ABC∽△BCE， ＝ ，
∴CE＝16，∴DE＝16－ ＝ ，
∴sin∠DBE＝ ＝ .
5确定圆的条件
一、填空题:
14.如图,A、B、C三点表示三个工厂,要建立一个供水站,使它到这三个工厂的距离相等,求作供水站的位置(不写作法,尺规作图,保存作图痕迹).
15.如图,△ABC的一个外角∠CAM=120°,AD是∠CAM的平分线,且AD与△ABC的外接圆交于F,连接FB、FC,且FC与AB交于E.
(1)判断△FBC的形状,并说明理由.
∴∠C= ∠AOB=∠AOE.
解方程x2-7x+12=0可得DC=4,AD=3,
故AB= ,AE= ,
可证Rt△ADC∽Rt△AEO,
故 ,
又AC= =5, AD=3,AE= ,
故AO= ,
从而S⊙O= .
A. B. C. D.
6．如图，直线l1∥l2∥l3∥l4ABCD的四个顶点分别在四条直线上，那么sinα＝＿＿＿＿＿．
7．如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点．假设EF＝2，BC＝5，CD＝3，那么cosC的值为＿＿＿＿．
8．如图，将以A为直角顶点的等腰Rt△ABC沿直线BC平移得到△A′B′C′，使点B′与C重合，连接A′B，那么sin∠A′BC′的值为＿，cos∠A′BC＝＿＿．
9.如图，在Rt△ABC中，BC、AC、AB三边的长分别为a、b、c，那么sinA＝ ，cosA＝ ，tanA＝ .我们不难发现：sin260°＋cos260°＝1，…，试探求sinA、cosA、tanA之间存在的一般关系，并说明理由．
10.在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝ △ABC的周长和面积．