高等数学讲义(一)
高等数学精简讲义(pdf版)

f ''(0) + 1 6
f '''(η2 )
两式相减: f '''(η1 ) + f '''(η2 ) = 6
∃ξ
∈[η1,η2 ],∋
f
'''(ξ )
=
1[ 2
f
'''(η1) +
f
'''(η2 )] =
3
13. e < a < b < e2 ,求证: ln 2 b − ln 2 a > 4 (b − a) e2
三、补充习题(作业)
1. lim e x −1 − x = −3 (洛必达) x−>0 1 − x − cos x
2. lim ctgx( 1 − 1 )
x−>0
sin x x
∫x x e−t2 dt
3. lim x−>0
0
1− e−x2
=1
(洛必达或 Taylor) (洛必达与微积分性质)
第二讲 导数、微分及其应用
二、题型与解法 A.极限的求法
(1)用定义求 (2)代入法(对连续函数,可用因式分解或有理化消除零因子) (3)变量替换法 (4)两个重要极限法 (5)用夹逼定理和单调有界定理求 (6)等价无穷小量替换法 (7)洛必达法则与 Taylor 级数法 (8)其他(微积分性质,数列与级数的性质)
1. lim x−>0
证: f (x) = f (0) + f '(0)x + 1 f ''(0)x2 + 1 f '''(η)x3
高等数学教材讲义

高等数学教材讲义第一章导数与微分1.1 导数的定义与性质在这一节中,我们将介绍导数的定义及其基本性质。
导数是描述函数变化率的重要概念,它与切线的斜率密切相关。
我们将详细解释导数的定义,并通过例题演示如何求取导数。
1.2 常见函数的导数本节将探讨一些常见函数的导数计算方法,包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数以及其他一些常见函数。
我们将给出这些函数的导数公式,并通过具体例子进行说明和求解。
1.3 高阶导数在这一节中,我们将讨论高阶导数及其应用。
高阶导数描述了函数变化率变化的速度,它可以帮助我们更全面地理解函数的性质。
我们将介绍高阶导数的定义和计算方法,并通过实例说明如何应用高阶导数解决实际问题。
第二章积分与定积分2.1 不定积分与原函数这一节我们将引入不定积分的概念,并介绍原函数的定义及其计算方法。
不定积分是求解定积分的重要步骤,它可以帮助我们找到函数的原始形式。
我们将详细解释不定积分的定义和性质,并通过实例演示如何求取原函数。
2.2 定积分的概念与性质在这一节中,我们将介绍定积分的概念和性质。
定积分描述了函数在一定区间内的累积变化量,它可以用来计算曲线下的面积、求解平均值等。
我们将详细讲解定积分的定义和性质,并通过例题演示如何求解定积分。
2.3 定积分的计算方法本节将讨论定积分的计算方法,包括基本积分公式、换元积分法、分部积分法等。
这些方法可以帮助我们解决各种形式的定积分问题。
我们将给出这些方法的具体步骤,并通过实例演示如何应用它们求解定积分。
第三章微分方程3.1 微分方程的基本概念在这一节中,我们将介绍微分方程的基本概念和分类。
微分方程是描述变量之间关系的方程,它在自然科学和工程技术中具有广泛应用。
我们将详细解释微分方程的定义和分类,并通过例题演示如何求解微分方程。
3.2 常微分方程本节将讨论常微分方程的求解方法。
常微分方程是最常见的微分方程类型之一,它描述了未知函数及其导数之间的关系。
同济大学的高等数学讲义 (1)

1 xn − 1 < 4 10 只要n>10000即可.即从第10001项开始的以后所有项都
满足这一要求. 一般:要使
1 xn − 1 < k 10 只要n>10k 即可.即从第(10k+1)项开始的以后所有项都
满足这一要求.
对上面例的分析,可以看到,无论一个正数取得多么 小,总可以找到自然数n,在这项以后的所有项与1的距 离都可以小于该数.数学上用ε 来表示一个任意小的正 数.由此得到极限的精确定义:
我们知道:两个数a 和b 的接近程度可用两数差的绝 对值来刻画.
(−1)n+1 x − 1 = 1 对数列 xn = 1 + ,n ,故只要n充分大, n n xn − 1 就充分小.例如要使
xn − 1 < 1 10 2
只要n>100即可.即从第101项开始的以后所有项都满足 这一要求;
再如,要使
3.极限的定义 定义 设数列 ( x n )n =1 ,如果存在常数a,使得对任意给
∞
定的正数ε (不论它多么小),总存在自然数N,只要N>n, 不等式
xn − a < ε
都成立,那么称常数a 是数列 ( x n )n =1 的极限,,或则
∞
称数列 ( x n )n =1 收敛于a,记为
∞
lim xn = a,
∴ ∀ε > 0, 取δ = ε , 当 0 < x − (− 1 ) < δ , 有
从而当n>N时,有
xn = ( xn − a ) + a ≤ xn − a + a ≤ 1 + a ,
取
M = max{ x1 , x2 ,
xN ,1 + a },
高等数学讲义教材

高等数学讲义教材第一章函数与极限1.1 函数的概念与性质函数是数学中最基本的概念之一,它描述了一个变量与另一个变量之间的关系。
函数可以用公式、图表或者图形来表示。
在这一章中,我们将介绍函数的定义、分类以及常见的函数性质。
1.2 极限的概念与性质极限是数学分析的重要概念之一。
它描述了随着自变量趋近某个值时,函数的变化趋势。
在这一节中,我们将介绍极限的定义、性质以及常见的求解方法。
第二章导数与微分2.1 导数的定义与求导法则导数是描述函数在某一点上的变化率的概念。
它可以用于求解函数的最大值、最小值以及函数的图像特征。
在这一节中,我们将介绍导数的定义、求导法则以及常见的导数计算方法。
2.2 微分的概念与应用微分是导数的一种应用形式,它可以用于求解函数在某一点上的近似变化量。
在这一节中,我们将介绍微分的概念、微分的计算方法以及微分在实际问题中的应用。
第三章积分与定积分3.1 积分的定义与性质积分是导数的反向运算,它可以用于计算曲线下面的面积、求解定积分以及求解函数的原函数。
在这一章中,我们将介绍积分的定义、性质以及常见的积分计算方法。
3.2 定积分的定义与应用定积分是积分的一种特殊形式,它可以用于求解曲线下面的面积、计算曲线的长度以及求解函数的平均值。
在这一节中,我们将介绍定积分的定义、定积分的计算方法以及定积分在实际问题中的应用。
第四章微分方程4.1 微分方程的基本概念微分方程是描述自变量、函数及其导数之间关系的方程。
它在物理学、工程学以及经济学中有着广泛的应用。
在这一节中,我们将介绍微分方程的基本概念、分类以及常见的解法方法。
4.2 常微分方程的解法常微分方程是一类特殊形式的微分方程,它可以用一些常见的解法方法进行求解。
在这一节中,我们将介绍常微分方程的解法思路、常微分方程的解法技巧以及常微分方程在实际问题中的应用。
结语高等数学是大学数学学科中的重要课程之一。
通过学习这门课程,我们可以深入理解函数与极限、导数与微分、积分与定积分以及微分方程等概念与方法,为今后的学习与研究打下坚实的数学基础。
自考高等数学(一)微积分串讲讲义1

试题特点:知识点覆盖全面, 大多数题目难度不大,个别题目有一定的难度, 但都没有超出大纲要求。
复习要求:不报侥幸心理, 复习要涉及每个知识点。
每个知识点要做相应的练习题。
高等数学(一)微积分一元函数微分学( 第三章、第四章)一元函数积分学(第五章)第一章函数及其图形第二章极限和连续多元函数微积分(第六章)高数一串讲教材所讲主要内容如下:全书内容可粗分为以下三大部分:第一部分 函数极限与连续(包括级数) 第二部分 导数及其应用(包括多元函数)第三部分 积分计算及其应用 (包括二重积分和方程)第一部分 函数极限与连续一、关于函数概念及特性的常见考试题型: 1、求函数的自然定义域。
2、判断函数的有界性、周期性、单调性、奇偶性。
3、求反函数。
4、求复合函数的表达式。
二、极限与连续常见考试题型:1、求函数或数列的极限。
2、考察分段函数在分段点处极限是否存在,函数是否连续。
3、函数的连续与间断。
4、求函数的渐进线。
5、级数的性质及等比级数。
6、零点定理。
每年必有的考点第三部分导数微分及其应用常见考试题型:1、导数的几何意义;2、讨论分段函数分段点的连续性与可导性。
3、求函数的导数:复合函数求导,隐含数求导,参数方程求导;4、讨论函数的单调性和凹凸性,求曲线的拐点;5、求闭区间上连续函数的最值;6、实际问题求最值。
每年必有的考点第四部分积分计算及应用考试常见题型1、不定积分的概念与计算;2、定积分的计算;3、定积分计算平面图形的面积;4、定积分计算旋转体的体积;5、无穷限反常积分6、二重积分7、微分方程最近几年考题中,积分计算的题目较多,而且也有一定的难度。
第一部分函数极限与连续一、关于函数概念及特性的常见考试题型:1、求函数的自然定义域。
2、判断函数的有界性、周期性、单调性、奇偶性。
3、求反函数。
4、求复合函数的表达式。
例1..函数y=23log log x 的定义域是___________. 2007.7 知识点:定义域约定函数的定义域是使函数的解析表达式有意义的一切实数所构成的数集。
(完整word版)高等数学辅导讲义.doc

第一部分函数极限连续函数、极限、连续函数极限连续函数概念函数的四种反函数与复初等函数数列极限函数极限连续概念间断点分类初等函数的连闭区间上连续特征合函数续性函数的性质函数的有界数列极限的函数极限的第一类间断有界性与最大性定义定义点值最小值定理函数的单调收敛数列的函数极限的可去间断点零点定理性性质性质函数的奇偶极限的唯一函数极限的跳跃间断点性性唯一性函数的周期收敛数列的函数极限的第二类间断性有界性局部有界性点收敛数列的函数极限的保号性局部保号性数列极限四函数极限与数则运算法则列极限的关系极限存在准函数极限四则则运算法则夹逼准则两个重要极限单调有界准无穷小的比则较高阶无穷小低阶无穷小同阶无穷小等价无穷小历年试题分类统计及考点分布考点复合函数极限四则两个重要单调有界无穷小的合计运算法则极限准则阶年份19871988 5 3 8 19891990 3 3 6 1991 5 3 8 1992 3 3 1993 5 3 8 1994 3 3 1995 3 3 1996 3 6 3 12 1997 3 3 199819992000 5 5 200120022003 4 4 8 2004 4 4 20052006 12 3 15 2007 4 4 2008 4 4 2009 4 4 2010 4 4 2011 10 10 20 合计8 18 37 32 27本部分常见的题型1.求分段函数的复合函数。
2.求数列极限和函数极限。
3.讨论函数连续性,并判断间断点类型。
4.确定方程在给定区间上有无实根。
一、 求分段函数的复合函数 例 1 (1988, 5 分) 设 f (x)e x2, f [ (x)]1 x 且 ( x) 0 求 (x) 及其定义,域。
解: 由 f (x) e x 2知 f [ ( x)] e2( x)1x ,又 (x) 0 ,则 ( x)ln(1 x), x 0 .例 2 (1990, 3 分) 设函数 f ( x)1, x1则 f [ f ( x)]10, x 1, .1, x1,练习题 : (1)设f (x)0, x1, g ( x)e x , 求f [ g( x)] 和 g[ f (x)] , 并作出这1, x 1,两个函数的图形。
大学《高等数学》核心考点精讲讲义(附例题练习)

(2)“ ∀ 正整数 N , ∃ 正整数 K ,当 0 <
x − x0
≤1 K
时,恒有
f (x) − A ≤ 1 2N
”是
“ lim f (x) = A ”的充要条件; x→x0
(3)“ ∀ε ∈ (0,1) , ∃ 正整数 N ,当 n ≥ N 时,恒有| xn − a |≤ 2ε ”是“数列{xn} 收敛于 a ”
<δ
时,恒有
f (x) − A
<ε
1
注:趋向方式六种
(2)数列极限定义:
lim
n→∞
xn
=
a
⇔
∀ε
>
0, ∃N
>
0, 当 n
>
N
时,恒有
xn
−a
<ε
注:趋向方式只有一种
【例】以下三个说法,
ε
(1)“ ∀ε > 0 ,∃X > 0 ,当 x > X 时,恒有 f (x) − A < e10 ”是“ lim f (x) = A ”的充要条 x→+∞
【例】求极限 lim( 1 − cos2 x) x→0 sin2 x x2
4
②没有分母,创造分母,再通分
1
【例】求极限 lim [x2 (e x −1) − x] x→+∞
第三组: ∞0 00 1∞
1
【例 1】求极限 lim (x + 1+ x2 ) x x→+∞
1
【例 2】求极限 lim(tan x) cos x−sin x x→π 4
数 f (x) 在开区间 (a, b) 内有界.
(3)若极限不存在,则转向“四则运算规则”——有限个有界函数与有界函数的和、差、积
考研数学强化班高等数学讲义汤家凤

第一讲 极限与连续主要内容归纳(略)要点题型解说一、极限问题种类一:连加或连乘的求极限问题 1.求以下极限:( 1) lim111;n13 35(2n1)(2n 1)( 2) limnk 3 1 ;1nk 2k 3n( 3) lim [nk 11] n ;k (k 1)2.求以下极限:( 1) lim111;222n4n 14n24nn3.求以下极限:( 1) lim111;22222nn 2 n n21 n( 2) lim nn!;nnn 1( 3) lim。
ni2i 11nn种类二:利用重要极限求极限的问题 1.求以下极限:( 1) lim cos x cos xcos x(x0) ;( n 1) n 112 n ( 2) limnsin;n222nnn2.求以下极限:1( 1) lim 1 sin x 2 1 cos x ;x 011( 3) lim1 tan x x 3ln(1 2 x)(4) lim cos1 sin x;xx 0x种类三:利用等价无量小和麦克劳林公式求极限的问题1.求以下极限:x 2;( 1) lim1 tan x 1 sin x ;( 2) lime tan xe x ;x 0x(1 cosx) x 0x(1 cosx)( 3) lim1 2 cos xx1] ;( 4) lim (11) ;x 3 [(3)x 2tan 2x 0xx( 5) lim(3 x) x3 x2;x 0xln(1 f (x) ) f (x)( 6)设 lim sin xA ,求 lim 。
x2x 0 a 1 x 0 xx 22.求以下极限: lim cos x e 23x 0x sin x种类四:极限存在性问题:1.设 x 1 1, x n 11 x n0 ,证明数列 { x n } 收敛,并求 lim x n 。
nnn2.设 f ( x) 在 [ 0, ) 上单一减少、非负、连续, a nf (k)f (x)dx(n 1,2, ) ,证明:k11lim a n 存在。
《高等数学讲义》(上、下册)--目录 樊映川等编

第一篇解析几何《高等数学讲义》 (上、下册) -- 目录第五章极坐标樊映川等编12.平面束的方程第一章行列式及线性方程组1.二阶行列式和二元线性方程组2.三阶行列式3.三阶行列式的主要性质4.行列式的按行按列展开5.三元线性方程组6.齐次线性方程组7.高阶行列式概念第二章平面上的直角坐标曲线及其方程1.轴和轴上的线段2.直线上点的坐标数轴3.平面数的点的笛卡儿直角坐标4.坐标变换问题5.两点间的距离6.线段的定比分点7.平面上曲线方程的概念8.两曲线的交点第三章直线与二元一次方程1.过定点有定斜率的直线方程2.直线的斜截式方程3.直线的两点式方程4.直线的截距式方程5.直线的一般方程6.两直线的交角7.直线平息及两直线垂直的条件8.点到直线的距离9.直线束第四章圆锥曲线与二元一次方程1.圆的一般方程2.椭圆及其标准方程3.椭圆形状的讨论4.双曲线及其标准方程5.双曲线形状的讨论6.抛物线及其标准方程7.抛物线形状的讨论8.椭圆及双曲线的准线9.利用轴的平移简化二次方程10.利用轴的旋转简化二次方程11.一般二元二次方程的简化1.极坐标的概念2.极坐标与直角的关系3.曲线的极坐标方程4.圆锥曲线的极坐标方才第六章参数方程1.参数方程的概念2.曲线的参数方程3.参数方程的作图法第七章控件直角坐标与矢量代数1.间点的直角坐标2.基本问题3.矢量的概念矢径4.矢量的加减法5.矢量与数量的乘法6.矢量在轴上的投影投影定理7.矢量的分解与矢量的坐标8.矢量的模矢量的方向余弦与方向数9.两矢量的数量积10.两矢量的夹角11.两矢量的矢量积12.矢量的混合积第八章曲面方程与曲线方程1.曲面方程的概念2.球面方程3.母线平行于坐标的柱面方程二次柱面4.控件曲线作为两曲面的交线5.空间曲线的参数方程6.空间曲线在坐标面上的投影第九章空间的平面于曲线1.过一点并已知一法线矢量的平面方程2.平面的一般方程的研究3.平面的截距式方程4.点到平面的距离5.两平面的夹角6.直线作为两平面的交线7.直线的方程8.两直线的夹角9.直线与平面的夹角10.直线与平面的交点11.杂例第十章二次曲面1.旋转曲面2.椭秋面3.单叶双曲面4.双叶双曲面5.椭圆抛物面6.双曲抛物面7.二次锥面第二篇第一章函数及其图形1.实数与数轴2.区间3.实数的绝对值邻域4.常量与变量5.函数概念6.函数的表示法7.函数的几种特性8.反函数概念9.基本初等函数的图形10.复合函数初等函数第二章数列的极限及函数的极限1.数列及其简单性质2.数列的极限3.函数的极限4.无穷大无穷小5.关于无穷小的定理6.极限的四则运算7.极限存在的准则两个重要极限8.双曲函数9.无穷小的比较第三章函数的连续性1.函数连续性的定义2.函数的间断点3.闭区间上连续函数的基本性质4.连续函数的和积及商的连续性5.反函数与复合函数的连续性6.初等函数的连续性第四章导数及微分1.几个物力学上的概念2.导数概念3.导数的几何意义4.求导数的例题导数的基本公式表5.函数的和积商的导数6.反函数的导数7.复合函数的导数8.高阶导数9.参数方程所确定的函数的导数10.微分概念11.微分的求法微分形式不变性12.微分应用与近似计算及误差的估计第五章中值定理1.中值定理2.罗必塔法则3.泰勒公式第六章导数的应用1.函数的单调增减性的判定法2.函数的极值及其求法3.最大值及最小值的求法4.曲线的凹性及其判定法5.曲线的拐点及其求法6.曲线的渐进线7.函数图形的描绘方法8.弧微分曲率9.曲率半径曲率中心10.方程的近似解第七章不定积分1.原函数与不定积分的概念2.不定积分的性质3.基本积分表4.换元积分法5.分步积分法6.有理函数的分解7.有理函数的积分8.三角函数的有理式的积分9.简单无理函数的积分10.二项微分式的积分11.关于积分问题的一些补充说明第八章定积分1.曲边梯形的面积变力所作的功2.定积分的概念3.定积分的简单性质中值定理4.牛顿-莱布尼兹公式5.用换元法计算定积分6.用分部积分法计算定积分7.定积分的近似公式8.广义积分第九章定积分的应用1.平面图形的面积2.体积3.曲线的弧长4.定积分在物力力学上的应用第十章级数I. 常数项级数1.无穷级数概念2.无穷级数的基本性质收敛的必要条件3. 正项级数收敛性的充分判定法4.任意项级数绝对收敛5.广义积分的收敛性6.T- 函数II. 函数项级数7.函数项级数的一般概念8.一致收敛及一致收敛级数的基本性质III 幂级数9.幂级数的收敛半径10.幂级数的运算11.泰勒级数12.初等函数的展开式13.泰勒级数在近似计算上的应用14.复变量的指数函数欧拉公式第十一章傅立叶级数1.三角级数三角函数系的正交性2.欧拉-傅立叶公式3.傅立叶级数4.偶函数及奇函数的傅立叶级数5.函数展开为正弦和余弦级数6.任意区间上的傅立叶级数第十二章多元函数的微分法及其应用1.一般概念2.二元函数的极限及连续性3.偏导数4.全增量及全微分5.方向导数6.复合函数的微分法7.隐函数及其微分法8.空间曲线的切线及法平面9.曲面的切平面及法线10.高阶偏导数11.二元函数的泰勒公式12.多元函数的极值13.条件极值--拉格朗日乘数法则第十三章重积分1.体积问题二重积分2.二重积分的简单性质中值定理3.二重积分计算法4.利用极坐标计算二重积分5.三重积分及其计算法6.柱面坐标和球面坐标7.曲面的面积8.重积分在静力学中的应用第十四章曲线积分及曲面积分1.对坐标的曲线积分2.对弧长的曲线积分3.格林公式4.曲线积分与路线无关的条件5.曲面积分6.奥斯特罗格拉特斯公式第十五章微分方程1.一般概念2.变量可分离的微分方程3.齐次微分方程4.一阶线性方程5.全微分方程6.高阶微分方程的几个特殊类型7.线性微分方程解的结构8.常系数齐次线性方程9.常系数非齐次线性方程10.欧拉方程11.幂级数解法举例12.常系数线性微分方程组。
高等数学讲义第一章

高等数学目录第一章函数、极限、连续 (1)第二章第三章第四章第五章第六章第七章第八章一元函数微分学 ··································································· 24 一元函数积分学 ··································································· 49 常微分方程 ·········································································· 70 向量代数与空间解析几何 ··················································· 82 多元函数微分学 ··································································· 92 多元函数积分学 ................................................................... 107 无穷级数(数一和数三) (129)第一章函数、极限、连续§1.1 函数(甲) 内容要点一、函数的概念1.函数的定义 2.分段函数 3.反函数二、基本初等函数的概念、性质和图象三、复合函数与初等函数四、考研或竞赛数学中常出现的非初等函数1.用极限表示的函数(1) y=limfn(x) n→∞ 4.隐函数(2) y=limf(t,x) t→x2.用变上、下限积分表示的函数(1) y=(2) y=则⎰xaf(t)dt 其中f(t)连续,则dy=f(x) dx⎰ϕϕ2(x)1(x)f(t)dt 其中ϕ1(x),ϕ2(x)可导,f(t)连续, dy'(x)-f[ϕ1(x)]ϕ1'(x) =f[ϕ2(x)]ϕ2dx五、函数的几种性质1.有界性:设函数y=f(x)在X内有定义,若存在正数M,使x∈X都有f(x)≤M,则称f(x)在X上是有界的。
高等数学教材辅导讲义

高等数学教材辅导讲义第一章导数与微分一、导数的定义与运算法则在这一部分,我们将详细介绍导数的定义以及一些常见运算法则。
导数的定义:设函数 y=f(x) 在点 x0 的某个邻域内有定义,若极限存在,且该极限与 x0 的取值无关,我们称该极限为函数 f(x) 在点 x0 处的导数。
记为:f'(x0) 或 dy/dx |x=x0。
运算法则:1. 基本导数的四则运算法则2. 复合函数的导数3. 高阶导数......二、微分与微分近似在这一部分,我们将介绍微分的概念以及利用微分进行近似计算的方法。
微分的定义:设函数 y=f(x) 在点 x0 处可导,那么称dx=f'(x0) Δx 为函数 f(x) 在点x0 处的微分,记作 dy。
微分近似:对于函数 y=f(x) 在点 x0 处,若已知 f'(x0),我们可以利用微分进行近似计算。
1. 微分的基本性质2. 一阶微分近似计算3. 高阶微分近似计算......第二章积分与定积分一、定积分的定义与性质在这一部分,我们将介绍定积分的定义以及相关的性质。
定积分的定义:设函数 y=f(x) 在区间 [a, b] 上有界,在该区间上的任意分割为 {x0, x1, ..., xn},选取分割 {x0, x1, ..., xn} 中的任意样本点{ξ1, ξ2, ..., ξn},当最大的分割长度max(Δxi)→0 时,若极限存在,且与样本点的选取无关,那么称该极限为函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的定积分。
记为:∫[a,b] f(x)dx 或∫ab f(x)dx。
性质:1. 定积分的可加性2. 定积分的线性性质3. 定积分的性质与区间的变换......二、定积分的计算方法在这一部分,我们将介绍一些常见的定积分计算方法。
1. 分部积分法2. 第一类换元法3. 第二类换元法4. 牛顿-莱布尼茨公式......第三章无穷级数与幂级数一、无穷级数的概念与性质在这一部分,我们将介绍无穷级数的概念以及相关的性质。
大学高等数学详细分析讲义

第一章 极 限数学分析以极限为工具,以函数为研究对象,主要研究函数的连续性、可微性和可积性,及其相关问题和应用。
极限理论是分析的基础,是分析中难点之一,其中心问题有两个:极限的存在性和极限的计算,两者是密切相关的。
本章通过若干例题,总结了求解数列极限和函数极限的常用方法.Ⅰ 基本概念和主要结果 一 数列极限1 定义 设{为数列,为定数. 若}n a a 0,0>∃>∀N ε,使得当时有N n >ε<−a a n ,则称数列{收敛于a ,a 称为数列{的极限,并记作}n a }n a a a n n =∞→lim .2 几何意义:a a n n =∞→lim 的充要条件是:0>∀ε,邻域),(εa U 之外至多含有数列中的有限项.{}n a 3 性质性质1(唯一性)收敛数列的极限是唯一的。
性质2(有界性) 收敛数列必有界。
性质3(保号性) 若0lim >=∞→a a n n ,则0>∃N ,当时,有.N n >0>n a 性质4(保不等式性)设{与{均为数列. 若存在正数,使得当时有,则}n a }n b 0N 0N n >n n b a ≤n n n n b a ∞→∞→≤lim lim .性质5 改变数列的有限项不改变数列的敛散性,且不改变收敛数列的极限。
性质6(迫敛性) 设收敛数列{与}n a {}n b 均以a 为极限,数列{}n c 满足:,当时,有0>∃N N n >n n n b c a ≤≤,则数列收敛,且{}n c a c n n =∞→lim .性质7(柯西收敛准则)数列{收敛的充要条件是:}n a ,0,0>∃>∀N ε 当Nm n >,时有ε<−m n a a 。
性质8 数列{收敛的充要条件是:}n a {}n a 的任何非平凡子列都收敛。
性质9(致密性定理)有界数列必有收敛子列。
高等数学一讲义

第一章函数1.1 预备知识1.1.1 初等代数的几个问题1.一元二次方程关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0),称为一元二次方程,称为此方程的判别式.(1)求根公式:当△>0时,方程有两个不同的实根:当△=0时,方程有一个二重实根:当△<0时,方程有一对共轭复根:(2)根与系数的关系(韦达定理):(3)一元二次函数(抛物线):y=ax2+bx+c(a≠0),当a>0时,开口向上,当a<0时,开口向下.对称轴顶点坐标例1.若x3+x2+ax+b能被x2-3x+2整除,则a、b是多少?结论:多项式f(x),g(x).若f(x)能被g(x)整除,则g(x)=0的根均为f(x)=0的根. 解:令x2-3x+2=0,解得x=1或2,代入被除式得解得2.二元一次方程组两个未知量x,y满足的形如的方程组称为二元一次方程组.当时,方程组有唯一解;当时,方程组无解;当时,方程组有无穷多解.例2.已知方程组(1)若方程组有无穷多解,求a的值;(2)当a=6时,求方程组的解.解:(1)因为方程组有无穷多组解,所以,解得a=4.(2)当a=6是,原方程组变为,解得3.不等式(1)一元二次不等式考虑不等式ax2+bx+c>0,如果记一元二次方程ax2+bx+c=0的两个不同实根分别为x1,x2,且x1<x2,根据一元二次函数的图形可知:当a>0时,这个不等式的解集是{x│x<x1或x>x2};当a<0时,它的解集是{x│x1<x<x2}.用类似的方法可以求解不等式ax2+bx+c≣0,ax2+bx+c<0和ax2+bx+c≢0.例3.解不等式x2-5x+6≣0.解:令x2-5x+6=0,(x-2)(x-3)=0,得x=2或x=3,∴ 解集为(-∞,2]∪[3,+∞).例4.解不等式x2+(1-a)x-a<0.解:令x2+(1-a)x-a=0,(x-a)(x+1)=0,得x=a或x=-1,①若a<-1,解集为(a,-1),②如a=-1,解集为Φ,③若a>-1,解集为(-1,a).(2)绝对值不等式不等式│f(x)│>a>0等价于f(x)>a或f(x)<-a;不等式│f(x)│<a等价于-a<f(x)<a.例5.解下列含有绝对值符号的不等式:(1)│2x-3│≢5 (2)│3x-1│≣7解:(1)原不等式等价于-5≢2x-3≢5解得:-1≢x≢4.所以解集为[-1,4].(2)原不等式等价于3x-1≢-7或3x-1≣73x-1≢-7的解集为x≢-2,3x-1≣7的解集为x ≣,所以解集为(-∞,-2]∪[,+∞).例6.解不等式│x2-2x-5│<3.解:原不等式等价于x2-2x-5>-3的解集为(-∞,]∪[,+∞),x2-2x-5<3的解集为(-2,4),所以原不等式的解集为(-2,]∪[,+4).4.数列(1)等差数列:相邻两项的差为定值,即a n+1-a n=d,d称为公差.通项公式:a n=a1+(n-1)d前n项和公式:当m+n=k+l时,a m+a n=a k+a l特别地有例7.设{a n}是一个等差数列,且a2+a3+a10+a11=64,求a6+a7和S12解:因为 2+11=3+10=13所以a2+a11=a3+a10=32,又因为 6+7=13,所以a6+a7=32,S12=(a1+a12)×12÷2=6(a1+a12)=6×32=192.(2)等比数列:相邻两项的商为定值,即,q称为公比.通项公式:a n=a1q n-1前n 项和公式:当m+n=k+l时,a m a n=a k a l特别地有例8.设{a n}是一个等比数列,且a3=12,a5=48,求a1,a10和a2a6的值.解:所以q=±2a10=a5·q5=48×(±2)5=±1536因为2+6=3+5=8所以a2·a6=a3·a5=12×48=576.1.1.2 集合与逻辑符号1.集合的概念集合是指由一些特定的对象汇集的全体,其中每个对象叫做集合的元素. 数集分类:N——自然数集Z——整数集Q——有理数集R——实数集C——复数集合2.元素与集合的关系元素a在集合A中,就说a属于A,记为a∈A;否则就说a不属于A,记为a A.3.集合与集合的关系集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素,称为A包含于B,或B包含A,也说A是B的子集,记为A?B或者B?A.若A?B,且B?A,就称集合A与B相等,记作A=B.例9.A={1,2},C={x│x2-3x+2=0},则A和C是什么关系?解:解方程x2-3x+2=0,得x=1或x=2.所以C={1,2},从而A=C.4.空集不含任何元素的集合称为空集(记作Φ).规定空集为任何集合的子集.例10.{x│x∈R,x2+1=0}=Φ5.集合的表示方法:列举法,描述法一般的,有限集用列举法,无限集用描述法闭区间:[a,b]={x│a≢x≢b,x∈R};开区间:(a,b)={x│a<x<b,x∈R};半开半闭区间:左开右闭区间:(a,b]={x│a<x≢b,x∈R},左闭右开区间:[a,b)={x│a≢x<b,x∈R};(-∞,b]={x│x≢b,x∈R},[a,+∞]={x│x≣a,x∈R};点a的邻域:U(a,ε)=(a-ε,a+ε),ε>0,即U(a,ε)是一个以a为中心的开区间.在不强调邻域的大小时,点a的邻域也用U a表示;点a的去心邻域:N(a,ε)=(a-ε,a)∪(a,a+ε),ε>0.点a的去心邻域也可以表示为N a.6.集合之间的运算(1)并:由A、B中所有元素组成的集合称为A和B的并集,记为A∪B.A∪B={x│x∈A或x∈B},A∪B=B∪A.例11.已知:A={1,2,3,4},B={2,4,6,8,10,12},求:A∪B.解:A∪B={1,2,3,4,6,8,10,12}.例12.已知:A={x│1<x<5},B={x│-3<x≢2},求:A∪B.解:A∪B={x│-3<x<5}.(2)交:由既属于A又属于B的元素组成的集合称为A和B的交集,记为A∩B.A∩B={x│x∈A且x∈B},A∩B=B∩A例13.已知:A={1,2,3,4},B={2、4、6、8、10、12},求:A∩B.解:A∩B={2,4}.例14.已知:A={x│1<x<4},B={x│-3<x≢3},求:A∩B.解:A∩B={x│1<x≢3}.(3)余集(差集):由A中不属于B的元素组成的集合称为A与B的差集,记为A-B.A-B={x│x∈A但x B}.例15.已知:A={1,2,3,4},B={2,4,6,8,10,12},求:A-B.解:A-B={1,3}.7.一些逻辑符号p能推出q,记为p q,此时称p是q的充分条件,q是p的必要条件.如果p q,q p同时成立,就成p与q等价,或者说p与q互为充分必要条件(充要条件),记作p q.1.2 函数的概念与图形1.2.1 函数的概念1.定义设D是一个非空数集,f是定义在D上的一个对应关系,如果对于任意的实数x∈D,都有唯一的实数y通过f与之对应,则称f是定义在D上的一个函数,记作y=f(x),x∈D.也称y是x的函数,其中x称为自变量,y称为因变量.当x0∈D时,称f(x0)为函数在点x0处的函数值.数集D 叫做这个函数的定义域,函数值全体组成的数W={y│y=f(x),x∈D}称为函数的值域.例1.已知:,求:y的定义域、值域.解:令1-x2≣0,解得:-1≢x≢1,所以定义域为[-1,1].因为0≢1-x2≢1,所以0≢≢1,所以值域为[0,1].例2.已知:,求:y的定义域、值域.解:根据题意,得,解得-1<x<1,所以定义域为(-1,1),因为 0<≢1,从而,所以值域为[1,+∞).2.函数的三要素:定义域、对应法则、值域.约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.在具体问题中定义域会根据实际需要而有所变化.例3.判断下列两个函数是否相等,(1)y=x+3;(2).例4.求函数的定义域.解:根据题意,得解得:2≢x<3或3<x<5,所以定义域为[2,3)∪(3,5).3.函数的表示法:表达式法(解析法)、图形法、数表法.1.2.2 函数的图形1.函数图形的概念函数y=f(x),x∈D的图形是指在xOy平面上的点集{(x,y)│y=f(x),x∈D}.常见的几个幂函数的图形:2.函数的性质(1)有界性函数f(x),x∈D,存在两个实数m、M,满足条件:对于D中所有的x都有不等式m≢f(x)≢M,则称函数f(x)在D上有界,否则称无界.例5.判断下面函数在其定义域是否有界,(1)y=sin x,(2).(2)单调性设函数f(x)在区间D上有定义,如果对于区间D上任意两点x1及x2,当x1<x2时,恒有f(x1)<f(x2),则称函数f(x)在区间D上是单调增加,称f(x)是D上的单调增加函数,称D是函数f(x)的单调增加区间.设函数f(x)在区间D上有定义,如果对于区间D上任意两点x1及x2,当x1<x2时,恒有f(x1)>f(x2),则称函数f(x)在区间D上是单调减少,称f(x)是D上的单调减少函数,称D是函数f(x)的单调减少区间.例6.求y=x2的单调性.解:任取x1<x2<0,x12-x22=(x1-x2)(x1+x2)>0,所以y=x2在(-∞,0)上单调减少.同理可得:y=x2在(0,+∞)上单调增加.例7.求y =sin x的单调性.解: y=sin x的图像如图,y=sin x在(2kπ-,2kπ+)上单调增加,在(2kπ+,2kπ+)上单调减少.(3)奇偶性设D关于原点对称,对于任意的x∈D,有f(﹣x)=f(x),称f(x)为偶函数;设D关于原点对称,对于任意的x∈D,有f(﹣x)=﹣f(x),称f(x)为奇函数.例8.判断下面函数的奇偶性(1)(2)解:(1)因为,所以定义域为R.所以f(x)为奇函数.(2)因为a x-a-x≠0,故x≠0,所以定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).所以f(x)为奇函数.(4)幂函数的性质形如y=xα的函数为幂函数,其中α为任意常数.性质:对任意实数α,曲线y=xα都通过平面上的点(1,1);α>0时,y=xα在(0,+∞)单调增加;α<0时,y=xα在(0,+∞)单调减少;α为正整数时,幂函数的定义域是(-∞,+∞);α为偶数时,y=xα为偶函数;α为奇数时,y=xα为奇函数;α为负整数时,幂函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).幂函数y=xα(α是常数)的图形:1.2.3 分段函数在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数. 例9.画出符号函数的图形:例10.画出下面分段函数的图形:例11.求下面分段函数定义域并画出图形.1.3 三角函数、指数函数、对数函数1.3.1 三角函数1.三角函数的定义三角函数的定义可以在一个圆心在原点、半径为r的圆上给出,如图1.3.1—1所示.图1.3.1—1定义1.7 正弦函数;余弦函数;正切函数;余切函数;正割函数;余割函数.2.常见三角函数关系式(1)同角公式:1)倒数关系:sin x·csc x=1,cos x·sec x=1,tan x·cot x=12)商的关系:,3)平方关系:sin2x+cos2x=1,1+tan2x=sec2x,1+cot2x=csc2x.(2)和角公式:sin(x±y)=sin x cos y±cos x sin ycos(x±y)=cos x cos y sin x sin y(3)倍角公式:sin2x=2sin x cos xcos2x=cos2x-sin2x(4)半角公式(降幂公式):(5)正弦定理:(6)余弦定理:a2=b2+c2-2bc cos A,b2=a2+c2-2ac cos B,c2=a2+b2-2ab cos C.例1.利用降幂公式,将下列各式变形,(1),(2)cos23x,(3)sin45x.解:(1)原式=(2)原式=(3)原式例2.已知一个三角函数值,求其他的三角函数值.(1)已知tan x=3求其他的三角函数值;(2)已知sec x=5,求其他的三角函数值.解:(1)(2)3.三角函数的图像及简单性质(1)正弦函数y=sin x正弦函数sin x是定义域为(-∞,+∞),值域为[-1,1]的奇函数;图1.3.1—2(2)余弦函数y=cos x余弦函数cos x是定义域为(-∞,+∞),值域为[-1,1]的偶函数;图1.3.1—3(3)正切函数y=tan x正切函数tan x是定义域为{x│x∈R,x≠kπ+}(k是整数),值域为(-∞,+∞)的奇函数;图1.3.1—4(4)余切函数y=cot x余切函数cot x是定义域为{x│x∈R,x≠kπ}(k是整数),值域为(-∞,+∞)的奇函数;图1.3.1—54.特殊角的三角函数值5.周期函数从三角函数的定义域可以看出,当θ的值增加2π后,点P又回到了原来的位置,所以sin(θ+2π)=sinθ,cos(θ+2π)=cosθ,tan(θ+2π)=tanθ,cot(θ+2π)=cotθ,sec(θ+2π)=secθ,csc(θ+2π)=cscθ.这种函数值重复出现的性质就是函数的周期性.定义1.8 设函数f((x))的定义域为R.若存在正数T>0,使得对于任意的x∈R都有f(x+T)=f(x),则称f (x)是一个周期函数,T称为f(x)的周期.如果T是函数f(x)的一个周期,则2T,3T等也是f(x)的周期,一般说的周期指的是最小正周期.如sin x,cos x 的最小正周期是2π,通常就说sin x,cos x是以2π为周期的周期函数.类似地,tan x,cot x是以π为周期的周期函数.例3.判断下列函数是否是周期函数,如果是,则求出最小正周期.(1)y=sin2x,(2)y=sin(2x+3),(3)y=sin3x+tan x,(4)y=sin3x+x2.解:(1)π;(2)π;(3)2π;(4)不是周期函数.例4.设函数f(x)是定义在(-∞,+∞)内的周期为3的周期函数,且f(-1)=-1,f(0)=1,f(1)=2,则=().A.-2B.0C.2D.4答案:C解析:因为周期为3,所以f(23)=f(-1)=-1,f(-3)=f(0)=1,f(4)=f(1)=2所以原式=,选C.1.3.2 指数函数函数y=a x(a>0,a≠1)称为以a为底的指数函数,常用的是以无理数e为底的指数函数y=e x.函数y=a x(a>0,a≠1)的定义域是(-∞,+∞)值域是(0,﹢∞),当a>1时是单调增函数,当0<a<1时是单调减函数.图1.3.2—1给出了底数a分别取2,3,和时函数y=a x的图形.图1.3.2—1指数函数的一些基本运算规则:a x a y=a x+y,(a x)y=a xy,a xb x=(ab)x,a0=1,a-x =例5.复利问题:设银行存款的年利率是r,且按复利计算.若某人在银行存入10000元,经过10年的时间,此人最终的存款额是多少?解:经过1年的时间,存款额变成10000+10000r=10000(1+r);经过2年的时间,存款额变成10000(1+r)+10000(1+r)r=10000(1+r)2;经过3年的时间,存款额变成10000(1+r)2+10000(1+r)2r=10000(1+r)3;类似地算下去,经过10年的时间,存款额会变成10000(1+r)10.一般地,经过n年的时间,存款额会变成10000(1+r)n.1.3.3 反函数1.反函数的概念定义1.9 设f(x)是定义在D上的一一对应函数,值域为Z,若对应关系g使得对任意的y∈Z,都有唯一的x∈D 与之对应,且f(x)=y,则称g是f的反函数.反函数也记作x=g(y)=f-1(y).由单调函数的定义可以知道,在一个区间上单调(增或减)的函数必有反函数.函数的定义域和值域分别与其反函数的值域和定义域一致.判断g与f是否互为反函数,就是要判断f(g(y))=y且g(f(x))=x是否成立.习惯上将自变量用x表示,因变量用y表示.根据反函数的定义,y=f(x)与x=f-1(y)的图形是一样的,而y =f-1(x)是将x=f-1(y)中的x与y对换,由于点(x,y)与点(y,x)关于直线y=x对称,所以y=f(x)与y =f-1(x)的图形关于直线y=x对称(图1.3.3—1).图1.3.3—1例6.求下列函数的反函数:(1)y=2x+1;(2)解:(1)由y=2x+1,得x =(y-1).交换x与y的位置,得y =(x-1).由于函数y=2x+1的值域为(-∞,+∞),所以其反函数为y =(x-1),x∈(-∞,+∞).(2)有,得 .交换x与y 的位置,得 .由于函数(x>1)的值域为(0,1),所以其反函数为,x∈(0,1).2.反三角函数(1)反正弦函数:y=arcsin x,x∈[-1,1],值域为[-, ]图1.3.3—2(2)反余弦函数:y=arccos x,x∈[-1,1],值域为[0,π]图1.3.3—3(3)反正切函数:y=arctan x,x∈(-∞,+∞),值域为(-,)图1.3.3—4例7.计算,(1)arcsin;解:(2)arccos;解:(3)arctan;解:(4)tan arcsin;解:(5)sin arc cot5解:例8.已知arccos,求x的取值范围.解:令-1≢≢1,解得-1≢x≢3所以x的取值范围为[-1,3].1.3.4 对数函数:1.定义:当a>0且a≠1时,指数函数y=a x在其定义域(-∞,+∞)内是单调的,因此它是一个一一对应的函数,于是存在反函数.函数y=a x的反函数称为以a为底的对数函数,记作y=log a x,其定义域是(0,+∞),值域是(-∞,+∞).常见的对数函数:常用对数y=lg x,自然对数y=ln x当a>1时,y=log a x在定义域内是单调增加的;当0<a<1时,y=log a x在定义域内是单调减少的.2.对数的运算法则:设a,b,x,y都是大于零的实数,则log a(xy)=log a x+log a ylog a x r=r log a xlog a a=1,log a1=0例9.设银行存款的年利率是3%,且按复利计算.若某人在银行存入10000元,问经过多少年,此人的最终存款额是15000元?解:设经过x年,此人的最终存款额是15000元.由于10000×(1.03)x=15000所以x=log1.031.5≈13.71.4 函数运算1.4.1函数的四则运算定义1.10 设函数f(x),g(x)都在D上有定义,k∈R,则对它们进行四则运算的结果还是一个函数,它们的定义域不变(除法运算时除数为0的点除外),而函数值的对应定义如下:(1)加法运算(f+g)(x)=f(x)+g(x),x∈D .(2)数乘运算(kf)(x)=kf(x),x∈D.(3)乘法运算(fg)(x)=f(x)g(x),x∈D .(4)除法运算 g(x)≠0,x∈D.其中等号左端括号表示对两个函数f,g 进行运算后所得的函数,它在x处的值等于右端的值.例1. 已知f(x)=ln(1+x),g(x)=1-cosx ,求 .解因为函数f(x)=ln(1+x)的定义域为(-1,+∞),函数g(x)=1-cosx 的定义域为(-∞,+∞),且当x=2 kπ(k为整数)时,g(x)=0,所以,,x∈(-1,+∞)\{2kπ}(k为整数)1.4.2复合函数如有函数f(x)和g(x),它们的定义域分别为D f和D g,值域分别是 Z f和Z g..当Z g D f时,对于任意x∈D g,都有唯一的g(x)∈Z g D f,,从而有唯一的f(g(x))∈Z f与x∈D g对应,这样就确定了一个从D g到Z f的函数,此函数称为 f和g的复合函数,记作重点是学会函数的分解与复合。
(完整word版)高等数学讲义(一)

高等数学基础高等数学基础课程的学习内容微积分学,它是创建于十七世纪的一门数学学科,创始人是英国数学家牛顿(Newton )和德国数学家莱布尼茨(Leibniz )。
用著名学者的话来形容“微积分、或者数学分析,是人类思维的伟大成果之一。
它处于自然科学与人文科学之间的地位,使它成为高等教育的一种特别有效的工具”。
“微积分的创立,与其说是数学史上,不如说是人类历史上的一件大事。
时至今日,它对工程技术的重要性就像望远镜之于天文学,显微镜之于生物学一样。
第1讲 函数1.2 函数要知道什么是函数,需要先了解几个相关的概念。
一、常量与变量先看几个例子:圆的面积公式2πr S =自由活体的下落距离2021gt t v s += 在上述讨论的问题中,g v ,,π0是常量,t s r S ,,,是变量。
变量可以视为实属集合(不止一个元素)。
二、函数的定义定义1.1 设D 是一个非空数集。
如果有一个对应规则f ,使得对每一D x ∈,都能对应于唯一的一个数y ,则此对应规则f 称为定义在集合D 上的一个函数,并把数x 与对应的数y 之间的对应关系记为)(x f y =并称x 为该函数的自变量,y 为函数值或因变量,D 为定义域。
实数集合},)(;{D x x f y y Z ∈==称为函数f 的值域。
看看下面几个例子中哪些是函数:}6,3,1{=Xf}9,8,6,2{=Yf 是函数,且2)1(=f ,8)3(=f ,6)6(=f定义域}6,3,1{=D ,值域}8,6,2{=Z ,一般地Y Z ⊂。
}7,6,3,1{=X}9,8,6,2{=Yf 不是函数。
}6,3,1{=X}9,8,6,2{=Yf 是函数,且2)1(=f ,8)3(=f ,8)6(=f定义域}6,3,1{=D ,值域}8,2{=Z 。
}6,3,1{=X}9,8,6,2{=Yf 不是函数。
由函数定义可以得出,函数的对应规则和定义域是确定函数的两个要素,用解析法表示的函数的对应规则就是由表达式确定的,而定义域就是使表达式有意义的所有x 轴上的点。
《高等数学(一)微积分》讲义

5. 复合函数
给定函数链 f : D1 → f (D1) g : D → g(D) ⊂ D1
则复合函数为 f o g : D → f [g(D) ]
6. 初等函数 由基本初等函数经有限次四则运算与复合而成的由一个表达式表示的函
数。
4/69
二、 极限 (1.概念回顾 2、极限的求法,)
=
lim
x→π
1 cos x
sin x
-2 ⋅ 2(π
−
2 x)=
lim
x→π
1 -4 sin
cos x
x(π − 2x)
2
2
2
=
lim
x→π
1 -4 sin
x
⋅
cos
lxi→mπ(π −
2xx )=
1 -4
lim
x→π
−
sin −2
x =
−
1 8
2
2
2
13/69
注:使用洛必达法则必须判断所求的极限是分式型的未定式 ∞ 、 0 。 ∞0
例 5:
求 lim x→∞
x+5 x2 − 9
.
解:
lim
x→∞
x+5 x2 − 9
=
lim
x→∞
1 x
+
5 x2
1−
9 x2
=
1 lim( x→∞ x
+
5 x2
)
=
0
=
0.
lim(1 −
x→∞
9 x2
)
1
知识点:设a0 ≠ 0, b0 ≠ 0, m, n ∈ N ,
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高等数学基础高等数学基础课程的学习内容微积分学,它是创建于十七世纪的一门数学学科,创始人是英国数学家牛顿(Newton )和德国数学家莱布尼茨(Leibniz )。
用著名学者的话来形容“微积分、或者数学分析,是人类思维的伟大成果之一。
它处于自然科学与人文科学之间的地位,使它成为高等教育的一种特别有效的工具”。
“微积分的创立,与其说是数学史上,不如说是人类历史上的一件大事。
时至今日,它对工程技术的重要性就像望远镜之于天文学,显微镜之于生物学一样。
第1讲 函数1.2 函数要知道什么是函数,需要先了解几个相关的概念。
一、常量与变量先看几个例子:圆的面积公式2πr S =自由活体的下落距离2021gt t v s += 在上述讨论的问题中,g v ,,π0是常量,t s r S ,,,是变量。
变量可以视为实属集合(不止一个元素)。
二、函数的定义定义1.1 设D 是一个非空数集。
如果有一个对应规则f ,使得对每一D x ∈,都能对应于唯一的一个数y ,则此对应规则f 称为定义在集合D 上的一个函数,并把数x 与对应的数y 之间的对应关系记为)(x f y =并称x 为该函数的自变量,y 为函数值或因变量,D 为定义域。
实数集合},)(;{D x x f y y Z ∈==称为函数f 的值域。
看看下面几个例子中哪些是函数:}6,3,1{=Xf}9,8,6,2{=Yf 是函数,且2)1(=f ,8)3(=f ,6)6(=f定义域}6,3,1{=D ,值域}8,6,2{=Z ,一般地Y Z ⊂。
}7,6,3,1{=X}9,8,6,2{=Yf 不是函数。
}6,3,1{=X}9,8,6,2{=Yf 是函数,且2)1(=f ,8)3(=f ,8)6(=f定义域}6,3,1{=D ,值域}8,2{=Z 。
}6,3,1{=X}9,8,6,2{=Yf 不是函数。
由函数定义可以得出,函数的对应规则和定义域是确定函数的两个要素,用解析法表示的函数的对应规则就是由表达式确定的,而定义域就是使表达式有意义的所有x 轴上的点。
例1 求函数x y -=1的定义域。
解 在实数范围内要使等式有意义,有01≥-x即fff1≤x所以函数的定义域为]1,(-∞。
例2 求函数2411x x y -+-=的定义域。
解 在实数范围内要使第一个等式有意义,有01≠-x即1≠x在实数范围内要使第二个等式有意义,有042≥-x 或 42≤x即2≤x 或 22≤≤-x所以函数的定义域为]2,1()1,2[ -。
三、函数表示法函数表示法主要有以下三种⒈解析法用数学式子表示变量之间的对应关系,这种表示函数的方法称为解析法。
例如2x y =x y sin =⎩⎨⎧>-≤+=0,10,1)(x x x x x f ⒉图形法在平面直角坐标系中满足一定条件的曲线图形,也可以确定一个函数关系,这种表示函数的方法称为图形法。
例如表示一天内温度随时间变化的函数关系。
⒊列表法在实际应用中把一系列自变量值及其相对应的函数值列成表,这种表示函数的方法称为列表法。
如对数函数表、三角函数表等等。
四、函数的几种属性⒈单调性请看下面两个图左边的图形表示,函数值随自变量的增加而增加,就称函数单调增加,数学上描述为:如果当任意的),(,21b a x x ∈且21x x <时,恒有)()(21x f x f <则称函数)(x f 在区间),(b a 内是单调上升的或单调增加的。
右边的图形表示,函数值随自变量的增加而减少,就称函数单调减少,数学上描述为:如果当任意的),(,21b a x x ∈且21x x <时,恒有)()(21x f x f >则称函数)(x f 在区间),(b a 内是单调下降的或单调减少的。
⒉奇偶性请看下面两个图左边的函数图形关于y 轴对称,就称函数是偶函数,数学上描述为:如果函数)(x f y =的定义域D 以原点为对称,且恒满足等式)()(x f x f =-,则称)(x f 是偶函数。
右边的函数图形关于原点对称,就称函数是奇函数,数学上描述为:如果函数)(x f y =的定义域D 以原点为对称,且恒满足等式)()(x f x f -=-,则称)(x f 是奇函数。
例3 判断下列函数的奇偶性: ⑴x x f =)(; ⑵)1,1(11lg )(-∈+-=x x xx f解 ⑴由绝对值的性质,对任意x 有)()(x f x x x f ==-=-由此可知)(x f 是偶函数。
⑵由对数函数的性质,对任意)1,1(-∈x 有1)11lg(11lg )(1)(1lg )(-+-=-+=-+--=-x xx x x x x f)(11lg x f x x-=+--=由此可知)(x f 是奇函数。
判断函数的奇偶性也可以利用以下结论:偶函数加减偶函数是偶函数奇函数加减奇函数是奇函数偶函数乘偶函数是偶函数奇函数乘奇函数是偶函数奇函数乘偶函数是奇函数例如,x x y sin +=是奇函数,x x y cos =也是奇函数。
1.3 初等函数要了解初等函数,首先从以下开始一、基本初等函数我们将以下几类函数称为基本初等函数,它们是⒈常数函数 R c c y ∈=常数函数的图形如下⒉幂函数 R x y ∈=αα幂函数的图形如下⒊指数函数1,0≠>=a a a y x指数函数的图形如下⒋对数函数1,0log ≠>=a a x y a对数函数的图形如下⒌三角函数正弦函数 x y sin =余弦函数 x y cos =正切函数 x y tan =余切函数 x y cot =正弦、余弦、和正切函数的图形分别是⒍反三角函数反正弦函数 x y arcsin =反余弦函数 x y arccos =反正切函数 x y arctan =反正弦、反余弦、和反正切函数的图形分别是二、函数的复合运算在介绍函数的复合运算之前,先介绍函数的四则运算:设)(x f ,)(x g 是两个函数,定义域分别为1D ,2D ,如果21D D D =不是空集,那么在D 上可以得到以下函数)()(x g x f + )()(x g x f -)()(x g x f ⋅ )(/)(x g x f这里要注意,最后一个函数)(/)(x g x f 的定义域要在D 中去掉使0)(=x g 的点。
除了函数的四则运算外,再看下面复杂一些的运算,如函数x y sin lg =可以看作由函数u y lg =和x u sin =构成的,这种构成方式就是一种新的运算。
一般地,由两个函数)(u f y =和)(x g u =构成的对应规则))((x g f y =称为f 和g 这两个函数的复合函数。
三、初等函数由基本初等函数经过有限次的四则运算或复合运算而成,能用一个解析式表示的函数称为初等函数。
函数⎩⎨⎧>+≤=0,10,sin )(x x x x x f 不是初等函数,这类函数称为分段函数。
第2讲 极限与连续微积分的主要研究对象是函数,它所使用的一个重要工具就是我们要在下面介绍的——极限。
极限的严格描述奠定了微积分的理论基础,而微积分学几乎所有的重要概念都以不同的极限形式来表示。
2.2 函数的极限一、极限的概念首先让我们看看反正切函数x y arctan =的图形当自变量x 向∞+变化时,函数值在向2π靠近。
而且x 向∞+充分接近时,函数值可以和2π任意靠近。
我们将x 向∞+充分接近说成x 趋于∞+,记为+∞→x 。
一般地,当自变量x 趋于∞+时,如果函数)(x f 的函数值和某个常数A 任意靠近,我们就称函数)(x f 当x 趋于∞+时以A 为极限(或称当x 趋于∞+时,)(x f 的极限是A )。
记为A x f x =+∞→)(lim 或 )()(+∞→→x A x f如我们在开始看到的情形就是 2πarctan lim =+∞→x x 类似可以得到B x f x =-∞→)(lim ,仍以反正切函数为例,有 2πarctan lim -=-∞→x x 再一次观察反正切函数x y arctan =的图形,当自变量x 向点0=x 变化时,函数值在向0靠近。
而且x 向点0=x 充分接近时,函数值可以和0任意靠近。
我们将x 向点0=x 充分接近说成x 趋于0,记为0→x 。
一般地,当自变量x 趋于0x 时,如果函数)(x f 的函数值和某个常数A 任意靠近,我们就称函数)(x f 当x 趋于0x 时以A 为极限(或称当x 趋于0x 时,)(x f 的极限是A )。
记为A x f x x =→)(lim 0 或 )()(0x x A x f →→这样我们就得到0arctan lim 0=→x x 极限A x f x x =→)(lim 0的直观意义可以用下面的图形说明函数在一点的极限可能存在,也可能不存在,如函数x y 1sin =当0→x 时的极限就不存在,我们也可以从图形中看出再看下面这个图形可以看出,这个函数当1→x 时没有极限,但当x 从大于1的方向趋于1时,函数值与5.2任意接近。
一般地,当自变量x 从大于0x 的方向趋于0x 时,如果函数)(x f 的函数值和某个常数A 任意靠近,就称A 为)(x f 在点0x 的右极限,记为A x f x x =+→)(lim 0类似可以给出)(x f 在点0x 的左极限,记为B x f x x =-→)(lim 0。
如此一来我们就有了以下结论 )(lim 0x f x x →存在的充分必要条件是)(lim 0x f x x +→和)(lim 0x f x x -→都存在,且)(lim )(lim 00x f x f x x x x +-→→=二、极限的运算法则为了方便地计算函数的极限,我们不加证明地给出极限的运算法则:若)(lim x f ,)(lim x g 存在,则有)(lim )(lim )]()(lim[x g x f x g x f ±=±)(lim )(lim )]()(lim[x g x f x g x f ⋅=⋅c x f c x cf )(lim )](lim[=为常数)(lim )(lim ])()(lim[x g x f x g x f = (假定0)(lim ≠x g ) 例1 求623lim 222-++-→x x x x x 。
解 观察发现本题不能直接应用极限的四则运算法则,但对表达式经适当整理后就可以应用极限的四则运算法则,)3)(2()1)(2(lim 623lim 2222+---=-++-→→x x x x x x x x x x 51)3(lim )1(lim 31lim 222=+-=+-=→→→x x x x x x x 例2 求5232lim 22-+-++∞→x x x x x 。