广东省江门市普通高中高二数学下学期3月月考试题07

下学期高二数学3月月考试题07
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ）
A. 7米/秒
B. 6米/秒
C. 5米/秒
D. 8米/秒
2.曲线34y x x =-在点（－1，－3）处的切线方程是（ ）
A . 74y x =+
B. 72y x =+
C. 4y x =-
D. 2y x =- 3．设函数x xe x f =)(，则（ ）
A ．1=x 为)(x f 的极大值点
B ．1=x 为)(x f 的极小值点
C ．1-=x 为)(x f 的极大值点
D ．1-=x 为)(x f 的极小值点
4．下列求导运算正确的是（ ） A. 2/31)3(x x x +=+ B ．2ln 1)(log /2x x =
C ．e x x 3/log 3)3(=
D ．x x x x sin 2)cos (/2-=
5. 已知()f x =3x ·sin x ，则(1)f '=（ ）
A .
31+ cos1 B. 31sin1+cos1 C. 3
1sin1-cos1 D.sin1+cos1 6．函数13)(3+-=x x x f 在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是（ ） A. 1，－1 B. 3，-17 C. 1，－17 D. 9，－19
7.已知函数)()(),,()(x f x f x f 为的定义域为'+∞-∞的导函数，
函数)(x f y '=的图象如右图所示，且1)3(,1)2(==-f f ，
则不等式1)6(2>-x f 的解集为（ ）
A ．)2,3()3,2(--⋃
B ．)2,2(-
C ．)3,2(
D ．),2()2,(+∞⋃--∞
8.已知函数)(x f y =的导函数)(x f y '=的图像如下，则（ ）
A ．函数)(x f 有1个极大值点，1个极小值点
B ．函数)(x f 有2个极大值点，2个极小值点
C ．函数)(x f 有3个极大值点，1个极小值点
x
y 1x x 4 O 2x 3x • • • •
D ．函数)(x f 有1个极大值点，3个极小值点
9．()f x 在定义域内可导，()y f x =的图象如图1所示，则导函数()y f x '=可能为（ ）
10.设)(
),(x g x f 分别是
定义在R 上的
奇函数和偶函
数，当0<x 时，0)()()()(//>+x g x f x g x f ，且0)3(=-g ，则0)()(<x g x f 的解集是（ ）
A. (－3，0)∪(3，+∞)
B. (－3，0)∪(0，3)
C. (－∞，－3)∪(3，+∞)
D. (－∞，－3)∪(0，3)
11.已知函数x x x x f 2721)(23--=
，则)(2a f -与)4(f 的大小关系为（ ） A ．)4()(2f a f ≤- B ．)4()(2f a f <-
C ．)4((2f a f ≥-
D )(2
a f -与)4(f 的大小关系不确定 12.已知函数2
()f x x bx =+的图象在点(1,(1))A f 处的切线的斜率为3，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧)(1n f 的前n 项和为n S ,则2011S 的值为（ ）
A.20092008
B. 20102009
C. 20112010
D. 2012
2011 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 设曲线ax
y e =在点(01)，处的切线与直线210x y ++=垂直，则a = ．
14.若32()33(2)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则a 的取值范围是__ . 15.函数32
()26(f x x x m m =-+为常数） 在[22]-，
上有最大值3，那么此函数在[22]-， 上的最小值为_____ 16.若函数2()1
x a f x x +=+在1x =处取极值，则a = . 三.解答题：本大题共6小题，共70分.
17. (本小题满分10分) 已知曲线 3
2y x x =+- 在点 0p 处的切线 1l 平行直线A B C D
014=--y x ，且点0p 在第三象限.
（1）求0p 的坐标；
（2）若直线 1l l ⊥ , 且 l 也过切点0p ,求直线l 的方程.
18.（本小题满分12分） 已知函数x ax x x f 22
131)(23+-=，讨论()f x 的单调性.．
19．（本小题满分12分）将边长为a 的一块正方形铁皮的四角各截去一个大小相同的小正方形，然后将四边折起做成一个无盖的方盒．欲使所得的方盒有最大容积，截去的小正方形的边长应为多少？方盒的最大容积为多少？
20.(本小题满分12分)
已知a 为实数，))(4()(2a x x x f --=
（1）求导数)(x f '；
（2）若0)1(=-'f ，求)(x f 在[－2，2] 上的最大值和最小值；
（3）若)(x f 在(,2)-∞-和(2,)+∞上都是递增的，求a 的取值范围.
21.(本小题满分12分)已知函数()ln(1)f x x x =+-．
（1）求函数)(x f 的单调递减区间；
（2）若1x >-，证明：11ln(1)1
x x x -≤+≤+． 22．(本小题满分12分)若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足：()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”．已知2
()h x x =，()2eln (e x x ϕ=为自然对数的底数)．
（1）求()()()F x h x x ϕ=-的极值；
（2）函数()h x 和()x ϕ是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由．
答案
一、选择题 CDDBB BAADD AD
二.填空题
13.2 14.2a > 或1a <- 15. 37- 16. 3
三．解答题
17.解： （1）由132'+=x y =4得1=x 或1-=x
又因为点0p 在第三象限，所以1-=x ，所以4-=y
所以(-1,-4)0p ……………………………………………………5分
（2）因为1l l ⊥，所以41-
=k ,所以l 方程为：)1(41-4+=+x y 化简得4
17-41-x y =…………………………………………………10分 18.解：2a -)('2+=x x x f ，……………………………………………2分
①当08-2≤=∆a 即2222-≤≤a 时x ax x x f 22
131)(23+-= 在R 内单调递增， ②当08-2>=∆a 即22<a 或22>a 时
解0)('=x f 得28--21a a x =，2
8-22a a x +=…………………8分 函数的增区间为），（28---2a a ∞和），（∞++2
8-2a a …………………10分 减区间为,28--[2a a 2
8-2a a +]……………………………………12分 19.解：设小正方形的边长为x ，则盒底的边长为a －2x ， ∴方盒的体积2(2)((0,)),2
a V x a x x =-∈……………………………………4分 121'(2)(6),'0,,,(0,),(0,),'0,26226a a a a a V a x a x V x x x x V =--==
==∉∈>令则由且对于 (,),'0,62a a x V ∈<……………………………………10分
∴函数V 在点x ＝a 6
处取得极大值，由于问题的最大值存在， ∴V (a 6)＝2a 327即为容积的最大值，此时小正方形的边长为a 6
．…………………12分 20.解：⑴由原式得,44)(23a x ax x x f +--=∴.423)(2--='ax x x f ……………3分
⑵由0)1(=-'f 得21=
a ,此时有43)(),2
1)(4()(22--='--=x x x f x x x f . 由0)(='x f 得34=x 或x=-1 , 又,0)2(,0)2(,2
9)1(,2750)34(==-=--=f f f f 所以f(x)在[－2,2]上的最大值为,29最小值为.2750-…………………8分 ⑶解法一:423)(2--='ax x x f 的图象为开口向上且过点(0,－4)的抛物线,由条件得 ,0)2(,0)2(≥'≥-'f f
即{480840a a +≥-≥ ∴－2≤a≤2.
所以a 的取值范围为[－2,2]. ……………………………………12分
解法二:令0)(='x f 即,04232=--ax x 由求根公式得: 1,2
12)x x x =< 所以.423)(2--='ax x x f 在(]1,x ∞-和[)+∞,2x 上非负. 由题意可知,当2x -或2x 时, )(x f '≥0,
从而12x -, 22x , 即⎩⎨⎧+≤+-≤+612.
61222a a a a 解不等式组得－2≤a ≤2. ∴a 的取值范围是[2,2]-.
21.解：⑴函数f (x )的定义域为(1,)-+∞．()f x '＝
11x +－1＝－1
x x +. 由()f x '<0及x >－1，得x >0．
∴ 当x ∈（0，＋∞）时，f (x )是减函数，即f (x )的单调递减区间为（0，＋∞）．… 4分 ⑵证明：由⑴知，当x ∈（－1，0）时，()f x '＞0，当x ∈（0，＋∞）时，()f x '＜0， 因此，当1x >-时，()f x ≤(0)f ，即ln(1)x x +-≤0∴ ln(1)x x +≤． 令1()ln(1)11
g x x x =++
-+，则211()1(1)g x x x '=-++＝2(1)x x +．……………8分 ∴ 当x ∈（－1，0）时，()g x '＜0，当x ∈（0，＋∞）时，()g x '＞0．
∴ 当1x >-时，()g x ≥(0)g ，即 1ln(1)11x x ++-+≥0，∴ 1ln(1)11
x x +≥-+． 综上可知，当1x >-时，有11ln(1)1x x x -≤+≤+．……………………………………12分 22.解(1) ()()()F x h x x ϕ=-=22eln (0)x x x ->，
2e 2(()2x x F x x x x +'∴=-
=．
当x =()0F x '=．
当0x <<()0F x '<，此时函数()F x 递减；
当x >
()0F x '>，此时函数()F x 递增；
∴当x =()F x 取极小值，其极小值为0． …………………………………6分
(2)解法一：由（1）可知函数)(x h 和)(x ϕ的图象在x =)(x h 和)(x ϕ的隔离直线，则该直线过这个公共点．
设隔离直线的斜率为k ，则直线方程为e (y k x -=-，即e y kx =+-．
由()e R)h x kx x ≥+-∈，可得2e 0x kx --+≥当R x ∈时恒成立．
2(k ∆=-，
∴由0≤∆，得k =
下面证明()e x φ≤-当0>x 时恒成立．
令()()e G x x ϕ=-+2eln e x =-+，则
2e
()G x x '=
-=
当x =()0G x '=．
当0x <<时，()0G x '>，此时函数()G x 递增；
当x >
()0G x '<，此时函数()G x 递减；
∴当x =()G x 取极大值，其极大值为0．
从而()2e ln e 0G x x =-+≤，即()e(0)x x φ≤->恒成立．
∴函数()h x 和()x ϕ存在唯一的隔离直线e y =-．……………12分
解法二： 由(1)可知当0x >时，()()h x x ϕ≥ (当且仅当x =) ．
若存在()h x 和()x ϕ的隔离直线，则存在实常数k 和b ，使得 ()()h x kx b x R ≥+∈和()(0)x kx b x ϕ≤+>恒成立，
令x =e b ≥且e b ≤
e b ∴=，即e b =-。