{3套试卷汇总}2019年上海市徐汇区九年级上学期数学期末学业水平测试试题

九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．一个几何体由大小相同的小方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则从正面看到几何体的形状图是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】试题分析：根据所给出的图形和数字可得：主视图有3列，每列小正方形数目分别为3，2，3， 则符合题意的是D ； 故选D ．
考点：1．由三视图判断几何体；2．作图-三视图．
2．中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为4400000000，这个数用科学记数法表示（ ） A ．44410⨯ B ．84.410⨯
C ．94.410⨯
D ．104.410⨯
【答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．
【详解】解：将4400000000用科学记数法表示为4.4×109. 故选C. 【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．
3．已知二次函数242y x x =-+，关于该函数在﹣1≤x ≤3的取值范围内，下列说法正确的是（ ） A ．有最大值﹣1，有最小值﹣2 B ．有最大值0，有最小值﹣1 C ．有最大值7，有最小值﹣1 D ．有最大值7，有最小值﹣2
【答案】D
【分析】把函数解析式整理成顶点式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答．
【详解】解：∵y ＝x 2−4x ＋2＝（x−2）2−2，
∴在−1≤x≤3的取值范围内，当x ＝2时，有最小值−2， 当x ＝−1时，有最大值为y ＝9−2＝1． 故选D ． 【点睛】
本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式转化为顶点式是解题的关键． 4．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，
1
3
AD AB =，BC =12，则DE 的长是（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
【答案】B
【解析】试题解析：在△ABC 中，DE ∥BC ，
.ADE ABC ∴∽
1
.3
DE AD BC AB ∴
== 12.BC = 4.DE ∴=
故选B.
5．在平面直角坐标系xOy 中，经过点（sin45°，cos30°）的直线，与以原点为圆心，2为半径的圆的位置关系是（ ） A ．相交 B ．相切
C ．相离
D ．以上三者都有可能
【答案】A
【解析】试题分析：本题考查了直线和圆的位置关系，用到的知识点有特殊角的锐角三角函数值、勾股定理的运用，判定点A 和圆的位置关系是解题关键．设直线经过的点为A ，若点A 在圆内则直线和圆一定相交；若点在圆上或圆外则直线和圆有可能相交或相切或相离，所以先要计算OA 的长和半径2比较大小再做选择．
设直线经过的点为A ，
∵点A 的坐标为（sin45°，cos30°）， ∴2223(
)()22
+5
， ∵圆的半径为2，
∴OA ＜2， ∴点A 在圆内， ∴直线和圆一定相交. 故选A ．
考点：1.直线与圆的位置关系；2.坐标与图形性质；3.特殊角的三角函数值． 6．抛物线2y 3(x 1)1=-+的顶点坐标是( ) A ．()1,1 B ．()1,1-
C ．()1,1--
D ．()1,1-
【答案】A
【分析】已知抛物线顶点式y=a （x ﹣h ）2+k ，顶点坐标是（h ，k ）． 【详解】∵抛物线y=3（x ﹣1）2+1是顶点式，∴顶点坐标是（1，1）． 故选A ． 【点睛】
本题考查了由抛物线的顶点式写出抛物线顶点的坐标，比较容易．
7．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－2x －1＝0的两根，则x 1＋x 2－x 1·x 2的值是（ ） A ．1 B ．3
C ．－1
D ．－3
【答案】B
【分析】直接根据根与系数的关系求解． 【详解】由题意知：122x x +=，12-1x x ⋅=， ∴原式＝2－（－1）＝3 故选B ． 【点睛】
本题考查了一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x 1，x 2，则12b
x x a
+=-，12c x x a
⋅=
． 8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知正比例函数11y k x =的图象与反比例函数2
2k y x
=
的图象交于(4,2)A --，(4,2)B 两点，当12y y >时，自变量x 的取值范围是( )
A ．4x >
B ．40x -<<
C ．4x <-或04x <<
D ．40x -<<或4x >
【答案】D
【解析】显然当y 1＞y 2时，正比例函数的图象在反比例函数图象的上方，结合图形可直接得出结论． 【详解】∵正比例函数y 1=k 1x 的图象与反比例函数2
2k y x
=
的图象交于A （-1，-2），B （1，2）点， ∴当y 1＞y 2时，自变量x 的取值范围是-1＜x ＜0或x ＞1． 故选：D ． 【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，数形结合的思想是解题的关键．
9．如图，活动课小明利用一个锐角是30°的三角板测量一棵树的高度，已知他与树之间的水平距离BE 为9m ，AB 为1.5m （即小明的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（ ）
A ．3
B ．3m
C ．3332⎛
⎫ ⎪⎝⎭
m D ．332⎛⎫ ⎪⎝⎭
m 【答案】C
【分析】先根据题意得出AD 的长，在Rt ACD 中利用锐角三角函数的定义求出CD 的长，由CE =CD+DE 即可得出结论．
【详解】∵AB ⊥BE ，DE ⊥BE ，AD ∥BE ， ∴四边形ABED 是矩形， ∵BE =9m ，AB =1.5m ， ∴AD =BE =9m ，DE =AB =1.5m ， 在Rt ACD 中， ∵∠CAD =30°，AD =9m ， ∴3
30933CD AD tan =︒==，
∴33 1.5CE CD DE =+=(m ) ． 故选：C ． 【点睛】
本题考查的是解直角三角形在实际生活中的应用，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键． 10．如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，AE EF ⊥，则下列结论正确的有( )
①30BAE ∠= ②2CE AB CF = ③1
3
CF CD =
④ABE ∆∽AEF ∆
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】B
【分析】由题中条件可得△CEF ∽△BAE ，进而得出对应线段成比例，进而又可得出△ABE ∽△AEF ，即可得出题中结论．
【详解】∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠B=∠C=90°，AB=BC=CD ， ∵AE ⊥EF ， ∴∠AEF=∠B=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+FEC=90°， ∴∠BAE=∠CEF ， ∴△BAE ∽△CEF ， ∴
CE CF AB BE
∵E 是BC 的中点， ∴BE=CE
∴CE 2=AB•CF ，∴②正确；
∵BE=CE=
1
2BC ， ∴CF=1
2BE=14
CD ，故③错误；
∵1
tan 2
BE BAE AB ∠=
= ∴∠BAE≠30°，故①错误；
设CF=a ，则BE=CE=2a ，AB=CD=AD=4a ，DF=3a ， ∴5，5，AF=5a ， ∴
252525
5AE a BE AF EF a
====
∴
AE BE
AF EF
= ∴△ABE ∽△AEF ，故④正确．
∴②与④正确．
∴正确结论的个数有2个． 故选：B ． 【点睛】
此题考查了相似三角形的判定与性质，以及正方形的性质．题目综合性较强，注意数形结合思想的应用． 11．如图，抛物线22y x x =+与直线1
12
y x =
+交于A ，B 两点，与直线2x =交于点D ，将抛物线沿着射线AB 方向平移25个单位．在整个平移过程中，点D 经过的路程为（ ）
A ．
121
16
B ．
738
C ．
152
D ．6
【答案】B
【分析】根据题意抛物线沿着射线AB 方向平移25A 向右平移4个单位，向上平移2个单位，可得平移后的顶点坐标．设向右平移a 个单位，则向上平移1
2
a 个单位，抛物线的解析式为y=(x+1-a) ²-1+
12a ，令x=2,y=(a-114)²+7
16
,由0≤a≤4,推出y 的最大值和最小值,根据点D 的纵坐标的变化情形，即可解决问题．
【详解】解：由题意，抛物线沿着射线AB 方向平移5A 向右平移4个单位，向上平移2个单位，
∵抛物线2
2y x x =+=(x+1) ²-1的顶点坐标为(-1,-1),设抛物线向右平移a 个单位，则向上平移1
2
a 个单位， 抛物线的解析式为y=(x+1-a) ²-1+12
a 令x=2,y=(3-a) ²-1+12
a, ∴y=(a-114)²+716
, ∵0≤a≤4
∴y 的最大值为8，最小值为7
16
， ∵a=4时，y=2，
∴8-2+2(2-716)=738
故选：B 【点睛】
本题考查的是抛物线上的点在抛物线平移时经过的路程问题，解决问题的关键是在平移过程中点D 的移动规律．
12．常胜村2017年的人均收入为12000元，2019年的人均收入为15000元，求人均收入的年增长率．若设人均收入的年增长率为x ，根据题意列方程为（ ） A ．(
)2
12000115000x
+=
B ．()120001215000x +=
C ．()2
150********x -= D ．()2
12000115000x +=
【答案】D
【分析】根据“每年的人均收入=上一年的人均收入⨯（1+年增长率）”即可得． 【详解】由题意得：2018年的人均收入为12000(1)x +元 2019年的人均收入为212000(1)(1)12000(1)x x x ++=+元 则2
12000(1)15000x += 故选：D ． 【点睛】
本题考查了列一元二次方程，理解题意，正确找出等式关系是解题关键． 二、填空题（本题包括8个小题）
13．从一副扑克牌中取出两张红桃和两张黑桃，将这四张扑克牌洗匀后背面朝上，从中随机摸出两张牌，那么摸到两张都是红牌的概率是__________． 【答案】
1
6
【分析】根据题意列出所有等可能的结果数，然后根据概率公式求解. 【详解】所有情况数：红桃1，红桃2 红桃1，黑桃1 红桃1，黑桃2 红桃2，黑桃1 红桃2，黑桃2 黑桃1，黑桃2
共有6种等可能的情况，其中符合的有1种，所以概率为16
【点睛】
本题主要考查概率的求法.
14．如图，利用我们现在已经学过的圆和锐角三角函数的知识可知，半径 r 和圆心角θ及其所对的弦长 l 之间的关系为2sin
2
l r θ
=，从而sin
2
θ
=
2l
r
，综合上述材料当1sin 23θ=时，sin θ=______．
【答案】
42
9
【分析】如图所示，∠AOB=θ，OA=r ，AB=l ，∠AOC=∠BOC=2θ
，根据1sin 223
l r θ==，设AB=l=2a ，
OA =r=3a ，根据等量代换得出∠BOC=∠BAE=
2
θ
，求出BE ，利用勾股定理求出AE ，即可表达出sin sin AE
AOE OA
θ=∠=
，代入计算即可． 【详解】解：如图所示，∠AOB=θ，OA=r ，AB=l ，∠AOC=∠BOC=2
θ， ∵AO=BO ， ∴OC ⊥AB ， ∴1sin
2
23
l r θ
=
=， ∴设AB=l=2a ，OA =r=3a ， 过点A 作AE ⊥OB 于点E ，
∵∠B+∠BOC=90°，∠B+∠BAE=90°，
∴∠BOC=∠BAE=2
θ， ∴1sin 23BE AB θ=
=，即123BE a =，解得：2
3
BE a =， 由勾股定理得：222
3
AE AB BE a =
-=
， ∴42
423sin sin 3a AE AOE OA a θ=∠===
，
故答案为：
429
．
【点睛】
本题考查了垂径定理以及锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握垂径定理的内容，作出辅助线，求出AE 的值．
15．2x =是方程230ax bx +-=的解，则21a b +-的值__________． 【答案】
12
【分析】先根据2x =是方程230ax bx +-=的解求出3
22
a b +=的值，再进行计算即可得到答案． 【详解】解：∵2x =是方程230ax bx +-=的解， ∴4230a b +-=， ∴2(2)3a b +=，
∴322a b +=， ∴31
21122
a b +-=-=，
故答案为：12
． 【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的解，解题时，逆用一元二次方程的定义易得出所求式子的值，在解题时要重视解题思路的逆向分析．
16．如图，两个半径相等的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，半径AE 、CF 交于点G ，半径BE 、CD 交于点H ，且点C 是弧AB 的中点，若扇形的半径为2，则图中阴影部分的面积等于_____．
【答案】π﹣1
【分析】根据扇形的面积公式求出面积，再过点C 作CM ⊥AE ，作CN ⊥BE ，垂足分别为M 、N ，然后证明△CMG 与△CNH 全等，从而得到中间空白区域的面积等于以1为对角线的正方形的面积，从而得出阴影部分的面积．
【详解】两扇形的面积和为：
()
2
2902
360
π
π
⨯
=，
过点C作CM⊥AE，作CN⊥BE，垂足分别为M、N，如图，
则四边形EMCN是矩形，
∵点C是AB的中点，
∴EC平分∠AEB，
∴CM=CN，
∴矩形EMCN是正方形，
∵∠MCG+∠FCN=90°，∠NCH+∠FCN=90°，
∴∠MCG=∠NCH，
在△CMG与△CNH中，
90
MCG NCH
CM CN
CMG CNH
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠=︒
⎩
，
∴△CMG≌△CNH(ASA)，
∴中间空白区域面积相当于对角线是2的正方形面积，
∴空白区域的面积为：
1
221
2
⨯⨯=，
∴图中阴影部分的面积=两个扇形面积和﹣1个空白区域面积的和2
π
=﹣．
故答案为：π﹣1．
【点睛】
本题主要考查了扇形的面积求法，三角形的面积的计算，全等三角形的判定和性质，得出四边形EMCN的面积是解决问题的关键．
17．如图，△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，点C在AB'上，点C的对应点C′在BC的延长线上，若∠BAC'＝80°，则∠B＝______度．
【答案】1
【分析】根据旋转的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：∵△ABC 绕点A 逆时针旋转得到△AB′C′，
∴∠C′AB′＝∠CAB ，AC′＝AC ，
∵∠BAC'＝80°，
∴∠C′AB′＝∠CAB ＝12∠C′AB ＝40°， ∴∠ACC′＝70°，
∴∠B ＝∠ACC′﹣∠CAB ＝1°，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，正确的识别图形是解题的关键． 18．钟表的轴心到分钟针端的长为5,cm 那么经过40分钟，分针针端转过的弧长是_________________cm .
【答案】203
π 【分析】钟表的分针经过40分钟转过的角度是240︒，即圆心角是240︒，半径是5cm ，弧长公式是180
n r l π=，代入就可以求出弧长． 【详解】解：圆心角的度数是：4036024060︒⨯
=︒， 弧长是2405201803
cm ππ⋅=． 【点睛】
本题考查了求弧长，正确记忆弧长公式，掌握钟面角是解题的关键．
三、解答题（本题包括8个小题）
19．在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，BD ：DC ＝2：1，BC ＝7.8cm ，求点D 到AB 的距离．
【答案】2.6cm
【分析】先要过D 作出垂线段DE ，根据角平分线的性质求出CD ＝DE ，再根据已知即可求得D 到AB 的距离的大小．
【详解】解：过点D 作DE ⊥AB 于E ．
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC
∴CD＝DE
又BD：DC＝2：1，BC＝7.8cm
∴DC＝7.8÷（2+1）＝7.8÷3＝2.6cm．
∴DE＝DC＝2.6cm．
∴点D到AB的距离为2.6cm．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质定理,属于简单题,正确作出辅助线是解题关键.
20．某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元．设每件玩具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．
（2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？
（3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？
【答案】（1）y＝﹣10x2+130x+2300，0＜x≤10且x为正整数；（2）每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元；（3）每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元.
【分析】（1）根据题意知一件玩具的利润为（30+x-20）元，月销售量为（230-10x），然后根据月销售利润=一件玩具的利润×月销售量即可求出函数关系式．
（2）把y=2520时代入y=-10x2+130x+2300中，求出x的值即可．
（3）把y=-10x2+130x+2300化成顶点式，求得当x=6.5时，y有最大值，再根据0＜x≤10且x为正整数，分别计算出当x=6和x=7时y的值即可．
【详解】（1）根据题意得：
y＝（30+x﹣20）（230﹣10x）＝﹣10x2+130x+2300，
自变量x的取值范围是：0＜x≤10且x为正整数；
（2）当y＝2520时，得﹣10x2+130x+2300＝2520，
解得x1＝2，x2＝11（不合题意，舍去）
当x＝2时，30+x＝32（元）
答：每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元．
（3）根据题意得：
y＝﹣10x2+130x+2300
＝﹣10（x﹣6.5）2+2722.5，
∵a＝﹣10＜0，
∴当x＝6.5时，y有最大值为2722.5，
∵0＜x≤10且x为正整数，
∴当x＝6时，30+x＝36，y＝2720（元），
当x＝7时，30+x＝37，y＝2720（元），
答：每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2720元．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键是分析题意，找到关键描述语，求出函数的解析式，用到的知识点是二次函数的性质和解一元二次方程．
21．某校组织学生参加“安全知识竞赛”（满分为30分），测试结束后，张老师从七年级720名学生中随机地抽取部分学生的成绩绘制了条形统计图，如图12所示．试根据统计图提供的信息，回答下列问题：
（1）张老师抽取的这部分学生中，共有名男生，名女生；
（2）张老师抽取的这部分学生中，女生成绩
．．．．的众数是；
（3）若将不低于27分的成绩定为优秀，请估计七年级720名学生中成绩为优秀的学生人数大约是多少. 【答案】（1）40，40（2）27；（3）396（人）
【解析】（1）根据条形统计图将男生人数和女生人数分别加起来即可
（2）众数：一组数据中出现次数最多的数值，叫众数
（3）先计算所抽取的80中优秀的人数有14+13+5+7+2+1+1+1=44人，故七年级720名学生中成绩为优秀
的学生人数大约是
27123244 720720396
8080
+++
⨯=⨯=（人）
【详解】解：（1）男生人数：1+2+2+4+9+14+5+2+1=40（人）
女生人数：1+1+2+3+11+13+7+1+1=40（人）
（2）根据条形统计图，分数为27时女生人数达到最大，故众数为27
（3）271232447207203968080
+++⨯
=⨯=（人） 【点睛】 本题考查了条形统计图，数据的分析，用样本估计总体，解题的关键是读懂统计图表，获取每项的准确数值.
22．已知关于x 的一元二次方程x 2+(2m+3)x+m 2＝1有两根α，β
(1)求m 的取值范围；
(2)若α+β+αβ＝1．求m 的值．
【答案】 (1)m ≥﹣；(2)m 的值为2．
【解析】（1）根据方程有两个相等的实数根可知△＞1，求出m 的取值范围即可；
（2）根据根与系数的关系得出α+β与αβ的值，代入代数式进行计算即可．
【详解】(1)由题意知，(2m+2)2﹣4×1×m 2≥1，
解得：m ≥﹣；
(2)由根与系数的关系得：α+β＝﹣(2m+2)，αβ＝m 2，
∵α+β+αβ＝1，
∴﹣(2m+2)+m 2＝1，
解得：m 1＝﹣1，m 1＝2，
由(1)知m ≥﹣，
所以m 1＝﹣1应舍去，
m 的值为2．
【点睛】
本题考查的是根与系数的关系，熟知x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c ＝1（a ≠1）的两根时，x 1+x 2＝﹣，x 1x 2＝是解答此题的关键．
23．如图，正方形ABCD 、等腰Rt BPQ ∆的顶点P 在对角线AC 上(点P 与A 、C 不重合)，QP 与BC 交于E ，QP 延长线与AD 交于点F ，连接CQ .
(1)求证：AP CQ =.
(2)求证：2PA AF AD =⋅
(3)若:1:3AP PC =，求tan CBQ ∠的值.
【答案】 (1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)1tan 3
CBQ ∠=. 【分析】（1）证出∠ABP=∠CBQ ，由SAS 证明△ABP ≌△CBQ 可得结论；
（2）根据正方形的性质和全等三角形的性质得到45CAB PAF ∠=∠=︒，∠APF=∠ABP ，可证明△APF ∽△ABP ，再根据相似三角形的性质即可求解；
（3）根据全等三角形的性质得到∠BCQ=∠BAC=45°，可得∠PCQ=90°，根据三角函数和已知条件得到1tan 3
QC AP CPQ PC PC ∠===，由（2）可得APF ABP ∠=∠，等量代换可得∠CBQ=∠CPQ 即可求解． 【详解】(1)∵ABCD 是正方形，
∴AB CB =，90ABC ∠=︒，
∵Rt BPQ ∆是等腰三角形，
∴PB QB =，90PBQ ∠=︒，
∴90ABP CBQ PBC ∠=∠=︒-∠，
∴ABP CBQ ∆≅∆，
∴AP CQ =；
(2)∵ABCD 是正方形，
∴45CAB PAF ∠=∠=︒，AD AB BC CD ===，
∵Rt BPQ ∆是等腰三角形，
∴45QPB ∠=︒，
∵180********FPA QPB APB APB APB ∠=︒-∠-∠=︒-︒-∠=︒-∠，
∵180ABP PAB APB ∠+∠+∠=︒，
∴18018045ABP PAB APB APB ∠=︒-∠-∠=︒-︒-∠，
∴ABP FPA ∠=∠，
∴AFP APB ∆∆，
∴::AF AP AP AB =，
∴2AP AF AB =⋅，
2AP AF AD =⋅；
(3)由(1)得CQ AP =，ABP CBQ ∠=∠，45PAB BCQ ∠=∠=︒，
∴90QCP ∠=︒，
由(2)APF ABP ∠=∠，
∴APF CBQ ∠=∠，
∵APF CPQ ∠=∠，
∴CPQ CBQ ∠=∠，
在Rt PCQ ∆中， 1tan 3QC AP CPQ PC PC ∠=
==， ∴1tan 3CBQ ∠= 【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度．
24．小明、小林是景山中学九年级的同班同学，在六月份举行的招生考试中，他俩都被亭湖高级中学录取，并将被编入A 、B 、C 三个班，他俩希望编班时分在不同班．
（1）请你用画树状图法或列举法，列出所有可能的结果；
（2）求两人不在同班的概率． 【答案】（1）9种结果，见解析；（2）P=23
【分析】（1）小明有3种分班情况，小林有3种分班情况，共有9种结果；
（2）根据（1）即可列式求出两人不在同班的概率．
【详解】（1）树状图如下：
所有可能的结果共有9种.
（2）两人不在同班的有6种，
∴P （两人不在同班）=
69=23
. 【点睛】
此题考查求事件的概率，熟记概率的公式，正确代入求值即可.
25．全面两孩政策实施后，甲，乙两个家庭有了各自的规划.假定生男生女的概率相同，回答下列问题： （1）甲家庭已有一个男孩，准备再生一个孩子，则第二个孩子是女孩的概率是 ；
（2）乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，求至少有一个孩子是女孩的概率.
【答案】（1）1
2
；（2）
3
4
【解析】（1）根据可能性只有男孩或女孩，直接得到其概率；
（2）列出所有的可能性，然后确定至少有一个女孩的可能性，然后可求概率.
【详解】解：（1）（1）第二个孩子是女孩的概率=1
2
；
故答案为1
2
；
（2）画树状图为：
共有4种等可能的结果数，其中至少有一个孩子是女孩的结果数为3，
所以至少有一个孩子是女孩的概率=3 4 .
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A 或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
26．某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的售价每提高0.5元，其销售量就减少10件，问：
①应将每件售价定为多少元，才能使每天的利润为640元？
②店主想要每天获得最大利润，请你帮助店主确定商品售价并指出每天的最大利润W为多少元？
【答案】①应将每件售价定为12元或1元时，能使每天利润为640元；②当售价定为14元时，获得最大利润；最大利润为720元．
【分析】①根据等量关系“利润＝（售价﹣进价）×销量”列出函数关系式．
②根据①中的函数关系式求得利润最大值．
【详解】①设每件售价定为x元时，才能使每天利润为640元，
（x﹣8）[200﹣20（x﹣10）]＝640，
解得：x1＝12，x2＝1．
答：应将每件售价定为12元或1元时，能使每天利润为640元．
②设利润为y：
则y＝（x﹣8）[200﹣20（x﹣10）]
＝﹣20x2+560x﹣3200
＝﹣20（x﹣14）2+720，
∴当售价定为14元时，获得最大利润；最大利润为720元．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用，根据已知得出二次函数的最值是中考中考查重点，同学们应重点掌握．
27．如图，已知矩形ABCD．在线段AD 上作一点P，使∠DPC ＝∠BPC ．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
【答案】详见解析
【分析】以C为圆心，CD为半径画弧，以BC为直径画弧，两弧交于点M，连接BM并延长交AD于
∠=∠．
点P，利用全等三角形和角平分线的判定和性质可得DPC BPC
【详解】解：如图，即为所作图形：∠DPC ＝∠BPC.
【点睛】
本题是作图—复杂作图，作线段垂直平分线，涉及到角平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，难度中等.
九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三个点，如果∠AOB =140°，那么∠ACB 的度数为（ ）
A ．55︒
B ．70︒
C ．110︒
D ．140︒
【答案】C 【分析】在弧AB 上取一点D ，连接AD,BD ，利用圆周角定理可知12ADB AOB ∠=
∠,再利用圆内接四边形的性质即可求出∠ACB 的度数. 【详解】
如图，在弧AB 上取一点D ，连接AD,BD ，
则111407022
ADB AOB ∠=∠=⨯︒=︒ ∴180********ACB ADB ∠=︒-∠=︒-︒=︒
故选C
【点睛】
本题主要考查圆周角定理及圆内接四边形的性质，掌握圆周角定理及圆内接四边形的性质是解题的关键. 2．下列说法正确的是（ ）
A ．袋中有形状、大小、质地完全一样的5个红球和1个白球，从中随机抽出一个球，一定是红球
B ．天气预报“明天降水概率10%”，是指明天有10%的时间会下雨
C ．某地发行一种福利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票1000张，一定会中奖
D ．连续掷一枚均匀硬币，若5次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上
【答案】D
【解析】试题分析：选项A ，袋中有形状、大小、质地完全一样的5个红球和1个白球，从中随机抽出一个球，一定是红球的概率是，本选项错误；选项B ，天气预报“明天降水概率10%”，是指明天有10%的概率会下雨，本选项错误；选项C ，某地发行一种福利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票1000
张，可能会中奖，也可能不中奖，本选项错误；选项D 、连续掷一枚均匀硬币，若5次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上，本选项正确．故答案选D ．
考点：概率的意义
3．⊙O 的半径为3，点P 到圆心O 的距离为5，点P 与⊙O 的位置关系是（ ）
A ．无法确定
B ．点P 在⊙O 外
C ．点P 在⊙O 上
D ．点P 在⊙O 内
【答案】B
【分析】根据点在圆上，则d=r ；点在圆外，d ＞r ；点在圆内，d ＜r （d 即点到圆心的距离，r 即圆的半径）．
【详解】解：∵OP=5>3，
∴点P 与⊙O 的位置关系是点在圆外．
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查了点与圆的位置关系，理解并掌握点和圆的位置关系与数量之间的等价关系是解题的关键． 4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】B 【解析】解：第一个图是轴对称图形，又是中心对称图形；
第二个图是轴对称图形，不是中心对称图形；
第三个图是轴对称图形，又是中心对称图形；
第四个图是轴对称图形，不是中心对称图形；
既是轴对称图形，又是中心对称图形的有2个．故选B ．
5．在Rt ABC ，90C ∠=，3sin 5B =
，则sin A 的值是（ ） A ．3 5
B ．4 5
C ．5 3
D ．5 4 【答案】B
【分析】根据互余两角三角函数的关系：sin 2A+sin 2B=1解答．
【详解】∵在Rt △ABC 中,∠C=90︒，
∴∠A+∠B=90︒，
∴sin 2A+sin 2B=1，sinA>0，
∵sinB=35
， ∴23
15-（）45
.
故选B.
【点睛】
本题考查互余两角三角函数的关系.
6．已知反比例函数7y x =-图像上三个点的坐标分别是()()()1232,1,2,A y B y C y -、、，能正确反映123y y y ，，的大小关系的是（ ）
A ．123y y y >>
B ．132y y y >>
C ．213y y y >>
D ．231y y y >> 【答案】B
【分析】根据反比例函数关系式，把－2、1、2代入分别求出123、、y y y ，然后比较大小即可.
【详解】将A 、B 、C 三点横坐标带入函数解析式可得12377722y y y =
=-=-，，， ∵77722
>->-， ∴132y y y >>.
故选：B.
【点睛】
本题考查反比例函数图象上点的坐标，正确利用函数表达式求点的坐标是解题关键.
7．如图，在平面直角坐标系内，四边形ABCD 为菱形，点A ，B 的坐标分别为（﹣2，0），（0，﹣1），点C ，D 分别在坐标轴上，则菱形ABCD 的周长等于（ ）
A 5
B ．3
C ．5
D ．20
【答案】C 【分析】根据题意和勾股定理可得AB 长，再根据菱形的四条边都相等，即可求出菱形的周长．
【详解】∵点A ，B 的坐标分别为（﹣2，0），（0，﹣1），
∴OA ＝2，OB ＝1，
∴2222215AB OA OB +=+=
∴菱形ABCD 的周长等于4AB ＝5
故选：C ．
【点睛】
此题主要考查了菱形的性质，勾股定理以及坐标与图形的性质，得出AB的长是解题关键．
8．在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝4
5
，则tanB等于( )
A．4
3
B．
3
4
C．3
5
D．
4
5
【答案】B
【解析】法一，依题意△ABC为直角三角形，∴∠A+∠B=90°，∴cosB=4
5
，∵22
cos sin1
B B
+=，
∴sinB=3
5,∵tanB=
sin
cos
B
B
=
3
4
故选B
法2，依题意可设a=4,b=3,则c=5，∵tanb=
3
4
b
a
故选B
9．已知三角形两边的长分别是3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的根，则这个三角形的周长等于（）A．13 B．11 C．11 或1 D．12或1
【答案】A
【分析】首先从方程x2﹣6x+8=0中，确定第三边的边长为2或4；其次考查2，3，6或4，3，6能否构成三角形，从而求出三角形的周长．
【详解】解：由方程x2-6x+8=0，
解得：x1=2或x2=4，
当第三边是2时，2+3＜6，不能构成三角形，应舍去；
当第三边是4时，三角形的周长为：4+3+6=1．
故选：A．
【点睛】
考查了三角形三边关系，求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯，不符合题意的应弃之．
10．如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是（）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【详解】连接DE并延长交AB于H，
∵CD∥AB，∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE．
∵E是AC中点，∴DE=EH．∴△DCE≌△HAE（AAS）．
∴DE=HE，DC=AH．
∵F是BD中点，∴EF是△DHB的中位线．∴EF=1
BH．
2
∴BH=AB﹣AH=AB﹣DC=2．∴EF=2．故选D．
11．数据1，3，3，4，5的众数和中位数分别为（）
A．3和3 B．3和3.5 C．4和4 D．5和3.5
【答案】A
【分析】根据众数和中位数的定义：一般来说,一组数据中,出现次数最多的数就叫这组数据的众数；把一组数据按从小到大的数序排列，在中间的一个数字（或两个数字的平均值）叫做这组数据的中位数；即可得解.
【详解】由已知，得该组数据中，众数为3，中位数为3，
故答案为A.
【点睛】
此题主要考查对众数、中位数概念的理解，熟练掌握，即可解题.
12．△ABC的外接圆圆心是该三角形（）的交点．
A．三条边垂直平分线B．三条中线
C．三条角平分线D．三条高
【答案】A
【分析】根据三角形的外接圆的概念、三角形的外心的概念和性质直接填写即可．
【详解】解：△ABC的外接圆圆心是△ABC三边垂直平分线的交点，
故选：A．
【点睛】
本题考查了三角形的外心，三角形的外接圆圆心即为三角形的外心，是三条边垂直平分线的交点，正确理解三角形外心的概念是解题的关键.
二、填空题（本题包括8个小题）
13．如图，在等腰直角三角形ABC中，90
∠=，点A在x轴上，点B的坐标为（0，3），若点C恰
BAC
好在反比例函数10y x
=第一象限的图象上，过点C 作CD x ⊥轴于点D ，那么点C 的坐标为__________．
【答案】（5,2）
【分析】由∠BAC=90°，可得△ABO ≌△CAD ，利用全等三角形的性质即可求出点C 坐标．
【详解】解：∵∠BAC=90°
∴∠BAO+∠ABO=∠BAO+∠CAD
∴∠ABO=∠CAD ，
又∵CD x ⊥轴，
∴∠CDA=90°
在△ABO 与△CAD 中，
∠ABO=∠CAD ，∠AOB=∠CDA ，AB=CA ，
∴△ABO ≌△CAD （AAS ）
∴OB=AD ，
设OA=a （0a >）
∵B （0,3）
∴AD=3，
∴点C （a+3,a ）,
∵点C 在反比例函数图象上，
∴103
a a =+， 解得：2a =或5a =-（舍去）
∴点C （5,2），
故答案为（5,2）
【点睛】
本题考查了反比例函数与等腰直角三角形相结合的题型，灵活运用几何知识及反比例函数的图象与性质是解题的关键．
142sin45°＝____________．
【答案】1．。