高考数学一轮复习 专题突破练2 理 新人教A版

专题突破练(二)
[A 级 基础达标练]
一、选择题
1．(2014·大纲全国卷)设z ＝10i 3＋i ，则z 的共轭复数z －
为( )
A ．－1＋3i
B ．－1－3i
C ．1＋3i
D ．1－3i
[解析] 由z ＝10i 3＋i ＝10i 3－i 3＋i 3－i ＝1＋3i ，得z －
＝1－3i.
[答案] D
2．已知向量a ，b 的夹角为π
3，且(2a －b )⊥a ，若|b |＝8，则|a |＝( )
A ．4
B ．2
C ．2 3
D. 3
[解析] 由(2a －b )⊥a ，得a ·(2a －b )＝0， 又〈a ，b 〉＝π
3
，且|b |＝8，
∴2|a |2
＝a·b ＝|a |·8cos π3，则|a |＝2.
[答案] B
3．函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝
⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象向右平移π6个单位后关于y 轴对称，则函数f (x )在⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )
A ．－ 3
B ．－1 C. 3
D ．1
[解析] f (x )的图象向右平移π6个单位，得y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－π3的图象，依题意，y
＝2sin2x ＋φ－π
3
为偶函数，
∴φ－π3＝k π＋π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2，k ∈Z ，则φ＝－π6， 从而f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6.
又0≤x ≤π2，－π6≤2x －π6≤5
6
π.
所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最小值为2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12＝－1.
[答案] B
4．(2013·课标全国卷Ⅰ)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2
A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )
A ．10
B ．9
C ．8
D ．5
[解析] 由23cos 2A ＋cos 2A ＝0得23cos 2A ＋2cos 2
A －1＝0，解得cos A ＝±15.
∵A 是锐角，∴cos A ＝1
5
.
又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴49＝b 2
＋ 36－2×b ×6×15，
∴b ＝5或b ＝－13
5(舍去)，∴b ＝5.
[答案] D
5．△DEF 的外接圆的圆心为O ，半径R ＝4，如果OD →＋DE →＋DF →＝0，且|OD →|＝|DF →
|，则向量FE →在FD →
方向上的投影为( )
A ．2 3
B ．6
C ．－2 3
D ．－6
[解析] 如图所示，由OD →＋DE →＋DF →＝0得DE →＋DF →＝DO →
，
∴四边形DEOF 为平行四边形，
又|OD →|＝|DF →
|＝4，知△ODF 为等边三角形， 在△DEF 中，易知∠EDF ＝120°，∠EFD ＝30°， 由正弦定理，得EF sin 120°＝DE
sin 30°，
∴EF ＝4sin 120°sin 30°
＝4 3.
故FE →在FD →方向上的投影为|FE →
|cos 30°＝6. [答案] B 二、填空题
6．(2015·潍坊模拟)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)的图象与y 轴交于P ，与x 轴的相邻两个交点记为A ，B ，若△PAB 的面积等于π，则ω＝________.
[解析] 令x ＝0，得y ＝1，即点P (0,1)， 又S △PAB ＝1
2·|AB |·|OP |＝π，|AB |＝2π，
∴f (x )的周期T ＝2|AB |＝4π， ∴ω＝2πT ＝12.
[答案] 1
2
7．在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin A －c sin C ＝(2a －b )sin
B ，则角
C 的值是________．
[解析] ∵a sin A －c sin C ＝(2a －b )sin B ， 由正弦定理，得a 2
－c 2
＝(2a －b )·b ， ∴a 2
＋b 2
－c 2
＝2ab .
根据余弦定理，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22
，
又0<C <π，故C ＝π
4.
[答案]
π4
8．函数y ＝tan ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π2(0<x <π)的图象如图2­1所示，点B 为图象与x 轴的交点，过
点B 的直线l 与函数的图象交于点E ，F ，设点O 为坐标原点，则(OE →＋OF →)·OB →
＝________.
图2­1
[解析] 由y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2(0<x <π)图象知，点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，
且函数的图象关于点B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，0对称． ∴点B 为线段EF 的中点，则OE →＋OF →＝2OB →
， 因此(OE →＋OF →)·OB →＝2·OB →2＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫π22＝π2
2.
[答案] π
2
2
三、解答题
9．已知函数f (x )＝3a sin x ＋b cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12，⎝ ⎛⎭
⎪⎫7π6，0.
(1)求实数a ，b 的值；
(2)求函数f (2x )的周期及单调增区间．
[解] (1)∵函数f (x )＝3a sin x ＋b cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12，⎝ ⎛⎭
⎪⎫7π6，0，
∴3×
32a ＋b ＝12，且－32a －3
2
b ＝0. 解得：a ＝1，b ＝－1.
(2)由(1)知：f (2x )＝3sin 2x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3
＝
32sin 2x －12cos 2x ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6，
函数f (2x )的周期T ＝π.
由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π
2，
解得2k π－π3≤2x ≤2k π＋2π
3，k ∈Z ，
即k π－π6≤x ≤k π＋π
3
，k ∈Z .
∴函数的增区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z .
10．(2013·山东高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋c ＝6，
b ＝2，cos B ＝7
9
.
(1)求a ，c 的值；
(2)求sin(A －B )的值．
[解] (1)由余弦定理b 2
＝a 2
＋c 2
－2ac cos B ， 得b 2
＝(a ＋c )2
－2ac (1＋cos B )， 又b ＝2，a ＋c ＝6，cos B ＝7
9，
所以ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3.
(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2
B ＝429，
由正弦定理得sin A ＝
a sin B
b ＝22
3
. 因为a ＝c ，所以A 为锐角． 所以cos A ＝1－sin 2
A ＝13
.
因此sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝102
27
.
[B 级 能力提升练]
1．如图2­2，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图象大致为( )
图2­2
[解析] 当P 在初始位置时，t ＝0，d ＝2，故排除A ，D ；当P 开始逆时针运动时，d 先减小，故选C.
[答案] C
2．函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)为奇函数，其中θ∈[0,2π]，且在区间
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π4，0上是减函数，则θ＝________. [解析] f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋θ＋π3，
又f (x )为奇函数，∴θ＋π
3＝k π，k ∈Z .
又θ∈[0,2π]，∴θ＝2π3或θ＝5π
3
.
当θ＝2π3时，f (x )＝－2sin 2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，0上是减函数，
当θ＝5π3时，f (x )＝2sin 2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，0上是增函数， 因此取θ＝2π3⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＝5π3舍去.
[答案]
2π
3
3．若函数f (x )＝a sin x ＋b cos x (a ，b ∈R )，非零向量m ＝(a ，b )，我们称m 为函数
f (x )的“伙伴向量”，f (x )为向量m 的“伙伴函数”．
(1)已知函数f (x )＝(3sin ωx ＋cos ωx )cos ωx －1
2，其中ω>0，且函数f (x )的最
小正周期为2π，求f (x )的“伙伴向量”m 的模；
(2)对于函数φ(x )＝sin x cos 2x ，是否存在“伙伴向量”？若存在，求出φ(x )的“伙伴向量”，若不存在，请说明理由；
(3)记向量n ＝(1，3)的“伙伴函数”为h (x )，如果关于x 的方程h (x )－k ＝0在⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2内有两个不相等的实根，求实数k 的取值范围．
[解] (1)f (x )＝3sin ωx ·cos ωx ＋cos 2
ωx －12
＝
32sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6， ∵f (x )的最小正周期T ＝2π， ∴
2π2ω＝2π，则ω＝1
2
. 因此f (x )＝
32sin x ＋1
2
cos x ，
∴m ＝⎝
⎛⎭
⎪⎫
32，12，故|m |＝1. (2)假设φ(x )存在“伙伴向量”，即存在a ，b 使sin x cos2x ＝a sin x ＋b cos x 对任意x ∈R 都成立，
令x ＝0，得b ＝0.
因此sin x cos 2x ＝a sin x ，即sin x ＝0或a ＝cos 2x ， 显然上式对任意x ∈R ，不恒成立，
所以函数φ(x )＝sin x cos 2x 不存在“伙伴向量”．
(3)依题意，h (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3，
由0≤x ≤π2，知π3≤x ＋π3≤5
6
π，则1≤h (x )≤2.
又当x ∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，h (x )单调递增，且3≤h (x )≤2， 当x ∈⎝
⎛⎦
⎥⎤π6，π2时，函数h (x )单调递减，且1≤h (x )<2. 故当方程h (x )－k ＝0在⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2内有两个实根，实数k 的取值范围是k ∈[3，2)．。