刚体的转动

如果取质点和定轴转动的刚体作为研究对象，系统内既有平动又有转动动能定理可
写为
A外力
A内力
(1 2
mv22
1 2
J
2 2
)
(1 2
mv12
1 2
J12 )
。
4．力矩的时间累积作用
1) 冲量矩
冲量矩：冲量矩是外力矩对时间的积累。刚体定轴转动的冲量矩为
2) 刚体定轴转动的角动量
t2 Mdt 。
t1
（4-13）
动惯量之和，即 J J A J B J C ② 平行轴定理：刚体绕任一轴的转动惯量 J 和绕通过其质心平行轴
O ml
M R
图 4-1
的转动惯量 JC 的关系为 J JC mh2 ，其中 m 为总质量；h 为两平行轴之间的距离。
如图 4-1 所示，由均匀细杆和均匀圆盘组成的刚体对 O 轴的转动惯量为
(4) 在应用角动量守恒定律时，应首先分析系统是否满足守恒条件。守恒条件是相对
于某定轴来说的，转轴变了，守恒条件往往不再满足。
6．质点平动规律与刚体转动规律的对比
表 4.1 质点平动与刚体转动的比较
规律
质点平动
瞬时作用规律
对时间的累积 作用规律
力 F，质量 m 牛顿第二定律 F=ma 动量：mv
冲量： t1 Fdt t0
角动量定理：
t1 Mdt
t0
J (J)0
角动量守恒定律： M 0 时，
J 常量
转动动能： 1 J 2 2
功：
M d
0
动能定理：
0
M
d
1 2
J 2
1 2
J
2 0
重力势能、弹性势能，又要考虑转动刚体的转动动能和刚体的重力势能等。系统的机械
能守恒定律为
当 A外 A非保内 0 时， Ek E p 常量 。 其中 Ek Ek平 Ek转 ，刚体的重力势能为 mghc，hc 表示刚体的质心相对于重力势能 零点的高度。
2) 角动量定恒定律
若作定轴转动的刚体所受合外力矩等于零，则刚体对于该轴的角动量保持不变，即
作圆周运动的描述。
角速度：
d dt
（4-1）
角速度 是矢量，它的方向与刚体转动方向之间的关系按右手螺旋定则确定，即右
手的四指沿刚体的转动方向弯曲，大拇指伸直所指的方向就是角速度 的方向。但在定
轴转动的情况下， 沿轴线方向，可用正负号表示它的方向。
角加速度
a d d 2 。 dt dt 2
r
F
，
（4-6）
大小： M Fr sin ；方向；由右手螺旋定则确定。
(1)对定轴转动，M 的方向与固定轴线平行，因此可用正负号表示。
(2)在定轴转动中，合力矩等于各个力矩的代数和。
(3)作用线与转轴平行或通过转轴的力的力矩为零。
2) 转动惯量
(1) 定义
转动惯量是表征刚体转动惯性大小的物理量，它的定义为
角量和线量的关系：
（4-2）
线速度与角速度之间的关系
v r 。
质点切向加速度与角加速度之间的关系 质点法向加速度与角速度之间的关系 2．力矩的瞬时作用规律一转动定律
at raan源自v2 rr 2（4-3） （4-4） （4-5）
1）力矩Ｍ
力矩是表征刚体运动状态改变原因的物理量。其矢量表达式为
M
刚体转动
力矩 M，转动惯量 J 转动定律 M=Ja
角动量： J
冲量矩:： t1 Mdt t0
动量定理：
t1 t0
Fdt
mv
mv0
动量守恒定律： F 0 时，
mv 常量
对空间的累积 作用规律
平动动能： 1 mv2 2
功：
s F ds
0
动能定理：
s 0
F
ds
1 2
mv2
1 2
mv02
J mi ri2 ，
（4-7）
式中 mi 为刚体中任一质点的质量， ri 为该质点离转轴的距离。在刚体质量连续分
布的情况下，可以写为
J r 2dm 。 V
（4-8）
(2) 影响转动惯量的因素：①刚体的总质量；②质量的分布；③转轴的位置。
计算刚体转动惯量时，常常需要运用以下两个定理：
① 叠加原理：由几个部分组成的刚体对某轴的转动惯量等于各个部分对同一轴的运
重点难点指导
第四章 刚体的转动
1．刚体定轴转动的运动学描述方法
刚体定轴转动的特点是：
① 刚体上各个质点都在绕轴作圆周运动，但各质点作圆周运动的半径不一定相等；
② 各质点圆周运动的平面垂直于轴线，圆心在轴线上；
③ 刚体上各点在相同的时间内转过相同的角度，即刚体上各点有相同的角位移、角
速度和角加速度。因此，对刚体定轴转动的描述可转化为对刚体上任一点在转动平面内
当 M=0 时，。这一结论叫角动量守恒定律。
(1) 若 J 不变，由于 J 常量 ，故 也不变，即刚体作匀角速转动。
(2)
当 J 变化时，则由 J11
J 22 得：2
J11 J2
。
这时，刚体的角速度随转动惯量的变化而变化，但乘积 J 保持不变。
(3) 角动量守恒定律中的 J， 都是对同一轴而言的。
量都要相应变化。
3．力矩的空间累积作用
1) 力矩的功
A 2 Md 1
（4-10）
2) 转动动能
3) 转动动能定理
Ek
1 2
J 2
（4-11）
A
1 2
J
2 2
1 2
J12 。
（4-12）
上式的物理意义是：合外力矩对定轴转动的刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。
4) 质点和刚体组成的系统的动能定理
J0
1 3
ml 2
1 2
MR 2
M (l
R) 2
。
3) 转动定律
定轴转动刚体的转动定律的数学表达式为
M z Ja
（4-9）
(1) 转动定律反映了力矩对定轴转动的刚体的瞬时作用规律，它在刚体力学中的地位
相当与质点力学中的牛顿第二定律。
(2) 转动定律中的各物理量都是对同一转轴的。MZ 是相对于给定轴的合外力矩，a 是相对于该轴的角加速度，J 是相对于该轴的转动惯量。若转轴位置变了，式中三个物理
刚体定轴转动的角动量
L J 。
（4-14）
3) 角动量定理
角动量定理反映了力矩对时间的积累作用规律：作用于刚体的冲量矩等于在作用时
间内角动量的增量，表达式为
t2
t1 Mdt J (J)0
5． 机械能守恒定律和角动量守恒定律
（4-15）
1) 含有刚体的力学系统的机械能守恒定律
含有刚体的力学系统，在机械能的计算上，既要考虑平动物体的平动动能、质点的