沪教版 八年级(上)数学 秋季课程 第20讲 期末复习

本讲整理了八年级上学期的四个章节内容，重点是二次根式的混合运算、一元二次方程的求解及应用、正反比例函数的综合及几何证明，难点是二次根式的混合运算及几何证明中需要添加辅助线和直角三角形的性质及推论的综合运用，希望通过本节的练习，可以帮助大家把整本书的内容串联起来，融会贯通，更快更好的解决问题．
二次根式的
性质 解法
二次三项式的因式分解
配方法 平行向量
因式分解法
实际问题
应用
二次根式的加减
二次根式的乘除 混合运算
最简二次根式
有理化因式和分母有理化
同类二次根式
二次根式
二次根式的运
算
一元二次方程
开平方法
公式法 平行向量
根的判别式
根的情况
期末复习
内容分析
知识结构
【练习1】 下列二次根式中，最简二次根式是（
）
A ．1
5 B ．5
C ．0.5
D ．50
【练习2】 若一元二次方程2210ax x -+=有两个实数根，则a 的取值范围正确的
是（
）
函数的定义域和求
函数值
定义 依据
函数
勾股定理的逆定理
直角三角形的性质
演绎推理
几何证明
勾股定理
直角三角形全等的判定
线段的垂直平分线定理及逆定理 角的平分线定理及逆定理
正比例函数概念、
图像和性质
反比例函数概念、图像和性质 正反比例函数综合运用
命题
实际问题
变
量与
常
量 点的轨迹
函数的常用表示法：
解析法 列表法 图像法
公理 定理
逆命题 逆定理
选择题
A．1
a≥B．1
a≤C．1
a≤且0
a≠D．01
a
<≤
【练习3】如果正比例函数图像与反比例函数图像的一个交点的坐标为(2，3)，那么另一个交点的坐标为（）．
A．（-3，-2）B．（3，2）C．（2，-3）D．（-2，-3）
【练习4】下列命题中，哪个是真命题（）
A．同位角相等
B．两边及其中一边所对的角对应相等的两个三角形全等
C．等腰三角形的对称轴是底边上的高
D．若PA PB
=，则点P在线段AB的垂直平分线上
【练习5】以下说法中，错误的是（）
A．在△ABC中，∠C=∠A-∠B，则△ABC为直角三角形
B．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=5:2:3，则△ABC为直角三角形
C．在△ABC中，若
34
55
a c
b c
==
，，则△ABC为直角三角形
D．在△ABC中，若::2:2:4
a b c=，则△ABC为直角三角形
【练习6】关于x轴上有一点A到点B（-3，4）的距离是5，则点A的坐标是（）A．（-6，0）B．（0，0）
C．（-6，0）或（0，0）D．以上都不对
【练习7】）
A B C D
【练习8】
某同学做了以下四题，其中做错的有（ ）
24a =5a =；③===
A ．1个
B ． 2个
C ．3个
D ．4个
【练习9】 如果关于x 的方程()()()()()()0x a x b x b x c x c x a ++++++++=（其中a 、b 、c
均为正数）有两个相等的实数根，则以a 、b 、c 为长的线段促成的是（ ）．
A ．等腰非等边三角形
B ． 等边三角形
C ．直角三角形
D ．不能确定形状
【练习10】 已知一直角三角形ABC 的三边为a 、b 、c ，∠B =90°，那么关于x 的方程
22(1)2(1)0a x cx b x --++=的根的情况是（
）．
A ．有两个相等的实数根
B ． 有两个不相等的实数根
C ．没有实数根
D ．无法确定
【练习11】 多项式2481x x +-进行因式分解正确的是（ ）
A ．(x x
B ．(444x x +++-
C ．(222x x +++-
D ．4(x x
【练习12】 已知函数()0y kx k =≠中y 随x 的增大而增大，那么它和函数()0k
y k x
=
≠在
E
D
B
C
A
同一直角坐标系平面内的大致图像可能是（ ）．
【练习13】 如图，A 、C 是函数1
y x
的图象上任意两点，过点A 作y 轴的垂线，垂足为B ，过点C 作y 轴的垂线，垂足为D ，记AOB Rt △的面积为1S ，COD Rt △的面积为2S ，则1S 和2S 的大小关系是（ ）． A ．1S >2S B ．1S <2S
C ．1S =2S
D ．由A 、C 两点的位置确定
【练习14】 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC =6cm ，BC =8cm ，现将直角边
AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于（ ）
A ．2cm
B ．3cm
C ．4cm
D ．5cm
【练习15】 在△ABC 中，AB =15，AC =13，BC 边上的高AD =12，则△ABC 的周长 是（ ） A ．42
B ．32
C ．42或32
D ．37或33
【练习16】 （1）若211()x x x y ---=+，则x -y 的值为_______；
（2）使(2)(1)21x x x x -+=-⋅+成立的条件是______； （3）二次根式m n +的有理化因式是__________．
【练习17】 （1）方程240x -=的根是__________；
（2）已知关于x 的一元二次方程（m -2）x 2+3x +m 2-2=0的一个根为0，则m 的
值是__________．
【练习18】 （1）已知正比例函数y =(2m -1)x 的图像上两点1122()()A x y B x y ，，，，当
12x x <时，12y y >那么m 的取值范围是______；
（2）反比例函数的图像经过直线y =-3x 上的点(-m ，m +2)，则m =____________， 反比例函数的解析式为____________．
【练习19】 （1）定理“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”的逆命题是
____________________________________；
填空题
（2）命题“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题是_____________________________．
【练习20】 （1）已知直角坐标平面内两点 A (3，-1)和B (-1，2)，那么A 、B 两点间的距离
等于____________；
（2）已知直角坐标平面内的Rt ABC ∆三个顶点的坐标分别为()43A ，、()12B ，、()34C -，，
则该直角三角形的直角顶点是________．
【练习21】 （1）经过已知点A 、B 的圆的圆心的轨迹是______________________；
（2）到点A 的距离等于2厘米的点的轨迹_________________________．
【练习22】 （1）某地2016年4月份的房价平均每平方米为96000元，该地2014年同期的
房价平均每平方米为76000元，假设这两年该地房价的平均增长率均为x ，则关于x 的方程为_______________；
（2）某厂计划今年的产值为a 比前年翻一番，且这两年的增长率相同，设它的增长率是x ，则连续三年的总产值是_____________．
【练习23】 （1）在实数范围内分解因式：2361x x -+=________________；
（2）若一元二次方程2210mx x +-=在实数范围内有实数根，则m 的取值范围 是___________________．
【练习24】 计算：⎛÷ ⎝____________．
【练习25】 如图，Rt ABC ∆中，9040ACB A D ∠=∠=，，为AB 中点，CE AB ⊥，
则DCE ∠=_____
【练习26】 （1）如果正比例函数y = kx （k ≠0）的自变量取值增加7，函数值相应减少4，
那么当x =4时，y =_________；
（2）若x 与-3y 成反比例函数关系，y 与-4z 成反比例函数关系，则x 与z 成__________比例函数．
【练习27】 （1）如图，已知在△ABC 中，CD 平分∠ACD ，∠A =2∠B ，BC =a ，AD =b ，
则AC =________（用含a 、b 的代数式表示）；
（2）在△ABC ，AB =BC ，BD =DC ，BC =CE ，则图中一定相等的角（小于平角)
有______对．
【练习28】 （1）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90度，BC =24cm ，∠BAC 的平分线AD 交BC
于点D ，BD ：DC =5：3，则点D 到AB 的距离为_______cm ；
（2）等腰直角三角形ABC 的斜边BC =4，△DBC 为等边三角形，那么A 、D 两点的距离
是____________；
（3）在矩形ABCD 中，AB :AD =1:2，将点A 沿折痕DE 对折，使点A 落在BC 上的F 点，
A
B
C
D
E
A
则∠ADE =______度．
【练习29】 一元二次方程()21230k x kx k -+++=有两个不相等的实数根，求k 的最大整
数值____________．
【练习30】 方程2
20162015201710x x -⨯-=（）的较大根m ，方程22015201610x x -+=较
小根为n ，则m -n 的值_______________．
【练习31】 △AOC 与△DCE 均为等边三角形，点A 、D 均在双曲线3
(0)y x x
=
>上，点O 为坐标原点，点C 、E 在x 轴上，A 、D 的坐标分别是______________． 【答案 【解析】
【练习32】 已知三角形ABC 为等腰直角三角形，且A （2，3），B 、C 分别在坐标轴上，
则点B 的坐标分别是______________．
解答题
A
O
C
D
E
y
x
【练习33】 （1）已知212
a =
-，求
224421
a a a a -+-+的值；
（2）已知：52321x x y -+-=+，求x y +的值． 【练习34】 【练习35】 解方程：
（1）23730x x --=；
（2）()()2
22311x x x ---=+．
【练习36】 证明：无论m n ，取任何实数时，方程()20mx m n x n +++=都有实数根．
【练习37】 某商店将进价为8元的商品每件按10元出售，每天可买出200件，现在采取
提高商品售价的办法来增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元销售量就减少10件，问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元．
【练习38】 已知正比例函数()11y k x =+的图像经过()()242A B m -，
、，两点． （1）求m 的值； （2）如果点B 在反比例函数()2
20k y k x
=
≠的图像上，求反比例函数的解析式．
【练习39】 如图，在△ABC 中，∠C =90度，AC =BC ，AD 平分∠CAB ，AB =20cm ．
求AC +CD 的长．
A
B
C
D
【练习40】 如图：在四边形ABCD 中，∠C =90°，=3=412=13BC CD AD AB ，，，，求
四边形ABCD 的面积．
【练习41】 小智和小方沿同一条路同时从学校出发到图书馆查阅资料，学校与图书馆的路
程是4千米，小智骑自行车，小方步行，当小智从原路回到学校时，小方刚好到达图书馆，图中折现O ——A ——B ——C 和线段OD 分别表示两人离学校的路程y （千米）与所经过的时间x （分钟）之间的函数关系，请根据图像回答下列问题：
（1）小智在图书馆查阅资料的时间为_______分钟，小智返回学校的速度为_________千米/分钟；
（2）请你求出小方离开学校的路程y （千米）与所经过的时间x （分钟）之间的函数关系．
【练习42】 如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =∠ADC =90°，对角线AC 与BD 相交于点
O ，M 、N 分别是边AC 、BD 的中点． （1）求证：MN BD ⊥；
（2）当∠BCA =15°，AC =8cm ，OB =OM 时，求MN 的长．
A
B C
D
x （分钟）
y （千米） 15
30
45
A
B
小智
O
小方
4
C
D
A
B
C
D
N
M O
【练习43】 已知：如图()a ，在等腰三角形ABC 中，∠C =90°，AD 是∠CAB 的平分线．
（1）求证：AB =AC +CD ；
（2）把原题中的“∠C =90°”改为“∠C =100°”，其余条件不变，如图()b ，请说出AB 、AD 、CD 之间的数量关系，并证明．
【练习44】 已知：在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC ，垂足为D ，BE ⊥AC ，垂足为E ，M 为
AC 的中点，联结DE ，DM 设C α∠=.
（1）当△ABC 时锐角三角形时（如图），试用α表示∠EDM ； （2）当△ABC 时钝角三角形时，请画出相应的图形，并用α表示∠EDM （可直接写出）．
【练习45】 如图，在气象站台A 的正西方向240千米的B 处有一台风中心，该台风中心
以每小时20千米的速度沿北偏东60°的BD 方向移动，在距离台风中心130千米内的地方都要受其影响．
（1） 台风中心在移动的过程中，与气象台A 的最短距离是多少?
A
B C D E
M A B
C D
a
A
B
C
D
b
（2） 台风中心在移动的过程中，气象台将受台风的影响，求台风影响气象台的时间 会持续多长?
【练习46】 如图，在平面直角坐标系中，已知第一象限内的点A 的坐标为（1，m ）OA =2，
正比例函数3x y m
=和反比例函数1
k y x -=的图像都经过点A ，过点A 作OA 的垂线交
x 轴于点B ．
（1） 求m 和k 的值； （2） 求点B 的坐标．
【练习47】 如图，细心观察，认真分析各式，如何解答问题：
211
(1)122S +== 222(2)132S +== 233(3)142
S +==
．．．．．． ．．．．．．
（1） 用含有n （n 是正整数）的等式表述上述的变化规律； （2） 推算出10OA 的长；
（3） 求出222212310...S S S S ++++的值．
【练习48】 如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB 是等边三角形，点A 的坐标是
A B
O
x
y
A B C
D
东
北
60.0°
A 1
A 2
A 3
A 4
A 5
A 6
S 5
O
S 1
S 2
S 3
S 4
（0，3），点B 在第一象限，点P 是x 轴正半轴上的一个动点，连接AP ，并把△AOP 绕着点A 按逆时针方向旋转，使边AO 与AB 重合，得到△ABD ． （1） 当点P 运动到点
30（，）时，求此时DP 的长及点D 的坐标； （2） 若△OPD 的面积等于3
4
，请求出符合条件的点P ．
【练习49】 已知：在△ABC 中，AB =6，AC =5，∠A 为锐角，△ABC 的面积为9，点P 为
边AB 上动点，过点B 作BD ∥AC ,交CP 的延长线于点D ，∠ACP 的的平分线交AB 于点E ．
（1）如图1，当CD ⊥AB 时，求PE 的长；
（2）如图2，当点E 为AB 中点时，请猜想并证明：线段AC 、CD 、DB 的数量关系．
【练习50】 如图，已知点()34A ，
，AB ⊥X 轴，垂足为点B ，将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°，得到''
AOB △．
（1）在图中画出''AOB △，并直接写出''A B 、的坐标；
（2）求'OA 的长；
（3）在y 轴上是否存在点C ，使得△'
AOC 为等腰三角形，如果存在，请求出所有符合
y
A
A
B
P D
O x
y A B
C
D
E
P 图1
P A
B
C
D
E
图2
条件的点C 的坐标；如果不存在，请说明理由．
【练习51】 已知：如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，AC =3，点D 、E 、F 分别在边
BC 、AC 、AB 上（点E 、F 与△ABC 顶点不重合），AD 平分∠CAB ，EF ⊥AD ，垂足为H ． （1）求证：AE =AF ；
（2）设CE =x ，△BDF 的面积为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出定义域； （3）当△DEF 是直角三角形时，求出BF 的长．
A
B
C D E F
D A
B
C
【练习52】 已知，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，BC ⊥AB ，AB =AD ，连接BD 如图1所示，
点P 沿梯形的边，从A -B -C -D -A 移动，设点P 移动的距离是x ，BP =y ． （1）求证：∠A =2∠CBD ；
（2）当点P 从A 移动到点C 时，y 与x 的函数关系如图2中的折线MNQ 所示，求CD 的长；
（3）在（2）的情况下，点P 从点A -B -C -D -A 移动的过程中，△BDP 是否可能为等腰 三角形?若能，请求出所有能使△BDP 为等腰三角形的x 的值；若不能，请说明理由．
O
8
5 M N 图2
x
y 图1
A
B C
D。