九年级上册数学笔记整理人教版

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一、一元二次方程。

（一）定义。

1. 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程。

- 一般形式：ax² + bx + c = 0(a≠0)，其中ax²是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

（二）解法。

1. 直接开平方法。

- 对于方程x² = p(p≥0)，解得x = ±√(p)。

- 例如，方程(x - 3)² = 4，则x - 3 = ±2，x = 3±2，即x = 1或x = 5。

2. 配方法。

- 步骤：
- 把方程化为ax²+bx = - c的形式。

- 在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即x²+(b)/(a)x+((b)/(2a))² = - (c)/(a)+((b)/(2a))²。

- 把左边写成完全平方式(x+(b)/(2a))²，然后用直接开平方法求解。

- 例如，对于方程x²+6x - 7 = 0，移项得x²+6x = 7，配方得x² + 6x+9 = 7 + 9，即(x + 3)²=16，解得x=-3±4，x = 1或x=-7。

3. 公式法。

- 对于一元二次方程ax²+bx + c = 0(a≠0)，其求根公式为x=(-b±√(b² -
4ac))/(2a)。

- 其中b² - 4ac叫做判别式，记作Δ=b² - 4ac。

- 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。

- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根。

- 当Δ<0时，方程没有实数根。

- 例如，方程2x² - 3x - 2 = 0，其中a = 2，b=-3，c=-2，Δ=(-3)²-4×2×(-2)=9 + 16 = 25>0，根据公式x=(3±√(25))/(4)=(3±5)/(4)，解得x = 2或x =-(1)/(2)。

4. 因式分解法。

- 步骤：
- 将方程右边化为0。

- 将方程左边分解为两个一次因式的乘积。

- 令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个方程即可。

- 例如，方程x² - 3x = 0，因式分解得x(x - 3)=0，则x = 0或x - 3 = 0，解得x = 0或x = 3。

二、二次函数。

（一）定义。

1. 一般地，形如y = ax²+bx + c(a≠0)的函数，叫做二次函数。

其中x是自变量，y 是x的函数。

- a、b、c为常数，a决定二次函数图象的开口方向和开口大小。

- 当a>0时，图象开口向上；当a<0时，图象开口向下。

（二）图象与性质。

1. 二次函数y = ax²的图象与性质。

- 图象是一条抛物线，对称轴是y轴（即x = 0），顶点坐标是(0,0)。

- 当a>0时，在对称轴左侧（x<0），y随x的增大而减小；在对称轴右侧（x>0），y随x的增大而增大，函数有最小值y = 0。

- 当a<0时，在对称轴左侧（x<0），y随x的增大而增大；在对称轴右侧（x>0），y随x的增大而减小，函数有最大值y = 0。

2. 二次函数y = ax²+bx + c(a≠0)的图象与性质。

- 对称轴公式：x =-(b)/(2a)。

- 顶点坐标公式：(-(b)/(2a),(4ac - b²)/(4a))。

- 当a>0时，图象开口向上，函数有最小值y=(4ac - b²)/(4a)；当a<0时，图象开口向下，函数有最大值y=(4ac - b²)/(4a)。

- 例如，对于二次函数y = 2x² - 4x + 1，其中a = 2，b=-4，c = 1。

对称轴
x=(4)/(2×2)=1，顶点纵坐标y=(4×2×1-(-4)²)/(4×2)=(8 - 16)/(8)=-1，顶点坐标为(1,-1)。

因为a = 2>0，图象开口向上，函数有最小值-1。

三、旋转。

（一）旋转的概念。

1. 在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。

这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。

2. 旋转的性质：
- 对应点到旋转中心的距离相等。

- 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。

- 旋转前、后的图形全等。

（二）中心对称。

1. 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。

这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。

2. 中心对称的性质：
- 中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分。

- 中心对称的两个图形是全等图形。

3. 关于原点对称的点的坐标特征：
- 两个点关于原点对称时，它们的横、纵坐标都互为相反数。

例如，点A(x,y)关于原点对称的点A'(-x,-y)。