2021年硕士研究生入学考试《高等代数》模拟试题
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3.(4分)设 是一个3阶方阵，若 ，则 的伴随矩阵的秩等于
。
4.(4分)与任意 阶方阵乘法可交换的矩阵一定是。
5.(4分)给出2阶对称矩阵全体所构成的线性空间的一个基。
6.(4分) 是线性空间 的一组基， 上线性变换 在此基下的矩阵为 ，则 在 的另一组基 下的矩阵为。
7.(4分) -矩阵 的不变因子是______________。
2021年硕士研究生入学考试《高等代数》模拟试题
报考专业：基础数学考试科目：高等代数
科目代码：851
注意事项：本试题的答案必须写在规定的答题纸上，写在试题上不给分。
一、填空题（共32分，每小题4分）
1.(4分)将 表成 方幂和的形式
。
2.(4分)设 阶方阵 的各行元素之和为 ， ，则齐次线性方程组
的通解是。
8.(4分) 是3维欧氏空间 的一组基，写出此基的度量矩阵
。
二、计算题（共90分，每小题15分）
1．（15分）设 ，求 使得 。
2．（15分）计算 阶行列式
。
3．（15分）讨论 取何值时线性方程组 有解，并求解。
4．（15分）求解矩阵方程 。
5．（15分）将二次型 化为标准型，并求所用的非退化的线性替换。
6．（15分）设 ,求正交矩阵 和对角矩阵 ,使得 。
三、证明题（共28分，每小题14分）
1. （14分）设 为数域， 证明：
(1) 是 的子空间；（4分）
(2) 。（10分）
2．（14分）设 是 维向量空间 的一个线性变换，若 是幂等的（即 ），证明：
（1）；（6分）
（2） 。（8分）
。
4.(4分)与任意 阶方阵乘法可交换的矩阵一定是。
5.(4分)给出2阶对称矩阵全体所构成的线性空间的一个基。
6.(4分) 是线性空间 的一组基， 上线性变换 在此基下的矩阵为 ，则 在 的另一组基 下的矩阵为。
7.(4分) -矩阵 的不变因子是______________。
2021年硕士研究生入学考试《高等代数》模拟试题
报考专业：基础数学考试科目：高等代数
科目代码：851
注意事项：本试题的答案必须写在规定的答题纸上，写在试题上不给分。
一、填空题（共32分，每小题4分）
1.(4分)将 表成 方幂和的形式
。
2.(4分)设 阶方阵 的各行元素之和为 ， ，则齐次线性方程组
的通解是。
8.(4分) 是3维欧氏空间 的一组基，写出此基的度量矩阵
。
二、计算题（共90分，每小题15分）
1．（15分）设 ，求 使得 。
2．（15分）计算 阶行列式
。
3．（15分）讨论 取何值时线性方程组 有解，并求解。
4．（15分）求解矩阵方程 。
5．（15分）将二次型 化为标准型，并求所用的非退化的线性替换。
6．（15分）设 ,求正交矩阵 和对角矩阵 ,使得 。
三、证明题（共28分，每小题14分）
1. （14分）设 为数域， 证明：
(1) 是 的子空间；（4分）
(2) 。（10分）
2．（14分）设 是 维向量空间 的一个线性变换，若 是幂等的（即 ），证明：
（1）；（6分）
（2） 。（8分）