第10讲 函数的零点与方程的解

知识梳理
1．函数的零点
(1)概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使□_1__f(_x_)＝__0____的实数x叫做
函数y＝f(x)的零点． (2)几个等价关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)
有零点．
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解．
提醒 连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可 能不变号．
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3．二分法
对 于 在 区 间 [a ， b] 上 图 象 连 续 不 断 且□5_f_(a_)_f_(b_)_<_0_______ 的 函 数 y ＝ f(x)，通过不断地把它的零点所在区间_□6__一__分__为__二___，使所得区间的两个
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D 令 f(x)＝0 得13x＝ln x．作出函数 y＝13x 和 y＝ln x 的图象，如图所 示．显然 y＝f(x)在(1e，1)内无零点，在(1，e)内有零点．
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反思感悟
确定函数零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象 是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必 有零点． (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否 有交点来判断．
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(2)若二次函数f(x)＝x2－2x＋m在区间(0，4)上存在零点，则实数m的 取值范围是________．
二次函数f(x)的图象的对称轴为x＝1，若在区间(0，4)上存在零点， 只需f(1)≤0且f(4)>0即可，即－1＋m≤0且8＋m>0，解得－8<m≤1.
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第10讲 函数的零 点与方程的解
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考试要求
1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在
定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解．
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聚焦必备知识
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2．函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有
__□_2_f_(_a_)f_(b_)_<_0____，那么，函数y＝f(x)在区间_□_3_(_a_，__b_)__内至少有一个零 点 ， 即 存 在 c ∈ (a ， b) ， 使 得 ____□_4_f_(_c_)＝__0， 这 个 c 也 就 是 方 程 f(x) ＝ 0 的
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(2)设函数 f(x)＝13x－ln x，则函数 y＝f(x)( D ) A．在区间(1e，1)，(1，e)内均有零点 B．在区间(1e，1)，(1，e)内均无零点 C．在区间(1e，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点 D．在区间(1e，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点
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(2)函数f(x)＝log2 x＋x－2的零点所在的区间为( B )
A．(0，1)
B．(1，2)
C．(2，3)
D．(3，4)
B 函 数 f(x) 在 (0 ， ＋ ∞) 上 单 调 递 增 ， 又 f(1) ＝ － 1 ， f(2) ＝ 1 ， f(1)f(2)<0，故f(x)只有一个零点，且在区间(1，2)内．
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2．易错自纠
(1)函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0，2π]上的零点个数为( B )
A．2
B．3
C．4
D．5
B 由2sin x－sin 2x＝0，得sin x＝0或cos x＝1. 又x∈[0，2π]，由sin x＝0，得x＝0，π，2π. 由cos x＝1，得x＝0，2π. ∴f(x)＝0有三个实根0，π，2π， 即f(x)在[0，2π]上有三个零点．
C 因为函数 f(x)＝5－2x－lg(2x＋1)在(－12，＋∞)上单调递减，所以 函数 f(x)最多只有一个零点．因为 f(0)＝5－lg 1＝5>0，f(1)＝3－lg 3>0，f(2) ＝1－lg 5>0，f(3)＝－1－lg 7<0，所以函数 f(x)＝5－2x－lg(2x＋1)的零点 所在的区间是(2，3)．故选 C.
答案：(－8，1]
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突破核心命题
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考 点 一 函数零点所在区间的判定
例1 (1)(2024·长沙长郡中学第四次月考)函数f(x)＝5－2x－lg(2x＋1)
的零点所在的区间是( C )
A．(0，1)
B．(1，2)
C．(2，3)
D．(3，4)
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训练1 (1)函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点所在的区间是( B )
A．(1，2)
B．(2，3)
C．(3，4)
D．(4，5)
B 由题意得，f(x)＝ln x＋2x－6在定义域内单调递增， f(2)＝ln 2＋4－6＝ln 2－2<0， f(3)＝ln 3＋6－6＝ln 3>0， 则f(2)f(3)<0，∴零点在区间(2，3)上．
端点逐步逼近结论
1．若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个 零点．
2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． 3．若周期函数有零点，则必有无穷多个零点．
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夯基诊断 1．回源教材 (1)函数 f(x)＝x－2＋1＋x－ln2x，，xx≤>00，的零点个数为( B )
A．3 C．7
B．2 D．0
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x≤0，
x>0，
B 由x2＋x－2＝0或－1＋ln x＝0，
解得 x＝－2 或 x＝e，故 f(x)有两个零点．