数学_2014年黑龙江省某校高考数学三模试卷(文科)(含答案)

2014年黑龙江省某校高考数学三模试卷（文科）
一、选择题（每小题5分，共60分）
1. 设复数z =(1−i)2（i 是虚数单位），则z ¯
的虚部是（ ） A 2i B −2i C 2 D −2
2. 已知cosα=−1
3，α是第三象限角，则tanα=( )
A 2√2
B −2√2
C √2
4 D −
√2
4
3. 已知条件p:a <0，条件q:a 2>a ，则￢p 是￢q 的（ ）
A 充分不必要条件
B 必要不充分条件
C 充要条件
D 既不充分也不必要条件 4. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S
6S 3=9，则公比q =( )
A 12
B ±1
2
C 2
D ±2
5. 已知双曲线C:
x 2a 2
−
y 2b 2
=1(a >0, b >0)离心率为3，直线y =2与双曲线C 的两个交点间
的距离为√6，则双曲线C 的方程是（ ） A 2x 2−y 2=1 B x 2−
y 28
=1 C
x 25
−
y 210
=1 D
4x 25
−
y 210
=1
6. 王明早晨在6:30∼7:00之间离开家去上学，送奶员在早上6:45∼7:15之把牛奶送到王明家，则王明离开家之前能取到牛奶的概率为（ ） A 1
8
B 1
4
C 7
8
D 5
8
7. 如图是“二分法”解方程的流程图．在①∼④处应填写的内容分别是（ ）
A f(a)f(m)<0；a =m ；是；否
B f(b)f(m)<0；b =m ；是；
否 C f(b)f(m)<0；m =b ；是；否 D f(b)f(m)<0；b =m ；否；是
8. 设x ，y ∈R ，a >0，且|x|+|y|≤a ，2x +y +1最大值小于2，则实数a 的取值范围为（ ）
A (0, 1)
B (0, 12
) C [1
2
, 1) D (0, 1]
9. 已知△ABC 中，BC =2，∠A =π
3，则|AB →+AC →
|的最大值（ ） A
√21
3 B 2√213
C 2√3
D 4√3 10.
Rt △ABC 中CA =CB =√2，M 为AB 的中点，将△ABC 沿CM 折叠，使A ，B 之间的距离为1，则三棱锥M −ABC 外接球的表面积为( ) A
16π3
B 4π
C 3π
D 7π
3
11. 已知A ，B 是抛物线y 2=4x 上异于顶点O 的两个点，直线OA 与直线OB 的斜率之积为定
值−4，△AOF ，△BOF 的面积为S 1，S 2，则S 12+S 22
的最小值为（ ） A 8 B 6 C 4 D 2
12. 函数f(x)={2x 3+3x 2，x ≤0
ax
e
x
，x >0在[−2, 2]上的最大值为1，则实数a 的取值范围是（ ） A [0, +∞) B [0, e] C (−∞, 0] D (−∞, e]
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上） 13. 过点P(3, 4)作抛物线x 2=2y 的两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的斜率为________．
14. 某几何体的三视图如图所示(x =1)，则该几何体的体积为________．
15. 利用回归分析的方法研究两个具有线性相关关系的变量时，下列说法正确的是：________
①相关系数r 满足|r|≤1，而且|r|越接近1，变量间的相关程度越大，|r|越接近0，变量间的相关程度越小；
②可以用R 2来刻画回归效果，对于已获取的样本数据，R 2越小，模型的拟合效果越好； ③如果残差点比较均匀地落在含有x 轴的水平的带状区域内，那么选用的模型比较合适；这样的带状区域越窄，回归方程的预报精度越高；
④不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值． 16. 数列{a n }的通项为a n =(−1)n (2n −1)⋅cos
nπ2
+1前n 项和为S n ，则S 60=________．
三、解答题（本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知向量n →
=(√3sin x
4, −1)，n →
=(cos x
4, cos 2x
4)，记f(x)=m →
⋅n →
，
（1）求f(x)的值域和单调递增区间；
（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足(2a−c)cosB=bcosC，若
f(A)=−1
2
，a=2，求△ABC的面积．
18. 如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，DE⊥平面ABCD，
AF // DE，DE=2AF，BE与平面ABCD所成角的正切值为√2
2
．
（1）求证：直线AC // 平面EFB；
（2）求直线AC与平面ABE所成角的正弦值．
19. 某校随机抽取某次高三数学模拟考试甲、乙两班各10名同学的客观题成绩，统计后获
得成绩数据的茎叶图（以十位数字为茎，个位数字为叶），如图所示：
（1）分别计算两组数据的平均数，并比较哪个班级的客观题平均成绩更好；
（2）从这两组数据中分别抽取一个数据，求其中至少有一个是满分的概率；
（3）规定：客观题成绩不低于55分为“优秀客观卷”，从甲班的十个数据中任意抽取两个，求两个都是“优秀客观卷”的概率．
20. 已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C方程为x2
a2+y2
b2
=1，椭圆上的点到焦点距离最
大值为3，离心率e=1
2
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）A，B为椭圆上的点，△AOB面积为√3，求证：|OA|2+|OB|2为定值．
21. 已知f(x)=axe kx−1，g(x)=lnx+kx．
（1）求g(x)的单调区间；
（2）当k=1时，f(x)≥g(x)恒成立，求a的取值范围．
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做题时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】
22. 如图，假设两圆O1和O2交于A、B，⊙O1的弦BC交⊙O2于E，⊙O2的弦BD交⊙O1于F，证明：
（1）若∠DBA =∠CBA ，则DF =CE ； （2）若DF =CE ，则∠DBA =∠CBA ．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
23. 已知直线l 的参数方程为{x =−1+t
y =2+t （t 为参数），在直角坐标系xOy 中以O 为极点，x 轴
正半轴为极轴建立坐标系．圆C 的极坐标方程分别为ρ2=4√2ρsin(θ−π
4)−6 （1）求直线l 与圆C 的直角坐标方程；
（2）设A(−1, 2)，P ，Q 为直线l 与圆C 的两个交点，求|PA|+|AQ|．
【选修4-5：不等式选讲】 24. 设函数f(x)=|x −a|．
（1）当a =2时，解不等式f(x)≥4−|x −1|；
（2）若f(x)≤1的解集为{x|0≤x ≤2}，1
m +1
2n =a(m >0, n >0)．求证：m +2n ≥4．
2014年黑龙江省某校高考数学三模试卷（文科）答案
1. C
2. A
3. B
4. C
5. B
6. A
7. B
8. B
9. C 10. D 11. D 12. D 13. 3 14. 16
15. ①③④ 16. 120
17. 解：（1）由题意可得f(x)=m →
⋅n →
=√3sin x
4cos x
4−
cos 2x
4
=
√32sin x 2
−
1+cos x
2
2
=sin(x
2−
π
6
)−1
2， 故函数的值域为[−32, 1
2]．
令 2kπ−π2
≤x 2
−π6
≤2kπ+π2
，k ∈z ，求得 4kπ−
2π3
≤x ≤4kπ+
4π3
，k ∈z ，
故函数的单调递增区间为[4kπ−
2π3
, 4kπ+
4π3
]，k ∈z ．
（2）在△ABC 中，∵ (2a −c)cosB =bcosC ，由正弦定理可得 2sinAcosB −sinCcosB =sinBcosC ，
即 2sinAcosB =sinA ，∴ cosB =1
2
，B =π
3
．
∵ f(A)=sin(A 2−π6)−12=−12，∴ sin(A 2−π6)=0，∴ A 2−π6=0，∴ A =π
3，∴ C =π−A −B =π
3，
∴ A =B =C ，∴ △ABC 为等边三角形，再根据a =2，可得△ABC 的面积S =
1
2
×2×2sin π
3=√3． 18. （1）证明：设AC ，BD 交于O ，取EB 中点M ，连结FM ，MO ， 在△BDE 中，OM = // 1
2
DE ，FA = // 1
2
DE ，∴ OM = // FA ，
∴ 四边形FAOM 是平行四边形，
∴ FG // AO ，又AO 不包含平面EFB ，FG ⊂平面EFB ， ∴ 直线AC // 平面EFB ．
（2）解：∵ ED ⊥平面ABCD ， ∴ BD 是BE 在面ABCD 上的射影，
∴ ∠EBD 是直线BE 与平面BCD 所成的角，
tan∠EBD =ED
BD =ED 2
√
2
=√2
2
，解得ED =2，
以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DE 为z 轴，
建立空间直角坐标系，
由题意知A(2, 0, 0)，C(0, 2, 0)， B(2, 2, 0)，E(0, 0, 2)，
∴ AC →
=(−2,2,0)，AB →
=(0,2,0)，AE →
=(−2,0,2)， 设平面ABE 的法向量n →
=(x,y,z)，
则{n →
⋅AE →
=−2x +2z =0˙
，
取x =1，得n →
=(1,0,1)， 设直线AC 与平面ABE 所成角为θ， sinθ=|cos <AC →
，n →
>|=√8×√
2
=1
2． ∴ 直线AC 与平面ABE 所成角的正弦值为1
2．
19. 解：（1）甲、乙两组数据的平均数分别为51.5，49，
甲班的客观题平均成绩更好．
（2）设从甲班数据中取1个数据，至少有1个满分为事件A ， 从乙班数据中取1个数据，至少有1个满分为事件B ， 则P(A)=
210
=15
，P(B)=
110
，
则从这两组数据中分别抽取一个数据，
至少有一个是满分的概率是P(AB)=1
5⋅1
10=1
50．
（3）设从甲班数据中任取2个数据，两个都是优秀客观卷为事件C
甲班10个数据中任意抽取两个有9+8+7+6+5+4+3+2+1=45种情况 甲班10个数据中任意抽取两个都是优秀客观卷有5+4+3+2+1=15种情况 则P(C)=15
45=1
3． 20. 解：（1）由题意可得{a +c =3c a
=12
，解得{a =2c =1
， ∴ b 2=3，
∴ 椭圆C 的方程为x 2
4+
y 23
=1．
（2）设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，
①当直线AB 斜率不存在时，S △AOB =√3=|x 1y 1|⇒x 12y 12=3⇒
y 1
23
=
1
x 1
2，
代入x 12
4+
y 1
23
=1，得x 12=2，则y 12
=3
2，
∴ |OA|2+|OB|2=x 12+y 12+x 22+y 22=2(x 12+y 12
)=7； ②当直线AB 斜率存在时，设直线AB:y =kx +m ，
与
x 24
+
y 23
=1联立得，(4k 2+3)x 2+8kmx +4m 2−12=0，△=48(4k 2−m 2+3)>0，
由韦达定理得，{x 1+x 2=−8km
4k 2+3
x 1x 2=4m 2−12
4k 2+3， 原点O 到直线AB 的距离d =
√1+k 2
，
|AB|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2
=√1+k 2
⋅√(−8km 4k 2+3)2−4⋅4m 2−12
4k 2+3
=
4k 2+
3˙
，
则S △AOB =√3=1
2√1+k 2|x 1−x 2|√1+k
2
，代入整理得1
4
=(4k 2+3)−m 2(4k 2+3)2
⋅m 2，
化简得2m 2=3+4k 2，
∴ |OA|2+|OB|2=x 12+y 12+x 22+y 22=x 12+(3−34x 12)+x 22+(3−34x 22)=1
4(x 12+x 22
)+6
=14[(x 1+x 2)2
−2x 1x 2]+6=14[(−8km 4k 2+3)2−2⋅4m 2−124k 2+3]+6 =2⋅4k 2m 2−3m 2+12k 2+9(4k 2+3)2+6
=2⋅
(4k 2−3)m 2+12k 2+9
(4k 2+3)2
+6=2⋅
(4k 2−3)⋅
4k 2+3
2
+12k 2+9(4k 2+3)2
+6=7．
综上，|OA|2+|OB|2=7（定值）． 21. 解：（1）∵ g(x)=lnx +kx ， ∴ g′(x)=1
x +k…
当k ≥0时，g ′(x)>0在(0, +∞)恒成立，则 (0, +∞)是g(x)的增区间 … 当k <0时，由g′(x)>0⇒1
x >−k ⇒0<x <−1
k ， 则 (0,−1
k )是g(x)的单调递增区间； 由g′(x)<0⇒1
x
<−k ⇒x >−1
k
，
则(−1
k
，+∞)是g(x)的单调递减区间 …
（2）若f(x)≥g(x)恒成立，即axe x −1≥lnx +x ，则a ≥lnx+x+1xe x
恒成立 …
设ℎ(x)=
lnx+x+1xe x
，ℎ′(x)=
(1+x)e x −(xe x +e x )(lnx+x+1)
(xe x )2
=
(1+x)e x (−lnx−x)
(xe x )2
…
令ℎ′(x)>0，则−lnx −x >0，
令u(x)=−lnx −x ，则u′(x)=−1
x −1<0，
即u(x)=−lnx −x 在(0, +∞)为减函数，且u(1)=−1<0，u(1e
)=1−1
e
>0，
故∃t ∈(0, 1)使u(t)=−lnt −t =0，…8分
∴ 当x ∈(0, t)时，u(x)>0，即ℎ′(x)>0，ℎ(x)在(0, t)上递增， 当x ∈(t, +∞)时，u(x)<0，即ℎ′(x)<0，ℎ(x)在(t, +∞)上递减， ∴ 当x =t 时，ℎ(x)取最大值ℎ(t)=lnt+t+1te t
=1te t =
1t⋅
1t
=1，…10分
∴ a ≥1...12分
22. 证明：连接AC ，AD ，AE ，AF ，则
∵ ADEB 是圆内接四边形， ∴ ∠AEC =∠D ， 同理∠C =∠AFD ，
从而∠DAF =∠CAF(1)∵ ∠DBA =∠CBA ， ∴ AD =AE ，AF =AC ， ∴ △ADF ≅△AEC ， ∴ DF =CE ；
（2）∵ DF =CE ， ∴ △ADF ≅△AEC ， ∴ AD =AE ，
∴ ∠DBA =∠CBA ．
23. 解：（1）直线l 的参数方程为{x =−1+t
y =2+t （t 为参数），消去t 可得x −y +3=0；
圆C 的极坐标方程分别为ρ2=4√2ρsin(θ−π
4)−6=4ρsinθ−4ρcosθ−6，∴ x 2+y 2=
4y −4x −6，即(x +2)2+(y −2)2=2； （2）易知A 在直线l 上，|PA|+|AQ|=|PQ| 圆心C 到直线l 的距离d =
√2
=
√2
，圆C 半径R =√2，
∴ (12
|PQ|)2+d 2=R 2，解得|PQ|=√6…
24. （1）解：当a =2时，
不等式f(x)≥4−|x −1|即为|x −2|≥4−|x −1|， ①当x ≤1时，
原不等式化为2−x ≥4+(x −1)， 得x ≤−1
2， 故x ≤−12；
②当1<x <2时，
原不等式化为2−x ≥4−(x −1)， 得2≥5，
故1<x <2不是原不等式的解； ③当x ≥2时，
原不等式化为x −2≥4−(x −1)， 得x ≥72， 故x ≥72．
综合①②③知，
原不等式的解集为(−∞,−1
2]∪[7
2,+∞)． （2）证明：由f(x)≤1得|x −a|≤1， 从而−1+a ≤x ≤1+a ．
∵ f(x)≤1的解集为{x|0≤x ≤2}， ∴ {
−1+a =0，
1+a =2，
得a =1，
∴ 1
m +1
2n =a =1． 又m >0，n >0， ∴ m +2n =(m +2n)(1
m +
12n
)
=2+(
2n m +m 2n
) ≥2+2√2n
m ⋅m
2n =4， 当且仅当
2n m
=
m 2n
，
即m =2n ，等号成立． 此时，联立1
m +1
2n =1， 得{m =2，n =1，
则m +2n =4，
故m +2n ≥4，得证．。