(物理)高考必备物理万有引力与航天技巧全解及练习题(含答案)

（物理）高考必备物理万有引力与航天技巧全解及练习题(含答案)
一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天
1．土星是太阳系最大的行星，也是一个气态巨行星。

图示为2017年7月13日朱诺号飞行器近距离拍摄的土星表面的气体涡旋(大红斑)，假设朱诺号绕土星做匀速圆周运动，距离土星表面高度为h 。

土星视为球体，已知土星质量为M ，半径为R ，万有引力常量为
.G 求：
()1土星表面的重力加速度g ； ()2朱诺号的运行速度v ； ()3朱诺号的运行周期T 。

【答案】()())(21?2?3?2GM GM R h
R h R R h GM
π+++【解析】 【分析】
土星表面的重力等于万有引力可求得重力加速度；由万有引力提供向心力并分别用速度与周期表示向心力可求得速度与周期。

【详解】
（1）土星表面的重力等于万有引力：2Mm
G mg R
= 可得2GM g R
=
（2）由万有引力提供向心力：2
2()Mm mv G R h R h
=++
可得：GM
v R h
=
+（3）由万有引力提供向心力：()2
22()()GMm m R h R h T
π=++ 可得：(2R h T R h GM
π+=+
2．某星球半径为6610R m =⨯，假设该星球表面上有一倾角为30θ=︒的固定斜面体，一质量为1m kg =的小物块在力F 作用下从静止开始沿斜面向上运动，力F 始终与斜面平
行，如图甲所示．已知小物块和斜面间的动摩擦因数3
3
μ=
，力F 随位移x 变化的规律如图乙所示（取沿斜面向上为正方向）．已知小物块运动12m 时速度恰好为零，万有引力常量11
226.6710
N?m /kg G -=⨯，求（计算结果均保留一位有效数字）
（1）该星球表面上的重力加速度g 的大小； （2）该星球的平均密度． 【答案】2
6/g m s =，
【解析】 【分析】 【详解】
（1）对物块受力分析如图所示；
假设该星球表面的重力加速度为g ，根据动能定理，小物块在力F 1作用过程中有：
2
11111sin 02
F s fs mgs mv θ--=- N mgcos θ= f N μ=
小物块在力F 2作用过程中有：
222221
sin 02
F s fs mgs mv θ---=-
由题图可知：1122156?
3?6?F N s m F N s m ====，；， 整理可以得到： (2)根据万有引力等于重力：
，则：
，
，
代入数据得
3．从在某星球表面一倾角为θ的山坡上以初速度v 0平抛一物体，经时间t 该物体落到山坡上．已知该星球的半径为R ，一切阻力不计，引力常量为G ，求： （1）该星球表面的重力加速度的大小g （2）该星球的质量M ．
【答案】(1) 02tan v t θ (2) 202tan v R Gt
θ
【解析】 【分析】
（1）物体做平抛运动，应用平抛运动规律可以求出重力加速度．（2）物体在小球的表面受到的万有引力等于物体的重力，由此即可求出． 【详解】
（1）物体做平抛运动，水平方向：0x v t =，竖直方向：2
12
y gt = 由几何关系可知：0
2y gt tan x v θ== 解得：0
2v g tan t
θ=
（2）星球表面的物体受到的重力等于万有引力，即：2
Mm
G
mg R = 可得：2202v R tan gR M G Gt
θ
==
【点睛】
本题是一道万有引力定律应用与运动学相结合的综合题，考查了求重力加速度、星球自转的周期，应用平抛运动规律与万有引力公式、牛顿第二定律可以解题；解题时要注意“黄金代换”的应用．
4．用弹簧秤可以称量一个相对于地球静止的小物体m 所受的重力，称量结果随地理位置的变化可能会有所不同。

已知地球质量为M ，自转周期为T ，万有引力常量为G ．将地球视为半径为R 、质量均匀分布的球体。

（1）求在地球北极地面称量时弹簧秤的读数F 0，及在北极上空高出地面0.1R 处称量时弹簧秤的读数F 1；
（2）求在赤道地面称量时弹簧秤的读数F 2；
（3）事实上地球更接近一个椭球体，如图所示。

如果把小物体放在北纬40°的地球表面上，请定性画出小物体的受力分析图，并画出合力。

【答案】（1）02Mm F G R = ()120.1GMm F R R =+ （2）22224Mm R
F G
m R T
π=- （3）
【解析】 【详解】
（1）在地球北极，不考虑地球自转，则弹簧秤称得的重力则为其万有引力，有：
02
GmM
F R
=
在北极上空高处地面0.1R 处弹簧秤的读数为：12
(0.1)GmM
F R R =
+；
（2）在赤道地面上，重力向向心力之和等于万有引力，故称量时弹簧秤的读数为：
2222
4GmM Rm
F R T π=-
（3）如图所示
5．假设在月球上的“玉兔号”探测器，以初速度v 0竖直向上抛出一个小球，经过时间t 小球落回抛出点，已知月球半径为R ，引力常数为G ． (1)求月球的密度．
(2)若将该小球水平抛出后，小球永不落回月面，则抛出的初速度至少为多大？ 【答案】（1）032v GRt π （20
2Rv t
【解析】
【详解】
(1)由匀变速直线运动规律：02
gt v = 所以月球表面的重力加速度0
2v g t
=
由月球表面，万有引力等于重力得
2
GMm
mg R = G
gR M 2
= 月球的密度03=
2v M V GRt
ρπ= (2)由月球表面，万有引力等于重力提供向心力：2
v mg m R
=
可得：0
2Rv v t
=
6．我们将两颗彼此相距较近的行星称为双星，它们在万有引力作用下间距始终保持不变，且沿半径不同的同心轨道作匀速圆周运动，设双星间距为L ，质量分别为M 1、M 2(万有引力常量为G)试计算：
()1双星的轨道半径 ()2双星运动的周期．
【答案】()2112121?M M L L M M M M ++，；()()
122?2L
L G M M π+；
【解析】
设行星转动的角速度为ω，周期为T ．
()1如图，
对星球1M ，由向心力公式可得： 212
112
M M G
M R ωL
= 同理对星2M ，有：2
1222
2
M M G
M R ωL =
两式相除得：
12
21
R M (R M ，=即轨道半径与质量成反比) 又因为12L R R =+ 所以得：21
121212
M M R L R L M M M M =
=++，
()2有上式得到：
ω=
因为2π
T ω
=
，所以有：T 2π=
答：()1双星的轨道半径分别是
21
1212
M M L L M M M M ++，；
()2双星的运行周期是
2π
点睛：双星靠相互间的万有引力提供向心力，抓住角速度相等，向心力相等求出轨道半径之比，进一步计算轨道半径大小；根据万有引力提供向心力计算出周期．
7．宇航员王亚平在“天宫一号”飞船内进行了我国首次太空授课．若已知飞船绕地球做匀速圆周运动的周期为T ，地球半径为R ，地球表面重力加速度g ，求： （1）地球的第一宇宙速度v ； （2）飞船离地面的高度h ．
【答案】（1）v =
（2）h R =
【解析】 【详解】
（1）根据2
v mg m
R
=得地球的第一宇宙速度为：
v =
（2）根据万有引力提供向心力有：
()2
224()Mm G m R h R h T
π=++， 又2
GM gR =
，
解得：h R =
．
8．阅读如下资料，并根据资料中有关信息回答问题 (1)以下是地球和太阳的有关数据
(2)己知物体绕地球表面做匀速圆周运动的速度为v ＝7.9km/s ，万有引力常量G ＝6.67×l0－
11
m 3kg －1s －2，光速C ＝3×108ms －1；
(3)大约200年前法国数学家兼天文学家拉普拉斯曾预言一个密度如地球，直径为太阳250倍的发光星体由于其引力作用将不允许任何光线离开它，其逃逸速度大于真空中的光速2倍），这一奇怪的星体就叫作黑洞．
在下列问题中，把星体（包括黑洞）看作是一个质量分布均匀的球体．（①②的计算结果用科学计数法表达，且保留一位有效数字；③的推导结论用字母表达） ①试估算地球的质量；
②试估算太阳表面的重力加速度；
③己知某星体演变为黑洞时的质量为M ，求该星体演变为黑洞时的临界半径R ． 【答案】（1）6×1024kg （2）32310/m s ⨯（3）2
2GM
C 【解析】
(1)物体绕地球表面做匀速圆周运动2
2
m GM v m R R =地地 解得：2
R v M G
=地＝6×1024kg (2)在地球表面2
m
GM mg R =地地地
解得：2
G R M g =
地
地地
同理在太阳表面2
G R M g =
日
日日
2
32
2g g 310/M R m s M R ==⨯日地日地
日
地 (3)第一宇宙速度212v GMm
m R R
=
第二宇宙速度212v c v == 解得：22GM R C
=
【点睛】本题考查了万有引力定律定律及圆周运动向心力公式的直接应用，要注意任何物体（包括光子）都不能脱离黑洞的束缚，那么黑洞表面脱离的速度应大于光速．
9．假设月球半径为R ，月球表面的重力加速度为g 0,如图所示，“嫦娥三号”飞船沿距月球表面高度为3R 的圆形轨道Ⅰ运动，到达轨道的A 点，点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道Ⅱ的近月点B 再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动.
(1)飞船在A 点点火前的动能是1k E ，点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ在A 点的动能是2k E ，试比较1k E 和2k E 的大小；
(2)求飞船在轨道Ⅲ跟轨道Ⅰ的线速度大小之比； (3)求飞船在轨道Ⅰ绕月球运动一周所需的时间． 【答案】（1）12k k E E > （2）2：1 （3）0
16R g π【解析】 【分析】 【详解】
（1）飞船在A 点处点火时，是通过向行进方向喷火，做减速运动，向心进入椭圆轨道，所以点火瞬间是动能减小的，故12k k E E >；
（2）飞船在轨道Ⅲ、轨道Ⅰ都做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力得：
22Mm v G m r r
= 解得：GM
v r
=
故飞船在轨道Ⅲ跟轨道Ⅰ的线速度大小之比为3113421
v r R v r R === （3）飞船在轨道Ⅰ绕月球运动，根据万有引力提供向心力得：2
224Mm G m r r T
π=
解得：3
2r T GM
=在月球表面有：02Mm
G
mg R =，解得：02
GM g R = 故周期为()
3
2
00
4216R R
T g R g ==【点睛】
卫星变轨也就是近心运动或离心运动，根据提供的万有引力和所需的向心力关系确定，在月球表面，万有引力等于重力，在任意轨道，万有引力提供向心力，联立方程即可求解相应的物理量．
10．2017年4月20日19时41分天舟一号货运飞船在文昌航天发射中心由长征七号遥二运载火箭成功发射升空。

22日12时23分，天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室顺利完成首次自动交会对接。

中国载人航天工程已经顺利完成“三步走”发展战略的前两步，中国航天空间站预计2022年建成。

建成后的空间站绕地球做匀速圆周运动。

已知地球质量为M，空间站的质量为m0，轨道半径为r0，引力常量为G，不考虑地球自转的影响。

（1）求空间站线速度v0的大小；
（2）宇航员相对太空舱静止站立，应用物理规律推导说明宇航员对太空舱的压力大小等于零；
（3）规定距地球无穷远处引力势能为零，质量为m的物体与地心距离为r时引力势能为
Ep=-
GMm
r。

由于太空中宇宙尘埃的阻力以及地磁场的电磁阻尼作用，长时间在轨无动力运行的空间站轨道半径慢慢减小到r1（仍可看作匀速圆周运动），为了修正轨道使轨道半径恢复到r0，需要短时间开动发动机对空间站做功，求发动机至少做多少功。

【答案】(1)
GM
v
r
=；(2)0；(3)
10
22
GMm GMm
W
r r
=-
【解析】
【详解】
解：(1)空间站在万有引力作用下做匀速圆周运动，则有：
2
000
2
00
GMm m v
r r
=
解得：
GM
v
r
=
(2)宇航员相对太空舱静止，即随太空舱一起绕地球做匀速圆周运动，轨道半径与速度和太空舱相同，此时宇航员受万有引力和太空舱的支持力，合力提供向心力
设宇航员质量为m，所受支持力为N F，则有：
2
000
2
00
N
GMm m v
F
r r
-=
解得：0
N
F=
根据牛顿第三定律，宇航员对太空舱的压力大小等于太空舱对宇航员的支持力，故宇航员
对太空舱的压力大小等于零
(3) 在空间站轨道由1r 修正到0r 的过程中，根据动能定理有：22011122
W W mv mv +=-万 而：10
()GMm GMm
W r r =-
--万 2
12
11
mv GMm r r = 联立上述方程解得：10
22GMm GMm
W r r =
-。