山西省山大附中2015-2016学年高二上学期期中考试数学试卷

山西大学附中
2015～2016学年高二第一学期11月（总第三次）模块诊断
数 学 试 题
考试时间：90分钟 考试内容：必修二1.1-3.2
一．选择题：(每小题4分)
1．已知直线l 过点2)-和(0,1)，则直线l 的倾斜角为( ) A ．150 B ．120 C ．60
D ． 30
2.如图，正方形''''O A B C 的面积为4，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为（ ）
A ．
B ．16
C ．12
D ．
3．在梯形ABCD 中，2
ABC π
∠=
，//,222AD BC BC AD AB === .将梯形ABCD 绕
AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）
A ．23π 错误！未找到引用源。

B ．43π错误！未找到引用源。

C ．53π
错误！未找到引用源。

D ．2π
4.已知0ab >，0bc <，则直线0ax by c ++=通过（ ） A ．第一、二、四象限 B ．第一、二、三象限 C ．第一、三、四象限 D ．第二、三、四象限
5．在三棱锥A BCD -中，已知侧面ABD ⊥底面BCD ，若60ABC ∠=︒，
45CBD ∠=︒，则侧棱AB 与底面BCD 所成的角为（ ）
A ．30︒
B ．45︒
C ．60︒
D ．75︒
6．一个长方体截去两个三棱锥,得到的几何体如图1所示,则该几何体的三视图为（ ）
7.三条不重合的直线,,a b c 及三个不重合的平面,,αβγ,下列命题正确的是（ ） A ．若//,//,a a αβ则//αβ
第12题
E
1D
1C
1B
D C
B
1A
A
第11题
B ．若,,,a αβαγβγ⋂=⊥⊥ 则a γ⊥
C ．若,,,,,a b c c a c b ααβ⊂⊂⊂⊥⊥则αβ⊥
D ．若,,//,//,a c c c αβγαβ⋂=⊂则//a γ
8.已知q p ,满足012=-+q p ，则直线03=++q y px 必过定点 （ ）
A ．)21,61(-
B ．)61,21(
C ．)61,21(-
D ．)2
1,61(-
9．在直三棱柱111ABC A B C -中，2AB AC BC ===，11AA =，则点A 到平面1A BC 的距离为( ) A
B
C
10．如图，111C B A ABC -是直三棱柱， 90=∠BCA ，点1D 和1F 分别是11B A 和11C A 的中点，若1CC CA BC ==，则1BD 与1AF 所成角的余弦值是（ ）
A ．
1030 B ．2
1 C ．1530 D ．1015
11.在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面1111A B C D ，底面1111A B C D 是边长为a 的正方形，侧棱1AA 的长为b ，E 为侧棱1BB 上的动点（包括端点），则（ ） A ．对任意的a ，b ，存在点E ，使得11B D EC ⊥ B ．当且仅当a b =时，存在点E ，使得11B D EC ⊥ C ．当且仅当a b ≥时，存在点E ，使得11B D EC ⊥ D ．当且仅当a b ≤时，存在点E ，使得11B D EC ⊥
12．三棱锥O ABC -中，,,,OA OB OB OC OC OA ⊥⊥⊥若,OA OB a OC b ===，D 是
该三棱锥外部(不含表面)的一点，给出下列四个命题，
① 存在无数个点D ，使OD ABC ⊥面；
② 存在唯一点D ，使四面体ABCD 为正三棱锥；
③ 存在无数个点D ，使OD AD BD CD ===；
④ 存在唯一点D ，使四面体ABCD 有三个面为直角三角形. 其中正确命题的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 二．填空题：(每小题4分)
13．两直线20ax y a -+=和(21)0a x ay a -++=互相垂直，则a = . 14．空间四边形,8,ABCD AB CD M N P ==、、分别为BD AC BC 、、的中点，若异面直线
AB 和CD 成60的角，则MN = ．
15．已知正三棱锥P ABC -的主视图和俯视图如下图所示,则此三棱锥的外接球的表面积为 .
16．已知ABC ∆的三边长分别为5AB =，4BC =，3AC =，M 是AB 边上的点，P 是
平面ABC 外一点，给出下列四个命题：
①若PA ⊥平面ABC ，则三棱锥P ABC -的四个面
都是直角三角形；
②若PM ⊥平面ABC ，且M 是AB 边的中点，则有PA PB PC ==；
③若5PC =，PC ⊥平面ABC ，则PCM ∆面积的
最小值为152；
④若
5
PB =，
PB ⊥
平面ABC ,则三棱锥
P ABC -
其中正确命题是 .
三．解答题：（共36分）
17．（8分）已知直线l 过点(2,3)P ，根据下列条件分别求出直线l 的方程. （1）l 在x 轴、y 轴上的截距之和等于0；
（2）l 与两条坐标轴在第一象限所围城的三角形面积为16．
18.（8分） 如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，AC BC =，,,D E F 分别为棱11,,AB BC AC 的中点.
1
（2）证明：平面1
ACD ⊥平面 11ABB A . 19．（理科）（10分）如图，在五面体ABCDEF 错误！未找到引用源。

中，错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

平面错误！未找到引用源。

,错误！未找到引用源。

////AD BC FE ，错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

为错误！未找到引用
源。

的中点,1
2
AF AB BC FE AD ==== ．错误！未找到引用源。

（1）证明：平面错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

平面错误！未找到引用源。

；
（2）求二面角错误！未找到引用源。

的余弦值．
错误！未找到引用源。

19．（文科）（10分）正方形ABCD 所在平面与三角形CDE 所在平面相交于CD ，AE ⊥平面CDE ，且3AE
=，6AB =．
（1）求证：AB ⊥平面ADE ； （2）求凸多面体ABCDE 的体积．
20．（10分）等边三角形ABC 的边长为3，点,D E 分别是边,AB AC 上的点，且满足
1
2
AD CE DB EA == (如图1) ．将△ADE 沿DE 折起到△1A DE 的位置，使二面角1A DE B --为直二面角，连结1A B 、C A 1
(如图2) ．
1（2）在线段BC 上是否存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60︒ ?若存在，求出PB 的长；若不存在，请说明理由．
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2015～2016学年高二第一学期11月（总第三次）模块诊断数学答
案
一、选择题：(每小题4分)
13．0或1 14．4或15．643
π
16．①②④ 三．解答题： 17．（8分）
解：（1）①当直线l 经过原点时在x 轴、y 轴上的截距之和等于0，此时直线l 的方程为，
②当直线l 经不过原点时，设直线l 的方程为
∵P （2，3）在直线l 上，∴
，a=﹣1，即x ﹣y+1=0．
综上所述直线l 的方程为3x ﹣2y=0或x ﹣y+1=0． ……4分
（2）设l 在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b （a ＞0，b ＞0），则直线l 的方程为
∵P （2，3）在直线l 上，∴
．
又由l 与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积为16，可得ab=32，∴a=8，b=4或
．
∴直线l 的方程为
或
．
综上所述直线l 的方程x+2y ﹣8=0或9x+2y ﹣24=0． ……8分
18. （8分）（1）证明：连接DE
E D , 分别为AB ,BC 的中点，1
//2
DE AC ∴ F 为11C A 的中点，1112
1
C A F A =
∴, 而AC C A //11AC F A 2
1
//
1∴F A DE 1//∴ ∴四边形DEF A 1是平行四边形EF D A //1∴
⊄EF 平面⊂D A CD A 11,平面CD A 1 //EF ∴平面CD A 1 ……4分
(Ⅱ)证明：⊥A A 1 平面ABC ,⊂CD 平面ABC ,CD A A ⊥∴1
BC AC = ,D 为AB 的中点，CD AB ⊥∴, A AB A A = 1⊥∴CD 平面11A ABB
又因为⊂CD 平面CD A 1
∴平面CD A 1⊥平面11A ABB ……8分
19．（理）（10分）错误！未找到引用源。

19.（文） 解析：（1）证明：∵AE ⊥平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，∴AE ⊥CD ．
在正方形ABCD 中，CD AD ⊥，
∵AD AE A =，∴CD ⊥平面ADE ．
∵AB CD ，∴AB ⊥平面ADE ． ……4分 （2）解法1：在Rt △ADE 中，3AE =，6AD =，
∴DE =
=．
过点E 作EF AD ⊥于点F ，
∵AB ⊥平面ADE ，EF ⊂平面ADE ，∴EF AB ⊥．
∵AD AB A =，∴EF ⊥平面ABCD ．
∵AD EF
AE DE ⋅=⋅，∴AE DE EF AD ⋅=
==
．
又正方形ABCD 的面积36ABCD S =，∴13
ABCDE E ABCD ABCD V V S EF -==⋅
1
363=
⨯=．故所求凸多面体ABCDE 的体积为． ……10分
解法2：在Rt △ADE 中，3AE =，6AD =，∴DE
==．
连接BD ，则凸多面体ABCDE 分割为三棱锥B CDE -和三棱锥B ADE -． 由（1）知，
CD ⊥DE
．∴11622
CDE S CD DE ∆=⨯⨯=⨯⨯=．
又AB
CD ，AB ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，∴AB 平面CDE ．
∴点B 到平面CDE 的距离为AE 的长度． ∴11
333
B CDE CDE V S AE -∆=⋅=⨯=．
∵
AB ⊥平面ADE ，∴1163
3
B ADE ADE V S AB -∆=⋅==．
∴ABCDE B CDE B ADE V V V --=+=+=
故所求凸多面体ABCDE 的体积为． ……10分 20. （10分）。