七年级数学下册第八章二元一次方程组知识总结例题(带答案)

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七年级数学下册第八章二元一次方程组知识总结例题
单选题
1、如果关于x ,y 的方程组{4x −3y =66x +my =26
的解是整数,那么整数m 的值为( )
A .4,−4,−5,13
B .4,−4,−5,−13
C .4,−4,5,13
D .−4,5,−5,13 答案:B
分析:先将m 看作已知量,解二元一次方程组,用m 表示出y ,再结合x ,y 为整数,得出y 的整数解,然后把y 的整数解代入①,得出x 的解,再把方程组的整数解代入②,即可得出m 的值. 解:{
4x −3y =6①6x +my =26②

由②×2−①×3,可得:y =34
2m+9, ∵x ,y 为整数,
∴当(2m +9)为−34,−17,−2,−1,34,17,2,1时,y 为整数,
∴把(2m +9)的值代入y =34
2m+9,可得:y =−1,y =−2,y =−17,y =−34,y =1,y =2,y =17,y =34,
∴把y 的整数解代入①,可得:x =3
4,x =0,x =−45
4,x =−24,x =9
4,x =3,x =574
,x =27,
∴方程组{4x −3y =66x +my =26 的整数解为{x =0y =−2 ,{x =−24y =−34 ,{x =3y =2 ,{x =27y =34

把方程组的整数解代入②,可得:m =−13,m =−5,m =4,m =−4. 故选:B
小提示:本题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组,解本题的关键是用含m 的代数式表示y . 2、小颖家离学校1200米,其中有一段为上坡路,另一段为下坡路,她去学校共用了16分钟,假设小颖上坡路的平均速度是3千米/小时,下坡路的平均速度是5千米/小时,若设小颖上坡用了xmin ,下坡用了ymin ,根据题意可列方程组( )
A .{3x +5y =1200x +y =16
B .{3
60x +5
60y =1.2x +y =16
C .{3x +5y =1.2x +y =16
D .{360x +5
60y =1200x +y =16
答案:B
分析:根据路程=时间乘以速度得到方程3
60x +5
60y =1.2,再根据总时间是16分钟即可列出方程组. ∵她去学校共用了16分钟, ∴x+y=16,
∵小颖家离学校1200米, ∴
360
x +
560
y =1.2,
∴{360x +5
60y =1.2x +y =16 ,
故选:B.
小提示:此题考查二元一次方程组的实际应用,正确理解题意列出方程组,注意时间单位,这是解题中容易出现错误的地方.
3、2x 3y m+1与3x n y 2是同类项,则m 与n 的值为( ) A .{m =1n =3 B .{m =3n =1 C .{m =2n =3 D .{m =3n =2
答案:A
分析:根据同类项定义,所含字母相同,相同字母的指数也相同,列方程组求解即可. 解:2x 3y m+1与3x n y 2是同类项, 则{3=n m +1=2 , 解得:{m =1n =3

故选A .
小提示:本题考查同类项,二元一次方程组,掌握所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项是解题关键.
4、下列方程组中,有无数组解的是( )
A .{2x -y =-2x -2y =-1
B .{
y =3x +5y =3x -2 C .{x -4y -7=02x -8y -14=0 D .{y =x -3y =2x -3
分析:分别求解每一个选项的方程组的解,即可得出答案. 解:A 、{
2x -y =-2x -2y =-1
解得:{x =-1y =0
,方程组有唯一一组解,故此选项不符合题意;
B 、{
y =3x +5
y =3x -2 解得方程组无解,故此选项不符合题意; C 、{
x -4y -7=0①2x -8y -14=0②

①×2−②,得0x-0y =0,则x 、y 可取任何值,所以方程组有无数组解,故此选项符合题意; D 、{
y =x -3y =2x -3
解得:{x =0y =-3 ,方程组有唯一一组解,故此选项不符合题意;
故选:C .
小提示:本题考查二元一次方程组的解,解二元一次方程组,注意二元一次方程组的解的三种情况:①方程组有唯一一组解,②方程组有无数组解,③方程组无解. 5、若|x −y −1|+3(x +y)2=0,则x 、y 的值为( ) A .x =0.5,y =0.5B .x =−0.5,y =−0.5 C .x =−0.5,y =0.5D .x =0.5,y =−0.5 答案:D
分析:本题可根据非负数的性质“两个非负数相加,和为0,这两个非负数的值都为0”,得到方程组,解出x 、y 的值即可.
解:依题意得:{x −y −1=0...(1)x +y =0 (2)

由(1)得:x =y +1(3),
将(3)代入(2)中得:y +1+y =2y +1=0, y =−0.5(4).
将(4)代入(3)得:x =0.5. 故选:D .
小提示:本题考查解二元一次方程组和绝对值、偶次方的非负性,解题的关键是熟练运用二元一次方程组的
6、已知{m +2n =−42m +n =9
,则代数式m −n 的值是( )
A .-5
B .5
C .13
D .1 答案:C
分析:两式相减即可得出答案. 解:{
m +2n =−4①2m +n =9②
将②-①,得m −n =13 故选C .
小提示:本题考查了二元一次方程的特殊解法,找到两式与m −n 的关系是解题的关键.
7、已知关于x ,y 的二元一次方程组{2x −y =4,kx +y =2 ,的解为{x =2,y =♥
,其中“♥”是不小心被墨水涂的,则k 的值为
( )
A .1
B .−1
C .2
D .−2 答案:A
分析:将x =2,代入2x −y =4,得y =0,将{x =2y =0
代入kx +y =2,即可求解.
解:将x =2,代入2x −y =4,得y =0, 将{x =2y =0 代入kx +y =2,得2k =2, 解得k =1. 故选A .
小提示:本题考查了二元一次方程组的解,理解二元一次方程的解的定义是解题的关键.
8、一套数学题集共有100道题,甲、乙和丙三人分别作答,每道题至少有一人解对,且每人都解对了其中的60道.如果将其中只有1人解对的题称作难题,2人解对的题称作中档题,3人都解对的题称作容易题,那么下列判断一定正确的是( )
A .容易题和中档题共60道
B .难题比容易题多20道
C .难题比中档题多10道
D .中档题比容易题多15道
分析:设容易题有a题,中档题有b题,难题有c题,根据“三种题型共100道,每道题至少有一人解对,且每人都解对了其中的60道”,即可得出关于a,b,c的三元一次方程组,用方程①×2-方程②,可求出c-
a=20,即难题比容易题多20题,此题得解.
解:设容易题有a题,中档题有b题,难题有c题,
依题意,得:{
a+b+c=100①
3a+2b+c=3×60②
①×2-②,得:c-a=20,
∴难题比容易题多20题.
故选:B.
小提示:本题考查了三元一次方程组的应用,找准等量关系,正确列出三元一次方程组是解题的关键.
9、如图,三个天平的托盘中形状相同的物体质量相等.图①、图②所示的两个天平处于平衡状态,要使第三个天平也保持平衡,可在它的右盘中放置( )
A.3个球B.4个球
C.5个球D.6个球
答案:C
分析:题目中的方程实际是说明了两个相等关系:设球的质量是x,小正方形的质量是y,小正三角形的质量是z.根据第一个天平得到:5x+2y=x+3z;根据第二个天平得到:3x+3y=2y+2z,把这两个式子组成方程组,解这个关于y,z 的方程组即可.
解:设球的质量是x,小正方形的质量是y,小正三角形的质量是z.
根据题意得到:{5x+2y=x+3z;
3x+3y=2y+2z
解得:{y=x
z=2x
;
第三图中左边是:x+2y+z=x+2x+2x=5x,因而需在它的右盘中放置5个球.
答:需在它的右盘中放置5个球.
所以C选项是正确的.
小提示:解决本题的关键是借助方程关系进行等量代换,进而求出球的数量.
10、若−2a m b4与5a n+2b2m+n可以合并成一项,则mn的值是()
A.2B.0C.-1D.1
答案:B
分析:根据合并同类项法则和同类项定义得出{m=n+2
2m+n=4
,求出m、n的值,最后求出答案即可.
解:∵−2a m b4与5a n+2b2m+n可以合并成一项,
∴{m=n+2
2m+n=4
,
解得:m=2,n=0,
∴mn=2×0=0,
故选:B.
小提示:本题考查了同类项的含义,合并同类项,二元一次方程组的解法,能根据同类项的含义得出m=n+2和2m+n=4是解此题的关键.
填空题
11、若{a=1
b=−2
是关于a,b的二元一次方程ax−ay+b=3的一个解,则代数式2x−2y−1的值是____.答案:9
分析:根据二元一次方程的解的概念将{a=1
b=−2
代入ax−ay+b=3中得到一个关于a,b的式子,然后整体代入求值即可.
∵{a=1
b=−2
是关于a,b的二元一次方程ax−ay+b=3的一个解,
∴x−y−2=3,
∴x−y=5,
2x−2y−1=2(x−y)−1=2×5−1=9,
所以答案是:9.
小提示:本题主要考查二元一次方程的解的概念和代数式求值,掌握二元一次方程的解的概念和整体代入法是解题的关键.
12、二元一次方程组{3x +2y =122x −y =1
的解为________.
答案:{x =2y =3
分析:方程组利用加减消元法求出解即可. 解:{
3x +2y =12①2x −y =1②

①+②×2得:7x =14, 解得:x =2,
把x =2代入②得:2×2-y =1 解得:y =3,
所以,方程组的解为{x =2y =3

所以答案是:{x =2y =3

小提示:此题考查了解二元一次方程组,利用了消元的思想,消元的方法有:代入消元法与加减消元法. 13、《张丘建算经》里有一道题:“今有鸡翁一值钱五,鸡母一值钱三,鸡雏三值钱一.凡百钱买鸡百只,问鸡翁、母、雏各几何.”译文:每一只公鸡值五文钱,每一只母鸡值三文钱,每三只小鸡值一文钱.现在用一百文钱买一百只鸡,问这一百只鸡中,公鸡、母鸡、小鸡各有多少只?请你结合你学过的知识,写出一组能够按要求购买的方案:公鸡买______只,母鸡买_______只,小鸡买_______只. 答案: 4(答案不唯一) 18(答案不唯一) 78(答案不唯一)
分析:设买了x 只公鸡,y 只母鸡,则买了(100−x −y )只小鸡,利用总价=单价×数量,即可得出关于x ,y 的二元一次方程,结合x ,y ,(100−x −y )均为自然数,即可求出结论. 解:设买了x 只公鸡,y 只母鸡,则买了(100−x −y )只小鸡, 依题意得:5x +3y +1
3(100−x −y )=100,即y =25−7
4x , 又∵x ,y ,(100−x −y )均为自然数,
∴{x=0 y=25
100−x−y=75或{
x=4
y=18
100−x−y=78
或{
x=8
y=11
100−x−y=81
或{
x=12
y=4
100−x−y=84

∴买的公鸡、母鸡、小鸡各0、25、75只或4、18、78只或8、11、81只或12、4、84只,
所以答案是:0、25、75只或4、18、78只或8、11、81只或12、4、84.
小提示:本题考查了二元一次方程的应用,找准等量关系,正确列出二元一次方程是解题的关键.
14、若a,c,d是整数,b是正整数,且满足a+b=c,b+c=d,c+d=a,则a+2b+3c+4d的最大值是
_______.
答案:-11
分析:由a+b=c,c+d=a,可得b+d=0,再由b+c=d可得2b+c=b+d=0,进而得出c=-2b,a=c-b=-3b,代入
a+b+c+d=-5b,已知b是正整数,其最小值为1,于是a+2b+3c+4d=-11b的最大值是-11.
解:∵a+b=c①,b+c=d②,c+d=a③,
由①+③,得(a+b)+(c+d)=a+c,
∴b+d=0④,
∵b+c=d②;
由④+②,得2b+c=b+d=0,
∴c=-2b⑤;
由①⑤,得a=c-b=-3b,⑥
由④⑤⑥,得a+2b+3c+4d=-11b,
∵b是正整数,其最小值为1,
∴a+2b+3c+4d的最大值是-11.
所以答案是:-11.
小提示:本题主要考查了三元一次方程组的应用,整式的加减、等式的基本性质,根据已知等式变形成a、c、d全部用同一个字母b来表示是解题的关键.
15、若3x2m−3-y2n−1=5是二元一次方程,m+n=______.
答案:3
分析:含有两个未知数,且含未知数的项的次数是1的整式方程是二元一次方程,根据定义得到2m -3=1,2n -1=1,求出m ,n 即可得到答案. 解:由题意的,2m -3=1,2n -1=1, 解得m =2,n =1, ∴m +n =2+1=3, 所以答案是:3.
小提示:此题考查了二元一次方程的定义,熟记定义是解题的关键. 解答题
16、阅读下列解方程组的方法,然后回答问题. 解方程组{
19x +17y =18①16x +14y =15②
解:由①﹣②得3x +3y =3即x +y =1③ ③×14得14x +14y =14④ ②﹣④得x =1
2,从而可得y =1
2 ∴方程组的解是{x =
1
2y =
12 . (1)请你仿上面的解法解方程组{2022x +2020y =20212023x +2021y =2022

(2)猜测关于x ,y 的方程组{(a +1)x +(a −1)y =a (b +1)x +(b −1)y =b
(a ≠b )的解是什么,并利用方程组的解加以验证.
答案:(1){x =1
2
y =12
(2)猜想:{x =
1
2y =12
,见解析 分析:(1)仿照例题,②﹣①,得x +y =1③,③×2021,得2021x +2021y =2021④,②﹣④得x =1
2,从而得y =1
2,即可求解.
(2)根据方程组中未知数的系数之间的关系,猜想方程组的解为{x =
1
2y =
12
,代入方程组检验即可求解. (1)解:{
2022x +2020y =2021①2023x +2021y =2022②
②﹣①,得x +y =1③,
③×2021,得2021x +2021y =2021④, ②﹣④得x =1
2
,从而得y =1
2

∴方程组的解是{x =
1
2y =12
. (2)猜想:{x =1
2
y =12
.验证把方程组的解代入原方程组, 得{1
2(a +1)+1
2
(a −1)=a 1
2
(b +1)+1
2(b −1)=b

即{a =a b =b 方程组成立. ∴方程组的解是{x =
1
2y =
12 . 小提示:本题考查了加减消元法解二元一次方程组,二元一次方程组的解,仿照例题求解是解题的关键. 17、数学乐园:解二元一次方程组{a 1x +b 1y =c 1①
a 2x +
b 2y =
c 2②,①×b 2−②×b 1得:(a 1b 2−a 2b 1)x =c 1b 2−c 2b 1,
当a 1b 2−a 2b 1≠0时,x =c 1b 2−c 2b 1a 1b 2
−a 2b 1
,同理:y =a 1c 2−a 2c
1a 1b 2
−a 2b 1

符号|
a b c d |称之为二阶行列式,规定:|a b
c d
|=ad −bc , 设D =|a
1
b 1a 2
b 2|,D x =|c
1b 1
c 2
b 2|,D y =|a 1
c 1
a 2
c 2|,那么方程组的解就是{x =D
x
D y =
D y D
(1)求二阶行列式|34
56
|的值; (2)解不等式:|
x x −2
2−4
|≥−2;
(3)用二阶行列式解方程组{3x−2y=6
2x+3y=17

(4)若关于x、y的二元一次方程组{3x−my=6
2x+3y=17
无解,求m的值.
答案:(1)|34
56
|的值是−2
(2)不等式的解集为x≤1
(3){x=4
y=3 (4)m=−4.5
分析:(1)根据|a b
c d
|=ad−bc,即可求出|34
56
|;
(2)根据|a b
c d
|=ad−bc,得|x x−2
2−4
|≥−2=x×(−4)−2(x−2)≥−2,解出x,即可;
(3)根据D=|a1b1
a2b2
|,D x=|
c1b1
c2b2
|,D y=|
a1c1
a2c2|,那么方程组的解就是{
x=D x
D
y=D y
D
,即可求出
{3x−2y=6
2x+3y=17
的解;
(4)根据{3x−my=6
2x+3y=17
无解,得D=0,即可求出m的值.
(1)∵|a b
c d
|=ad−bc
∴|34
56
|=3×6−4×5=−2
∴|34
56
|的值是−2.
(2)∵|a b
c d
|=ad−bc
∴|x x−2
2−4
|=−4x−2(x−2)
∴|x x−2
2−4
|≥−2=−4x−2(x−2)≥−2∴−4x−2x+4≥−2
∴−6x≥−6
∴x≤1
∴|x x−2
2−4
|≥−2的解集为x≤1.
(3)∵方程组{a1x+b1y=c1①
a2x+b2y=c2②
∴方程组{3x−2y=6
2x+3y=17
中,a1=3,a2=2,b1=−2,b2=3,c1=6,c2=17
∴D=|a1b1
a2b2|=|3−2
23
|=9−(−4)=13
D x=|
c1b1
c2b2
|=|6−2
173
|=18+34=52
D y=|
a1c1
a2c2|=|
36
217
|=3×17−12=39
x=D x
D =52
13
=4,y=D y
D
=39
13
=3
∴方程组的解为:{x=4
y=3.
(4)∵{a1x+b1y=c1①
a2x+b2y=c2②
∴方程组{3x−my=6
2x+3y=17
中,a1=3,a2=2,b1=−m,b2=3,c1=6,c2=17
∴D=|a1b1
a2b2|=|3−m
23
|=9−2(−m)=9+2m
∵{3x−my=6
2x+3y=17
无解
∴D=0
∴9+2m=0
解得m=−9
2

小提示:本题考查二元一次方程组的解法,解题的关键是理解题意新定义算法,根据二阶行列式计算.18、材料阅读:一个各个数位上数字均不相同且都不为0的四位自然数N,将其千位上数字与十位上数字之和记为x,百位上数字与个位上数字之和记为y,若x﹣y=1.且其千位上数字与个位上数字之和等于百位上数字,则称N为“扬一数”.例如:N=2573,x=2+7=9,y=5+3=8,x﹣y=1,2+3=5则2573是“扬一数”;再如N=2354,x=2+5=7,y=3+4=7,x﹣y=0≠1,所以2354不是“扬一数”.
(1)请判断4652和4157,是不是“扬一数”,并说明理由;
(2)已知一个四位数S是“扬一数”,且能被7整除,请求出所有满足条件的S.
答案:(1)4652是“扬一数”,4157是“扬一数”,见解析
(2)S=7952或5873或3794
分析:(1)根据新定义进行解答便可;
(2)设S=abcd,根据数S是“扬一数”,得(a+c)﹣(b+d)=1且a+d=b,进而得c=2d+1,从而求得c
=3,d=1或c=5,d=2或c=7,d=3或c=9,d=4,再根据S能被7整除,得157a+15d+1+a+2d+3
7
为整数,
进而得a+2d+3
7
为整数,对应前面c、d的值便可求得a、b的值,于是问题得解.
(1)解:4652是“扬一数”,4157不是“扬一数”.理由如下:
∵N=4652,x=4+5=9,y=6+2=8,x﹣y=1,4+2=6,
∴4652是“扬一数”,
∵N=4157,x=4+5=9,y=1+7=8,x﹣y=1,但4+7≠1,
∴4157“扬一数”;
(2)设S=abcd,
∵数S是“扬一数”,
∴(a+c)﹣(b+d)=1且a+d=b,
∴c﹣2d=1,
∴c=2d+1,
∴c=3,d=1或c=5,d=2或c=7,d=3或c=9,d=4,
∵S能被7整除,
∴1000a+100b+10c+d
7=1000a+100(a+d)+10(2d+1)+d
7
=157a+15d+1+a+2d+3
7
为整数,
∴a+2d+3
7
为整数,
∴a=7,b=9,c=5,d=2或a=5,b=8,c=7,d=3或a=3,b=7,c=9,d=4,
∴S=7952划5873或3794.
小提示:本题主要考查了新定义,整除的应用,不定方程的应用,关键是正确应用新定义和解不定方程.。

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