江西南昌一中、南昌十中2022高三上学期第四次联考-数学(文)

江西南昌一中、南昌十中2022高三上学期第
四次联考-数学（文）
数学试卷（文）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。

把答案填写在答题卡上 1．设集合
=
⋂∈-==≥--=Q P P x x y y Q x x x P 则},,12
1|{},02|{2
2
( ) A ．{|12}x x -≤< B ．}2|{≥x x C. }21|{<<-y y D ．}1{-
2．已知命题:p “[]0,1,x x a e ∀∈≥”，命题:q “2,40x R x x a ∃∈-+=”，若命题,p q 均
是真命题，则实数a 的取值范畴是
（ ）
A ．[4,)+∞
B ．[1,4]
C ．[,4]e
D ．(,1]-∞ 3．要得到函数sin y x =的图象，只需将函数
cos y x π⎛
⎫=- ⎪
3⎝
⎭的图象（ ） A ．向右平移π6
个单位
B ．向右平移π3
个单位
C ．向左平移π3
个单位
D ．向左平移π6
个单位
4. 设数列{}n
a
是等差数列，且154
32=++a a a ，则那个数列的前5项和5S =（ ）
A. 10
B. 15
C. 20
D. 25
5．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B ．若l α⊥，l m //，则m α⊥ C ．若l α//，m α⊂，则l m // D ．若l α//，m α//，则l m //
6．利用如图所示程序框图在直角坐标平面上打印一系列点，则打印
的点落在坐标轴上的个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 7．与向量a =31），b =（1，32 （ ）
A ．
1313(,)22
+- B 。

1313(,)22
-+
C ．
13131313(,),(,)2222
+-+---
D 。

13131313(,),(,)2222
-+-+-- 8．函数()M
f x 的定义域为R ，且定义如下：1,()
()0,()
∈⎧=⎨
∉⎩M x M f x x M （其中M 是实数集R 的
非空真子集），在实数集R 上有两个非空真子集A 、B 满足Φ=⋂B A ，则函数
()1()()()1
+=
++A B A B f x F x f x f x 的值域为 （ ）
A ．
{}0 B ．}{1
C ．
{}0,1 D ．∅
9．函数
2
1ln ||1
y y x x
==--+与在同一平面直角坐标系内的大致图象为 （ ）
10．定义在（—∞，0）⋃（0，+∞）上的函数()f x ，假如关于任意给定的等比数列{n
a }，
{()n f a ）仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列函数”．现有定义在（—∞，0）⋃
（0，+∞）上的如下函数：①()f x =2x ：②()2x f x =；③；④()ln ||f x x =．则其
中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为（ ） A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．②④
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11.:cm 某个几何体的三视图如下,单位则此几何体的体积为____.
24
4
2
2
正视图侧视图
俯视图
12. 已知
⎪⎩⎪⎨⎧≥-<=-,3),6(log 3,3)(2
3
1x x x e x f x 则))3((f f 的值为 .
13.在△ABC 中，已知60A =,1AB AC •=,则△ABC 的面积为 。

14. 已知x 和y 是实数，且满足约束条件
y x z x y x y x 32,72210
+=⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤-≤+则的最小值
是 . 15．已知函数
22(1)sin ()1
x x f x x ++=
+，其导函数记为'()f x ，则
(2012)'(2012)(2012)'(2012)f f f f ++---= .
三、解答题：共6小题，共75分。

解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16. （本小题满分12分） 已知函数.cos 3cos sin )(2x x x x f +=
（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求)(x f 在区间]2
,6[ππ-
上的最大值和最小值．
17. （本小题满分12分） 已知ABC ∆的角A 、B 、C 所对的边分别是,,a b c ， 设向量
(,)m a b =, (sin ,sin )n B A =, (2,2)p b a =--
（Ⅰ）若m ∥n ，求证：ABC ∆为等腰三角形； （Ⅱ）若m ⊥
p ，边长2c =，
3
C π=
，求ABC ∆的面积.
18. （本小题满分12分）
已知
1:(),
3
x p f x -=且|()|2f a <；
q ：集合2{|(2)10,}A x x a x x =+++=∈R ，且A ≠∅．
若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范畴.
19. （本小题满分12分）
如图：在三棱锥D-ABC 中，已知BCD ∆是正三角形，AB ⊥平面BCD ，AB BC a ==，E 为BC 的中点，F 在棱AC 上，且3AF FC =
（1）求三棱锥D －ABC 的表面积； （2）求证AC ⊥平面DEF ；
（3）若M 为BD 的中点，问AC 上是否存在一点N ，使MN ∥平面DEF ？若存在，说明点N 的位置；若不存在，试说明理由．
20. （本小题满分13分） 在数列{}n
a
中，已知
)
(log 32,41,41*
4
111N n a b a a a n n n n ∈=+==+.
（Ⅰ）求数列{}n
a
的通项公式；
（Ⅱ）求证：数列{}n
b 是等差数列；
E C
B
D A
F
N
M
（Ⅲ)设数列{}n c 满足n n n b a c ⋅=，求{}n c 的前n 项和n S .
21. （本小题满分14分）
已知函数2()()x f x ax x e =+，其中ｅ是自然数的底数，a R ∈． （1）当0a <时，解不等式()0f x >；
（2）当0a =时，求正整数ｋ的值，使方程()2f x x =+在［ｋ，ｋ＋１］上有解； （3）若()f x 在［－１，１］上是单调增函数，求a 的取值范畴．
南昌一中、南昌十中第四次联考数学试卷（文）
答题卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。

把答案填写在答题卡上
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11.---------------------------------------------- ; 12.-----------------------------------------------;
13.--------------------------------------------------; 14.------------------------------------------------;
15.---------------------------------------------------.
三、解答题：解承诺写出文字说明，证明过程或演算步骤（共6题，共75分）
16. （本小题满分12分）
17. （本小题满分12分）
18. （本小题满分12分）
19. （本小题满分12分）
20．（本小题满分13分）
E
C
B
D
A
F
N
M
21. （本小题满分14分）
2020年南昌一中、南昌十中第四次联考数学试卷（文）
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。

把答案填写在答题卡上
1
2 3 4 5
6 7 8 9 10
B C A D B B C B C
C
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11.----------------40/3---------------------- ; 12.---------------------3-------------------------;
2
---------------------; 14.----------------- --23/2------------------------;
15.--------2-- -------------------。

三、解答题：解承诺写出文字说明，证明过程或演算步骤（共6题，共75分）
16. （本小题满分12分） 已知函数
.cos 3cos sin )(2x x x x f +=
（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）求)(x f 在区间
]2
,6[ππ-
上的最大值和最小值．
解：（Ⅰ）x x x x f 2cos 3cos sin )(+=
)12(cos 2
3cos sin 221++⋅=x x x
232cos 232sin 21++=x x 2
3)32sin(+
+=π
x ∴函数)(x f 的最小正周期
π
π
==2
2T ． …………………6分 （Ⅱ）∵
26
ππ
≤
≤-
x ，
3
4320ππ
≤
+≤x ，
∴
,1)3
2sin(23≤+≤-πx …………………9分
∴
20sin(2)13222
x π
+≤++≤+= ∴ )(x f 在区间
]
2
,6[ππ-上的最大值为2
32+，最小值为0． ……………12分 17. （本小题满分12分）
已知ABC ∆的角A 、B 、C 所对的边分别是,,a b c ，设向量
(,)m a b =, (sin ,sin )n B A =,
(2,2)p b a =--
（Ⅰ）若m ∥n ，求证：ABC ∆为等腰三角形； （Ⅱ）若m ⊥
p ，边长2c =，
3
C π=
，求ABC ∆的面积.
证明：(Ⅰ) ∵m ∥n ， ∴sin sin a A b B =，由正弦定理可知，
22a b a b R R
⋅=⋅，其中R 是ABC ∆外接圆的半径， ∴a b =.
因此，ABC ∆为等腰三角形. …………………6分
（Ⅱ）由题意可知，
0m p ⋅=，即(2)(2)0,.a b b a a b ab -+-=∴+=
由余弦定理可知，2224()3,a b ab a b ab =+-=+-即2()340ab ab --=
4ab ∴=，(1ab =舍去)
∴
11sin 4sin 223
S ab C π
==⋅⋅= …………………12分 18．（本小题满分12分）已知
1:(),
3
x p f x -=且|()|2f a <；
q ：集合2{|(2)10,}A x x a x x =+++=∈R ，且A ≠∅．
若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范畴.
解答：若
1|()|||2
3
a
f a -=<成立，则616a -<-<， 即当57a -<<时p 是真命题； ……………………4分 若A ≠∅，则方程2(2)10x a x +++=有实数根， 由2(2)40a ∆=+-≥，解得4a ≤-，或0a ≥，
即当4a ≤-，或0a ≥时q 是真命题； ……………………8分 由于p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，∴p 与q 一真一假，
故知所求a 的取值范畴是(,5]
(4,0)[7,)-∞--+∞． ……………………12分
19. （本小题满分12分）
如图：在三棱锥D-ABC 中，已知BCD ∆是正三角形，AB ⊥平面BCD ，AB BC a ==，E 为BC 的中点，F 在棱AC 上，且
3AF FC =
（1）求三棱锥D －ABC 的表面积；
（2）求证AC ⊥平面DEF ； （3）若M 为BD 的中点，问AC 上是否存在一点N ，使MN ∥平面DEF ？若存在，说明点N 的位置；若不存在，试说明理由． 解：（1）∵AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥BC ，AB ⊥BD ． ∵△BCD 是正三角形，且AB ＝BC ＝a ，∴AD ＝AC
． 设G 为CD 的中点，则CG ＝12a ，AG
．
E C
B
D
A
F
N
M
∴
212ABC ABD
S S a ∆∆==
，2BCD S ∆=
，2ACD S ∆． 三棱锥D －ABC
的表面积为
2ACD
S ∆=．……………..4分
（2）取AC 的中点H ，∵AB ＝BC ，∴BH ⊥AC ． ∵AF ＝3FC ，∴F 为CH 的中点．
∵E 为BC 的中点，∴EF ∥BH ．则EF ⊥AC ． ∵△BCD 是正三角形，∴DE ⊥BC ． ∵AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥DE ．
∵AB ∩BC ＝B ，∴DE ⊥平面ABC ．∴DE ⊥AC ． ∵DE ∩EF ＝E ，∴AC ⊥平面DEF ． …..8分
（3）存在如此的点N ，当CN ＝3
8
CA
时，MN ∥平面DEF ．
连CM ，设CM ∩DE ＝O ，连OF ．由条件知，O 为△BCD 的重心，CO ＝23
CM ．
∴当CF ＝23CN 时，MN ∥OF ．∴CN ＝313
248CA CA ⋅=……….12分
20. （本小题满分13分）在数列{}n
a
中，已知
)
(log 32,41,41*
4
111N n a b a a a n n n n ∈=+==+.
（Ⅰ）求数列{}n
a
的通项公式；
（Ⅱ）求证：数列{}n
b 是等差数列；
（Ⅲ)设数列{}n c 满足n n n b a c ⋅=，求{}n c 的前n 项和n S .
解：（Ⅰ）∵4
1
1
=+n
n a a
∴数列｛n
a ｝是首项为41，公比为4
1的等比数列，
∴)
()4
1(*
N n a n n ∈=.…………………………………………………………………………3分 （Ⅱ）∵
2
log 34
1-=n n a b …………………………………………………………………… 4分
∴
2
32)41
(log 32
1-=-=n b n n .…………………………………………………………… 5分
E C
B
D
A
F
N
M
G H
O
∴11
=b ，公差d=3
∴数列}{n b 是首项11=b ，公差3=d 的等差数列.…………………………………………7分
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，n n a )
4
1(=，23-=n b n （n *N ∈）
∴)
(,)4
1
()23(*N n n c n n ∈⨯-=.………………………………………………………………8分 ∴
n n n n n S )
41()23()41()53()41(7)41(4411132⨯-+⨯-+⋯+⨯+⨯+⨯=-， ①
因此1432)4
1()23()41()53()41(7)41(4)41(141
+⨯-+⨯-+⋯+⨯+⨯+⨯=n n n n n S ② …………………………………………………………………………………………… 9分 两式①-②相减得132)
4
1()23(])41()41()41[(34
143+⨯--+⋯+++=
n n n n S
=1)4
1()23(21
+⨯+-n n .………………………………………………………………………11分
∴
)
()4
1(381232*1N n n S n n ∈⨯+-=+.………………………………………………………13分. 21. （本小题满分14分）已知函数
2()()x f x ax x e =+，其中ｅ是自然数的底数，a R ∈．
（1）当0a <时，解不等式()0f x >；
（2）当0a =时，求正整数ｋ的值，使方程()2f x x =+在［ｋ，ｋ＋１］上有解； （3）若()f x 在［－１，１］上是单调增函数，求a 的取值范畴． 解 ⑴因为e 0x >，因此不等式()0f x >即为20ax x +>， 又因为0a <，因此不等式可化为
1
()0
x x a
+<， 因此不等式()0f x >的解集为
1(0,)
a
-．…………………………4分 ⑵当0a =时, 方程即为e 2x x x =+，由于e 0x >，因此0x =不是方程的解， 因此原方程等价于
2e 10x x -
-=，令2()e 1x h x x
=--， 因为
22()e 0
x
h x x
'=+>关于∈x ()0,+∞恒成立，
因此()h x 在()0,+∞内是单调增函数，……………………………6分
又(1)e 30h =-<，2(2)e 20h =->， ，
因此方程()2f x x =+有且只有1个实数根， 在区间[]12，
， 因此整数k 的值为 1．……………………………………………9分 ⑶22()(21)e ()e [(21)1]e x x x f x ax ax x ax a x '=+++=+++，
① 当0a =时，()(1)e x f x x '=+，()0f x '≥在[11]-，上恒成立，当且仅当1x =-时 取等号，故0a =符合要求；………………………………………………………11分 ②当0a ≠时，令2()(21)1g x ax a x =+++，因为22(21)4410a a a ∆=+-=+>， 因此()0g x =有两个不相等的实数根1x ，2x ，不妨设12x x >，
因此()f x 有极大值又有极小值．
若0a >，因为(1)(0)0g g a -⋅=-<，因此()f x 在(11)-，内有极值点，
故()f x 在[]11-，
上不单调．………………………………………………………12分 若0a <，可知12
0x x >>，
因为()g x 的图象开口向下，要使()f x 在[11]-，上单调，因为(0)10g =>， 必须满足(1)0,(1)0.g g ⎧⎨-⎩≥≥即320,0.a a +⎧⎨-⎩≥≥因此203a -<≤.--------------------------13分 综上可知，a 的取值范畴是
2
[,0]3
-．………………………………………14分。