2020-2021中考数学备考之一元二次方程组压轴突破训练∶培优篇含答案

2020-2021中考数学备考之一元二次方程组压轴突破训练∶培优篇含答案
一、一元二次方程
1．已知关于x 的方程230x x a ++=①的两个实数根的倒数和等于3，且关于x 的方程
2
(1)320k x x a -+-=②有实数根，又k 为正整数，求代数式221
6
k k k -+-的值．
【答案】0. 【解析】 【分析】
由于关于x 的方程x 2
+3x +a =0的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a 的方程求出a ，又由于关于x 的方程（k -1）x 2
+3x -2a =0有实数根，分两种情况讨
论，该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k 为正整数，利用判别式可以求出k ，最后代入所求代数式计算即可求解． 【详解】
解：设方程①的两个实数根分别为x 1、x 2
则12123940x x x x a a +-⎧⎪
⎨⎪-≥⎩
＝＝＝ ， 由条件，知12
1212
11x x x x x x ++
==3， 即
33a -=，且94a ≤， 故a ＝－1，
则方程②为(k -1)x 2
+3x +2=0，
Ⅰ.当k -1=0时，k =1,x =23-，则221
06
k k k -=+-.
Ⅱ.当k -1≠0时，∆=9-8（k -1）=17-6-8k ≥0，则17
8
k ≤
， 又k 是正整数，且k≠1，则k =2，但使221
6k k k -+-无意义.
综上，代数式221
6
k k k -+-的值为0
【点睛】
本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解方程时一定要注意所求k 的值与方程判别式的关系．要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，
2．已知关于x 的一元二次方程（x ﹣3）（x ﹣4）﹣m 2=0． （1）求证：对任意实数m ，方程总有2个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是2，求m 的值及方程的另一个根．
【答案】（1）证明见解析；（2）m的值为，方程的另一个根是5．
【解析】
【分析】
（1）先把方程化为一般式，利用根的判别式△=b2-4ac证明判断即可；
（2）根据方程的根，利用代入法即可求解m的值，然后还原方程求出另一个解即可.【详解】
（1）证明：
∵（x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0，
∴x2﹣7x+12﹣m2=0，
∴△=（﹣7）2﹣4（12﹣m2）=1+4m2，
∵m2≥0，
∴△＞0，
∴对任意实数m，方程总有2个不相等的实数根；
（2）解：∵方程的一个根是2，
∴4﹣14+12﹣m2=0，解得m=±，
∴原方程为x2﹣7x+10=0，解得x=2或x=5，
即m的值为±，方程的另一个根是5．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系是关键.
当△=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；
当△=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；
当△=b2-4ac＜0时，方程没有实数根.
3．计算题
（1）先化简，再求值：
2
1
x
x-
÷（1+
2
1
1
x-
），其中x=2017．
（2）已知方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个相等的实数根，求m的值．
【答案】（1）2018；（2）m=4
【解析】
分析：（1）根据分式的运算法则和运算顺序，先算括号里面的，再算除法，注意因式分解的作用；
（2）根据一元二次方程的根的判别式求解即可.
详解：（1）
2
1
x
x-
÷（1+
2
1
1
x-
）
=
22
2
11 11 x x
x x
-+
÷
--
=
()() 2
2
11 1
x x
x
x x
+-
⋅
-
=x+1，
当x=2017时，原式=2017+1=2018
（2）解：∵方程x 2
﹣2x+m ﹣3=0有两个相等的实数根，
∴△=（﹣2）2﹣4×1×（m ﹣3）=0， 解得，m=4
点睛：此题主要考查了分式的混合运算和一元二次方程的根的判别式，关键是熟记分式方程的运算顺序和法则，注意通分约分的作用.
4．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣x+a ﹣1=0． （1）当a=﹣11时，解这个方程；
（2）若这个方程有两个实数根x 1，x 2，求a 的取值范围；
（3）若方程两个实数根x 1，x 2满足[2+x 1（1﹣x 1）][2+x 2（1﹣x 2）]=9，求a 的值． 【答案】（1）123,4x x =-=（2）54
a ≤（3）-4 【解析】
分析：（1）根据一元二次方程的解法即可求出答案； （2）根据判别式即可求出a 的范围； （3）根据根与系数的关系即可求出答案．
详解：（1）把a =﹣11代入方程，得x 2
﹣x ﹣12=0，（x +3）（x ﹣4）=0，x +3=0或x ﹣
4=0，∴x 1=﹣3，x 2=4；
（2）∵方程有两个实数根12x x ，，∴△≥0，即（﹣1）2﹣4×1×（a ﹣1）≥0，解得
54
a ≤
：； （3）∵12x x ，是方程的两个实数根，
2222
11221122101011x x a x x a x x a x x a -+-=-+-=∴-=--=-，，，．
∵[2+x 1（1﹣x 1）][2+x 2（1﹣x 2）]=9，∴22
1122229x x x x ⎡⎤⎡⎤+-+-=⎣⎦⎣⎦，把
22
112211x x a x x a -=--=-， 代入，得：[2+a ﹣1][2+a ﹣1]=9，即（1+a ）2=9，解得：
a =﹣4，a =2（舍去），所以a 的值为﹣4．
点睛：本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用判别式以及根与系数的关系．
5．某社区决定把一块长50m ，宽30m 的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小形状都相同的矩形) ，空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，当绿化区较长边x 为何值时，活动区的面积达到21344m ?
【答案】当13x m =时，活动区的面积达到21344m 【解析】 【分析】
根据“活动区的面积＝矩形空地面积﹣阴影区域面积”列出方程，可解答. 【详解】
解:设绿化区宽为y ，则由题意得
502302x y -=-.
即10y x =-
列方程: 50304(10)1344x x ⨯--= 解得13x =- (舍)，213x =.
∴当13x m =时，活动区的面积达到21344m 【点睛】
本题是一元二次方程的应用题，确定等量关系是关键，本题计算量大，要细心．
6．已知两条线段长分别是一元二次方程28120x x -+=的两根， （1）解方程求两条线段的长。

（2）若把较长的线段剪成两段，使其与另一段围成等腰三角形，求等腰三角形的面积。

（3）若把较长的线段剪成两段，使其与另一段围成直角三角形，求直角三角形的面积。

【答案】（1）2和6；（2）3）83
【解析】 【分析】
（1）求解该一元二次方程即可;
（2）先确定等腰三角形的边，然后求面积即可；
（3）设分为两段分别是x 和6x -，然后用勾股定理求出x ，最后求面积即可. 【详解】
解：（1）由题意得()()260x x --=， 即：2x =或6x =， ∴两条线段长为2和6；
（2）由题意，可知分两段为分别为3、3，则等腰三角形三边长为2，3，3，
∴此等腰三角形面积为
1
22
⨯⨯= （3）设分为x 及6x -两段
()2
2226x x +=-
∴83x =
， ∴2823
x S ∆=
=， ∴面积为8
3
.
【点睛】
本题考查了一元二次方程、等腰三角形、直角三角形等知识，考查知识点较多，灵活应用所学知识是解答本题的关键.
7．如图，在Rt ABC 中，90B =∠，10AC cm =，6BC cm =，现有两点P 、Q 的分别从点A 和点B 同时出发，沿边AB ，BC 向终点C 移动．已知点P ，Q 的速度分别为
2/cm s ，1/cm s ，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，设P ，Q 两点移动时间为xs ．问是否存在这样的x ，使得四边形APQC 的面积等于216cm ？若存在，请
求出此时x 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】假设不成立，四边形APQC 面积的面积不能等于216cm ，理由见解析 【解析】 【分析】
根据题意，列出BQ 、PB 的表达式，再列出方程，判断根的情况. 【详解】
解：∵90B ∠=，10AC =，6BC =， ∴8AB =．
∴BQ x =，82PB x =-；
假设存在x 的值，使得四边形APQC 的面积等于216cm ， 则
()11
68821622
x x ⨯⨯--=， 整理得：2480x x -+=， ∵1632160=-=-<，
∴假设不成立，四边形APQC 面积的面积不能等于216cm ． 【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握方程根的判别方法、理解方程的意义是本题的解题关键.
8．用适当的方法解下列一元二次方程：
（1）2x 2＋4x －1＝0；（2）(y ＋2)2－(3y －1)2
＝0.
【答案】（1）x 1＝－1x 2＝－12）y 1＝－14，y 2＝32.
【解析】
试题分析：（1）根据方程的特点，利用公式法解一元二次方程即可；
（2）根据因式分解法，利用平方差公式因式分解，然后再根据乘积为0的方程的解法求解即可.
试题解析：（1）∵a=2，b=4，c=-1 ∴△=b 2-4ac=16+8=24＞0
∴1=-
∴x 1＝－1＋
2，x 2＝－1－2
（2）(y ＋2)2－(3y －1)2
＝0
[(y+2)+(3y-1)][ (y+2)-(3y-1)]=0 即4y+1=0或-2y+3=0 解得y 1＝－
14，y 2＝32
.
9．已知关于x 的一元二次方程x 2－（2k ＋1）x ＋k 2＋2k ＝0有两个实数根x 1，x 2． （1）求实数k 的取值范围；
（2）是否存在实数k ，使得x 1·x 2－x 12－x 22≥0成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当k≤1
4
时，原方程有两个实数根(2)不存在实数k ，使得x 1·
x 2－x 12－x 22≥0成立 【解析】
试题分析：（1）根据一元二次方程根的判别式列出不等式，解之即可；（2）本题利用韦达定理解决. 试题解析：
（1）∆= ()()
2
2
21420k k k +-+≥，解得14
k ≤
（2）由22
12120x x x x --≥得 2121230x x x x （）-
+≥，
由根与系数的关系可得：2
121221,2x x k x x k k +=+=+
代入得：22364410k k k k +---≥， 化简得：()2
10k -≤， 得1k =.
由于k 的取值范围为14
k ≤
， 故不存在k 使22
12120x x x x --≥．
10．已知:如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =cm ，6BC =cm.直线PE 从B 点出发，以2 cm/s 的速度向点A 方向运动，并始终与BC 平行，与线段AC 交于点E .同时，点F 从C 点出发，以1cm/s 的速度沿CB 向点B 运动，设运动时间为t (s) (05t <<) . (1)当t 为何值时，四边形PFCE 是矩形?
(2)当ABC ∆面积是PEF ∆的面积的5倍时，求出t 的值;
【答案】（1）3011t =；（2）52
t ±=。

【解析】 【分析】
（1）首先根据勾股定理计算AB 的长，再根据相似比例表示PE 的长度，再结合矩形的性质即可求得t 的值.
（2）根据面积相等列出方程，求解即可. 【详解】
解：（1）在Rt ABC ∆中，
90,8,6C AC BC ︒∠===，
10AB ∴===
102//,,1068
PA PE AE t PE AE PE BC AB BC AC -∴
==∴== 34
(102),(102)55PE t AE t ∴=-=-，当PE CF =时，四边形PECF 是矩形，
3(102)5t t ∴-= 解得30
11
t =
（2）由题意2242411
6825552
t t =
+=⨯⨯⨯
整理得2t 550t -+=，解得52
t =
t ∴=
，ABC ∆面积是PEF ∆的面积的5倍。

【点睛】
本题主要考查矩形的动点问题，这是近几年的考试热点，必须熟练掌握.
11．已知x=﹣1是关于x 的方程x 2+2ax+a 2=0的一个根，求a 的值． 【答案】1
【解析】试题分析：根据一元二次方程解的定义，把x=﹣1代入x 2+2ax+a 2
=0得到关于a 的一元二次方程1﹣2a+a 2
=0，然后解此一元二次方程即可． 试题解析：把x=﹣1代入x 2+2ax+a 2
=0得
1﹣2a+a 2=0， 解得a 1=a 2=1， 所以a 的值为1.
12．关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣(n ﹣1)＝0有两个不相等的实数根． (1)求n 的取值范围；
(2)若n 为取值范围内的最小整数，求此方程的根． 【答案】(1)n ＞0；(2)x 1＝0，x 2＝2． 【解析】 【分析】
(1)根据方程有两个不相等的实数根可知240b ac ∆=-> ，即可求出n 的取值范围； （2）根据题意得出n 的值，将其代入方程，即可求得答案. 【详解】
(1)根据题意知，[]
2
2
4(2)41(1)0b ac n ∆=-=--⨯⨯--> 解之得：0n >；
(2)∵0n > 且n 为取值范围内的最小整数， ∴1n =，
则方程为220x x -=， 即(2)0x x -=， 解得120,2x x ==． 【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，明确和掌握一元二次方程
20(a 0)++=≠ax bx c 的根与24b ac ∆=-的关系（①当>0∆ 时，方程有两个不相等
的实数根；②当0∆= 时方程有两个相等的实数根；③当∆<0 时，方程无实数根）是
解题关键.
13．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（2m+1）=0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求m的取值范围．
【答案】（1）m≤4；（2）3≤m≤4．
【解析】
试题分析：（1）根据判别式的意义得到△=（-6）2-4（2m+1）≥0，然后解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=6，x1x2=2m+1，再利用2x1x2+x1+x2≥20得到2
（2m+1）+6≥20，然后解不等式和利用（1）中的结论可确定满足条件的m的取值范围．试题解析：
（1）根据题意得△＝（－6）2－4（2m＋1）≥0，
解得m≤4；
（2）根据题意得x1＋x2＝6，x1x2＝2m＋1，
而2x1x2＋x1＋x2≥20，所以2（2m＋1）＋6≥20，解得m≥3，
而m≤4，所以m的范围为3≤m≤4．
14．校园空地上有一面墙，长度为20m，用长为32m的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃，如图所示．
（1）能围成面积是126m2的矩形花圃吗？若能，请举例说明；若不能，请说明理由．（2）若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积能达到170m2吗？请说明理由．
【答案】（1）长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米；（2）若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积不能达到170m2．
【解析】
【分析】
（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（32﹣2x）米，再根据矩形面积公式列方程求解即可得到答案.
（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣2y）米，再根据矩形面积公式列方程，求得方程无解，即假设不成立.
【详解】
（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（32﹣2x）米，
根据题意得：x(32﹣2x)=126，
解得：x1=7，x2=9，
∴32﹣2x=18或32﹣2x=14，
∴假设成立，即长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米．
（2）假设能，设AB 的长度为y 米，则BC 的长度为（36﹣2y ）米， 根据题意得：y(36﹣2y)=170，
整理得：y 2
﹣18y+85=0．
∵△=(﹣18)2﹣4×1×85=﹣16＜0， ∴该方程无解，
∴假设不成立，即若篱笆再增加4m ，围成的矩形花圃面积不能达到170m 2．
15．已知关于x 的方程（a ﹣1）x 2+2x +a ﹣1＝0． （1）若该方程有一根为2，求a 的值及方程的另一根；
（2）当a 为何值时，方程的根仅有唯一的值？求出此时a 的值及方程的根． 【答案】（1）a=1
5，方程的另一根为12
；（2）答案见解析. 【解析】 【分析】
（1）把x=2代入方程，求出a 的值，再把a 代入原方程，进一步解方程即可；
（2）分两种情况探讨：①当a=1时，为一元一次方程；②当a≠1时，利用b 2
－4ac ＝0求
出a 的值，再代入解方程即可． 【详解】
（1）将x ＝2代入方程2
(a 1)x 2x a 10-++-=，得4(a 1)4a 10-++-=，解得：a ＝
15
． 将a ＝15代入原方程得24
x 2054x 5-+-=，解得：x 1＝12
，x 2＝2． ∴a ＝
1
5，方程的另一根为12
； （2）①当a ＝1时，方程为2x ＝0，解得：x ＝0.
②当a≠1时，由b 2－4ac ＝0得4－4(a －1)2＝0，解得：a ＝2或0． 当a ＝2时， 原方程为：x 2
＋2x ＋1＝0，解得：x 1＝x 2＝－1； 当a ＝0时， 原方程为：－x 2＋2x －1＝0，解得：x 1＝x 2＝1． 综上所述，当a ＝1，0，2时，方程仅有一个根，分别为0，1，－1. 考点：1.一元二次方程根的判别式；2.解一元二次方程；3.分类思想的应用.。