重庆市2019届中考数学一轮复习《7.1统计》讲解含答案
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第七章 统计和概率
第一节 统计
课标呈现指导方向
1.经历收集、整理、描述和分析数据的活动,了解数据处理的过程;能用计算器处理较为复杂的数据. 2.体会抽样的必要性,通过实例了解简单随机抽样。
3.会制作扇形统计图,能用统计图直观、有效地描述数据。
4.理解平均数的意义,能计算中位数、众数、加权平均数,了解它们是数据集中趋势的描述。
5.体会刻画数据离散程度的意义,会计算简单数据的方差。
6.通过实例,了解频数和频数分布的意义,能画频数直方图,能利用频数直方图解释数据中蕴含的信息。
7.体会样本与总体的关系,知道可以通过样本平均数、样本方差推断总体平均数、总体方差。
8.能解释统计结果,根据结果作出简单的判断和预测,并能进行交流。
9.通过表格、折线图、趋势图等,感受随机现象的变化趋势。
考点梳理 夯实基础 1.数据的收集:
⑴普查:为了一定目的而对______考察对象进行的调查叫做普查,普查又叫____。
⑵抽样检查:为了一定目的而对______考察对象进行的调查叫做抽样调查,简称抽查。
⑶总体与个体:我们把所要考察的对象的______叫做总体,把组成总体的______叫做个体。
⑷样本与样本容量:从总体中取出的一部分_____个体叫做总体的一个样本;样本中包含的个体的______叫做样本容量。
样本容量没有单位。
【答案】:⑴所有 全面调查处 ⑵部分 ⑶全体 每个考查对象 ⑷个体 数目 2.数据的整理
⑴频数与频率:在记录实验数据时,每个对象出现的_____称为频数量。
每个对象出现的次数与总次数的_____(或者百分比)称为频率。
各小组的频数之和等于总数,各小组的频率之和等于_____。
⑵统计图选择:
①______统计图可以直观地反映数据的数量特征; ②______统计图可以直观地反映数据的数量变化规律;
③______统计图可以直观地反映出各部分数量在总体中所占的百分比。
【答案】:⑴次数 比值 1 ⑵①条形 ②折线 ③扇形 3.数据代表 ⑴平均数:
①在一组数据中,用数据的总和除以数据的总个数就得到这组数据的_________。
②在一组数据中,各个数在总结果中所占的百分比称为这个数的权重,每个数乘以它相应的权重后所得的平均数叫做这组数据的__________。
⑵中位数:将一组数据______依次排列,位于正中间位置的数(或正中间两个数据的平均数据的平均数)叫做这组数据的中位数。
⑶众数:在一组数据中,出现_______的数叫做这组数据的众数。
【答案】:⑴①算术平均数 ②加权平均数 ⑵按大小 ⑶次数最多 4.数据的波动
⑴极差:极差:一组数据中的______减去________所得的差称为这组数据的极差。
⑵方差:我们可以用“先平均,再求差,然后平方,最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况情况,这个结果通常称为方差。
计算方差公式:设一组数据是1x ,2x ,3x ,…,n x ,x 是这组数据的平均数,则这数据的方差是:
()()()()
2222
21231
n s x x x x x x x
x n ⎡⎤=-+-+-+
-⎢
⎥⎣⎦。
⑶极差、方差都是反应一组数据波动程度的特征数,一般地,一组数据的极差、方差_______,这组数据
就越稳定。
⑷平均数和方差的变化规律
若一组数据1x ,2x ,3x ,…,n x 的平均数为x ,方差s 2
,则:
①数据1kx ,2kx ,3kx ,…,n kx 的平均数为k x ,方差k 2s 2
;
②数据1x b +,2x b +,3x b +,…,n x b +的平均数为x b +,方差s 2
; ③数据1kx b +,2kx b +,3kx b +,…,n kx b +的平均数为k x b +,方差k 2s 2。
【答案】:
考点精析 专题突破
考点一 总体、个体、样本和样本容量
【例1】(2019重庆育才)今年我市有4万名学生参加中考,为了了解这些考生的数学成绩,从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计分析。
在这个问题中,下列说法:①这4万名考生的数学中考成绩的全体是总体;②每个考生是个体;③2000名考生是总体的一个样本;④样本容量是2000.其中说法正确的有( ) A .4个 B .3个 C .2个 D .1个
解题点拨:总体是指考查的对象的全体,个体是总体中的每一个考查的对象,样本是总体中所抽取的一部分个体,总体、个体和样本一定要带上调查的对象,而样本容量则是指样本中个体的数目,没有单位. 【答案】C
考点二 调查方式
【例2】(2019山西)以下问题不适合全面调查的是( ) A .调查某班学生每周课前预习的时间 B .调查某中学在职教师的身体健康状况 C .调查全国中小学生课外阅读情况 D .调查某篮球队员的身高
解题点拨:一般来说,对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时,应选择抽样调查,对于精确度要求高的调查,事关重大的调查往往选用全面调查。
【答案】C
考点三 扇形、条形、折线统计图的选择
【例3】要反映重庆市某一周每天的最高气温的变化趋势,宜采用( )
A .条形统计图
B .扇形统计图
C .折线统计图
D .频数分布直方图
解题点拨:根据统计图的特点进行分析可得:扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比,但一觳不能直接从图中得到具体的数据:折线统计图表示的是事物的变化情况:条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目。
【答案】C
【例4】(2019云南)某中学为了丰富学生的校园体育锻炼生活,决定根据学生的兴趣爱好采购一批体育用品供学生课后锻炼使用,因此学校随机抽取了部分同学就兴趣爱好进行调查,将收集的数据整理并绘制成下列两幅统计图,请根据图中的信息,完成下列问题:
(1)设学校这次调查共抽取了n 名学生,直接写出n 的值; (2)请你补全条形统计图;
(3)设该校共有学生1200名,请你估计该校有多少名学生喜欢跳绳?
解题点拨:(1)根据喜欢篮球的人数有25人,占总人数的25%即可得出总人数; (2)根据总人数求出喜欢羽毛球的人数,补全条形统计图即可;
(3)求出喜欢跳绳的人数占总人数的20%即可得出结论.
解:(1)∵喜欢篮球的人数有25人,占总人数的25%,∴
25
25%
=100(人);
(2)∵喜欢羽毛球的人数=l00×20% =20人,
∴条形统计图如图;
(3)由已知得,1200×20% =240(人).
答:该校约有240人喜欢跳绳.
考点四平均数、中位数和众数
【例5】(2019成宁)某班七个兴趣小组人数分别为4,4,5,5,x,6,7.已知这组数据的平均数是5,则这组数据的众数和中位数分别是 ( )
A.4,5 B.4,4 C.5,4 D.5,5
解题点拨:先根据平均数求出戈,再根据众数是一组数据中出现次数最多的数据可得出众数:找中位数时要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数.
【答案】A
考点五极差、方差
【例6】(2019成都)学校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选m一组代表学校参加青少年科技创新大赛,各组的平时成绩的平均数戈(单位:分)及方差s2如表所示:
如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛,那么应选的组是()
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
解题点拨:先比较平均数得到乙组和丙组成绩较好,然后比较方差得到丙组的状态稳定,于是可决定选丙组去参赛。
【答案】C
课堂训练当堂检测
1.(2019重庆4卷)下列调查中,最适合采用全面调查(普查)方式的是()
A.对重庆市直辖区内长江流域水质情况的调查
B.对乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品的调查
C.对一个社区每天丢弃塑料袋数量的调查
D.对重庆电视台“天天630”栏目收视率的调查
【答案】B
2.(2019新疆)某小组同学在一周内参加家务劳动时间与人数情况如表所示:
下列关于“劳动时间”这组数据叙述正确的是()
A.中位数是2 B.众数是2 C.平均数是3 D.方差是0
【答案】B
3.(2019烟台)某射击队要从甲、乙、丙、丁四人中选拔一名选手参赛,在选拔赛中,每人射击10次,然后从他们的成绩平均数(环)及方差两个因素进行分析,甲、乙、丙的成绩分析如表所示,丁的成绩如图所示.根据以上图表信息,参赛选手应选_______.
【答案】丁
4.(2019连云港)随着我市社会经济的发展和交通状况的改善,我市的旅游业得到了高速发展,某旅游公司对我市一企业旅游年消费情况进行了间卷调查,随机抽取部分员工.记录每个人的消费金额,并将调查数据适当调整,绘制成两幅尚不完整的表和图。
根据以上信息回答下列问题:
⑴a=______,b=______,c=________。
并将条形统计图补充完整;
⑵这次调查中,个人年消费金额的中位数m现在_______组;
⑶若这个企业有3000多名员工,请你估计个人旅游年消费金额在6000元以上的人数.
【答案】解:⑴观察频数分布表如:A组有18人,频率为0.15,
∴c=18÷0.15=120,
∵a=36
∴b=36÷120=0.30;
∴C组的频数为120-18-36-24-12=30,
补全统计图为:
故答案为:36,0.30,120;
(2)∵共120人,
∴中位数为第60和第61人年消费金额的平均数,
∴中位数应该落在C小组内;
(3)个人旅游年消费金额在6000元以上的人数3000×(0.10+0.20)= 900人.
中考达标模拟自测
A组基础训练
一、选择题
1.(2019重庆育才)今年我市有近4万名考生参加中考,为了解这些考生的数学成绩,从中抽取1000名考生的数学成绩进行统计分析,以下说法正确的是( )
A.每位考生的数学成绩是介体B.近4万名考生是总体
C.这1000名考生是总体的一个样本D.1000名学生是样本容量
【答案】A
2.以下问题,适合采用抽样调查的是 ( )
A.了解全班同学每周体育锻炼的时间B.旅客上飞机前的安检
C.学校招聘教师,对应聘人员面试D.了解全市中小学生每天的零花钱
【答案】D
3.(2019重庆八中)为了调查某种小麦的长势,从中抽取了10株麦苗,测得苗高(单位:cm)为:16,9,14,11,12,10,16,8,17,19,则这组数据的中位数和极差分别是()
A.11,11 B.12,11 C.13,11 D.13,16
【答案】C
4.(2019鄂州)为了解某社区居民的用电情况,随机对该社区10户居民进行调查,下表是这10户居民2019年4月份用电量的调查结果:
那么关于这10户居民月用电量(单位:度),下列说法错误的是()
A.中位数是50 B.众数是51 C.方差是42 D.极差是21
【答案】C
二、填空题
5.(2019衢州)在某校“我的中国梦”演讲比赛中,有7名学生参加决赛,他们决赛的最终成绩各不相同,其中一名学生想要知道白己能否进入前3名,他不仅要了解白己的成绩,还要了解这7名学生成绩的________(填平均数、中位数或众数).
【答案】中位数
6.(2019临沂)某老师为了解学生周末学习时间的情况,在所任班缀中随机调查了10名学生,绘成如图所示的条形统计图,则这10名学生周末学习的平均时间是_______小时.
【答案】3
7.(2019成都)第十二届全国人大四次会议审议通过的《中华人民共和国慈善法》将于今年9月1日正式实施,为了了解居民对慈善法的知晓情况,某街道办从辖区居民中随机选取了部分居民进行调查,并将调查结果绘制成如图所示的扇形图,若该辖区约有居民9000人,则可以估计其中对慈善法“非常清楚”的居民约有_________人.
【答案】2700
三、解答题
8.(2019陕西)某校为了进一步改善本校七年级数学教学,提高学生学习数学的兴趣,校教务处在七年级所有班级中,每班随机抽取了6名学生,并对他们的数学学习情况进行了问卷调查,我们从所调查的题目中,特别把学生对数学学习喜欢程度的回答(喜欢程度分为:
“A-非常喜欢”、“B-比较喜欢”、“C-不太喜欢”、“D-很不喜欢”,针对这个题目,问卷时要求每位被调查的学生必须从中选一项且只能选一项)结果进行了统计,现将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图。
请你根据以上提供的信息,解答下列问题:
(1)补全上面的条形统计图和扇形统计图;
(2)所抽取学生对数掌学习喜欢程度的众数是____________;
(3)若该校七年级共有960名学生,请你估算该年级学生中对数学学习“不太喜欢”的有多少人?
【答案】
解:(1)由题意可得,
调查的学生有:30÷25% =120(人),
选B的学生有:120-18-30-6= 66(人),
B所占的百分比是:66÷120×l00%= 55%,
D所占的百分比是:6÷120×l00%= 5%,
故补全的条形统计图与扇形统计图如右图所示.
(2)由(1)中补全的条形统计图可知,
所抽取学生对数学学习喜欢程度的众数是:比较喜欢,
故答案为:比较喜欢:
(3)由(1)中补全的扇形统计图可得,
该年级学生中对数学学习“不太喜欢”的有:960×25%= 240(人),
即该年级学生中对数学学习“不太喜欢”的有240人.
9.(2019河南)在一次社会调查活动中,小华收集到某“健步走运动”团队中20名成员一天行走的步数,记录如下:
5640 6430 6520 6798 7325
8430 8215 7453 7446 6754
7638 6834 7326 6830 8648
8753 9450 9865 7290 7850
对这20个数据按组距1000进行分组,并统计整理,绘制了如下尚不完整的统计图表:
步数分组统计表
组别步数分组频数
A 5500x
≤<6500 2
B 6500x ≤<7500 10
C 7500x ≤<8500 m
D 8500x ≤<9500 3 E
9500x ≤<10500
n
请根据以上信息解答下列问题: (1)填空:m= 4 ,n= 1 ; (2)补全频数分布直方图;
(3)这20名“健步走运动”团队成员一天行走步数的中位数落在 B 组: (4)若该团队共有120人,请估计其中一天行走步数不少于7500步的人数.
(1)m=4,n=1 (2)
(3)行走步数的中位数落在B 组.
(4) -天行走步数不少于7500步的人数是:431
1204820
++⨯
=(人) 答:估计一天行走步数不少于7500步的人数是48人. B 组提高练习
10.已知一组数据1x ,2x ,3x ,4x ,5x 的平均数是2,方差是1
3
,那么另一组数据1234532,32,3 2 32,3-2x x x x x ---一的平均数是4.方差是3.2-1-c-n-j-y
(提示:数据做何变化,平均数做同样的变化;数据曲的平均数为kx+b ,方差为22.k s .)
11.有甲、乙两个箱子,其中甲箱内有98颗球,分别标记号码1~98.且号码为不重复的整数,乙箱内没有球某人从甲箱内拿出49颗球放人乙箱后,乙箱内球的号码的中位数为40.若此时甲箱内有Ⅱ颗球的号码小于40,有6颗球的号码大于40,则关于a,b 之值,下
列何者正确? ( D ) A .a= 16 B .a= 24 C .b= 24 D .b=34
(提示:从1到98,小于40的数有39个,乙中49个数字,中位数是40,则有24个数字小于40.则剩下在甲的号码小于40的只有15个.大于40的数有58个,在乙中有24个数大于40,则甲中有34个数大于40.)
12.八(1)班五位同学参加学校举办的数学素养竞赛.试卷中共有20道题,规定每题答对得5分,答错扣2分,未答得0分.赛后A ,B ,C ,D ,E 五位同学对照评分标准回忆并记录了自己的答题情况(E 同学只记得有7道题未答),具体如下表:
参加同学
答对题数 答错题数·
未答题数
A 19 0 1
B 17 2 1
C 15 2 3
D 17 1 2 E
/
/
7
(1)根据以上信息,求A ,B ,C ,D 四位同学成绩的平均分:
(2)最后获知ABCDE 五位同学成绩分别是95分,81分,64分,83分,58分. ①求E 同学的答对题数和答错题数:
②经计算,A ,B ,C ,D 四位同学实际成绩的平均分是80.75分,与(1)中算得的平均分不相符,发现是其中一位同学记错了自己的答题情况,请指出哪位同学记错了,并写出他的实际答题情况(直接写m 答案即可).
解:(1)(19171517)5(221)(2)
82.54+++⨯+++⨯-=(分)
答:A ,B ,C ,D 四位同学成绩的平均分是82.5分. (2)①设E 同学答对x 题,答错y 题,由题意得 525813x y x y -=⎧⎨+=⎩ 解得121x y =⎧⎨=⎩
答:E 同学答对12题,答错1题.
②C 同学,他实际答对14题,答错3题,未答3题.
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1.一个密闭不透明的盒子里有若干个白球,在不许将球倒出来数的情况下,为估计白球数,小刚向其中放入8个黑球摇匀后,从中随意摸出一个球记下颜色,再把它放回盒中,不断重复这一过程,共摸球200次,其中44次摸到黑球,你估计盒中大约有白球( ) A.20个
B.28个
C.36个
D.无法估计
2.岳池医药招商保持良好态势,先后签约成都百裕制药、济南爱思、重庆泰濠、四川源洪福科技、四川恒康科技、成都天瑞炳德、南充金方堂、药融园8个亿元以上医药项目和科伦药业、人福药业CS0两个医贸项目,协议投资额约51.5亿元。
将51.5亿元用科学计数法表示为( )元 A .95.1510⨯
B .851.510⨯
C .105.1510⨯
D .751510⨯
3.如图,三角形OAB 和三角形BCD 是等腰直角三角形,点B 、D 在x 轴上,∠ABO =∠CDB =90°,点A 在双曲线y= 上,若△OAC 的面积为,则k 的值为( )
A. B.- C.﹣9 D.﹣12
4.如图,在▱ABCD 中,延长CD 到E ,使DE =CD ,连接BE 交AD 于点F ,交AC 于点G .下列结论正确的是( )
A.DE =DF
B.AG =GF
C.AF =DF
D.BG =GC
5.如图,AB 是⊙O 的直径,点C 、D 在⊙O 上,且点C 、D 在AB 的异侧,连结AD 、OD 、OC ,若∠AOC=70°,且AD ∥OC ,则∠AOD 的度数为( )
A .35°
B .40°
C .60°
D .70°
6.如图,在ABC ∆中,8AB =,6AC =,O 为ABC ∆角平分线的交点,若ABO ∆的面积为20,则ACO ∆的面积为是( )
A.12 B.15
C.16 D.18
7.如图,C在AB的延长线上,CE⊥AF于E,交FB于D,若∠F=40°,∠C=20°,则∠FBA的度数为( ).
A.50°B.60°C.70°D.80°
8.某企业2018年初获利润300万元,到2020年初计划利润达到507万元,求这两年的年利润的平均增长率,设企业这两年的年利润平均增长率为x,则可列方程为()
A.300(1+x)2=507 B.300(1﹣x)2=507
C.300(1+2x)=507 D.300(1+x2)=507
9.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,给出下列四个结论:①abc>0;3b+2c<0;③4a+c
<2b;④当y>0时,﹣5
2
<x<
1
2
.其中结论正确的个数是()
A.2 B.3 C.4 D.1
10.如图,△ABC中,BC=4,⊙P与△ABC的边或边的延长线相切.若⊙P半径为2,△ABC的面积为5,则△ABC的周长为( )
A.8 B.10 C.13 D.14
11.如图,矩形ABCD中,AB=3,AD=4,直线l从点D出发,沿射线DA方向以每秒1个单位的速度平移运动,至直线经过B点时停止运动.若直线l∥AC,与DA(或AB)交于点M,与DC(或CB)交于点N.设直线l运动时间为t(秒),△DMN的面积为y,则y关于t的函数图象是()
A.B.
C.D.
12.下列设计的图案中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是()
A.B.C.D.二、填空题
13.若反比例函数
k
y
x
=的图象经过点()
1,2-,则k的值是__________.
14.计算:(6x4﹣8x3)÷(﹣2x2)=_____.
15.因式分解:x2-4y2=________ .
16.如图,传送带AB和地面BC所成斜坡的坡度为1:3,如果它把物体从地面送到离地面2米高的地方,那么物体所经过的路程是______米.(结果保留根号)
17.如图,已知一次函数y=kx+b的图象经过点(3,0),则当函数值y小于0时,自变量x的取值范围是_____.
18.如图,正方形AEFG的顶点E,G在正方形ABCD的边AB,AD上,连接BF,DF.则BE:CF的值为_____.
三、解答题
19.如图,抛物线y =x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C (0,﹣3),点E 是抛物线上的一个动点,过点E 作EF ⊥x 轴于点F ,已知点A 的坐标为(﹣1,0)
(1)求点B 的坐标;
(2)当点F 在OB 段时,△BCE 的面积是否存在最大值?若存在,求出最大值;若不存在,请说明理由.
20.如图,一架无人机在点A 处悬停,从地面B 处观察无人机的仰角是α,从楼顶C 处观察无人机的仰角是β.已知B 、AE 、CD 在同一平面内,BD =115 m ,楼高CD =50 m ,求无人机的高度AE .(参考数据:
2tan 2,sin 0.89,tan ,sin 0.553
ααββ=≈=≈.)
21.(1)计算:(﹣3)2﹣|﹣2|+(﹣1)0+2cos30°;
(2)化简:22
b a b -÷(a a b -﹣1) 22.先化简,再求值:2526222a a a a a -⎛⎫--÷ ⎪--⎝⎭
,其中,a =2cos60°+(3.14﹣π)0+(13)﹣1 23.如图,在正方形ABCD 中,点E ,F 分别在BC ,CD 上,AE =AF ,AC 与EF 相交于点G .下列结论:①AC 垂直平分EF ;②BE+DF =EF ;③当∠DAF =15°时,△AEF 为等边三角形;④当∠EAF =60°时,S △ABE =12S △CEF .其中正确的是( )
A.①③B.②④C.①③④D.②③④
24.在一条笔直的公路上有A、B两地.甲、乙两人同时出发,甲骑电动车从A地到B地,中途出现故障后停车维修,修好车后以原速继续行驶到B地;乙骑摩托车从B地到A地,到达A地后立即按原原速返回,结果两人同时到B地.如图是甲、乙两人与B地的距离y(km)与乙行驶时间x(h)之间的函数图象.
(1)A、B两地间的距离为km;
(2)求乙与B地的距离y(km)与乙行驶时间x(h)之间的函数关系式;
(3)求甲、乙第一次相遇的时间;
(4)若两人之间的距离不超过10km时,能够用无线对讲机保持联系,请求出乙在行进中能用无线对讲机与甲保持联系的x取值范围.
25.如图,已知点A、B分别在反比例函数
1
y
x
=-(x>0),
k
y
x
=(k<0,x>0)的图象上.点B的横
坐标为4,且点B在直线y=x﹣5上.
(1)求k的值;(2)若OA⊥OB,求tan∠ABO的值.
【参考答案】***
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B A C C B B C A A C C C 二、填空题
13.-2
14.﹣3x 2+4x .
15.()()22x y x y +-
16.210
17.x >3
18.22
三、解答题
19.(1)(3,0),(2)
278
【解析】
【分析】
(1)将点C (0,﹣3),A (﹣1,0)代入y =x 2+bx+c 中求出二次函数解析式,从而求出点B 的坐标;
(2)设点F (x ,0)(0<x <3),则点E (x ,x 2﹣2x ﹣3),根据三角形面积公式可用含x 的代数式表示出△BCE 的面积,再利用配方法即可求出最值.
【详解】
解:(1)将点C (0,﹣3),A (﹣1,0)代入y =x 2+bx+c 中得: 310,c b c =-⎧⎨-+=⎩
解得: 23.b c =-⎧⎨
=-⎩ ∴y =x 2﹣2x ﹣3,
令y =0,得x =﹣1或3,
∴点B 的坐标为(3,0);
(2)设点F (x ,0)(0<x <3),则点E (x ,x 2﹣2x ﹣3),
∵B (3,0),C (0,﹣3),
∴直线BC :y =x ﹣3,
∴H (x ,x ﹣3),
∴△BCE 的面积=△CEH 的面积+△BEH 的面积
()()()22113233323,22
x x x x x x x x =
⨯---+---⨯--- ()213323,2x x x ⎡⎤=-⨯⨯---⎣⎦ 23327,228
x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ ∴△BCE 的面积()23327,03228
x x ⎛⎫=--+<< ⎪⎝⎭, ∴当32x =时,△BCE 的面积取最大值,最大值为278
. 【点睛】
本题考查了二次函数的应用,正确使用割补法表示出三角形的面积是解题的关键.
20.m
【解析】
【分析】
过点C 作CF ⊥AE ,垂足为F ,首先在Rt △ACF 中求出AF 和FC 的关系,进而设FC=3x ,则AF=2x ,BE=115-3x ,在Rt △ABE 中,求出AE 和BE 的关系,进而求出x 的值,即可求出AE 的长度.
【详解】
解:如图,过点C 作CF ⊥AE ,垂足为F ,
根据题意可得FC =ED ,EF =CD =50.
在Rt △ACF 中,∠AFC =90°,∠ACF =β,
∵ tan AF FC
β=, ∴ AF =FC·tan β=
23FC . 设FC =3x ,则AF =2x ,BE =115-3x .
在Rt △ABE 中,∠AEB =90°,∠ABE =α,
∵ tan AE BE
α=,
∴ AE =BE·tan α=2BE .
∴ 50+2x =2(115-3x).
解得 x =22.5.
∴ AE =50+45=95.
答:无人机的高度AE 为95 m .
【点睛】
本题考查仰角俯角的定义,要求学生能借助仰角俯角构造直角三角形并解直角三角形,难度一般.
21.(1)8+3;(2)
1a b +. 【解析】
【分析】
(1)根据零指数幂的意义以及实数的运算法则即可求出答案.
(2)根据分式的运算法则即可求出答案.
【详解】
解:(1)原式=9﹣2+1+2×32
=8+3;
(2)原式=()()b a b a b a b b
-⋅+- =1a b
+. 【点睛】
本题考查学生的运算能力,解题的关键是熟练运用运算法则,本题属于基础题型.
22.32a a +-,-45
【解析】
【分析】
先化简分式,然后再求出a 的值,将a 的值代入计算即可.
【详解】
原式=2542(3)()222
a a a a a a ---÷--- =29222(3)
a a a a a --⋅-- =(3)(3)222(3)
a a a a a a -+--⋅-- =32a a +-
,
a=2cos60°+(3.14-π)0+(
13)-1 =2×12
+1+3 =5,
当a=5时,
原式=534255
+-=-⨯. 【点睛】
本题考查了分式的化简求值,熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键.
23.C
【解析】
【分析】
①通过条件可以得出△ABE ≌△ADF ,从而得出∠BAE=∠DAF ,BE=DF ,由正方形的性质就可以得出EC=FC ,就可以得出AC 垂直平分EF ,
②设BC=x ,CE=y ,由勾股定理就可以得出EF 与x 、y 的关系,表示出BE 与EF ,即可判断BE+DF 与EF 关系不确定;
③当∠DAF=15°时,可计算出∠EAF=60°,即可判断△EAF 为等边三角形,
④当∠EAF=60°时,设EC=x ,BE=y ,由勾股定理就可以得出x 与y 的关系,表示出BE 与EF ,利用三角形的面积公式分别表示出S △CEF 和S △ABE ,再通过比较大小就可以得出结论.
【详解】
①四边形ABCD 是正方形,
∴AB═AD,∠B=∠D=90°.
在Rt △ABE 和Rt △ADF 中,
AE AF AB AD
=⎧⎨=⎩, ∴Rt △ABE ≌Rt △ADF (HL ),
∴BE=DF
∵BC=CD ,
∴BC-BE=CD-DF ,即CE=CF ,
∵AE=AF ,
∴AC 垂直平分EF .(故①正确).
②设BC=a ,CE=y ,
∴BE+DF=2(a-y ) EF=2y ,
∴BE+DF 与EF 关系不确定,只有当y=(2−2)a 时成立,(故②错误).
③当∠DAF=15°时,
∵Rt △ABE ≌Rt △ADF ,
∴∠DAF=∠BAE=15°,
∴∠EAF=90°-2×15°=60°,
又∵AE=AF
∴△AEF 为等边三角形.(故③正确).
④当∠EAF=60°时,设EC=x ,BE=y ,由勾股定理就可以得出:
(x+y)2+y 2=(2x)2
∴x 2=2y (x+y )
∵S △CEF =
12x 2,S △ABE =12
y(x+y), ∴S △ABE =12S △CEF .(故④正确). 综上所述,正确的有①③④,
故选C .
【点睛】
本题考查了正方形的性质的运用,全等三角形的判定及性质的运用,勾股定理的运用,等边三角形的性质的运用,三角形的面积公式的运用,解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键.
24.(1)30;(2)y =﹣30x+60;(3)甲、乙第一次相遇是在出发后0.6小时;(4)
25≤x≤56或76≤x≤2. 【解析】
【分析】
(1)观察图形即可求得A 、B 两地间的距离;
(2)乙前往A 地的距离y (km )与乙行驶时间x (h )之间的关系式为y 乙1=k 1x ,设乙返回B 地距离B 地的距离y (km )与乙行驶时间x (h )之间的关系式为y 乙2=k 2x+b 2,由待定系数法可求乙与B 地的距离y (km )与乙行驶时间x (h )之间的函数关系式;
(3)由相遇问题的数量关系直接求出结论;
(4)设甲在修车前y 与x 之间的函数关系式为y 甲1=kx+b ,甲在修车后y 与x 之间的函数关系式为y 甲2=k 3x+b 3,由待定系数法求出解析式建立不等式组求出其解即可.
【详解】
解:(1)由题意,得A 、B 两地间的距离为30km .
故答案为:30;
(2)设乙前往A 地的距离y (km )与乙行驶时间x (h )之间的关系式为y 乙1=k 1x ,由题意,得 30=k 1,
∴y 乙1=30x ;
设乙返回B 地距离B 地的距离y (km )与乙行驶时间x (h )之间的关系式为y 乙2=k 2x+b 2,由题意,得 22223002k b k b =+⎧⎨=+⎩
, 解得:22
3060k b =-⎧⎨=⎩, ∴y =-30x+60.
(3)由函数图象,得
(30+20)x =30,
解得x =0.6.
故甲、乙第一次相遇是在出发后0.6小时;
(4)设甲在修车前y 与x 之间的函数关系式为y 甲1=kx+b ,由题意,得
30150.75b k b
=⎧⎨=+⎩, 解得:k 20b 30=-⎧⎨=⎩
, y 甲1=﹣20x+30,
设甲在修车后y 与x 之间的函数关系式为y 甲2=k 3x+b 3,由题意,得
333315 1.25k b 02k b =+⎧⎨=+⎩
, 解得:33
2040k b =-⎧⎨=⎩, ∴y 甲2=﹣20x+40,
当20303010301510x x x -+-≤⎧⎨
-⎩…时, ∴25≤x≤56
; 306015102x x -+-⎧⎨⎩
……, 解得:
76
≤x≤2. ∴25≤x≤56或76≤x≤2.
【点睛】
本题考查了行程问题的数量关系路程÷时间=速度的运用,运用待定系数法求一次函数的解析式的运用,不等式组的解法的运用,解答时求出一次函数的解析式是关键.
25.(1)k =-4;(2)tan ∠ABO=12.
【解析】
【分析】
(1)根据一次函数图象上点的坐标特征,求得B点的坐标,然后根据待定系数法即可求得k的值;(2)过A作AC垂直于y轴,过B作BD垂直于y轴,易证△AOC∽△OBD,利用反比例函数k的几何意义求出两三角形的面积,进一步求得OA与OB的比值,在直角三角形AOB中,利用锐角三角函数定义即可求出tan∠B的值.
【详解】
解:(1)∵点B的横坐标为4,且点B在直线y=x﹣5上.
∴点B的纵坐标为y=4﹣5=﹣1,
∴B(4,﹣1),
∵B在反比例函数y=k
x
(k<0,x>0)的图象上
∴k=4×(﹣1)=﹣4;
(2)过A作AC⊥y轴,过B作BD⊥y轴,可得∠ACO=∠BDO=90°,∴∠AOC+∠OAC=90°,
∵OA⊥OB,
∴∠AOC+∠BOD=90°,
∴∠OAC=∠BOD,
∴△AOC∽△OBD,
∵点A、B分别在反比例函数y=1
x
(x>0),y=
k
x
(x>0)的图象上,
∴S△AOC=1
2
,S△OBD=
2
k
,
∴S△AOC:S△OBD=1:|k|,
∴
211
4 OA
OB k
⎛⎫
==
⎪
⎝⎭
,
∴
1
2 OA
OB
=,
则在Rt△AOB中,tan∠ABO=
1
2 OA
OB
=.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质,锐角三角函数定义,以及反比例函数k的几何意义,熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键.
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1.如图,若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为x=1,与y轴交于点C,与x轴交于点A、点B (﹣1,0),则
①二次函数的最大值为a+b+c;
②a﹣b+c<0;
③b2﹣4ac<0;
④当y>0时,﹣1<x<3,其中正确的个数是()
A.1
B.2
C.3
D.4
2.如图,两个较大正方形的面积分别为225、289,则字母A所代表的正方形的面积为()
A.4 B.8 C.16 D.64
3.如图,△ABC中,BC=4,⊙P与△ABC的边或边的延长线相切.若⊙P半径为2,△ABC的面积为5,则△ABC的周长为()
A.10 B.8 C.14 D.13
4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△ABC,M是BC的中点,P是A’B’的中点,连接PM.若BC=4,∠BAC=30°,则线段PM的最大值是()
A.8 B.6 C.4 D.5
5.如图,平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分,则的值为()。