重庆市2019届中考数学一轮复习《7.1统计》讲解含答案

第七章 统计和概率
第一节 统计
课标呈现指导方向
1．经历收集、整理、描述和分析数据的活动，了解数据处理的过程；能用计算器处理较为复杂的数据． 2．体会抽样的必要性，通过实例了解简单随机抽样。

3．会制作扇形统计图，能用统计图直观、有效地描述数据。

4．理解平均数的意义，能计算中位数、众数、加权平均数，了解它们是数据集中趋势的描述。

5．体会刻画数据离散程度的意义，会计算简单数据的方差。

6．通过实例，了解频数和频数分布的意义，能画频数直方图，能利用频数直方图解释数据中蕴含的信息。

7．体会样本与总体的关系，知道可以通过样本平均数、样本方差推断总体平均数、总体方差。

8．能解释统计结果，根据结果作出简单的判断和预测，并能进行交流。

9．通过表格、折线图、趋势图等，感受随机现象的变化趋势。

考点梳理 夯实基础 1．数据的收集：
⑴普查：为了一定目的而对______考察对象进行的调查叫做普查，普查又叫____。

⑵抽样检查：为了一定目的而对______考察对象进行的调查叫做抽样调查，简称抽查。

⑶总体与个体：我们把所要考察的对象的______叫做总体，把组成总体的______叫做个体。

⑷样本与样本容量：从总体中取出的一部分_____个体叫做总体的一个样本；样本中包含的个体的______叫做样本容量。

样本容量没有单位。

【答案】：⑴所有 全面调查处 ⑵部分 ⑶全体 每个考查对象 ⑷个体 数目 2．数据的整理
⑴频数与频率：在记录实验数据时，每个对象出现的_____称为频数量。

每个对象出现的次数与总次数的_____（或者百分比）称为频率。

各小组的频数之和等于总数，各小组的频率之和等于_____。

⑵统计图选择：
①______统计图可以直观地反映数据的数量特征； ②______统计图可以直观地反映数据的数量变化规律；
③______统计图可以直观地反映出各部分数量在总体中所占的百分比。

【答案】：⑴次数 比值 1 ⑵①条形 ②折线 ③扇形 3．数据代表 ⑴平均数：
①在一组数据中，用数据的总和除以数据的总个数就得到这组数据的_________。

②在一组数据中，各个数在总结果中所占的百分比称为这个数的权重，每个数乘以它相应的权重后所得的平均数叫做这组数据的__________。

⑵中位数：将一组数据______依次排列，位于正中间位置的数（或正中间两个数据的平均数据的平均数）叫做这组数据的中位数。

⑶众数：在一组数据中，出现_______的数叫做这组数据的众数。

【答案】：⑴①算术平均数 ②加权平均数 ⑵按大小 ⑶次数最多 4．数据的波动
⑴极差：极差：一组数据中的______减去________所得的差称为这组数据的极差。

⑵方差：我们可以用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况情况，这个结果通常称为方差。

计算方差公式：设一组数据是1x ，2x ，3x ，…，n x ，x 是这组数据的平均数，则这数据的方差是：
()()()()
2222
21231
n s x x x x x x x
x n ⎡⎤=-+-+-+
-⎢
⎥⎣⎦。

⑶极差、方差都是反应一组数据波动程度的特征数，一般地，一组数据的极差、方差_______，这组数据
就越稳定。

⑷平均数和方差的变化规律
若一组数据1x ，2x ，3x ，…，n x 的平均数为x ，方差s 2
，则：
①数据1kx ，2kx ，3kx ，…，n kx 的平均数为k x ，方差k 2s 2
；
②数据1x b +，2x b +，3x b +，…，n x b +的平均数为x b +，方差s 2
； ③数据1kx b +，2kx b +，3kx b +，…，n kx b +的平均数为k x b +，方差k 2s 2。

【答案】：
考点精析 专题突破
考点一 总体、个体、样本和样本容量
【例1】(2019重庆育才)今年我市有4万名学生参加中考，为了了解这些考生的数学成绩，从中抽取2000名考生的数学成绩进行统计分析。

在这个问题中，下列说法：①这4万名考生的数学中考成绩的全体是总体；②每个考生是个体；③2000名考生是总体的一个样本；④样本容量是2000．其中说法正确的有（ ） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个
解题点拨：总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，总体、个体和样本一定要带上调查的对象，而样本容量则是指样本中个体的数目，没有单位． 【答案】C
考点二 调查方式
【例2】（2019山西）以下问题不适合全面调查的是（ ） A ．调查某班学生每周课前预习的时间 B ．调查某中学在职教师的身体健康状况 C ．调查全国中小学生课外阅读情况 D ．调查某篮球队员的身高
解题点拨：一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用全面调查。

【答案】C
考点三 扇形、条形、折线统计图的选择
【例3】要反映重庆市某一周每天的最高气温的变化趋势，宜采用（ ）
A ．条形统计图
B ．扇形统计图
C ．折线统计图
D ．频数分布直方图
解题点拨：根据统计图的特点进行分析可得：扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一觳不能直接从图中得到具体的数据：折线统计图表示的是事物的变化情况：条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目。

【答案】C
【例4】（2019云南）某中学为了丰富学生的校园体育锻炼生活，决定根据学生的兴趣爱好采购一批体育用品供学生课后锻炼使用，因此学校随机抽取了部分同学就兴趣爱好进行调查，将收集的数据整理并绘制成下列两幅统计图，请根据图中的信息，完成下列问题：
(1)设学校这次调查共抽取了n 名学生，直接写出n 的值； (2)请你补全条形统计图；
(3)设该校共有学生1200名，请你估计该校有多少名学生喜欢跳绳？
解题点拨：(1)根据喜欢篮球的人数有25人，占总人数的25%即可得出总人数； (2)根据总人数求出喜欢羽毛球的人数，补全条形统计图即可；
(3)求出喜欢跳绳的人数占总人数的20%即可得出结论．
解：(1)∵喜欢篮球的人数有25人，占总人数的25%，∴
25
25%
=100（人）；
(2)∵喜欢羽毛球的人数=l00×20% =20人，
∴条形统计图如图；
(3)由已知得，1200×20% =240(人)．
答：该校约有240人喜欢跳绳．
考点四平均数、中位数和众数
【例5】（2019成宁）某班七个兴趣小组人数分别为4，4，5，5，x，6，7．已知这组数据的平均数是5，则这组数据的众数和中位数分别是 ( )
A．4，5 B．4，4 C．5，4 D．5，5
解题点拨：先根据平均数求出戈，再根据众数是一组数据中出现次数最多的数据可得出众数：找中位数时要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．
【答案】A
考点五极差、方差
【例6】（2019成都）学校准备从甲、乙、丙、丁四个科创小组中选m一组代表学校参加青少年科技创新大赛，各组的平时成绩的平均数戈（单位：分）及方差s2如表所示：
如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应选的组是（）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
解题点拨：先比较平均数得到乙组和丙组成绩较好，然后比较方差得到丙组的状态稳定，于是可决定选丙组去参赛。

【答案】C
课堂训练当堂检测
1．（2019重庆4卷）下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（）
A．对重庆市直辖区内长江流域水质情况的调查
B．对乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品的调查
C．对一个社区每天丢弃塑料袋数量的调查
D．对重庆电视台“天天630”栏目收视率的调查
【答案】B
2．（2019新疆）某小组同学在一周内参加家务劳动时间与人数情况如表所示：
下列关于“劳动时间”这组数据叙述正确的是（）
A．中位数是2 B．众数是2 C．平均数是3 D．方差是0
【答案】B
3．（2019烟台）某射击队要从甲、乙、丙、丁四人中选拔一名选手参赛，在选拔赛中，每人射击10次，然后从他们的成绩平均数（环）及方差两个因素进行分析，甲、乙、丙的成绩分析如表所示，丁的成绩如图所示．根据以上图表信息，参赛选手应选_______．
【答案】丁
4．（2019连云港）随着我市社会经济的发展和交通状况的改善，我市的旅游业得到了高速发展，某旅游公司对我市一企业旅游年消费情况进行了间卷调查，随机抽取部分员工．记录每个人的消费金额，并将调查数据适当调整，绘制成两幅尚不完整的表和图。

根据以上信息回答下列问题：
⑴a=______，b=______，c=________。

并将条形统计图补充完整；
⑵这次调查中，个人年消费金额的中位数m现在_______组；
⑶若这个企业有3000多名员工，请你估计个人旅游年消费金额在6000元以上的人数．
【答案】解：⑴观察频数分布表如：A组有18人，频率为0.15，
∴c=18÷0.15=120，
∵a=36
∴b=36÷120=0.30；
∴C组的频数为120-18-36-24-12=30，
补全统计图为：
故答案为：36，0.30，120；
(2)∵共120人，
∴中位数为第60和第61人年消费金额的平均数，
∴中位数应该落在C小组内；
(3)个人旅游年消费金额在6000元以上的人数3000×(0.10+0.20)= 900人．
中考达标模拟自测
A组基础训练
一、选择题
1．（2019重庆育才）今年我市有近4万名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取1000名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是( )
A．每位考生的数学成绩是介体B．近4万名考生是总体
C．这1000名考生是总体的一个样本D．1000名学生是样本容量
【答案】A
2．以下问题，适合采用抽样调查的是 ( )
A．了解全班同学每周体育锻炼的时间B．旅客上飞机前的安检
C．学校招聘教师，对应聘人员面试D．了解全市中小学生每天的零花钱
【答案】D
3．（2019重庆八中）为了调查某种小麦的长势，从中抽取了10株麦苗，测得苗高（单位：cm）为：16，9，14，11，12，10，16，8，17，19，则这组数据的中位数和极差分别是（）
A．11，11 B．12，11 C．13，11 D．13，16
【答案】C
4．（2019鄂州）为了解某社区居民的用电情况，随机对该社区10户居民进行调查，下表是这10户居民2019年4月份用电量的调查结果：
那么关于这10户居民月用电量（单位：度），下列说法错误的是（）
A．中位数是50 B．众数是51 C．方差是42 D．极差是21
【答案】C
二、填空题
5．（2019衢州）在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有7名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同，其中一名学生想要知道白己能否进入前3名，他不仅要了解白己的成绩，还要了解这7名学生成绩的________（填平均数、中位数或众数）．
【答案】中位数
6．（2019临沂）某老师为了解学生周末学习时间的情况，在所任班缀中随机调查了10名学生，绘成如图所示的条形统计图，则这10名学生周末学习的平均时间是_______小时．
【答案】3
7．（2019成都）第十二届全国人大四次会议审议通过的《中华人民共和国慈善法》将于今年9月1日正式实施，为了了解居民对慈善法的知晓情况，某街道办从辖区居民中随机选取了部分居民进行调查，并将调查结果绘制成如图所示的扇形图，若该辖区约有居民9000人，则可以估计其中对慈善法“非常清楚”的居民约有_________人．
【答案】2700
三、解答题
8．（2019陕西）某校为了进一步改善本校七年级数学教学，提高学生学习数学的兴趣，校教务处在七年级所有班级中，每班随机抽取了6名学生，并对他们的数学学习情况进行了问卷调查，我们从所调查的题目中，特别把学生对数学学习喜欢程度的回答（喜欢程度分为：
“A-非常喜欢”、“B-比较喜欢”、“C-不太喜欢”、“D-很不喜欢”，针对这个题目，问卷时要求每位被调查的学生必须从中选一项且只能选一项）结果进行了统计，现将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图。

请你根据以上提供的信息，解答下列问题：
(1)补全上面的条形统计图和扇形统计图；
(2)所抽取学生对数掌学习喜欢程度的众数是____________；
(3)若该校七年级共有960名学生，请你估算该年级学生中对数学学习“不太喜欢”的有多少人？
【答案】
解：(1)由题意可得，
调查的学生有：30÷25% =120(人)，
选B的学生有：120-18-30-6= 66(人)，
B所占的百分比是：66÷120×l00%= 55%，
D所占的百分比是：6÷120×l00%= 5%，
故补全的条形统计图与扇形统计图如右图所示．
(2)由(1)中补全的条形统计图可知，
所抽取学生对数学学习喜欢程度的众数是：比较喜欢，
故答案为：比较喜欢：
(3)由(1)中补全的扇形统计图可得，
该年级学生中对数学学习“不太喜欢”的有：960×25%= 240（人），
即该年级学生中对数学学习“不太喜欢”的有240人．
9．（2019河南）在一次社会调查活动中，小华收集到某“健步走运动”团队中20名成员一天行走的步数，记录如下：
5640 6430 6520 6798 7325
8430 8215 7453 7446 6754
7638 6834 7326 6830 8648
8753 9450 9865 7290 7850
对这20个数据按组距1000进行分组，并统计整理，绘制了如下尚不完整的统计图表：
步数分组统计表
组别步数分组频数
A 5500x
≤<6500 2
B 6500x ≤<7500 10
C 7500x ≤<8500 m
D 8500x ≤<9500 3 E
9500x ≤<10500
n
请根据以上信息解答下列问题： (1)填空：m= 4 ，n= 1 ； (2)补全频数分布直方图；
(3)这20名“健步走运动”团队成员一天行走步数的中位数落在 B 组： (4)若该团队共有120人，请估计其中一天行走步数不少于7500步的人数．
（1）m=4，n=1 （2）
(3)行走步数的中位数落在B 组．
(4) -天行走步数不少于7500步的人数是：431
1204820
++⨯
=(人) 答：估计一天行走步数不少于7500步的人数是48人． B 组提高练习
10．已知一组数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的平均数是2，方差是1
3
，那么另一组数据1234532,32,3 2 32,3-2x x x x x ---一的平均数是4．方差是3．2-1-c-n-j-y
（提示：数据做何变化，平均数做同样的变化；数据曲的平均数为kx+b ，方差为22.k s ．）
11．有甲、乙两个箱子，其中甲箱内有98颗球，分别标记号码1～98．且号码为不重复的整数，乙箱内没有球某人从甲箱内拿出49颗球放人乙箱后，乙箱内球的号码的中位数为40．若此时甲箱内有Ⅱ颗球的号码小于40，有6颗球的号码大于40，则关于a,b 之值，下
列何者正确？ ( D ) A ．a= 16 B ．a= 24 C ．b= 24 D ．b=34
（提示：从1到98，小于40的数有39个，乙中49个数字，中位数是40，则有24个数字小于40．则剩下在甲的号码小于40的只有15个．大于40的数有58个，在乙中有24个数大于40，则甲中有34个数大于40．）
12．八(1)班五位同学参加学校举办的数学素养竞赛．试卷中共有20道题，规定每题答对得5分，答错扣2分，未答得0分．赛后A ，B ，C ，D ，E 五位同学对照评分标准回忆并记录了自己的答题情况（E 同学只记得有7道题未答），具体如下表：
参加同学
答对题数 答错题数·
未答题数
A 19 0 1
B 17 2 1
C 15 2 3
D 17 1 2 E
/
/
7
(1)根据以上信息，求A ，B ，C ，D 四位同学成绩的平均分：
(2)最后获知ABCDE 五位同学成绩分别是95分，81分，64分，83分，58分． ①求E 同学的答对题数和答错题数：
②经计算，A ，B ，C ，D 四位同学实际成绩的平均分是80.75分，与(1)中算得的平均分不相符，发现是其中一位同学记错了自己的答题情况，请指出哪位同学记错了，并写出他的实际答题情况（直接写m 答案即可）．
解：（1）(19171517)5(221)(2)
82.54+++⨯+++⨯-=（分）
答：A ，B ，C ，D 四位同学成绩的平均分是82.5分． (2)①设E 同学答对x 题，答错y 题，由题意得 525813x y x y -=⎧⎨+=⎩ 解得121x y =⎧⎨=⎩
答：E 同学答对12题，答错1题．
②C 同学，他实际答对14题，答错3题，未答3题．
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不许将球倒出来数的情况下，为估计白球数，小刚向其中放入8个黑球摇匀后，从中随意摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复这一过程，共摸球200次，其中44次摸到黑球，你估计盒中大约有白球（ ） A.20个
B.28个
C.36个
D.无法估计
2．岳池医药招商保持良好态势，先后签约成都百裕制药、济南爱思、重庆泰濠、四川源洪福科技、四川恒康科技、成都天瑞炳德、南充金方堂、药融园8个亿元以上医药项目和科伦药业、人福药业CS0两个医贸项目，协议投资额约51.5亿元。

将51.5亿元用科学计数法表示为（ ）元 A ．95.1510⨯
B ．851.510⨯
C ．105.1510⨯
D ．751510⨯
3．如图，三角形OAB 和三角形BCD 是等腰直角三角形，点B 、D 在x 轴上，∠ABO ＝∠CDB ＝90°，点A 在双曲线y= 上，若△OAC 的面积为，则k 的值为（ ）
A. B.- C.﹣9 D.﹣12
4．如图，在▱ABCD 中，延长CD 到E ，使DE ＝CD ，连接BE 交AD 于点F ，交AC 于点G ．下列结论正确的是（ ）
A.DE ＝DF
B.AG ＝GF
C.AF ＝DF
D.BG ＝GC
5．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，且点C 、D 在AB 的异侧，连结AD 、OD 、OC ，若∠AOC=70°，且AD ∥OC ，则∠AOD 的度数为（ ）
A ．35°
B ．40°
C ．60°
D ．70°
6．如图，在ABC ∆中，8AB =，6AC =，O 为ABC ∆角平分线的交点，若ABO ∆的面积为20，则ACO ∆的面积为是（ ）
A．12 B．15
C．16 D．18
7．如图，C在AB的延长线上，CE⊥AF于E，交FB于D，若∠F=40°，∠C=20°，则∠FBA的度数为( ).
A．50°B．60°C．70°D．80°
8．某企业2018年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元，求这两年的年利润的平均增长率，设企业这两年的年利润平均增长率为x，则可列方程为（）
A．300（1+x）2＝507 B．300（1﹣x）2＝507
C．300（1+2x）＝507 D．300（1+x2）＝507
9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列四个结论：①abc＞0；3b+2c＜0；③4a+c
＜2b；④当y＞0时，﹣5
2
＜x＜
1
2
．其中结论正确的个数是（）
A．2 B．3 C．4 D．1
10．如图，△ABC中，BC＝4，⊙P与△ABC的边或边的延长线相切．若⊙P半径为2，△ABC的面积为5，则△ABC的周长为( )
A．8 B．10 C．13 D．14
11．如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，直线l从点D出发，沿射线DA方向以每秒1个单位的速度平移运动，至直线经过B点时停止运动．若直线l∥AC，与DA（或AB）交于点M，与DC（或CB）交于点N．设直线l运动时间为t（秒），△DMN的面积为y，则y关于t的函数图象是（）
A．B．
C．D．
12．下列设计的图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．二、填空题
13．若反比例函数
k
y
x
=的图象经过点()
1,2-，则k的值是__________．
14．计算：（6x4﹣8x3）÷（﹣2x2）＝_____．
15．因式分解：x2-4y2=________ ．
16．如图，传送带AB和地面BC所成斜坡的坡度为1:3，如果它把物体从地面送到离地面2米高的地方，那么物体所经过的路程是______米.（结果保留根号）
17．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过点（3，0），则当函数值y小于0时，自变量x的取值范围是_____．
18．如图，正方形AEFG的顶点E，G在正方形ABCD的边AB，AD上，连接BF，DF．则BE：CF的值为_____．
三、解答题
19．如图，抛物线y ＝x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，﹣3），点E 是抛物线上的一个动点，过点E 作EF ⊥x 轴于点F ，已知点A 的坐标为（﹣1，0）
（1）求点B 的坐标；
（2）当点F 在OB 段时，△BCE 的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
20．如图，一架无人机在点A 处悬停，从地面B 处观察无人机的仰角是α，从楼顶C 处观察无人机的仰角是β．已知B 、AE 、CD 在同一平面内，BD ＝115 m ，楼高CD ＝50 m ，求无人机的高度AE ．（参考数据：
2tan 2,sin 0.89,tan ,sin 0.553
ααββ=≈=≈．）
21．（1）计算：（﹣3）2﹣|﹣2|+（﹣1）0+2cos30°；
（2）化简：22
b a b -÷（a a b -﹣1） 22．先化简，再求值：2526222a a a a a -⎛⎫--÷ ⎪--⎝⎭
，其中，a ＝2cos60°+（3.14﹣π）0+（13）﹣1 23．如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，AE ＝AF ，AC 与EF 相交于点G ．下列结论：①AC 垂直平分EF ；②BE+DF ＝EF ；③当∠DAF ＝15°时，△AEF 为等边三角形；④当∠EAF ＝60°时，S △ABE ＝12S △CEF ．其中正确的是（ ）
A．①③B．②④C．①③④D．②③④
24．在一条笔直的公路上有A、B两地．甲、乙两人同时出发，甲骑电动车从A地到B地，中途出现故障后停车维修，修好车后以原速继续行驶到B地；乙骑摩托车从B地到A地，到达A地后立即按原原速返回，结果两人同时到B地．如图是甲、乙两人与B地的距离y（km）与乙行驶时间x（h）之间的函数图象．
（1）A、B两地间的距离为km；
（2）求乙与B地的距离y（km）与乙行驶时间x（h）之间的函数关系式；
（3）求甲、乙第一次相遇的时间；
（4）若两人之间的距离不超过10km时，能够用无线对讲机保持联系，请求出乙在行进中能用无线对讲机与甲保持联系的x取值范围．
25．如图，已知点A、B分别在反比例函数
1
y
x
=-（x＞0），
k
y
x
=（k＜0，x＞0）的图象上．点B的横
坐标为4，且点B在直线y＝x﹣5上．
（1）求k的值；（2）若OA⊥OB，求tan∠ABO的值．
【参考答案】***
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B A C C B B C A A C C C 二、填空题
13．-2
14．﹣3x 2+4x ．
15．()()22x y x y +-
16．210
17．x ＞3
18．22
三、解答题
19．（1）（3，0），（2）
278
【解析】
【分析】
（1）将点C （0，﹣3），A （﹣1，0）代入y ＝x 2+bx+c 中求出二次函数解析式，从而求出点B 的坐标；
（2）设点F （x ，0）（0＜x ＜3），则点E （x ，x 2﹣2x ﹣3），根据三角形面积公式可用含x 的代数式表示出△BCE 的面积，再利用配方法即可求出最值．
【详解】
解：（1）将点C （0，﹣3），A （﹣1，0）代入y ＝x 2+bx+c 中得： 310,c b c =-⎧⎨-+=⎩
解得： 23.b c =-⎧⎨
=-⎩ ∴y ＝x 2﹣2x ﹣3，
令y ＝0，得x ＝﹣1或3，
∴点B 的坐标为（3，0）；
（2）设点F （x ，0）（0＜x ＜3），则点E （x ，x 2﹣2x ﹣3），
∵B （3，0），C （0，﹣3），
∴直线BC ：y ＝x ﹣3，
∴H （x ，x ﹣3），
∴△BCE 的面积＝△CEH 的面积+△BEH 的面积
()()()22113233323,22
x x x x x x x x =
⨯---+---⨯--- ()213323,2x x x ⎡⎤=-⨯⨯---⎣⎦ 23327,228
x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ ∴△BCE 的面积()23327,03228
x x ⎛⎫=--+<< ⎪⎝⎭， ∴当32x =时，△BCE 的面积取最大值，最大值为278
． 【点睛】
本题考查了二次函数的应用，正确使用割补法表示出三角形的面积是解题的关键．
20．m
【解析】
【分析】
过点C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，首先在Rt △ACF 中求出AF 和FC 的关系，进而设FC=3x ，则AF=2x ，BE=115-3x ，在Rt △ABE 中，求出AE 和BE 的关系，进而求出x 的值，即可求出AE 的长度．
【详解】
解：如图，过点C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，
根据题意可得FC ＝ED ，EF ＝CD ＝50．
在Rt △ACF 中，∠AFC ＝90°，∠ACF ＝β，
∵ tan AF FC
β=， ∴ AF ＝FC·tan β＝
23FC ． 设FC ＝3x ，则AF ＝2x ，BE ＝115－3x ．
在Rt △ABE 中，∠AEB ＝90°，∠ABE ＝α，
∵ tan AE BE
α=，
∴ AE ＝BE·tan α＝2BE ．
∴ 50＋2x ＝2(115－3x)．
解得 x ＝22.5．
∴ AE ＝50＋45＝95．
答：无人机的高度AE 为95 m ．
【点睛】
本题考查仰角俯角的定义，要求学生能借助仰角俯角构造直角三角形并解直角三角形，难度一般．
21．(1)8+3;(2)
1a b +. 【解析】
【分析】
（1）根据零指数幂的意义以及实数的运算法则即可求出答案．
（2）根据分式的运算法则即可求出答案．
【详解】
解：（1）原式＝9﹣2+1+2×32
＝8+3；
（2）原式＝()()b a b a b a b b
-⋅+- ＝1a b
+. 【点睛】
本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．
22．32a a +-，-45
【解析】
【分析】
先化简分式，然后再求出a 的值，将a 的值代入计算即可．
【详解】
原式=2542(3)()222
a a a a a a ---÷--- =29222(3)
a a a a a --⋅-- =(3)(3)222(3)
a a a a a a -+--⋅-- =32a a +-
，
a=2cos60°+（3.14-π）0+（
13）-1 =2×12
+1+3 =5，
当a=5时，
原式=534255
+-=-⨯． 【点睛】
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．
23．C
【解析】
【分析】
①通过条件可以得出△ABE ≌△ADF ，从而得出∠BAE=∠DAF ，BE=DF ，由正方形的性质就可以得出EC=FC ，就可以得出AC 垂直平分EF ，
②设BC=x ，CE=y ，由勾股定理就可以得出EF 与x 、y 的关系，表示出BE 与EF ，即可判断BE+DF 与EF 关系不确定；
③当∠DAF=15°时，可计算出∠EAF=60°，即可判断△EAF 为等边三角形，
④当∠EAF=60°时，设EC=x ，BE=y ，由勾股定理就可以得出x 与y 的关系，表示出BE 与EF ，利用三角形的面积公式分别表示出S △CEF 和S △ABE ，再通过比较大小就可以得出结论．
【详解】
①四边形ABCD 是正方形，
∴AB═AD，∠B=∠D=90°．
在Rt △ABE 和Rt △ADF 中，
AE AF AB AD
=⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABE ≌Rt △ADF （HL ），
∴BE=DF
∵BC=CD ，
∴BC-BE=CD-DF ，即CE=CF ，
∵AE=AF ，
∴AC 垂直平分EF ．（故①正确）．
②设BC=a ，CE=y ，
∴BE+DF=2（a-y ） EF=2y ，
∴BE+DF 与EF 关系不确定，只有当y=（2−2）a 时成立，（故②错误）．
③当∠DAF=15°时，
∵Rt △ABE ≌Rt △ADF ，
∴∠DAF=∠BAE=15°，
∴∠EAF=90°-2×15°=60°，
又∵AE=AF
∴△AEF 为等边三角形．（故③正确）．
④当∠EAF=60°时，设EC=x ，BE=y ，由勾股定理就可以得出：
(x+y)2+y 2＝(2x)2
∴x 2=2y （x+y ）
∵S △CEF =
12x 2，S △ABE =12
y(x+y)， ∴S △ABE =12S △CEF ．（故④正确）． 综上所述，正确的有①③④，
故选C ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键．
24．（1）30；（2）y ＝﹣30x+60；（3）甲、乙第一次相遇是在出发后0.6小时；（4）
25≤x≤56或76≤x≤2． 【解析】
【分析】
（1）观察图形即可求得A 、B 两地间的距离；
（2）乙前往A 地的距离y （km ）与乙行驶时间x （h ）之间的关系式为y 乙1=k 1x ，设乙返回B 地距离B 地的距离y （km ）与乙行驶时间x （h ）之间的关系式为y 乙2=k 2x+b 2，由待定系数法可求乙与B 地的距离y （km ）与乙行驶时间x （h ）之间的函数关系式；
（3）由相遇问题的数量关系直接求出结论；
（4）设甲在修车前y 与x 之间的函数关系式为y 甲1=kx+b ，甲在修车后y 与x 之间的函数关系式为y 甲2=k 3x+b 3，由待定系数法求出解析式建立不等式组求出其解即可．
【详解】
解：（1）由题意，得A 、B 两地间的距离为30km ．
故答案为：30；
（2）设乙前往A 地的距离y （km ）与乙行驶时间x （h ）之间的关系式为y 乙1＝k 1x ，由题意，得 30＝k 1，
∴y 乙1＝30x ；
设乙返回B 地距离B 地的距离y （km ）与乙行驶时间x （h ）之间的关系式为y 乙2＝k 2x+b 2，由题意，得 22223002k b k b =+⎧⎨=+⎩
， 解得：22
3060k b =-⎧⎨=⎩， ∴y ＝-30x+60．
（3）由函数图象，得
（30+20）x ＝30，
解得x ＝0.6．
故甲、乙第一次相遇是在出发后0.6小时；
（4）设甲在修车前y 与x 之间的函数关系式为y 甲1＝kx+b ，由题意，得
30150.75b k b
=⎧⎨=+⎩， 解得：k 20b 30=-⎧⎨=⎩
， y 甲1＝﹣20x+30，
设甲在修车后y 与x 之间的函数关系式为y 甲2＝k 3x+b 3，由题意，得
333315 1.25k b 02k b =+⎧⎨=+⎩
， 解得：33
2040k b =-⎧⎨=⎩， ∴y 甲2＝﹣20x+40，
当20303010301510x x x -+-≤⎧⎨
-⎩…时， ∴25≤x≤56
； 306015102x x -+-⎧⎨⎩
……， 解得：
76
≤x≤2． ∴25≤x≤56或76≤x≤2．
【点睛】
本题考查了行程问题的数量关系路程÷时间=速度的运用，运用待定系数法求一次函数的解析式的运用，不等式组的解法的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键．
25．（1）k ＝-4；（2）tan ∠ABO=12．
【解析】
【分析】
（1）根据一次函数图象上点的坐标特征，求得B点的坐标，然后根据待定系数法即可求得k的值；（2）过A作AC垂直于y轴，过B作BD垂直于y轴，易证△AOC∽△OBD，利用反比例函数k的几何意义求出两三角形的面积，进一步求得OA与OB的比值，在直角三角形AOB中，利用锐角三角函数定义即可求出tan∠B的值．
【详解】
解：（1）∵点B的横坐标为4，且点B在直线y＝x﹣5上．
∴点B的纵坐标为y＝4﹣5＝﹣1，
∴B（4，﹣1），
∵B在反比例函数y＝k
x
（k＜0，x＞0）的图象上
∴k＝4×（﹣1）＝﹣4；
（2）过A作AC⊥y轴，过B作BD⊥y轴，可得∠ACO＝∠BDO＝90°，∴∠AOC+∠OAC＝90°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOC+∠BOD＝90°，
∴∠OAC＝∠BOD，
∴△AOC∽△OBD，
∵点A、B分别在反比例函数y＝1
x
（x＞0），y＝
k
x
（x＞0）的图象上，
∴S△AOC＝1
2
，S△OBD＝
2
k
，
∴S△AOC：S△OBD＝1：|k|，
∴
211
4 OA
OB k
⎛⎫
==
⎪
⎝⎭
，
∴
1
2 OA
OB
=，
则在Rt△AOB中，tan∠ABO＝
1
2 OA
OB
=．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，以及反比例函数k的几何意义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B （﹣1，0），则
①二次函数的最大值为a+b+c；
②a﹣b+c＜0；
③b2﹣4ac＜0；
④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（）
A.1
B.2
C.3
D.4
2．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面积为()
A．4 B．8 C．16 D．64
3．如图，△ABC中，BC＝4，⊙P与△ABC的边或边的延长线相切．若⊙P半径为2，△ABC的面积为5，则△ABC的周长为（）
A．10 B．8 C．14 D．13
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△ABC，M是BC的中点，P是A’B’的中点，连接PM．若BC＝4，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是（）
A．8 B．6 C．4 D．5
5．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为（）。